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Ensino da matemática
MONICA BAETA MARQUES
1ª Edição
Brasília/DF - 2018
Autores
Monica Baeta Marques
Produção
Equipe Técnica de Avaliação, Revisão Linguística e 
Editoração
Sumário
Organização do Livro Didático........................................................................................................................................4
Introdução ..............................................................................................................................................................................6
Capítulo 1
Educação Matemática: breve percurso histórico e sua importância no ensino ......................................7
Capítulo 2
Estruturas cognitivas e a construção de conceitos matemáticos .............................................................. 22
Capítulo 3
Os conceitos fundamentais da Matemática ...................................................................................................... 38
Capítulo 4
Diferentes concepções sobre o Ensino de Matemática e o papel do professor neste contexto .... 55
Capítulo 5
Estratégias pedagógicas: como favorecer uma aprendizagem significativa em matemática ......... 71
Capítulo 6
Aplicações de conceitos matemáticos na Educação Infantil e nos Anos Iniciais do Ensino 
Fundamental ................................................................................................................................................................ 91
Referências ........................................................................................................................................................................104
Apêndices e Anexos .......................................................................................................................................................107
4
Organização do Livro Didático
Para facilitar seu estudo, os conteúdos são organizados em capítulos, de forma didática, objetiva e 
coerente. Eles serão abordados por meio de textos básicos, com questões para reflexão, entre outros 
recursos editoriais que visam tornar sua leitura mais agradável. Ao final, serão indicadas, também, 
fontes de consulta para aprofundar seus estudos com leituras e pesquisas complementares.
A seguir, apresentamos uma breve descrição dos ícones utilizados na organização do Livro Didático.
Atenção
Chamadas para alertar detalhes/tópicos importantes que contribuam para a 
síntese/conclusão do assunto abordado.
Cuidado
Importante para diferenciar ideias e/ou conceitos, assim como ressaltar para o 
aluno noções que usualmente são objeto de dúvida ou entendimento equivocado.
Importante
Indicado para ressaltar trechos importantes do texto.
Observe a Lei
Conjunto de normas que dispõem sobre determinada matéria, ou seja, ela é origem, 
a fonte primária sobre um determinado assunto.
Para refletir
Questões inseridas no decorrer do estudo a fim de que o aluno faça uma pausa 
e reflita sobre o conteúdo estudado ou temas que o ajudem em seu raciocínio. 
É importante que ele verifique seus conhecimentos, suas experiências e seus 
sentimentos. As reflexões são o ponto de partida para a construção de suas 
conclusões.
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ORgAnIzAçãO DO LIvRO DIDátICO
Provocação
Textos que buscam instigar o aluno a refletir sobre determinado assunto antes 
mesmo de iniciar sua leitura ou após algum trecho pertinente para o autor 
conteudista.
Saiba mais
Informações complementares para elucidar a construção das sínteses/conclusões 
sobre o assunto abordado.
Sintetizando
Trecho que busca resumir informações relevantes do conteúdo, facilitando o 
entendimento pelo aluno sobre trechos mais complexos.
Sugestão de estudo complementar
Sugestões de leituras adicionais, filmes e sites para aprofundamento do estudo, 
discussões em fóruns ou encontros presenciais quando for o caso.
Posicionamento do autor
Importante para diferenciar ideias e/ou conceitos, assim como ressaltar para o 
aluno noções que usualmente são objeto de dúvida ou entendimento equivocado.
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Introdução
Este Livro Didático destina-se a alunos do curso de Graduação a Distância em Pedagogia e apresenta 
aspectos relacionados a fundamentos e metodologias referentes ao Ensino de Matemática. 
Dessa forma, são oferecidos alguns caminhos para o trabalho de futuros professores, oferecendo 
sugestões a respeito do que, porque e como ensinar Matemática na Educação Infantil e nos Anos 
Iniciais do ensino fundamental. A partir dos temas apresentados, os futuros professores poderão 
utilizar os subsídios apresentados que possibilitarão a construção de uma prática que atenda 
às novas demandas de um fazer pedagógico reflexivo e específico ao ensino de Matemática. 
Ao longo do Livro são abordadas questões relativas a conceitos matemáticos a fim de conectá-
las e reorganizá-las a práticas pedagógicas capazes de desenvolver recursos metodológicos 
fundamentados nas reais necessidades dos alunos, articulando-se teoria e prática. A apresentação 
dos temas ocorre de forma simples, clara e objetiva e, sempre que possível, associada a exemplos 
e a contextos relacionados à realidade em que o aluno se encontra. Vale ressaltar que não há a 
preocupação de esgotar completamente os conceitos abordados e aquele que desejar estudar 
com mais detalhes ou aprimorar os aspectos de ensino aqui apresentados, devem refletir que 
a Educação, especificamente a Educação Matemática, podem e devem ser temas de discussão, 
análise e possível transformação.
Objetivos
 » Identificar quais implicações e consequencias a partir dos estudos de teóricos da 
Educação, ao longo de um percurso histórico, influenciaram o Ensino da Matemática. 
 » Reconhecer os conceitos matemáticos que crianças de 0 a 6 anos podem adquirir, além 
de analisar como a construção do conhecimento matemático é promovida.
 » Identificar conceitos fundamentais da Matemática e como devem ser desenvolvidos na 
Educação Infantil e nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental.
 » Analisar como as diversas concepções sobre o Ensino de Matemática tem se apresentado 
ao longo dos anos e repensar as metodologias, recursos e estratégias utilizadas que 
permitam produzir um ensino de qualidade em que é preciso saber como e por que 
aplicá-los, além de compreendê-los.
 » Refletir e discutir princípios que favoreçam uma aprendizagem significativa em relação 
ao ensino de Matemática, proporcionado aos professores refletirem sobre seu papel no 
Ensino de Matemática no mundo contemporâneo.
 » Discutir, analisar e refletir as diversas possibilidades de aplicações de conceitos 
matemáticos na Educação Infantil e nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental. 
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Introdução
Neste capítulo apresentamos alguns teóricos da Educação ao longo da História que, em suas 
respectivas épocas, recorreram a propostas pedagógicas fundamentadas em suas próprias visões 
com base em experiências, práticas, vivências teóricas e reflexões críticas e inovadoras. 
Objetivos 
 » Apresentar considerações sobre o processo ensino-aprendizagem de alguns teóricos da 
Educação ao longo da história.
 » Identificar implicações e consequências no ensino de Matermática a partir dos estudos 
dos teóricos apresentados. 
O que conta a História sobre o pensamento de alguns 
teóricos da Educação e suas implicações? 
Antes de adentrarmos ao estudo específico do ensino de Matemática, é preciso descrever, mesmo 
de forma breve, o pensamento de alguns teóricos sobre Educação, uma vez que adotaram uma 
postura crítica perante a Educação vigente em seus respectivos contextos históricos. Além disso, 
apropriar-se desse estudo ajuda a fundamentar o cenário que encontramos atualmente no âmbito 
da Educação, bem como auxiliar na escolha das metodologias e estratégias que poderão utilizar 
no ensino da educação infantil e dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental.
1
CAPÍTULO
EDUCAçãO MAtEMátICA: BREvE 
PERCURSO HIStÓRICO E SUA 
IMPORtÂnCIA nO EnSInO
Posicionamento do autor
Aprender os fatos históricos escritos neste capítulo permite refletir sobrenossos ideais educacionais, nossas práticas 
de ensino e nossas consciências. 
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CAPÍTULO 1 • EDUCAçãO MAtEMátICA: BREvE PERCURSO HIStÓRICO E SUA IMPORtÂnCIA nO EnSInO
Ao estudar a obra e o pensamento dos teóricos apresentados neste capítulo, percebemos o quanto 
a influência e a contribuição no processo pedagógico são significativas até os dias atuais. Do 
que propunham ou discutiam sobre Educação, nas respectivas épocas, vamos focar apenas nas 
implicações que exerceram no meio educacional. Dessa forma, definimos a Educação como um 
processo, ou seja, um conjunto de variados aspectos de que o sujeito se apropria, como adquirir 
competências, desenvolver habilidaddes cognitivas, praticar a socialização, entre outros. Já 
Morais (2002, p. 117), defende que Educação
(...) pode ser entendida como o amplo processo através do qual um povo, em seu 
lugar e momento, pela mediação da linguagem veiculadora de valores, propõe-se 
a auxiliar os seus educandos a conquistarem uma certa forma de humanidade; 
conquistá-la-ão para preservá-la ou para saber contestá-la. O conceito apresentado 
por Morais (2002, p. 119), expõe uma das preocupações com os rumos que a 
Educação tem tomado, sugerindo uma conceituação que tem em vista a reflexão 
consciente, “de se promover um encontro sensível e inteligente do educando com 
o seu mundo, o que é propriamente ensinar educando ou vice-versa”. Portanto, 
diante dessa perspectiva preocupante em preparar um profissional que faça a 
diferença em aprender uma “nova Educação Matemática , sem as obsolecências 
que a caracterizam” (D’AMBRÓSIO, 1993, p. 22), os autores relacionados a seguir, 
recorreram a propostas pedagógicas fundamentadas nas próprias visões de 
mundo vivenciado por cada um em seu contexto histórico.
Provocação
Preocupante: Não é de hoje que os profissionais que trabalham com cursos de formação de professores ou os 
próprios profissionais atuantes já demonstram que a forma como a Educação Matemática se apresenta está falida, 
defasada, atrasada em relação ao restante dos avanços da humanidade e continuam sentindo dificuldades e 
insegurança. Por quê? Sugiro duas leituras:
1. Capítulo 2 da obra: DINIZ, Leandro do Nascimento & BORBA, Marcelo de Carvalho (orgs.). Grupo EMFoco. 
Diferentes olhares, múltiplos focos e autoformação continuada de educadores matemáticos. Natal: Flecha do Tempo; 
São Paulo: Editora Livraria da Física, 2009. (pp. 37-62)
2. Capítulo 1.2 da obra: OLIVEIRA, Cristiane Coppe de & MARIM, Vladimir (orgs.). Educação Matemática: contextos e 
práticas docentes. Campinas, SP: Editora Alínea, 2010. (pp. 40-57)
Importante
Obsolescência: este termo refere-se à qualidade de obsolescente. Este adjetivo, que deriva do latim obsolescens, faz 
menção a algo que se está a tornar obsoleto, antigo ou arcaico e que, portanto, cai em desuso. 
