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Conceitos Iniciais de Lógica Prof. Paulo Henrique 1 – Proposição, Conectivos e Tabela-Verdade Proposição É uma sentença declarativa, que será expressa por meio de palavras e números. Uma frase em que nós possamos atribuir a ela o valor VERDADEIRO ou FALSO. É comum representar as proposições de forma literal utilizando-se letras minúsculas (p, q, r, s, etc) ou maiúsculas do alfabeto (P, Q, R, S, ect.) Exemplo: Fortaleza é capital do Ceará. 10 = 5 + 5 O gato late. Paulo Henrique é professor. Proposição N ão sã o p ro p o si çõ es Sentenças exclamativas: “Caramba!” ; “Que carro veloz!” Sentenças interrogativas: “como é o seu nome?” ; “o jogo foi de quanto?” Sentenças imperativas: “Estude mais.” ; “Leia aquele livro”. Sentenças que não possuem verbo Proposição Observem as seguintes afirmações: 1. Paulo é professor. 2. Ele é professor. 3. 4 + 4 ≠ 4 4. x + 4 ≠ 4 Sentenças Abertas são aquelas que, por ter uma variável, uma incógnita, um termo que torna a frase indeterminada! 1. (SECOM-PA/AOCP/2018) Define-se uma proposição como sendo uma sentença declarativa cujo conteúdo poderá ser considerado verdadeiro ou falso. Dessa forma, assinale a alternativa que identifica uma proposição. a) Feliz Aniversário! b) Que dia é hoje? c) Se Pedro levantar mais cedo, então ele chegará no horário combinado. d) Leia com mais frequência. e) A idade do jogador multiplicada por R$50,00 será o valor do prêmio. 2. (FSA-SP/IBFC/2019) Proposições são sentenças declarativas e podem ser expressadas por palavras ou símbolos. Nesse sentido, leia as sentenças a seguir. I. O auxiliar administrativo controla entrada/saída de documentos. II. O auxiliar de almoxarifado controla os estoques e o auxiliar de compras controla os pedidos. III. O auxiliar de compras é responsável por lançar notas no sistema? Assinale a alternativa incorreta. a) A proposição I é uma proposição simples b) A proposição II é uma proposição composta c) A proposição III não é uma proposição d) A proposição III é uma proposição interrogativa 3. (PC-SP/VUNESP/2014) A proposição pode ser caracterizada como sentença declarativa que admite um, e somente um, valor de verdade (verdadeiro ou falso). Considerando essa definição, assinale a alternativa correta. a) A sentença declarativa “Choveu no dia do jogo de basquete?” é falsa. b) A sentença exclamativa “Parabéns pelo seu aniversário” é verdadeira. c) A sentença declarativa “Brasil é um Estado soberano” é verdadeira. d) A sentença exclamativa “Quero comprar um bom carro!” é falsa. e) A sentença interrogativa “Florianópolis é a capital do Pará?” é verdadeira. Proposição As proposições podem assumir tanto o valor lógico V ou valor lógico F. São proposições simples. A partir das proposições, podemos definir dois princípios basilares. São eles: Princípio da Identidade Princípio da não-contradição Princípio do Terceiro Excluído Uma proposição verdadeira é sempre verdadeira. Uma proposição falsa é sempre falsa. Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. Uma proposição só pode ter dois valores verdades, isto é, é verdadeiro (V) ou falso (F), não podendo ter outro valor. Proposição Também temos as proposições compostas. São duas ou mais proposições simples, conectadas entre si. Assim, para dizer que uma proposição composta é verdadeira ou falsa, isso dependerá de duas coisas: • do valor lógico das proposições componentes (simples); • do tipo de conectivo que as une. Temos os seguintes conectivos: Conectivos Conectivo Descrição Símbolo E Ou Conjunção Disjunção ∧ ∨ Tabela-Verdade Mantras do PH Para que a conjunção seja verdadeira, as preposições simples têm que ser verdadeiras. Se não, a conjunção será falsa. Para que a disjunção seja falsa, as