AOL2 calculo

Prévia do material em texto

1. Pergunta 1 
/1 
Os conhecimentos acerca do significado geométrico das operações de 
derivada e integral são muito úteis para resolvermos uma série de 
problemas difíceis de aplicações práticas em Engenharia. Mensurar áreas e 
encontrar a inclinação da reta tangente são funções de derivadas e 
integrais. Saber distingui-las é essencial. 
Com base nos seus conhecimentos acerca da interpretação geométrica dos 
conceitos estudados em Cálculo Diferencial e integral, associe os itens a 
seguir com seus respectivos significados: 
1. Integral definida. 
2. Limites fundamentais. 
3. Derivada da função no ponto. 
4. Diferencial. 
( ) São expressões algébricas para as quais temos um resultado 
notavelmente conhecido. 
( ) Área abaixo da curva em uma região delimitada. 
( ) É uma parte infinitesimal de uma variável. 
( ) Coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
1, 2, 3, 4. 
2. 
1, 2, 4, 3. 
3. 
3, 4, 2, 1. 
4. 
1, 4, 2, 3. 
Resposta correta 
5. Incorreta: 
2, 1, 3, 4. 
2. Pergunta 2 
/1 
A regra de L’Hospital é uma ferramenta matemática muito importante para 
a resolução de inúmeros limites. Ela permite a eliminação de certos tipos de 
indeterminações, apenas derivando o numerador e o denominador de uma 
função que é escrita em forma de razão. 
Considerando as funções f(x) = sen(5x), g(x) = tg(x), h(x) = x, i(x) = 2x², e 
com base nos seus conhecimentos acerca da regra do limite fundamental 
trigonométrico e da regra de L’Hospital, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) O limite de f(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 5. 
II. ( ) O limite de i(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 2. 
III. ( ) O limite de g(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 1. 
IV. ( ) O limite de h(x)/i(x), quando x tende a mais infinito, é igual a 0. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
F, F, V, V. 
2. 
V, F, V, F. 
3. 
F, V, F, F. 
4. 
V, F, V, V. 
Resposta correta 
5. 
V, F, F, V. 
3. Pergunta 3 
/1 
Intuitivamente, ao imaginar uma divisão por um número muito pequeno, 
podemos constatar que, quanto menor o denominador, maior o resultado 
dessa divisão, pois menor seria o número de parcelas dessa divisão. No 
Ensino Superior, nas disciplinas de Cálculo, estudamos isso através dos 
limites, onde aproximamos nossas funções para um ponto em que x tende a 
algum valor (nesse caso, a zero). No entanto, algumas funções apresentam 
indeterminações ao realizar o cálculo do limite, e para fugir dessas 
indeterminações adotamos a regra de L’Hospital, que utiliza a derivada das 
funções para o cálculo do limite desconhecido. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre derivadas e a 
regra de L’Hospital, analise as afirmativas a seguir: 
I. O limite de x/e^x, com x tendendo a zero, é igual a 1. 
II. O limite de (x+sen(x))/(x²-sen(x)), com x tendendo a zero, é igual a −2. 
III. O limite e^(x)/x², quando x tende a mais infinito, é igual a mais infinito. 
IV. A regra de L’Hospital é aplicável somente nos casos em que existe uma 
indeterminação, não podendo ser aplicada a qualquer caso, pois poderia 
gerar respostas incorretas. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
III e IV. 
2. 
II, III e IV. 
Resposta correta 
3. 
II, e IV. 
4. 
I, II, III. 
5. 
I, II, III e IV. 
4. Pergunta 4 
/1 
O estudo do cálculo diferencial e integral é repleto de interpretações 
geométricas acerca das curvas de funções. A inclinação da reta tangente à 
curva é definida pela derivada da função, e a integral da função mensura a 
área abaixo da curva que a descreve. 
Considerando as funções f(x) = 2x + 2, g(x) = x²−2x+1, h(x) = sen(x), e com 
base nos seus conhecimentos acerca de funções e interpretação geométrica 
dos conceitos estudados em cálculo diferencial e integral, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) 
falsa(s). 
I. ( ) A inclinação da reta tangente à curva do gráfico de f(x) em qualquer 
ponto é igual a 2. 
II. ( ) A integral de g(x) no intervalo de 0 a 2 equivale à área definida pelo 
eixo Ox, pelas retas y = 0, y = 2 e pelo gráfico de g(x). 
III. ( ) h(x) é uma função. 
IV. ( ) Adotando z(x) = g(x) + h(x), z(x), ainda seria integrável. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, F, V, V. 
Resposta correta 
2. 
V, V, V, F. 
3. 
V, V, F, F. 
4. 
V, F, V, F. 
5. 
F, F, V, V. 
5. Pergunta 5 
/1 
As funções circulares são aquelas definidas a partir do círculo unitário, e 
podem ser categorizadas entre dois grupos, aquelas que são diretas e as que 
são inversas. 
Considerando essas informações e tendo em vista os conhecimentos acerca 
das funções circulares, analise as afirmativas a seguir: 
I. Sen(x) e Log(x) são funções circulares. 
II. As funções trigonométricas são circulares. 
III. As funções inversas são funções circulares. 
IV. x²+y² = 25 é uma função circular. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
II, III e IV. 
2. 
II e III. 
Resposta correta 
3. 
I, III e IV. 