(Fonte: Disponível em <http://conceito.de/obsolescencia>. Acesso em: 20/4/2017).
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EDUCAçãO MAtEMátICA: BREvE PERCURSO HIStÓRICO E SUA IMPORtÂnCIA nO EnSInO • CAPÍTULO 1
Teóricos que fizeram a diferença antes do século XIX
 » Jan Ámos Komenský: Comenius (1592-1670), um dos maiores educadores do século 
XVII, é considerado o pai da Pedagogia com a obra-prima, Didactica Magna. Nasceu 
na Moravia, região da Europa Central pertencente ao antigo Reino da Boêmia (atual 
República Tcheca), contribuiu de forma significativa para o pensamento educacional, já 
que colocou o aluno como centro do fenômeno educativo, compelindo todos a trabalhar 
a seu serviço: professores, textos, aulas e métodos, assinalando, portanto, o conceito 
de ensino comeniano que se resume em uma frase: “Ensinar tudo a todos”. Tratando-
se da organização escolar e dos planos de estudos, forneceu critérios de seleção e de 
organização das matérias a serem ministradas. Sistematizava o que é possível aprender 
durante uma vida e defendia o que hoje chamamos de currículos em espiral. 
Comenius salientava a importância da educação formal de crianças pequenas e preconizou 
a criação de escolas maternais por toda parte. O método didático se expressava em: tudo o 
que se deve saber deve ser ensinado; qualquer coisa que se ensine deverá ser ensinada em sua 
aplicação prática, no seu uso definido; ensinar de maneira direta e clara; ensinar a verdadeira 
natureza das coisas, partindo de suas causas; explicar primeiro os princípios gerais; ensinar as 
coisas em seu devido tempo; não abandonar nenhum assunto até sua perfeita compreensão; 
dar a devida importância às diferenças que existem entre as coisas. “Não se consegue de uma 
só semente produzir uma mesma árvore? De um só método farei alunos capazes!” (COMENIUS 
apud GONÇALVES, 2003)
Criticava as escolas e o ensino de seu tempo, propondo, em contrapartida, planos de ação bem 
fundamentados, julgando-os eficazes, já que estava sempre e continuamente advogando em 
defesa da ação benéfica e fundamental da Educação. A boa educação é um direito de todos e 
uma obrigação dos responsáveis pelos jovens e crianças. “Não está nas mãos de ninguém que 
os seus filhos nasçam com essas ou aquelas qualidades; mas para que se tornem bons por meio 
de uma boa educação está em nosso poder”. (COMENIUS apud GONÇALVES, 2003)
O desenvolvimento mental das crianças, os fundamentos psicológicos do método didático, as 
relações entre escola e sociedade, a necessidade de organizar e regulamentar programas e quadros 
administrativos do ensino e, por fim, a reorganização internacional da pesquisa e da educação, 
são muitas das questões apontadas por Comenius no século XVII e que ainda permanecem atuais. 
Para refletir
Comenius é um pensador que apresentou as questões e os problemas fundamentais de seu tempo, todavia, 
apresenta-se, hoje, com uma atualidade incontestável.
Por que razão? A sociedade não mudou ou Comenius não envelheceu?
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CAPÍTULO 1 • EDUCAçãO MAtEMátICA: BREvE PERCURSO HIStÓRICO E SUA IMPORtÂnCIA nO EnSInO
 » Jean Jacques Rousseau (1712-1778), filósofo iluminista, nasceu em Genebra, Suíça, 
preconizando a “educação natural”, descrita na obra, O Émile, em que relatou de maneira 
poética suas concepções sobre Educação. A educação natural era afastada dos costumes 
da aristocracia da época, da vida artificial, que girava em torno das convenções sociais, 
devendo “levar o homem a agir por interesses naturais e não por imposição de regras 
exteriores e artificiais”. (ZACHARIAS, 2003) Logo, o indivíduo não seria educado nem 
para Deus, nem para a vida em sociedade, mas para si mesmo. 
Rousseau não acreditava numa educação formal e livresca; para ele, as emoções, os sentidos, 
os instintos e os sentimentos, já existiam. O processo de ensino buscava atrasar o crescimento 
intelectual, levando a criança a demonstrar os próprios interesses e elaborar as próprias perguntas. 
Na adolescência, o jovem confiaria no mestre, tendo uma relação livre e recíproca de amizade 
que o ajudaria na descoberta das alegrias da religião e das dificuldades do trato com a sociedade. 
No ambiente em que o aluno vivia não deveria haver nenhuma restrição moral, a fim de desenvolver 
plenamente seu eu natural, isolando-o totalmente da sociedade, mantendo contato social 
somente com o instrutor. A introdução na sociedade só se daria quando surgisse, naturalmente, a 
tendência para a socialização, o que ocorreria na adolescência, após o desenvolvimento da razão. 
Com Montesquieu e os liberais ingleses, formou-se um grupo de brilhantes pensadores pais da 
ciência política moderna, inspirou-se reformas políticas e educacionais e tornou-se, mais tarde, 
a base do Romantismo. Rousseau formulou princípios educacionais que permanecem até hoje, 
principalmente quando afirmava “que a verdadeira finalidade da educação era ensinar a criança 
a viver e a aprender a exercer a liberdade”. (ROUSSEAU apud ZACHARIAS, 2003)
 » João Pestalozzi (1746-1827), nasceu em Zurique, Suíça, exercendo grande influência 
no pensamento educacional. Foi adepto da educação pública, democratizando-a e 
anunciando que toda criança deveria ter direito aodesenvolvimento pleno dos poderes 
concedidos por Deus. Teoria e prática educacionais corretas deveriam ser baseadas na 
Psicologia, apesar de ter pouco conhecimento da mente humana. “Para ele, a escola 
deveria aproximar-se de uma casa bem organizada, pois o lar era a melhor instituição 
de educação, base para a formação moral, política e religiosa”. (ZACHARIAS, 2003)
Os princípios educacionais baseavam-se muito mais no desenvolvimento orgânico do que 
na transmissão e/ou memorização de ideias. A prática pedagógica sempre valorizou o ideal 
do educador, visto que a educação poderia mudar a terrível condição de vida do povo. O 
professor deveria propiciar condições necessárias para a realização de ações concretas, 
experimentando respostas emocionais reais. A formação de conceitos sobre disciplina deveria 
ser pautada na boa vontade recíproca e na cooperação entre aluno e professor, incorporando 
novos recursos metodológicos e impulsionando a formação de professores e o estudo da 
Educação como ciência.
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EDUCAçãO MAtEMátICA: BREvE PERCURSO HIStÓRICO E SUA IMPORtÂnCIA nO EnSInO • CAPÍTULO 1
Pestalozzi, juntamente com sua equipe, contribuiu, significativamente, para a Educação, 
elaborando materiais pedagógicos, voltados à Linguagem, Matemática, Ciências, Geografia, 
História e Música.
 » Johann Friedrich Herbart (1776-1841), nasceu em Oldemburgo, Alemanha e escreveu 
várias obras pedagógicas, dentre elas: Relatórios de um Preceptor, Pedagogia Geral 
deduzida do fim da Educação, Esboço para um curso de Pedagogia (1825) e Lições 
Preliminares sobre Pedagogia (1825). Foi o precursor de uma psicologia experimental 
aplicada à Pedagogia e o primeiro a elaborar uma pedagogia que pretendia ser uma 
ciência da Educação. O processo educativo se baseava nos objetivos e meios, na Ética 
e na Psicologia, respectivamente.
Herbart enfatizou o caráter moral, finalidade da educação, que tem em vista a formação humana, 
resumindo-a em cinco ideias: a liberdade interior; a plenitude de valores; a benevolência; a justiça 
e a equidade, e ainda as relacionou com cinco ideias sociais, respectivamente: uma sociedade de 
homens livres; um sistema de bens culturais; uma comunidade jurídica; um sistema de ideais e 
um regime de recompensas e salários equitativos. (LARROYO, 1982)
Além disso, considerou que o caráter moral é alcançado pela instrução, pela disciplina e pelo 
governo e, propôs ainda, cinco passos beneficiando o desenvolvimento da aprendizagem do 
aluno: preparação, apresentação, assimilação, generalização e aplicação. (ZACHARIAS, 2003)
Como, para ele, a educação tem caráter intelectualista, tendo em vista ser uma Educação 
pela instrução, toda sua obra em conjunto com as ideias desenvolvidas por seus discípulos, 
foi tomando novos rumos e acabou transformando-se em tópicos pedagógicos. A instrução 
educativa; a pedagogia do interesse; os graus didáticos; a disciplina; a formação do caráter; a 
criação de escolas experimentais foram muitas das contribuições do teórico que sustentam, até 
hoje, teorias pedagógicas. (LARROYO, 2003)
 » Friedrich Fröebel (1782-1852), viveu na Prússia, destacando-se no meio educacional 
pelas ideias revolucionárias. Trabalhou com Pestallozzi, mas não se deixou influenciar por 
ele, tendo seus próprios princípios educacionais. Fundou o primeiro Jardim de Infância 
e foi o primeiro educador a salientar a atividade lúdica, utilizando o brinquedo como 
Sugestão de estudo
Com base nos estudos sobre Pestalozzi e sabendo que tanto ele quanto outros importantes teóricos contribuíram 
de forma significativa no desenvolvimento de materiais pedagógicos voltados para a Matemática e, também sobre 
a noção do que é número, o link <https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/4891638> Acesso em: 20/4/2017 
ilustra o que foi apresentado sobre esse teórico e complementa muito dos conceitos que serão tratados nos capítulos 
subsequentes. 
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CAPÍTULO 1 • EDUCAçãO MAtEMátICA: BREvE PERCURSO HIStÓRICO E SUA IMPORtÂnCIA nO EnSInO
atividade em sala de aula, desenvolvendo jogos para estimular o aprendizado. Utilizou 
materiais específicos como: blocos de construção; papel; papelão; argila e serragem; 
começando pelo uso das formas esféricas, e cubos incentivando, assim, a criatividade 
das crianças. Aliar a ludicidade ao ato de conhecer é a ideia geral da pedagogia de Fröebel 
que ainda permanece nos dias de hoje.