proposições simples têm que ser falsas. Se não, disjunção será verdadeira. A B A∧B V V V V F F F V F F F F A B A∨B V V V V F V F V V F F F Temos os seguintes conectivos: Conectivos Conectivo Descrição Símbolo ...Se e Somente se Bicondicional ↔ Tabela-Verdade Mantras do PH Para que a bicondicional seja verdadeira, as proposições simples devem ter valores lógicos iguais. Se não, a bicondicional será falsa. A B A↔B V V V V F F F V F F F V Se...Então Condicional → Para que a condicional seja falsa, a 1ª parte (antecedente) deve ser verdadeira e 2ª (consequente), falsa. Se não, a condicional será verdadeira. A B A→B V V V V F F F V V F F V Temos os seguintes conectivos: Conectivos Conectivo Descrição Símbolo *Não Negação ¬ ou ~ Tabela-Verdade Mantras do PH ...Ou ...Ou Disjunção Exclusiva ∨ Para que a disjunção exclusiva seja verdadeira, as proposições simples devem ter valores lógicos diferentes. Se não, a disjunção exclusiva será falsa. A B A∨B V V F V F V F V V F F F A ~A ou ¬B V V F F *O modificador NÃO (Negação) está nesse grupo, porém ele tem características que ‘fogem’ do conceito conectivo! Usa-se o modificador “não”, ou “não é verdade”, para produzir a negação de uma proposição. 4. (Fundação Santo André/IBFC/2019) Leia a frase a seguir: “Luísa gosta de ir à praia, mas não gosta de ficar com areia no corpo” Assinale a alternativa correta que apresenta um conectivo lógico para substituir a palavra “mas” sem mudar o sentido da frase. a) “ou” b) “e” c) “se e somente se” d) “se então” 5. (Pref. de Cabo de Santo Agostinho/IBFC/2019) Considere o seguinte quadro de referência de símbolos. Dada a frase p ^ q abaixo, selecione a alternativa que expresse corretamente a sentença: ~p v ~q “O dia se renova todo dia e eu envelheço cada dia, cada mês”. a) O dia não se renova todo dia e eu não envelheço cada dia, cada mês b) O dia não se renova todo dia e eu envelheço cada dia, cada mês c) O dia não se renova todo dia ou eu não envelheço cada dia, cada mês d) O dia se renova todo dia ou eu envelheço cada dia, cada mês 6. (IDAM/IBFC/2019) A lógica proposicional emprega um conjunto de símbolos que possibilitam expressar de maneira sintética um conjunto de proposições lógicas relacionadas por conectivos. Considere a tradução simbólica mais comum representada na tabela. A proposição composta: “Se João mentiu e Jorge não falou a verdade então Jonas não mentiu ou Joaquim estava confuso”, pode ser decomposta em quatro proposições simples: P, Q, R e S, onde: P = João mentiu; Q = Jorge não falou a verdade; R = Jonas não mentiu; S= Joaquim estava confuso. 6. (IDAM/IBFC/2019) Assinale a alternativa que representa simbolicamente a proposição composta. a) P ∨ ~Q → R ∧ S b) P ∧ ~Q → R ∨ S c) P ∧ ~Q → ~R ∨ S d) P ∧ Q → R ∨ S É um instrumento eficiente para a especificação de uma composição de proposições. Ao montá-la, conseguiremos visualizar todas as possibilidades de uma determinada proposição composta. Ela mostra o valor resultando quando um conectivo é usado para agregar duas proposições, formando uma proposição complexa e nova. Nº de Linhas = Tabela-Verdade Em uma tabela-verdade para duas proposições, encontramos ______ valores possíveis. Porém, o que acontecerá com uma tabela-verdade com 3 proposições? Encontraremos ________ resultados possíveis. Tabela-Verdade Tabela-verdade com 2 proposições Tabela-verdade com 3 proposições 7. (IDAM/IBFC/2019) Considere as afirmações sobre lógica propositiva e sua análise por meio de tabelas-verdade. Analise as afirmativas abaixo, dê valores Verdadeiro (V) ou Falso (F). ( ) A conjunção (e, ∧) entre duas proposições P e Q, só é verdadeira se ambas forem verdadeiras. ( ) A disjunção (ou, ∨) entre duas proposições P e Q, só é verdadeira se ambas forem verdadeiras. ( ) A disjunção (ou, v) entre a negação de duas proposições falsas é verdadeira. Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta de cima para baixo. a) V, F, V b) V, V, F c) F, F, V d) F, V, V 8. (SP-URBANISMO/VUNESP/2014) Sabe-se que é falsa a afirmação: Se Antônio é jovem, então Priscila é universitária. Com base nessas informações, é correto concluir que contém uma afirmação verdadeira a alternativa: a) Antônio não é jovem e Priscila é universitária. b) Antônio não é jovem e Priscila não é universitária. c) Antônio não é jovem ou Priscila é universitária. d) Antônio é jovem e Priscila é universitária. e) Antônio é jovem e Priscila não é universitária. 9. (IDAM/IBFC/2019) O conectivo condicional (→, se ... então) e o bicondicional (↔, se e somente se) diferenciam-se em suas tabelas verdades por uma linha. Assinale a linha que as diferencia. a) V → V = V contra V ↔ V = V b) F → V = V contra F ↔ V = F c) V → F = F contra V ↔ F = V d) F → F = F contra F ↔ F = V 10. (IDAM/IBFC/2019) Considere a proposição composta: “Se o jogador reclama ou o técnico protesta, então o juiz não viu a falta e os auxiliares não puderam ajudar”. As quatro proposições simples que a decompõe são P1: o jogador reclama; P2: o técnico protesta; P3: o juiz não viu a falta; P4: os auxiliares não puderam ajudar. A proposição composta pode, então, ser representada por: P1 v P2 → P3 ^ P4. Considere a tabela verdade abaixo 10. (IDAM/IBFC/2019) Assinale a alternativa que lista corretamente os valores assumidos por A e B a) A-V, B-V b) A-F, B-V c) A-V, B-F d) A-F, B-F 11. (EBSERH/IBFC/2017) Sabe-se que p, q e r são proposições compostas e o valor lógico das proposições p e q são falsos. Nessas condições, o valor lógico da proposição r na proposição composta {[q v (q ^ ~p)] v r} cujo valor lógico é verdade, é: a) falso b) inconclusivo c) verdade e falso d) depende do valor lógico de p e) verdade 12. (EBSERH/IBFC/2017) Assinale a alternativa incorreta com relação aos conectivos lógicos: a) Se os valores lógicos de duas proposições forem falsos, então a conjunção entre elas têm valor lógico falso b) Se os valores lógicos de duas proposições forem falsos, então a disjunção entre elas têm valor lógico falso c) Se os valores lógicos de duas proposições forem falsos, então o condicional entre elas têm valor lógico verdadeiro d) Se os valores lógicos de duas proposições forem falsos, então o bicondicional entre elas têm valor lógico falso e) Se os valores lógicos de duas proposições forem falsos, então o bicondicional entre elas têm valor lógico verdadeiro 13. (SUCEN/IBFC/2013) Dentre as afirmações: I. Se duas proposições compostas forem falsas então o condicional entre elas é verdade. II. Se duas proposições compostas forem falsas então o bicondicional entre elas é falso. III. Para que uma disjunção entre duas proposições seja verdadeira é necessário que ambas proposições sejam verdadeiras. IV. Para que uma conjunção entre duas proposições seja falsa é necessário que ambas proposições sejam falsas. Pode-se dizer que são verdadeiras: a) Todas b) Somente duas delas c) Somente uma delas d) Nenhuma Rumo à aprovação! Conceitos Iniciais de Lógica Prof. Paulo Henrique 2 – Equivalência, Negação de proposição, Tautologia, Contradição e Contingência Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes (ou simplesmente que são equivalentes) quando são compostas pelas mesmas proposições simples e os resultados de suas tabelas-verdade são idênticos. Proposições Logicamente Equivalentes Equivalências da Condicional As duas equivalências que se seguem são de fundamental importância. Estas equivalências podem ser verificadas, ou seja, demonstradas, por meio da comparação entre as tabelas-verdade. Ficam como exercício para casa estas