4. 
I e IV. 
5. 
II e IV. 
6. Pergunta 6 
/1 
Do círculo trigonométrico de raio 1 extrai-se muitas relações importantes 
para a matemática, sem usar uma ideia mais rebuscada, como a de limite. 
Porém, também é possível extrair novas relações quando se alia o estudo de 
limites à trigonometria. Um exemplo disso é o limite fundamental 
trigonométrico. 
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre o tópico, pode-
se afirmar que o limite fundamental trigonométrico é relevante para o 
cálculo porque: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
torna dispensável a utilização de qualquer outro limite. 
2. 
as relações trigonométricas deixam de valer quando se aplica o 
limite. 
3. 
relaciona a tg(x) com a cossec (x), de tal forma que sua razão 
valha 1. 
4. 
relaciona um sen(x) com um arco x, obtendo um valor 1 da 
razão entre esses dois elementos. 
Resposta correta 
5. 
torna dispensável a utilização do círculo trigonométrico. 
7. Pergunta 7 
/1 
O estudo das derivadas permitiu a compreensão de como se dá a inclinação 
de uma reta tangente a uma curva em um determinado ponto e qual a taxa 
de variação instantânea referente a ele. Somado a isso, em algumas 
situações é preferível que, ao se saber a derivada de uma função 
desconhecida, realize-se a operação inversa a ela, para se descobrir a função 
que a gerou, chamada função primitiva ou antiderivada. 
Considerando essas informações e tendo em vista o conteúdo estudado 
sobre integrais indefinidas e antiderivadas, analise as afirmativas a seguir. 
I. Se uma função F’(x) = f(x), diz-se que F(x) é uma antiderivada de f(x). 
II. Tomando determinada função, pressupõe-se que esta função tem uma 
antiderivada. 
III. é uma representação notacional de uma integral indefinida. 
IV. é uma propriedade de uma integral definida. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I, III e IV. 
2. 
I e IV. 
3. 
I e III. 
Resposta correta 
4. 
II e III. 
5. 
II, III e IV. 
8. Pergunta 8 
/1 
O estudo do Cálculo fornece ferramentas matemáticas importantes para 
inúmeras áreas do conhecimento, principalmente a Física. Ele auxilia no 
estudo das leis horárias que descrevem movimentos de partículas e corpos, 
possibilitado a integração e derivação de algumas funções, de modo a 
propiciar o descobrimento de uma nova informação. 
Considere que a derivada da equação horária do movimento S’(t) é igual à 
equação horária da velocidade v(t), e a derivada segunda da equação 
horária do movimento S’’(t) é a equação horária da aceleração a(t). De 
acordo com essas informações e com seus conhecimentos sobre derivação, 
analise as afirmativas a seguir: 
I. A derivada de f(x)*g(x)é igual a 2sen(2x) − cos(x). 
II. A derivada de h(x) é h’(x) = sen(2x). 
III. f’(x) = −cos(x), pois a derivada de cos(x) é −sen(x). 
IV. A derivada de i(x) é i’(x) = 3x² + 2sen(2x) + 9sen(3x). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
III e IV. 
2. 
I, II, III. 
3. 
I, II, III. 
4. 
I, III e IV. 
Resposta correta 
5. 
II e IV. 
9. Pergunta 9 
/1 
De acordo com Teorema Fundamental do Cálculo, sabemos que a integral e 
a derivada são operações contrárias. As integrais indefinidas são 
extremamente importantes para a determinação da função primitiva F(x), 
que é obtida realizando a integração da função de interesse f(x), sendo que, 
da mesma forma, derivando-se a primitiva F(x), obtemos novamente a f(x). 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de integrais 
definidas, analise as afirmativas a seguir. 
I. A propriedade define uma regra para integração de polinômios. 
II. As integrais indefinidas podem delimitar várias famílias de respostas 
para o problema de função primitiva. 
III. Uma integral indefinida é delimitada a partir de uma função primitiva. 
IV. é um exemplo de integral definida. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I e IV. 
2. 
II, III e IV. 
3. 
I, II e III. 
Resposta correta 
4. 
II e III. 
5. 
I, III e IV. 
10. Pergunta 10 
/1 
Ter pleno conhecimento do limite fundamental trigonométrico e de como 
aplicá-lo através de manipulações das expressões matemáticas pode salvar 
muito tempo durante a resolução de exercícios, já que nem sempre é prático 
deduzir todos os resultados decorrentes da manipulação de funções 
trigonométricas, de forma que este limite e a regra de L’Hospital servem 
como importantes ferramentas para resolver limites que recorrem em 
indeterminações do tipo 0/0 ou infinito/infinito em poucos passos. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o limite 
fundamental trigonométrico e a regra de L’Hospital, analise as afirmativas a 
seguir. 
I. O limite de tg(x²)/x, quando x tende a zero, é igual a zero. 
II. A derivada de sen(5x)cos(3x) é 5cos(3x)cos(5x) − 3sen(3x)sen(5x). 
III. O limite de sen(mx)/nx, quando x tende a zero, é igual a m/n. 
IV. A derivada de cos(5x)sen(3x) é 3cos(3x)cos(5x) − 5sen(3x)sen(5x). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I e IV. 
2. 
I, II e III. 
Resposta correta 
3. 
II, III e IV. 
4. 
I, II e IV. 
5. 
II e III.