Teóricos que fizeram a diferença entre os séculos XIX e XX 
e depois do século XX
 » John Dewey (1859-1952), nasceu em Burlington, Vermont, contribuindo imensamente 
na divulgação dos princípios educacionais do movimento da Escola Nova. Filósofo 
americano, não aceitava a educação pela instrução, proposta por Herbart, sugerindo 
uma educação pela ação e criticando, em demasia, os métodos tradicionais de puro 
intelectualismo e memorização. 
Pensava que o educador deveria descobrir os interesses das crianças, apoiando-se, nos interesses 
das mesmas para descobrir o verdadeiro valor educativo da experiência. Concedia importância 
significativa às atividades manuais apresentando aspectos inovadores e contradizendo o ensino 
tradicional. Dewey acreditava que a escola deveria ter uma função democratizadora, igualando 
oportunidades, propiciando uma aprendizagem essencialmente coletiva, chegando à “conclusão 
de que a escola não pode ser uma preparação para a vida, mas, sim, a própria vida”. (DEWEY 
apud ZACHARIAS, 2003)
 » Rudolf Steiner (1861-1925) nasceu em Kraljevec, criando a Pedagogia Waldorf, 
totalmente fundamentada na Antroposofia. Pressupôs um currículo totalmente diferente 
do currículo tradicional, no qual esteja voltado para as necessidades evolutivas do 
indivíduo como tal, fomentá-lo a ser ele mesmo, apresentando como base as fases do 
desenvolvimento da criança. Para desenvolver a arte de pensar, “inicia-se com o exercício 
da imaginação, do conhecimento dos contos, lendas e mitos, até gradativamente 
atingir-se o desenvolvimento do pensamento mais abstrato, teórico e rigorosamente 
formal, mais ou menos na época do ensino médio”. (ZACHARIAS, 2003)
O processo pedagógico de Steiner caracterizou-se pelo desenvolvimento das habilidades e não 
pelo acúmulo de conhecimentos, procurando conservar a ciência, a arte e os valores morais 
e espirituais. Para ele, “o saber não é a finalidade básica da educação, não é o fim último a ser 
atingido, mas o meio para que o aluno alcance harmonia e estabilidade no seu processo de 
autoconhecimento”. (HEMLEBEN, 2003)
“Steiner corresponde hoje, mais do que nunca, à busca de perspectivas válidas para as questões 
da vida humana” (HEMLEBEN, 2003). Por meio de observações científicas da realidade, organizou 
um amplo e complexo conteúdo da Antroposofia, derivando em caminhos práticos para as 
13
EDUCAçãO MAtEMátICA: BREvE PERCURSO HIStÓRICO E SUA IMPORtÂnCIA nO EnSInO • CAPÍTULO 1
várias atividades do homem moderno, sugerindo, portanto, novos caminhos em muitas áreas 
práticas como: Pedagogia, Medicina, Agricultura, Arquitetura e Artes. Seus livros abordam os 
mais variados temas e são amplamente divulgados há séculos.
 » Maria Montessori (1870-1952), nasceu na Itália, formou-se em Fisioterapia, tornando-se 
assistente na clínica psiquiátrica da Universidade de Roma, na qual passa a interessar-se 
pela educação de crianças anormais. Aprofundou os estudos em Filosofia, Antropologia, 
Psicologia Experimental e Educação. Desenvolveu na Itália, um sistema educacional 
com materiais didáticos para despertar o interesse espontâneo do intelecto das crianças, 
produzindo uma concentração natural nas tarefas, não as cansando nem aborrecendo. 
Esse método se caracteriza pela originalidade, já que as crianças ficavam livres para 
se movimentar pela sala de aula, utilizando o conjunto de materiais, manipulando-os 
em um ambiente autoeducativo, multissensorial e aprendendo, portanto, Linguagem, 
Matemática, Ciências e prática de vida.
A pedagogia montessoriana estava incluída no movimento da Escola Nova, em oposição aos 
métodos tradicionais,ocupando um papel de destaque pelas novas técnicas que apresentou para 
os jardins de infância e para as primeiras séries de ensino. Criou um material didático disposto 
em cinco grupos: exercícios para a vida cotidiana; material sensorial; material de linguagem; 
material de matemática e material de ciências, constituídos de peças sólidas de diversos tamanhos 
e formas. O material dourado, muito utilizado até hoje nas aulas de Matemática foi criado por 
ela também.
Figura 1. Material Dourado.
Fonte: <www.shutterstock.com.br>. Acesso em: 27/4/2017. ID do vetor: 441025066.
Saiba mais
O objetivo do material dourado é o de suscitar, no aluno, a concentração e o interesse, além de desenvolver a 
inteligência e a imaginação criativa, já que a criança está sempre predisposta ao jogo, o que permite estabelecer 
relações de graduações e proporções, comparações e induzir a contar e calcular. 
Acessando o link a seguir você pode utilizar diversas aplicações desse material e adequá-lo à sua prática, caso seja 
necessário.
<http://www.londrina.pr.gov.br/dados/images/stories/Storage/sec_educacao/canal_educativo/mat_material_
dourado.pdf>. Acesso em: 27/4/2017.
14
CAPÍTULO 1 • EDUCAçãO MAtEMátICA: BREvE PERCURSO HIStÓRICO E SUA IMPORtÂnCIA nO EnSInO
O método didático de Montessori permite que os alunos usem os materiais de forma individual e 
façam autoavaliações. Os professores são apenas auxiliares de aprendizagem, permitindo a livre 
escolha das atividades pela criança de forma disciplinada e com relativo silêncio. Nas salas de 
aula de uma escola montessoriana, os alunos desenvolvem as atividades, espalhados, sozinhos 
ou em grupos. Os professores se misturam aos alunos, observando-os ou ajudando-os. Não há 
distinção entre o lazer e o fazer pedagógico, uma vez que não existe hora marcada para o recreio. 
Vários livros didáticos, pesquisas em bibliotecas e na internet são a fonte que os alunos utilizam 
para elaborar apresentações aos colegas.
 » Olvide Decroly (1871-1932) nasceu na Bélgica, foi físico, naturalista e estudioso das 
realidades do mundo, atuando como professor de Psicologia nos últimos anos de 
vida. A educação, para ele, não constituía a preparação para a vida adulta, já que a 
criança deveria aproveitar a juventude e resolver os conflitos no momento certo. Sua 
proposta educacional buscava conciliar medidas psicológicas e educativas na prática 
escolar com as crianças, destacando-se os centros de interesses que eram destinados 
às crianças das classes primárias. Nos centros de interesse, a criança passava por três 
momentos distintos: observação, associação e expressão. Ali desenvolviam atividades 
em que expressavam experiências por meio da expressão concreta (materialização das 
observações e criações – desenho livre, trabalhos manuais) e da expressão abstrata 
(materialização do pensamento através de símbolos e códigos – texto livre, linguagem 
matemática, linguagem musical), não havendo um programa pré-fixado.
A proposta de Decroly sugere medidas para transformar todas as escolas, tais como a formação 
de classes homogêneas; diminuição do efetivo das salas de aula; modificação dos programas em 
que distribui os assuntos de forma diversificada, partindo dos próprios interesses e necessidades 
das crianças. 
Grande parte do pensamento de Decroly não perdeu a atualidade, uma vez que continuamos a 
encontrar muitos obstáculos em atividades que exigem uma “visão globalizadora e multidisciplinar 
nas aulas de hoje. Acaba-se por trabalhar o conhecimento de maneira fragmentada e estanque 
em que estes são apresentados em planos ou livros didáticos. E culpam-se os alunos pelo 
desinteresse!” (ZACHARIAS, 2003) 
 » Célestin Freinet (1896-1966), nasceu em Gars, sul da França. Foi crítico da escola 
tradicional e das escolas novas, criando o movimento da escola moderna em que o 
objetivo básico era desenvolver um movimento em prol da escola popular, defendendo 
a livre expressão como um princípio pedagógico, além da educação para o trabalho e 
a cooperação. Para Freinet, o trabalho era uma necessidade do homem, não devendo 
fazer distinção entre trabalho manual e intelectual. 
Criticou teóricos como Decroly e Montessori, questionando os métodos que defendiam a 
definição de materiais, locais e condições especiais na realização de atividades pedagógicas. 
15
EDUCAçãO MAtEMátICA: BREvE PERCURSO HIStÓRICO E SUA IMPORtÂnCIA nO EnSInO • CAPÍTULO 1
Freinet pretendia transformar a educação, visto que a Pedagogia defendida por ele objetivava a 
formação de homens mais livres, autônomos e responsáveis, que tivessem condições de contribuir 
na transformação da sociedade. De tal modo, era preciso conhecer a natureza e conscientizar o 
homem do que ele é e do que ele quer, buscando, portanto, dar-lhe os instrumentos necessários 
que o auxiliassem no desenvolvimento eficiente das tarefas sociais. 
Deveriam partir dos professores as mudanças necessárias e defendia uma escola centrada na 
criança, que é vista não como um indivíduo isolado, mas fazendo parte de uma comunidade. 
Em sua proposta educacional o trabalho era uma atividade fundamental, uma vez que elaborou 
técnicas com base na experimentação e documentação.
Técnicas como desenho livre, texto livre, aulas-passeio, correspondência interescolar, jornal, livro 
da vida (diário e coletivo), dicionário dos pequenos, caderno circular para os professores, foram 
técnicas com o propósito de favorecer o desenvolvimento dos métodos naturais da linguagem, da 
Matemática, das Ciências Naturais e das Ciências Sociais, não sendo um fim em si mesmas, mas 
um processo de aprendizagem que, ao ser iniciada a partir dos interesses das crianças, permite 
que elas se apropriem do conhecimento. (ZACHARIAS, 2003)
Para ele, a aquisição do conhecimento é fundamental quando é feita de forma significativa. Mesclou 
teoria e prática, uma vez que o método se baseava nas observações das crianças, nas atividades 
práticas realizadas e nas reflexões teóricas elaboradas. Foi um dos pedagogos que, a partir de 
suas técnicas contribuiu, e muito, na construção de escolas ativas, dinâmicas e historicamente 
inseridas num contexto social e cultural. 
 » Roger Cousinet (1881-1973) nasceu na França, pertencendo ao grupo dos fundadores 
da Escola Nova. O trabalho mais famoso de Cousinet foi Um méthode libre de travail 
em groupe (um método livre de trabalhar em grupo). Era partidário da Psicologia 
Experimental e procurou unir teoria à prática pedagógica. A base do método pedagógico 
para trabalhar em grupo era o jogo. Como considerava o lúdico uma atividade natural 
da criança, qualquer trabalho a ser feito deveria estar fundamentado em atividades em 
que o jogo estivesse presente. (ZACHARIAS, 2003)
A criança, para Cousinet, deveria ser como ela é, procurando sempre valorizar a autoconfiança. 