demonstrações. Porém, a utilização da tabela-verdade será nosso ‘Plano B’. Vamos conhecer 2 regras que facilitarão a vida de vocês na hora da prova! São as seguintes as equivalências da condicional: Inverte e Nega 𝑃 → 𝑄 = ~𝑄 → ~𝑃 Se p, então q = Se não q, então não p. Exemplo: Se ESTUDO então PASSO NO CONCURSO= Troca pelo “Ou” 𝑃 → 𝑄 = ~𝑃 v 𝑄 Se p, então q = não p ou q. Exemplo: Se ESTUDO então PASSO NO CONCURSO= Troca pelo “Se... Então” 1. (TJ-SP/VUNESP/2015) Uma equivalente da afirmação “Se eu estudei, então tirei uma boa nota no concurso” está contida na alternativa: a) Não estudei e não tirei uma boa nota no concurso. b) Se eu não tirei uma boa nota no concurso, então não estudei. c) Se eu não estudei, então não tirei uma boa nota no concurso. d) Se eu tirei uma boa nota no concurso, então estudei. e) Estudei e tirei uma boa nota no concurso. 2. (SAEB-BA/IBFC/2015) A frase “Se o time jogou bem, então foi campeão” é equivalente a: a) O time jogou bem e foi campeão. b) O time não jogou bem ou não foi campeão. c) O time não jogou bem ou foi campeão. d) Se o time não jogou bem, então não foi campeão. e) O time jogou bem se, e somente se, foi campeão. 3. (Pref. De Cabo de Santo Agostinho/2019) Analise a proposição composta abaixo, adaptada do poema Permanência, de Carlos Drummond de Andrade. Se dia virá que nenhum será lembrado, então no mesmo esquecimento se fundirão. Dentre as alternativas abaixo, assinale a que contém a correta equivalência dessa proposição. a) Dia virá que nenhum será lembrado e no mesmo esquecimento se fundirão b) Se no mesmo esquecimento não se fundirão, então dia não virá que nenhum será lembrado c) No mesmo esquecimento se fundirão se dia não virá que nenhum será lembrado d) Se dia não virá que nenhum será lembrado, então no mesmo esquecimento não se fundirão 4. (CGE-MG/IBFC/2012) Uma afirmação equivalente a “Se o imposto foi pago, então o empresário está sem dívida” é: a) O imposto foi pago ou o empresário está sem dívida. b) O imposto não foi pago e o empresário está sem dívida. c) O imposto não foi pago ou o empresário está sem dívida. d) O imposto foi pago ou o empresário não está sem dívida. 5. (SAEB-BA/IBFC/2015) A Frase “A Lua é um satélite ou Saturno não é o maior planeta” é equivalente a frase: a) “A Lua é um satélite e Saturno não é o maior planeta” b) “A Lua não é um satélite e Saturno é o maior planeta” c) “Se a Lua não é um satélite, então Saturno não é o maior planeta” d) “A Lua é um satélite se, e somente se, Saturno não é o maior planeta” e) “Se a Lua é um satélite, então Saturno não é o maior planeta” Negação de uma proposição disjuntiva ~(A v B) Para negarmos uma proposição no formato de disjunção, faremos o seguinte: 1) Negaremos a primeira; 2) Negaremos a segunda; 3) Trocaremos OU por E. Negação de uma proposição conjuntiva ~(A ^ B) Bem parecida com a anterior. Faremos o seguinte: 1) Negaremos a primeira; 2) Negaremos a segunda; 3) Trocaremos E por OU. (comparem as duas!) Negação de uma proposição condicional ~(A → B) Para negarmos uma condicional, basta: 1) Mantermos a primeira; 2) Negarmos a segunda; 3) junta-las com o conectivo E. 6. (TJ-SP/VUNESP/2015) A afirmação “canto e danço” tem, como uma negação, a afirmação contida na alternativa a) não canto e não danço. b) canto ou não danço. c) não danço ou não canto. d) danço ou não canto. e) danço ou canto. 7. (Pref. De Cabo de Santo Agostinho/2019) Considere a proposição composta abaixo. “João vai ao trabalho de ônibus ou João vai de trem.” Dentre as alternativas abaixo, assinale aquela que contém a correta negação dessa proposição. a) João não vai ao trabalho de ônibus se João não vai de trem b) João não vai ao trabalho de ônibus ou João não vai de trem c) João não vai ao trabalho de ônibus e João não vai de trem d) Ou João não vai ao trabalho de ônibus ou João não vai de trem 8. (Pref. De Cabo de Santo Agostinho/2019) Leia a proposição composta abaixo. “O céu não é rosa e as árvores não são azuis.” Dentre as alternativas abaixo, assinale a que contém a correta negação dessa proposição. a) O céu é rosa e as árvores são azuis b) O céu não é rosa ou as árvores são azuis c) O céu é rosa ou as árvores não são azuis d) O céu é rosa ou as árvores são azuis 9. (Pref. De Cabo de Santo Agostinho/2019) Leia a proposição composta abaixo. “Se há disseminação de informações falsas durante as campanhas eleitorais então há influência no resultado apurado”. Assinale a alternativa que contém a correta negação dessa proposição. a) Não há disseminação de informações falsas durante as campanhas eleitorais ou há influência no resultado apurado b) Há disseminação de informações falsas durante as campanhas eleitorais e não há influência no resultado apurado c) Se não há disseminação de informações falsas durante as campanhas eleitorais então não há influência no resultado apurado d) Há disseminação de informações falsas durante as campanhas eleitorais ou não há influência no resultado apurado 10. (PRODEST-ES/VUNESP/2014) Uma negação lógica para a proposição “Pedro estudou e está participando de um concurso” está contida na alternativa: a) Pedro não estudou ou não está participando de um concurso. b) Pedro não estudou e não está participando de um concurso. c) Pedro estudou pouco, mas está participando de um concurso. d) Pedro estudou, mas não está participando de um concurso. e) Pedro estudou pouco e não está participando de um concurso. 11. (TCE-SP/VUNESP/2017) Uma afirmação que corresponda à negação lógica da afirmação “Se a demanda aumenta, então os preços tendem a subir” é: a) Se os preços não tendem a subir, então a demanda não aumenta. b) Ou os preços tendem a subir, ou a demanda aumenta. c) Se a demanda não aumenta, então os preços não tendem a subir. d) A demanda aumenta ou os preços não tendem a subir. e) Os preços não tendem a subir, e a demanda aumenta. IMPORTANTE! Precisamos ficar atentos quando as questões pedem EQUIVALÊNCIA ou NEGAÇÃO de proposições com MAIS de 2 proposições. Podemos usar várias das regras estudadas até agora numa mesma questão. Atenção nelas!!! 12. (Pref. De Cabo de Santo Agostinho/2019) Considere as proposições abaixo. P: João teve ciúme de Maria Q: Maria estava apenas conversando R: João pediu divórcio Considere a construção da proposição composta: “Se P e Q, então não -R” (P ^ Q → ~R). De acordo com a lógica proporcional, assinale a alternativa que apresenta a negação correta desta construção de acordo com a lógica proposicional. 12. (Pref. De Cabo de Santo Agostinho/2019) a) João teve ciúme de Maria e Maria estava apenas conversando e João pediu o divórcio b) João não teve ciúme de Maria e Maria não estava apenas conversando e João pediu o divórcio c) Se João não teve ciúme de Maria e Maria não estava apenas conversando, então João pediu o divórcio d) João teve ciúme de Maria e Maria não estava apenas conversando e João pediu o divórcio 13. (SP-URBANISMO/VUNESP/2014) Considere a seguinte afirmação: “Se João estuda e Pedro não trabalha, então Maria cuida da casa.” Uma afirmação equivalente a essa é: a) Se Maria cuida da casa, então João estuda e Pedro não trabalha. b) Se Maria cuida da casa, então João estuda ou Pedro não trabalha. c) Se Maria não cuida da casa, então João não estuda ou Pedro não trabalha. d) Se Maria não cuida da casa, então João não estuda ou Pedro trabalha. e) Se Maria não cuida da casa, então João não estuda e Pedro trabalha. 