Não avaliava o desempenho dos alunos com resultados pré-determinados, nem lhes atribuía 
notas. Os trabalhos dos alunos eram aceitos na forma que eles conseguiam realizá-los, não os 
culpando, caso não cumprissem as atividades sugeridas. Defendeu a pedagogia da aprendizagem, 
criticando os métodos didáticos da época e os saberes factuais e informativos. O que realmente 
tinha significado eram os saberes operacionais já que o trabalho em grupo permitia a realização 
de descobertas coletivas. 
Cousinet defendeu como imprescindível a liberdade da construção do saber, não se ocupando dos 
centros de interesses da mesma forma que Decroly. O professor não acompanhava um processo 
16
CAPÍTULO 1 • EDUCAçãO MAtEMátICA: BREvE PERCURSO HIStÓRICO E SUA IMPORtÂnCIA nO EnSInO
organizado de conteúdos, não havendo horários fixos para as disciplinas, separação entre elas, 
notas ou classes. O que propunha era a liberdade de aprender, enfatizando o trabalho em grupo 
no qual os alunos se organizavam livremente, escolhendo os parceiros, desenvolvendo atividades 
e adquirindo capacidades para avaliá-las. Portanto, sua pedagogia foi concebida centrada no 
aluno sendo sujeito do próprio conhecimento,decidindo o que e quando aprender e, ao mesmo 
tempo, assimilando o erro e corrigindo os próprios trabalhos.
 » Anísio Spínola Teixeira (1900-1971) nasceu em Caetité, Bahia, dedicando praticamente 
a vida inteira à escola. Precursor da Escola Nova no Brasil, analisou e percebeu de forma 
crítica os contextos econômico, social e cultural de seu tempo, sugerindo mudanças de 
valores, e, como consequência, novas perspectivas para a sociedade brasileira. Adverso 
ao tradicionalismo na educação, buscou uma educação inclusiva, ampliando o ingresso 
de todos à escola.
Filósofo e educador, foi um importante seguidor de Dewey, compreendendo a sociedade em 
constante transformação, tanto social como econômica e política, e considerando a escola uma 
instituição formadora de indivíduos aptos à reflexão e prontos para inserir-se na sociedade. Em 
decorrência de uma educação escolarizada, o indivíduo se tornaria um cidadão democrático, 
consciente da ocasião mais favorável para a concretização de uma sociedade mais justa e 
igualitária – a sociedade democrática.
Acreditava que apenas conhecendo os vários aspectos da realidade escolar, em toda sua extensão, 
poderíamos perceber uma mudança significativa na formação dos professores. “No entanto, 
a expressão conhecimento da realidade escolar, como tantas outras do discurso educacional 
renovador, foi aos poucos se transformando apenas em um slogan educacional para a maioria 
dos profissionais da educação brasileira”.
Pensador crítico, professor ou homem público a serviço da Educação, Anísio Teixeira contribuiu 
e ainda contribui significativamente no meio acadêmico, no Brasil, uma vez que lutou “pela 
reconstrução da educação nacional, tendo como referência a democracia e a ciência. (...) 
Antes de recusar Anísio, é preciso ler sua obra, seguindo o seu próprio exemplo: criticamente”. 
(ZACHARIAS, 2003)
 » Carl Ransom Rogers (1902-1987) nasceu em Oak Park, Illinois, EUA, destacando-se 
pioneiro do desenvolvimento da chamada Psicologia Humanista em que aplicou 
à Educação princípios da Psicologia Clínica. Rogers defendeu uma aprendizagem 
significativa 
Acreditava que o indivíduo só aprende o que é necessário, portanto, uma das características 
do método é ser não diretivo, já que o professor não interfere nem no campo afetivo nem no 
campo cognitivo do educando. “Na verdade, Rogers pressupõe que o professor dirija o estudante 
às próprias experiências, para que, a partir delas, o aluno se autodirija”, (ZACHARIAS, 2003), 
17
EDUCAçãO MAtEMátICA: BREvE PERCURSO HIStÓRICO E SUA IMPORtÂnCIA nO EnSInO • CAPÍTULO 1
sugerindo, como elementos atuantes na construção do conhecimento, a sensibilização, a 
afetividade e a motivação.
O professor deve reconhecer o aluno como ele é, já que a aceitação condicional do outro 
consiste numa aprendizagem autêntica. Deve, também, ser um facilitador da aprendizagem 
significativa, fazendo parte do grupo e não estando acima dele, e também ter como objetivo as 
relações interpessoais e intergrupais. Por conseguinte, aluno e professor são “corresponsáveis 
pela aprendizagem, não havendo avaliação externa”, (ZACHARIAS, 2003) e incentivando a 
autoavaliação.
Ao suscitar tantas questões polêmicas, Rogers com sua teoria idealista, 
mostra-se presente nos dias de hoje e deixa claro a importância e atualidade 
da mesma, quando enfatiza aspectos como: “o desejo de mudança, a intenção 
de realização de algo e a preparação da opinião pública para as mudanças 
possíveis”. (ZACHARIAS, 2003)
 » Jerome Bruner, influente psicólogo do século XX, nasceu em Nova York em 1915. “É 
um cognitivista e, em decorrência, acredita que a aprendizagem é um processo que 
ocorre internamente, mediado cognitivamente, e não um produto direto do ambiente, 
das pessoas ou de fatores externos àquele que aprende” (ZACHARIAS, 2003). Para ele, 
psicologia cultural, psicologia do povo, significância e narrativa são conceitos-chave 
que sustentam suas proposições educacionais. 
Criou a teoria da descoberta, em que a curiosidade do aluno deve ser instigada pelo professor, 
tentando explicar como a criança, nas diversas fases da vida, representa o mundo com o qual 
ela interage. A própria representação do mundo pela criança, para Bruner, apresenta três níveis: 
“enativo (a criança representa o mundo – objeto – pela ação que exerce sobre eles), icônico (já 
representa mentalmente os objetos) e simbólico (utiliza símbolos, sem necessidade de imagens 
ou ação)”. (ZACHARIAS, 2003)
O método de Bruner sugere um professor que apresente questionamentos ao aluno, quando 
esse já acomodou os conhecimentos adquiridos. Não acredita na prontidão, pois a criança 
pode aprender qualquer coisa em qualquer fase do desenvolvimento, uma vez que considera 
essencial a interação entre criança, assunto e modo como ele é fornecido. Apresenta os seguintes 
pressupostos: “estruturação das matérias de ensino, sequência de apresentação das matérias, 
motivação (predisposição para aprender), reforço e um professor com profundos conhecimentos 
do conteúdo a ser ensinado”. (ZACHARIAS, 2003)
A descoberta, para Bruner, não se restringe somente ao encontro de fatos novos, no entanto, 
recorre a diversas estratégias na busca do conhecimento pela própria criança, podendo:
 » liberar o estudante de expectativas quanto à pré-existência de uma resposta correta, 
situação em que nada haveria para ser descoberto, ativando deste modo todo o potencial 
intelectual disponível;
18
CAPÍTULO 1 • EDUCAçãO MAtEMátICA: BREvE PERCURSO HIStÓRICO E SUA IMPORtÂnCIA nO EnSInO
 » libertar o aluno do controle por meio de recompensas ou do castigo imediato e, assim, 
provocar uma verdadeira motivação para o trabalho;
 » permitir o desenvolvimento pessoal de processos de descoberta que podem ser 
generalizados para as mais variadas situações;
 » favorecer a invocação de informações, já que elas foram retidas dentro de uma estrutura 
cognitiva construída pela própria pessoa. (ZACHARIAS, 2003)
Para tanto, o educando é colocado numa situação funcional e visto como construtor da própria 
aprendizagem, levando em conta ser o professor aquele que lhe fornece desafios, instiga a 
capacidade de raciocinar, não sendo um mero transmissor de ideias e reprodutor de respostas 
prontas. Portanto, Bruner, com sua obra e coletâneas de artigos, procura assinalar alguns aspectos 
que minimizem a crise educacional no mundo, bem como discutir que visão, nós, educadores, 
temos em relação ao processo educacional que se encontra inserido em culturas tão diversificadas.
 » Paulo Freire (1921-1997) nasceu em Recife, Pernambuco. Respeitado mundialmente, é 
considerado um dos maiores pedagogos dos tempos atuais. Superou o meio acadêmico 
e institucional, e inserido “nos movimentos de educação popular do início dos anos 
sessenta, foi um dos fundadores do Movimento de Cultura Popular (MCP) do Recife, e 
nele trabalhou ao lado de outros intelectuais e do povo”. (FREIRE, 2006)
Escreveu diversas obras; recebeu inúmeras homenagens pela prática educativa; ganhou centenas 
de prêmios; medalhas e condecorações; considerado cidadão honorário de algumas cidades 
brasileiras e outorgado “Doutor Honoris Causa” por instituições brasileiras e internacionais. 
Na obra, Pedagogia do oprimido (1987), faz referência a dois tipos de Pedagogia. A pedagogia 
dos dominantes, uma vez que a educação existe como prática da dominação, e a pedagogia do 
oprimido, na qual a educação surge como prática da liberdade. Escreveu, também, Pedagogia 
da Autonomia: saberes necessários à prática educativa (1996), livro no qual defende um discurso 
teórico aliado à prática, exigindo reflexão crítica e experiente. Para ele, “educar é construir, é 
libertar o ser humano das cadeias do determinismo neoliberal (...) é um ensinar a pensar certo 
(...) é um ato comunicante, coparticipado, de modo algum produto de uma mente burocratizada”, 
destacando, incessantemente, que educar não é simplesmente transferir conhecimentos, e sim 
“conscientização e testemunho de vida”, (SERPA;SERPA, 2003) não sendo eficaz dessa forma. 
Os autores ainda explicam que:
(...) o educador que castra a curiosidade do educando em nome da eficácia 
da memorização mecânica do ensino dos conteúdos, tolhe a liberdade do 
educando, a sua capacidade de aventurar-se. Não forma, domestica (...) A 
autonomia, a dignidade e a identidade do educando tem de ser respeitada, 
caso contrário, o ensino tornar-se-á inautêntico, palavreado vazio e inoperante. 