14. (Câmara Mun. de São José dos Campos-SP/VUNESP/2014) Se não chove, então passeamos ou jogamos bola. Uma afirmação logicamente equivalente é: a) Se chove, então não passeamos e jogamos bola. b) Se passeamos ou jogamos bola, então não chove. c) Chove ou, passeamos ou jogamos bola. d) Não chove e, passeamos ou jogamos bola. e) Se jogamos bola e passeamos, então chove. Tautologia, Contradição e Contingência Calma que não estou xingando ninguém! Já vimos que uma proposição composta é formada por várias proposições. Os termos acima citados referem-se ao resultado lógico dessas proposições. Assim: Tautologia Contradição Contingência Quando todos os valores lógicos de uma tabela-verdade têm como resultado VERDADEIRO Quando todos os valores lógicos de uma tabela-verdade têm como resultado FALSO Quando não for tautologia, nem contradição 15. (Câmara Mun. De Araraquara-SP/IBFC/2017) De acordo com o raciocínio lógico proposicional a proposição composta [p v (~q ↔ r)] → ~p é uma: a) Contingência b) Tautologia c) Contradição d) Equivalência 16. (Pref. De Cabo de Santo Agostinho/2019) A tautologia é uma sentença cuja tabela verdade resulta apenas em valores-lógicos verdadeiros. A esse respeito, assinale a alternativa correta que apresenta uma tautologia. a) Se eu estou certo, então você está errado b) Eu estou certo ou eu estou errado c) Eu estou certo e errado d) Ou eu estou certo, ou eu estou certo 17. (PC-SP/VUNESP/2014) O princípio da não contradição, inicialmente formulado por Aristóteles (384-322 a.C.), permanece como um dos sustentáculos da lógica clássica. Uma proposição composta é contraditória quando. a) seu valor lógico é falso e todas as proposições simples que a constituem são falsas. b) uma ou mais das proposições que a constituem decorre/ decorrem de premissas sempre falsas c) seu valor lógico é sempre falso, não importando o valor de suas proposições constituintes. 17. (PC-SP/VUNESP/2014) d) suas proposições constituintes não permitem inferir uma conclusão sempre verdadeira e) uma ou mais das proposições que a constituem possui/ possuem valor lógico indeterminável. GABARITO Proposição, Conectivos e Tabela-Verdade Equivalência, Negação de proposição, Tautologia, Contradição e Contingência 1 - B 2 - C 3 - B 4 - C 5 - C 6 - C 7 - C 8 - D 9 - B 10 - A 11 - E 12 - A 13 - D 14 - C 15 - A 16 - B 17 - C 1 - C 2 - D 3 - C 4 - B 5 - C 6 - D 7 - A 8 - E 9 - B 10 - B 11 - E 12 - D 13 - C Rumo à aprovação! Argumento (IBFC/VUNESP) Prof. Paulo Henrique Estruturas lógicas, lógicas de argumentação e diagramas lógicos Para trabalharmos com Diagramas Lógicos e Estruturas Lógicas precisamos conhecer o conceito de ARGUMENTO: Argumento Argumento nada mais é o do que o conjunto de preposições (premissas), associadas a uma conclusão. Pode ser a verdade das premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão. quando a conclusão é consequência obrigatória das premissas; InválidoVálido Podemos ter 3 formas de cobrar esse assunto: Argumento 1. Se o argumento apresentar proposições categóricas (todo, nenhum, ou algum), vamos resolver as questões utilizando os conceitos de Diagramas Lógicos. 2. Se o argumento apresentar os conectivos (proposições simples ou compostas), podemos utilizar os conceitos das Estruturas Lógicas ou da Tabela Verdade; 3. Existem casos específicos, por bancas, que deveremos trabalhar. Chamaremos de Casos Especiais. Outra forma de trabalhar com as proposições Todo, Algum e Nenhum é quando temos que desenhar figuras (diagramas) e, analisando-as, tirarmos conclusões. Vejamos como desenhar cada proposição: Utilizando os diagramas lógicos Todo A é B Nenhum A é B Algum A é B Algum A não é B 1. (EMBASA/IBFC/2019) Sabendo que todo A é B e nenhum C é A, segue necessariamente que: a) Todo B é A. b) Nenhum C é B. c) Algum C não é B. d) Algum B não é C. Precisamos desenhar cada uma das proposições (aqui, começaremos a chamá-las de premissas) e depois tentar ‘juntá-las’ em um diagrama só: Premissa 1 Premissa 2 Conclusão 2. (SUCEN/IBFC/2019) Analisando as afirmações abaixo, a alternativa correta é: I - Todo aluno desta escola é inteligente. Marcos é um aluno desta escola. Logo, Marcos é inteligente. II - Todo x é y. Logo, todo y é x. a) I e II são argumentos válidos. b) Apenas II é um argumento válido. c) Apenas I é um argumento válido. d) Nenhum dos dois argumentos é válido. 