(SERPA; SERPA, 2003)
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EDUCAçãO MAtEMátICA: BREvE PERCURSO HIStÓRICO E SUA IMPORtÂnCIA nO EnSInO • CAPÍTULO 1
Paulo Freire, educador, professor e filósofo, durante toda a vida, buscou alcançar os problemas da 
educação brasileira e mundial, propondo um método educacional em que todos os educadores 
atingissem os seguintes pontos:
 » rigorosidade metódica e a pesquisa;
 » ética e estética;
 » competência profissional;
 » respeito pelos saberes do educando e o reconhecimento da identidade cultural;
 » rejeição de toda e qualquer forma de discriminação;
 » reflexão crítica da prática pedagógica;
 » corporeificação;
 » saber dialogar e escutar;
 » querer bem aos educandos;
 » ter alegria e esperança;
 » ter liberdade e autoridade;
 » ter curiosidade e
 » ter consciência do inacabado ... (SERPA; SERPA, 2003)
Percebemos, em relação às obras de Freire publicadas em quase todo o mundo, algumas até 
traduzidas em mais de 20 idiomas, como, por exemplo, A Pedagogia do oprimido (1987), o quanto 
permanece atual o seu pensamento e, também, o quanto tem prestado para “fundamento teórico 
de trabalhos acadêmicos e inspirado práticas em diversas partes do mundo, desde os mocambos 
do Recife às comunidades barakumins do Japão, passando pelas mais consagradas instituições 
educacionais do Brasil e do exterior.” (FREIRE, 2006)
Segundo sua esposa, Freire “gostaria de ter sido cantor famoso ou eminente gramático da língua 
portuguesa, mas ele mesmo reservou para si o direito e o privilégio de ser, reconhecidamente, 
um dos maiores educadores deste século”. (FREIRE, 2006)
Esperamos, que você, aluno, a partir do percurso histórico apresentado no capítulo 1 compreenda 
como estamos antiquados em continuar a discutir determinados assuntos sobre o Ensino de 
Matemática praticado atualmente. Já há alguns séculos se pensava a Educação como uma base 
moral, enfatizando o meio familiar, respeitando as diferenças, as dificuldades, as necessidades 
e os mecanismos evolutivos de cada aluno. Alguns teóricos enfatizam uma instrução/educação 
intelectual, outros se voltam mais para os interesses do aluno, outros interagem entre uma 
20
CAPÍTULO 1 • EDUCAçãO MAtEMátICA: BREvE PERCURSO HIStÓRICO E SUA IMPORtÂnCIA nO EnSInO
educação moral e intelectual. O importante é notarmos que todas as propostas não estão a favor 
de um ensino de mera transmissão de conteúdos, de memorização, mesmo com especificidades 
políticas e temporais.
Ao escolher os teóricos estudados neste capítulo, nossa pretensão foi apresentar reforços 
para explicar questões que ainda permanecem atuais, no processo de ensino/aprendizagem 
em Matemática. Tais discussões têm como propósito levá-lo a uma análise crítica e reflexiva 
que pretende “a adoção de uma nova postura educacional, a busca de um novo paradigma de 
educação que substitua o já desgastado ensino/aprendizagem baseado numa relação obsoleta 
de causa-efeito”. (D’AMBROSIO, 2002, p. 120)
No entanto, ainda podemos citar um grupo bem significativo de teóricos e estudiosos da 
educação que apresentam pensamentos comuns com base nas ideias que já foram e ainda são 
amplamente difundidas sobre práticas docentes no século XXI, ou seja, eles estão presentes em 
espaços, pesquisas e trabalhos que tratam de temas relacionados à educação contemporânea, 
exercendo, dessa forma, grande influência no sistema educacional. 
Por uma questão de imparcialidade, listamos os ilustres pensadores em ordem alfabética e 
esperamos que você, aluno, realize um estudo mais minucioso sobre cada um deles. São eles: 
a) António Sampaio da Nóvoa, nascido em 1954, português; Bernardo Toro, nascido em 1945, 
colombiano; César Coll Salvador, nascido em 1950, espanhol; Edgar Morin, nascido em 1021, 
francês; Emília Ferreira, nascida em 1937, argentina, mas radicada no México; Fernando Hernandez, 
nascido em 1952, espanhol; Philippe Perrenoud, nascido em 1955, suíço.
Importante
A Revista Nova Escola (2002) apresentou uma matéria sobre os novos pensadores da Educação, e além de descrever 
sobre os teóricos considerados tão admiráveis e extraordinários, ainda citou suas ideias no contexto educacional 
“É preciso substituir um pensamento que isola e separa por um pensamento que 
distingue e une.” (Morin)
“Competência em educação é mobilizar um conjunto de saberes para solucionar com 
eficácia uma série de situações.” (Perrenoud)
“Um plano curricular precisa satisfazer, de forma articulada, todos os níveis de 
funcionamento de uma escola.” (Coll)
“Só o profissional pode ser responsável por sua formação.” (Nóvoa)
“O melhor jeito de organizar o currículo escolar é por projetos didáticos.” 
(Hernández)
“A educação tem de servir a um projeto da sociedade como um todo.” (Toro)
“Um dos maiores danos que se pode fazer a uma criança é levá-la a perder a 
confiança em sua própria capacidade de pensar.” (Emília Ferreiro)
21
EDUCAçãO MAtEMátICA: BREvE PERCURSO HIStÓRICO E SUA IMPORtÂnCIA nO EnSInO • CAPÍTULO 1
Ter em mente que tanto o ensino de Matemática, quanto o ensino de outras ciências são motivos 
de preocupações para alunos, professores e pais, comprova o quanto a grande maioria dos 
educadores necessita voltar para si, refletir e perceber que agora é o momento de ter atitudes que 
demonstrem como devemos melhorar a qualidade do próprio trabalho, nos responsabilizando 
por mudanças e reestruturando os programas de ensino. “É preciso ter presente que o objetivo de 
todo ensino, seja de Matemática, seja de qualquer outra disciplina, é transmitir ideias, estimular 
o pensamento independente e a criatividade! (ÁVILA, 1995, p. 2)
Apresentar este breve histórico com base em alguns teóricos permite, também, que você, aluno, 
reflita na importância de inserir, ao trabalhar com determinados conceitos matemáticos, a 
História da Matemática. Perceba que a proposta feita não é para pedir que os alunos pesquisem 
ou adquiram a dimensão histórica em suas aulas. Nem que obtenham informações ou fatos 
históricos, simplesmente. Mas associar a história ao contexto em que o aluno está inserido, 
buscando no passado informações que os façam refletir, fundamentar ou construir outro 
significado para, então, reconhecer a “História da Matemática como produto social, cultural e 
científico da humanidade”. (MENDES, 2009, p. 87)
Sintetizando
Vimos até agora:
 » Neste capítulo tivemos a oportunidade de estudar um pouco sobre o posicionamento de teóricos da Educação, 
desde Comenius (1592-1670), e verificar que, apesar de já estarmos séculos à frente, o ensino mantém 
características ultrapassadas, perpetuando uma prática que impede que as crianças evoluam cognitivamente, de 
modo criativo e crítico. 
 » Fechamos o capítulo 1 com a esperança de que os futuros professores repensem em qual ou quais metodologias de 
ensino é preciso investir para formarmos pessoas críticas, questionadoras e que possam praticar a cidadania com 
consciência.
22
Introdução 
Este capítulo apresenta quais conhecimentos matemáticos as crianças entre 0 e 6 anos podem 
e devem adquirir com base em atividades que permitem explorar determinadas noções 
imprescindíveis para que o senso matemático infantil se desenvolva. Na sequência, fundamentamos 
como o conhecimento é construído pelas crianças de acordo com algumas correntes teóricas, 
pois é nosso propósito e desafio garantir que nosso aluno possa conhecer, crescer e se desnvolver.
Objetivos 
 » Apresentar estruturas cognitivas que operam na construção de conceitos matemáticos 
em crianças entre 0 e 6 anos. 
 » Analisar os processos de desenvolvimento dosenso matemático na Educação Infantil 
e nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental.
Crianças de 0 até 6 anos: que conhecimentos matemáticos podem e 
devem construir? 
Para podermos iniciar o processo de desenvolvimento do senso matemático infantil, 
embasamo-nos em Lorenzato (2006), que defende aspectos conceituais, tendo por objetivo 
enfatizar “o quê”, “por quê” e “para quê” ensinar noções pré-matemáticas.
No entanto, é preciso, inicialmente, observar que esse importante trabalho 
de exploração matemática a ser proposto às crianças sofre duas diferentes 
contribuições negativas, ambas externas a elas, mas que podem lhes afetar 
fortemente em seu desenvolvimento: a primeira vem dos próprios professores, 
que não incluem no processo de exploração matemática inúmeras atividades, por 
julgá-las muito simples e, portanto, desnecessárias ou inúteis à aprendizagem; 
a segunda vem dos pais, que cobram da pré-escola o ensino dos numerais e 
até mesmo de algumas “continhas”. Atender a esse pedido é provavelmente 
2
CAPÍTULO
EStRUtURAS COgnItIvAS E A 
COnStRUçãO DE COnCEItOS 
MAtEMátICOS
23
EStRUtURAS COgnItIvAS E A COnStRUçãO DE COnCEItOS MAtEMátICOS • CAPÍTULO 2
dar à criança um péssimo começo para o longo caminho da aprendizagem do 
importante significado que a matemática terá em sua vida; seria fazer como o 
pedreiro que se põe apressadamente a construir as paredes de uma casa sem ter 
preparado o alicerce (LORENZATO, 2006, p. 23).
Dessa forma, o referido teórico apresenta uma proposta cuja questão essencial é começar por 
onde as crianças se encontram e não por onde os educadores gostariam que elas estivessem. 
Com isso, ele estabelece dois aspectos fundamentais: aproveitar os conhecimentos e habilidades 
que as crianças são portadoras e explorar três campos matemáticos – espacial, numérico e das 
medidas (que serão abordados com mais ênfase no capítulo 3).
Vamos iniciar observando as noções apontadas no Quadro 1 que, a princípio, parecem simples, 
mas são fundamentais e imprescindíveis para que os professores insiram, revisem verbalmente, 
utilizem diversas situações, trabalhem com materiais manipuláveis ou por meio de desenhos 
ou contando histórias. O que importa é tratar cada noção de maneira bem diversificada e, com 
isso, irá facilitar que a criança adquira a percepção do significado de cada uma delas. 
Quadro 1. noções elementares.
Fonte: adaptado de Lorenzato (2006).
O autor ainda sugere utilizar questões que irão favorecer a compreensão dessas noções. O Quadro 
2 ilustra as possíveis indagações a serem feitas pelo professor.
Importante
Noções 
Neste momento é de extrema importância atentar que as noções apresentadas no Quadro 1 devem ser trabalhadas 
exaustivamente com as crianças da Educação Infantil, mesmo que entendam que são noções básicas, simples ou 
desnecessárias (é possível relacioná-las com qualquer situação do cotidiano). 
Este é o ponto, caso contrário, estarão lesando o desenvolvimento do senso matemático infantil. E, ainda, essas 
noções devem estar associadas diretamente com os conceitos físico-matemáticos (Quadro 3) e com os processos 
mentais básicos (Quadro 4), evitando, dessa forma, que o processo de ensino e aprendizagem da Matemática fique 
comprometido, pois as crianças terão enorme dificuldade em aprender conceitos de números, contagem e tanto 
outros presentes na alfabetização Matemática.
24
CAPÍTULO 2 • EStRUtURAS COgnItIvAS E A COnStRUçãO DE COnCEItOS MAtEMátICOS
Quadro 2. Questões.
Fonte: adaptado de Lorenzato (2006).
Independente de qual noção ou campo matemático trabalhado com as crianças, eles sempre 
estarão relacionados diretamente com os conceitos físico-matemáticos, representados no Quadro 
3. E, para isso, é de extrema importância que o professor entenda e se aproprie desses conceitos; 
caso contrário, não se sentirá seguro e, tanto seu trabalho quanto o propósito de permitir a 
exploração matemática pelas crianças, ficará prejudicado. 
Quadro 3. Conceitos físico-matemáticos.
Fonte: adaptado de Lorenzato (2006).
Lorenzato (2006), então, nos apresenta sete processos mentais básicos que devem permear a 
prática do professor que deseja que a exploração matemática seja realizada pela criança. Para ele, 
“se o professor não trabalhar com as crianças esses processos, elas terão grandes dificuldades para 
aprender número e contagem, entre outras noções” (p. 25). E ainda enfatiza que sem o domínio 
dos processos apresentados, provavelmente a aprendizagem ocorrerá sem significado algum 
ou compreensão para as crianças. Tais processos se referem tanto a objetos quanto a situações 
ou ideias. Vamos conhecê-los:
Quadro 4. Processos mentais básicos.
 Fonte: adaptado de Lorenzato (2006).
25
EStRUtURAS COgnItIvAS E A COnStRUçãO DE COnCEItOS MAtEMátICOS • CAPÍTULO 2
Já classificados no Quadro 4 e para que possamos compreender melhor as diversas formas de 
relacionar esses processos com as noções citadas no Quadro 1 juntamente com os conceitos físico-
matemáticos listados no Quadro 3, o autor explica e ainda sugere alguns exemplos sobre cada 
processo mental que, ao ser colocado em prática, permite que o professor analise e identifique 
como cada criança está evoluindo, aprendendo e pensando. Vejamos:
1. Correspondência: é o ato de estabelecer a relação “um a um”. Exemplos: um prato 
para cada pessoa; cada pé com seu sapato; a cada aluno, uma carteira. Mais tarde, a 
correspondência será exigida em situações do tipo: a cada quantidade; um número 
(cardinal), a cada número, um numeral, a cada posição (numa sequência ordenada), 
um número cardinal.
2. Comparação: é o ato de estabelecer diferenças ou semelhanças. Exemplos: esta bola 
é maior que aquela; moro mais longe que ela; somos do mesmo tamanho? Mais tarde, 
virão: Quais destas figuras são retangulares?; Indique as frações equivalentes.
3. Classificação: é o ato de separar em categorias de acordo com semelhanças ou diferenças. 
Exemplos: na escola, a distribuição dos alunos por série; arrumação de mochila ou 
gaveta; dadas várias peças triangulares e quadriculares, separá-las conforme o total de 
lados que possuem.
4. Sequenciação: é o ato de fazer suceder a cada elemento um outro sem considerar a 
ordem entre eles. Exemplos: chegada dos alunos à escola; entrada de jogadores de 
futebol em campo; compra em supermercado; escolha ou apresentação dos números 
nos jogos, loto, sena e bingo.
5. Seriação: é o ato de ordenar uma sequência segundo um critério. Exemplos: fila de 
alunos, do mais baixo ao mais alto; lista de chamada de alunos; numeração das casas 
nas ruas; calendário. O modo de escrever números (por exemplo, 123 significa uma 
centena de unidades, mais duas dezenas de unidades, mais três unidades e, portanto, 
é bem diferente de 321).
6. Inclusão: é o ato de fazer abranger um conjunto por outro. Exemplos: incluir as ideias 
de laranjas e bananas em frutas; meninos e meninas, em crianças; varredor, professor e 
porteiro, em trabalhadores na escola; losangos, retângulos e trapézios, em equiláteros.
7. Conservação: é o ato de perceber que a quantidade não depende da arrumação, forma 
ou posição. Exemplos: uma roda grande e outra pequena, ambas formadas com a mesma 
quantidade de crianças; um copo largo e outro estreito, ambos com a mesma quantidade 
de água; uma caixa com todas as faces retangulares, ora apoiada sobre a face menor, ora 
sobre outra face, conserva a quantidade de lados ou de cantos, as medidas e, portanto, 
seu perímetro, área e volume (LORENZATO, 2006, pp. 25-26).
26
CAPÍTULO 2 • EStRUtURAS COgnItIvAS E A COnStRUçãO DE COnCEItOS MAtEMátICOS
Compreendam que todos os processos mencionados podem e devem interagir com qualquer 
outra situação do dia a dia, e nas salas de aula, devem ser trabalhados de forma simples e a 
mais natural possível, não se esquecendo de mesclá-los e integrá-los, uma vez que “é nessa 
integração que reside o verdadeiro favorecimento didático para o progresso educacional da 
criança” (ibidem, p. 27). 
Assim, o professor de EducaçãoInfantil precisa internalizar a responsabilidade de criar e conservar 
o espaço da sala de aula, tanto nos aspectos físico, afetivo e social, que permita ou favoreça 
chegar aos objetivos pedagógicos traçados. O mesmo autor, com o propósito de contribuir e 
facilitar o planejamento do docente que atua na Educação Infantil, identificou alguns assuntos 
imprescindíveis e os listou em itens para pôr em prática ao trabalhar com crianças. São eles:
 » Crianças gostam e necessitam de carinho, cuidado e atenção.
 » É preciso gostar do que faz para ser bem-sucedido.
 » É preciso ter uma formação profissional adequada.
 » É importante manter-se atualizado.
 » É importante refletir sobre sua própria prática, trocando, sempre que possível, pontos 
de vista com seus pares.
 » É fundamental conhecer os objetivos de formação recomendados pela escola em que 
trabalha, bem como os objetivos de cada atividade a ser proposta; e mais, é preciso 
conhecer as especificidades dos assuntos que as crianças devem aprender.
 » É necessário, cada vez mais, diminuir a distância entre a Educação Infantil e o Ensino 
Fundamental, tanto em relação aos processos quanto em Relação aos conhecimentos 
e técnicas;
 » A experiência de vida pré-escolar caracteriza-se por uma forte e cotidiana interação da 
criança com a língua materna, a qual transcorre de forma natural, lenta e gradual. Assim 
deve-se dar também o desenvolvimento da percepção matemática, tal que a criança só 
fale ou escreva aquilo que tiver significado para ela. Justamente por isso, é importante 
observar que a interação da criança com a Matemática, nessa etapa da vida, não costuma 
ser tão intensa quanto aquela tida com a língua materna. (ibidem, p. 20)
Propor atividades que envolvam diversos materiais concretos, jogos (que sejam pedagogicamente 
planejados), resolução de problemas que favoreçam a elaboração de noções matemáticas 
de número, de medida e de geometria, com significado pela própria criança, é fundamental 
para desenvolver o pensamento matemático, uma vez que é a própria criança que realiza a 
aprendizagem, “pela reflexão que faz com o acompanhamento e a orientação do professor” 
(LORENZATO, 2006, p. 54).
27
EStRUtURAS COgnItIvAS E A COnStRUçãO DE COnCEItOS MAtEMátICOS • CAPÍTULO 2
Dessa forma, surge um questionamento muito comum: Como a criança constrói seu conhecimento? 
Várias teorias explicam como ocorre o conhecimento e, é com base em teóricos que defendem 
uma concepção interacionista que discutiremos, a seguir, como construir conceitos matemáticos.
A construção do conhecimento matemático
Antes de considerarmos quais conhecimentos matemáticos as crianças necessitam adquirir, 
é de suma importância que analisemos como o desenvolvimento cognitivo do ser humano se 
promove e, consequentemente, como as crianças constroem seus conhecimentos. Segundo 
Goulart (2002, p. 13), a origem e a evolução do conhecimento podem ser explicadas, atualmente, 
por três vertentes diferentes. Alguns teóricos, como Konrad Lorenz e Noam Chomsky, defendem 
o inatismo e concordam que “o conhecimento é pré-formado, ou seja, já nascemos com as 
estruturas do conhecimento”.
Figura 2. Inatismo, Empirismo, Construtivismo.
Fontes: <http://letras-unibh.blogspot.com.br/2012/09/o-inatismo-maturacionista-o-inatismo.html>; <https://gingkoapp.
com/tree1-sam-1.html>; <http://ohistoriante.com.br/construtivismo.htm>. Acesso em: 21/4/2017.
No empirismo, de forma inversa, acreditam que “o conhecimento tem origem e evolui a partir 
da experiência que o sujeito vai acumulando” (ibidem). Podemos citar J. B. Watson e B. F. Skinner 
como seus adeptos mais famosos.
Outro modelo teórico é o construtivismo, em que adeptos como Piaget, Wallon, Vygotsky, Leontiev 
e Luria admitem que “o conhecimento resulta da interação do sujeito com o ambiente” (ibidem, 
p. 14). Partindo dessa perspectiva, Miranda (2000, pp. 23-24), define o construtivismo como “uma 
dimensão constitutiva e, portanto, um aspecto não casual, não acessório e não secundário, das 
reformas educacionais que se processam, na atualidade, em vários países do mundo”. Nesse 
contexto, temos que os próprios PCNs (1997, p. 44) consideram que,
A abordagem construtivista afirma o papel mediador dos padrões culturais, para 
integrar, num único esquema explicativo, questões relativas ao desenvolvimento 
individual e à pertinência cultural, à construção de conhecimento e à interação 
social. Considera o desenvolvimento pessoal como o processo mediante o qual o 
ser humano assume a cultura do grupo social a que pertence. Processo no qual o 
28
CAPÍTULO 2 • EStRUtURAS COgnItIvAS E A COnStRUçãO DE COnCEItOS MAtEMátICOS
desenvolvimento pessoal e a aprendizagem da experiência humana culturalmente 
organizada, ou seja, socialmente produzida e historicamente acumulada, não se 
excluem nem se confundem, mas interagem. Daí a importância das interações 
entre crianças e destas com parceiros experientes, dentre os quais destacam-se 
os professores e outros agentes educativos. Portanto, realçarmos que as teorias 
psicogenéticas possibilitaram o aprimoramento no processo da construção do 
conhecimento no ser humano, visto que “compreender os mecanismos pelos quais 
as crianças constroem representações internas de conhecimentos construídos 
socialmente, em uma perspectiva psicogenética, traz uma contribuição para 
além das descrições dos grandes estágios de desenvolvimento”. (PCN, 1997, p. 33)
Assim, com base em três teóricos que defendiam o modelo construtivista, cada qual com 
características que se complementam, apresentamos os principais aspectos de seus estudos que 
explicavam como ocorria o desenvolvimento do conhecimento humano. 
Destacamos Piaget como o primeiro teórico escolhido, pois declarou que o conhecimento vem 
da interação do indivíduo com o meio. Já Vygotsky surge em segundo, uma vez que conferiu um 
imenso valor à interação social no processo de construção das funções psicológicas humanas. 
Para enfatizar a importância da emoção, nos deparamos com Wallon, terceiro teórico selecionado, 
cujas ideias contribuíram para o pensamento interacionista que considerava vários aspectos do 
sujeito – afetivo, cognitivo e motor. 
Após muitas pesquisas e estudos entendemos que não existe uma única teoria que melhor 
responda a todos os aspectos dos processos de desenvolvimento e aprendizagem. Os teóricos 
aqui citados fornecem subsídios necessários para que compreendamos a complexidade do 
sujeito e a forma como ele aprende e se desenvolve, possibilitando para nós, educadores, uma 
atuação pedagógica comprometida, integrada e contextualizada à sociedade em que vivemos.
Jean Piaget
De acordo com Goulart (2002), Piaget evidencia três aspectos distintos do desenvolvimento 
psíquico, analisados sob a ótica da relação que um sujeito estabelece com o outro, perpassando 
em um primeiro momento pela anomia (ausência de regras), depois pela heteronomia (regras 
impostas pelo outro) e, por último, chegando à autonomia. São eles:
 » Funções do conhecimento: envolvendo o pensamento, as percepções e a construção 
de conceitos.
 » Funções de representação da realidade: envolvendo linguagem, jogo, imitação, desenho. 
 » Funções afetivas: mola propulsora do desenvolvimento cognitivo.
O desenvolvimento cognitivo, para Piaget, abrange quatro estágios: sensório-motor, 
pré-operatório, operatório concreto e das operações formais. Em cada estágio, o conhecimento 
29
EStRUtURAS COgnItIvAS E A COnStRUçãO DE COnCEItOS MAtEMátICOS • CAPÍTULO 2
é inserido em uma estrutura. Identificam-se as funções constantes, “comum a todas as idades. 
Em todos os níveis, a ação supõe sempre um interesse que a desencadeia, podendo-se tratar de 
uma necessidade fisiológica, afetiva ou intelectual” (PIAGET, 1999, p. 14). Paralelas às funções 
constantes, percebe-se as estruturas variáveis – maneiras de a atividade mental se organizar – 
modos sucessivos para atingir o equilíbrio. Piaget descreve que cada estágio, composto pelas 
estruturas que o determinam,“possui uma forma particular de equilíbrio, efetuando-se a evolução 
mental no sentido de uma equilibração sempre mais completa” (ibidem, p. 15).
Ainda que a sequência dos estágios instituída por Piaget evolua de forma ampla e contínua, 
podem ocorrer pequenas alterações quanto à idade estipulada em cada um. Como ele mesmo 
afirma, “o desenvolvimento mental é uma construção contínua, comparável à edificação de um 
grande prédio que, à medida que se acrescenta algo, ficará mais sólido”. (PALANGANA, 2001, p. 14) 
Portanto, privar a criança de desafios possibilita um atraso ou progresso das etapas de 
desenvolvimento. E, por conseguinte, Piaget descreve como a criança e o adolescente evoluem 
pelos quatro estados, que ele próprio chama de fases de transição (PIAGET, 1999). 
No primeiro estágio, denominado sensório-motor (0 a 2 anos), a criança faz uso das percepções 
sensoriais (sucção) para explorar o mundo que a rodeia, ou seja, a criança explora o meio físico 
por meio de seus esquemas motores, por exemplo: pegar, jogar, morder. Nessa fase, a criança 
vai desenvolvendo a noção do seu eu, conhecendo seu corpo e percebendo que faz parte do 
contexto. Também é marcado pela construção prática das noções de objeto, espaço, causalidade 
e tempo. (MACEDO, 1991)
O segundo estágio do desenvolvimento cognitivo é definido por Piaget como pré-operatório 
ou objetivo simbólico (2 a 6/7 anos). A criança já é capaz de manusear esquemas simbólicos – 
desenho, jogo, linguagem – só conseguindo ver o mundo a partir dela mesma, assim é também 
conhecido como o estágio da Inteligência Simbólica. Macedo (1991) ainda ressalta que a atividade 
sensório-motora não está esquecida ou abandonada, mas refinada e mais sofisticada. Se 
oferecermos duas massinhas iguais em formatos diferentes, por exemplo, uma em forma de bola 
e a outra em forma de salsicha, a criança negará que a quantidade de massas continue igual, já 
que os formatos são diferentes. Portanto a criança não estabelece relações entre as situações 
apresentadas.
Podemos citar alguns aspectos da criança no referente estágio como:
 » É egocêntrica, centrada em si mesma, e não consegue se colocar, abstratamente, no 
lugar do outro. 
 » Não aceita a ideia do acaso e tudo deve ter uma explicação (é a fase dos “porquês”). Já 
pode agir por simulação, “como se”.
 » Possui percepção global sem discriminar detalhes. 
 » Deixa-se levar pela aparência sem relacionar fatos.
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CAPÍTULO 2 • EStRUtURAS COgnItIvAS E A COnStRUçãO DE COnCEItOS MAtEMátICOS
O estágio operatório concreto (6/7 até 11/12 anos) é o que vem logo a seguir. A criança já é capaz 
de executar operações concretas, conseguindo fazer relações e abstrair dados da realidade. 
Desenvolve também a capacidade de representar uma ação no sentido inverso de uma anterior, 
anulando a transformação observada (reversibilidade).
Durante o desenvolvimento mental da criança, aparecem operações lógicas e operações 
infralógicas. “Umas são indispensáveis ao desenvolvimento das outras” (GOULART, 2002, p. 41). 
Nas operações lógicas surgem as operações de classificação, seriação e compensação simples. 
As operações infralógicas são resultantes da “construção de invariantes físicas (substância, peso, 
volume) e de invariantes espaciais (conservação da superfície do comprimento, do volume, 
estabelecimento de horizontais e verticais etc.)” (GOULART, 2002, p. 41).
O terceiro estágio é de suma importância para o desenvolvimento mental da criança, pois 
marca o início da escolaridade. Novos modos de organização e construção do pensamento vão 
aparecendo e complementando os do período anterior. Segundo Piaget (1999, p. 42):
(...) a criança de sete anos começa a se liberar de seu egocentrismo social e 
intelectual, tornando-se, então, capaz de novas coordenações, que serão da 
maior importância, tanto para a inteligência quanto para a afetividade. Para a 
inteligência, trata-se do início da construção lógica, que constitui, precisamente, 
o sistema de relações que permite a coordenação dos pontos de vista entre 
si. Estes pontos de vista são tantos aqueles que correspondem a indivíduos 
diferentes, como aqueles correspondentes a percepções ou intuições sucessivas 
do mesmo indivíduo. Para a afetividade, o mesmo sistema de coordenações 
sociais e individuais produz uma moral de cooperação e de autonomia pessoal, 
em oposição à moral intuitiva de heteronomia característica das crianças.
O quarto e último estágio do desenvolvimento cognitivo é definido por Piaget como estágio 
das operações formais (11/12 anos até a vida adulta). O adolescente desenvolve, agora, a 
capacidade de raciocinar sobre hipóteses e ideias abstratas, utilizando, portanto, o pensamento 
hipotético-dedutivo “e, com ele, a constituição de uma lógica “formal”, quer dizer, aplicável a 
qualquer conteúdo” (ibidem, p. 107). Tem como fundamental particularidade a distinção entre 
o real e o possível.
Lev Semynovitch vygotsky
A obra vygotskiana apresentou significativo amparo teórico dos filósofos Karl Marx e Friedrich 
Engels. “Como Marx e Engels, Vygotsky acredita que o homem não é apenas um produto de 
seu meio, ele é também um sujeito ativo no movimento que cria este meio, esta realidade” 
(PALANGANA, 2001, p. 121). Para ele, o desenvolvimento da criança é produto de instituições 
sociais e sistemas educacionais, como família, escola, igreja, que ajudam a construir o próprio 
pensamento e descobrir o significado da ação do outro e da própria ação.
31
EStRUtURAS COgnItIvAS E A COnStRUçãO DE COnCEItOS MAtEMátICOS • CAPÍTULO 2
Três aspectos básicos norteiam a teoria vygotskiana. O primeiro se refere à origem dos processos 
psicológicos superiores do ser humano, fundamentada nas relações socioculturais do homem 
com o mundo exterior. Tem como base biológica de seu funcionamento psicológico o cérebro, 
entendido como “um sistema aberto, de grande plasticidade, cuja estrutura e modos de 
funcionamento são moldados ao longo da história da espécie e do desenvolvimento individual” 
(OLIVEIRA, 1997, p. 24).
O segundo aspecto diz respeito à relação do homem com o mundo como uma relação mediada 
por sistemas simbólicos – instrumentos e signos. As bases dessa mediação, que se fundamentam 
dentro de um contexto sócio-histórico, segundo Rego (2002, p. 43), são imprescindíveis, pois “é 
através dos instrumentos e signos que os processos de funcionamento psicológico são fornecidos 
pela cultura. É por isso que Vygotsky confere à linguagem um papel de destaque no processo de 
pensamentos”.
O terceiro aspecto “postula que a análise psicológica deve ser capaz de conservar as características 
básicas dos processos psicológicos, exclusivamente humanos” (ibidem). A esse respeito, Palangana 
(2001, pp. 96-97) explica que:
Uma vez definido o método, Vygotsky empreende uma série de pesquisas com 
o propósito de estudar os aspectos tipicamente humanos do comportamento e 
elaborar hipóteses sobre como essas características se formam ao longo da história 
dos homens e de como se desenvolvem durante a vida de um indivíduo. A questão 
central para ele consiste em explicar como a maturação física e a aprendizagem 
sensório motora interagem com o ambiente, que é histórico – e em essência 
social –, de forma a produzir as funções complexas do pensamento humano. 
(...) Os fatores biológicos preponderam sobre os sociais apenas no início da vida. 
Aos poucos, o desenvolvimento do pensamento e o próprio comportamento da 
criança passam a ser orientados pelas interações que esta estabelece com pessoas 
mais experientes. (...) De acordo com Vygotsky, as abordagens maturacionais 
tendem a supervalorizar os processos intraindividuais, minimizando o impacto 
do ambiente social no desenvolvimento cognitivo.
Convém ressaltar que para ocorrer o desenvolvimento das funções psicológicas superiores, 
restritamente humanas, é preciso que o processo de mediação simbólica aconteça, pois é 
justamente no mesmo processo que Vygotsky identifica a linguagem como principal mediador 
da relaçãoentre ser humano e mundo e com os outros indivíduos. “A linguagem é um sistema 
de signos que possibilita o intercâmbio social entre indivíduos que compartilhem desse sistema 
de representação da realidade” (REGO, 2002, p. 54).
A relação entre pensamento e linguagem é outro ponto de destaque na obra de Vygotsky. Quando 
ele analisa as origens do pensamento e da linguagem, ou seja, suas “raízes genéticas”, propõe a 
existência de quatro estágios no curso do desenvolvimento das funções psicológicas que abarcam 
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CAPÍTULO 2 • EStRUtURAS COgnItIvAS E A COnStRUçãO DE COnCEItOS MAtEMátICOS
o emprego de signos. “Sendo assim, a linguagem tanto expressa o pensamento da criança como 
age como organizadora desse pensamento” (ibidem, p. 64).
Do mesmo modo e em conformidade com Palangana (2001, pp. 104-105), descrevemos brevemente 
os quatro estágios traçados por Vygotsky:
 » Estágio natural ou primitivo – corresponde à fala pré-intelectual e ao pensamento 
pré-verbal.
 » Estágio das experiências psicológicas ingênuas – a criança domina a sintaxe da fala 
antes de dominar a sintaxe do pensamento.
 » Estágio dos signos exteriores – corresponde à fala egocêntrica e o pensamento atua 
basicamente com operações externas, das quais a criança se apropria para resolver 
problemas internos.
 » Estágio de crescimento interior – interiorização do pensamento e da linguagem.
É importante destacar que, para Vygotsky, esses estágios de desenvolvimento cognitivo não 
possuem caráter universal. Reconhecendo a imensa diversidade nas condições histórico-sociais 
em que as crianças vivem, ele acredita que as oportunidades abertas para cada uma delas são 
muitas e variadas, enfatizando, mais uma vez, a relevância do social na formação do pensamento. 
Do ponto de vista vygotskyano, não se pode falar em uma sucessão rígida de estágios, mas, sim, 
em coexistência de fases a depender das condições acima referidas (ibidem, p. 105).
Na concepção de Vygotsky, a aprendizagem impulsiona, possibilita e movimenta o processo 
de desenvolvimento, sendo a escola considerada essencial na construção do ser psicológico e 
racional. Por conseguinte, a escola, funcionando como uma instituição incentivadora de novas 
conquistas psicológicas, deve dirigir o ensino não para etapas intelectuais já alcançadas, mas, 
sim, para estágios de desenvolvimento, ainda não incorporados pelos alunos. 
A escola, num primeiro momento, deveria partir do nível de desenvolvimento real da criança (em 
relação ao conteúdo) e chegar aos objetivos da aula, ou seja, chegar ao potencial da criança. É 
atribuído ao professor o papel explícito de interferir na zona de desenvolvimento proximal (ZDP) 
dos alunos, provocando, consequentemente, avanços que não ocorreriam espontaneamente.
Observemos que o nível de desenvolvimento real abordado na teoria vygotskyana refere-se ao 
nível atual, real e efetivo da criança, ou seja, à tarefa alcançada pela criança sem a ajuda do outro. 
No entanto, o nível de desenvolvimento potencial é definido pelo nível em que a criança alcança 
uma tarefa com a ajuda de outros mais experientes (pai, professor, colega). “A distância entre 
aquilo que ela é capaz de fazer de forma autônoma (nível de desenvolvimento real) e aquilo que 
ela realiza em colaboração com outros elementos de seu grupo social (nível de desenvolvimento 
potencial) caracteriza o que Vygotsky denomina de zona de desenvolvimento proximal” (REGO, 
2002, p. 73). 
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EStRUtURAS COgnItIvAS E A COnStRUçãO DE COnCEItOS MAtEMátICOS • CAPÍTULO 2
O que ocorre para Vygotsky é que o aprendizado progride mais rapidamente do que o 
desenvolvimento. Por isso, a proposta do termo zona de desenvolvimento proximal (ZDP), em sua 
teoria, é aquela em que a escola deve atuar. É no mesmo espaço que o professor, agente mediador 
(por meio da linguagem, material cultural), intervém e auxilia na construção e elaboração de 
estratégias pedagógicas para o desenvolvimento do aluno. 
No entanto, devemos considerar que a “ZDP é uma propriedade estável e estática”, não existindo 
uma única ZDP por aluno, mas inúmeras. Do mesmo modo, temos que levar em conta que “o papel 
do professor ao oferecer ajuda ao aluno supõe criar diferentes e frequentes ZDP, permitindo que o 
pensamento do aluno vá progressivamente se modificando, em direção a tarefas progressivamente 
mais complexas” (ANTUNES, 2002, p. 30).
Henry Wallon
Wallon buscou nos princípios do materialismo dialético o referencial epistemológico para sua 
teoria, “perspectiva filosófica especialmente capaz de captar a realidade em suas permanentes 
mudanças e transformações” (GALVÃO, 2002, p. 31). No que diz respeito aos procedimentos 
metodológicos, escolheu a observação pura “como instrumento privilegiado da psicologia 
genética. (...) Só podemos entender as atitudes das crianças se entendemos a trama do ambiente 
no qual está inserida” (ibidem, p. 36).
O estudo realizado sobre o desenvolvimento humano é centrado na criança contextualizada 
e também, como em Piaget e Vygotsky, apresenta alguns estágios. Uma das características 
das etapas elaboradas por Wallon é não seguir uma linearidade, são descontínuas, marcadas 
“por rupturas, retrocessos e reviravoltas”, provocando em cada fase profundas mudanças nas 
anteriores. “Para Wallon, a passagem de um a outro estágio não é uma simples ampliação, mas 
uma reformulação” (ibidem, p. 41).
Em cada fase do desenvolvimento prevalece um tipo de atividade relacionada com o ambiente 
em que a criança está inserida, dependente dos recursos de que ela dispõe naquele momento. As 
fases propostas por Wallon se expressam nos cinco estágios descritos de forma sucinta a seguir.
 » Estágio impulsivo-emocional: refere-se ao primeiro ano de vida da criança. A emoção 
é o instrumento dominante na interação da criança com o mundo. A “afetividade é 
impulsiva, emocional, que se nutre pelo olhar, pelo contato físico e se expressa em 
gestos, mímica e posturas” (ibidem, p. 45).
 » Estágio sensório-motor e projetivo: vai até os três anos. A criança adquire um certo 
domínio do movimento, diversificando a afetividade sensório-motora para exploração do 
mundo físico. O ato precede ao pensamento e o desenvolvimento das funções simbólica 
e da linguagem é também marcante.
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CAPÍTULO 2 • EStRUtURAS COgnItIvAS E A COnStRUçãO DE COnCEItOS MAtEMátICOS
 » Estágio do personalismo: dos três aos seis anos. Caracteriza-se pela formação da 
personalidade. A conscientização da sua própria pessoa ocorre com a interação social. A 
criança passa pelo período do negativismo (“do NÃO, do EU e do MEU”) (ibidem, p. 119), 
da autoafirmação, da gratidão e da imitação. Pode participar da vida de diferentes grupos 
sociais como escola e clubes e nem sempre ocupa o mesmo papel, sendo importante 
o intercâmbio social.
 » Estágio categorial: inicia-se aos seis anos e o interesse da criança volta-se para as coisas, 
para o conhecimento e para a conquista do mundo exterior. A interação com o meio 
tem supremacia cognitiva. A afetividade torna-se mais racionalizada e os sentimentos, 
elaborados mentalmente, possibilitam aos jovens uma teorização sobre suas relações 
afetivas.
 » Estágio da adolescência: com a puberdade, “podemos dizer que, no plano afetivo, o EU 
volta a adquirir uma importância considerável; e no plano intelectual, a criança supera 
o mundo das coisas, para atingir o mundo das leis” (ibidem, p. 122).
Durante o desenvolvimento humano, ocorrem períodos em que ora sobressaem as funções 
cognitivas (voltadas para a construção do real – classificação de objetos, operação matemática, 
definição de conceitos), ora as afetivas (voltadas para nós mesmos, elaboração do EU – nascimento 
de um filho, irmão, perda de um ente querido). A predominância ora afetiva ora cognitiva Wallon 
denominou predominância funcional. 
Em todos os estágios do desenvolvimento da pessoa surgem ritmos descontínuos, marcados 
por contradições e conflitos. “Nenhuma dessas etapas jamais é completamente superada e em 
certas afeições, assiste-se