3. (PC-SP/VUNESP/2018) Todo candidato bem preparado faz uma boa prova. Alguns candidatos que fazem boa prova são aprovados no concurso. A partir dessas afirmações, é correto concluir que a) alguns candidatos não bem preparados fazem uma boa prova. b) qualquer candidato bem preparado é aprovado no concurso. c) há candidato aprovado no concurso que fez uma boa prova. d) alguns candidatos não bem preparados são aprovados no concurso. e) alguns candidatos bem preparados não fazem uma boa prova. 4. (TJ-SP/VUNESP/2015) Se todo estudante de uma disciplina A é também estudante de uma disciplina B e todo estudante de uma disciplina C não é estudante da disciplina B, então é verdade que a) algum estudante da disciplina A é estudante da disciplina C. b) algum estudante da disciplina B é estudante da disciplina C. c) nenhum estudante da disciplina A é estudante da disciplina C. d) nenhum estudante da disciplina B é estudante da disciplina A. e) nenhum estudante da disciplina A é estudante da disciplina B. 5. (PC-SP/VUNESP/2014) Argumentos também podem ser classificados como válidos ou inválidos do ponto de vista de sua estrutura formal, independentemente da verdade ou falsidade de suas premissas. Dentre os exemplos a seguir, assinale o argumento válido. a) Algumas pessoas são simpáticas. O carteiro é uma pessoa. Logo, todos os carteiros são simpáticos. b) Todos os seres humanos são mortais; uma vez que João é mortal, logo João é um ser humano. c) Algumas focas moram na Patagônia. Alguns pinguins moram na Patagônia. Logo, todos os pinguins não são focas. 5. (PC-SP/VUNESP/2014) d) Todos os móveis são de madeira. Todos as cadeiras são móveis. Logo, todos os pássaros são móveis. e) Nenhum mamífero é uma ave. Há mamíferos voadores. Logo, alguns animais voadores não são aves As questões referentes a este assunto começam com um conjunto de afirmações, chamadas de premissas, formadas por proposições simples ou compostas, finalizando com uma conclusão válida, que será a própria resposta procurada. A melhor maneira de estudarmos, a partir de agora nossa matéria, será mostrar a melhor forma de responder uma questão e depois colocarmos um exemplo. Utilizando as estruturas lógicas Proposições Simples e Conjunções 1. consideram-se todas as premissas verdadeiras; 2. procura-se, dentro das premissas, uma proposição que apresente uma única forma de ser verdadeira. Só há duas maneiras: proposição simples ou utilização de uma conjunção. 6. (TJ-SP/VUNESP/2014) Considere verdadeiras as quatro afirmações seguintes: I - Ou Luíza é médica ou Márcia é advogada. II - Carlos não é dentista e Luiz é engenheiro. III - Se Carlos é dentista, então Márcia não é advogada. IV - Luíza não é médica. A partir dessas afirmações, pode-se concluir corretamente que 6. (TJ-SP/VUNESP/2014) a) Luiz é engenheiro e Carlos é dentista. b Márcia é advogada e Luiz é engenheiro. c) nem Luíza é médica nem Luiz é engenheiro. d) Luíza não é médica, mas é dentista. e) Carlos é dentista ou Márcia não é advogada. 7. (SAP-SP/VUNESP/2014) Se Carlos é executivo público, então Cláudio é eletricista e André médico. Se Márcia é enfermeira ou Carolina é nutricionista, então André não é médico. Constata-se que Márcia é enfermeira ou que Ana é advogada. Sabe-se, ainda, que Carlos é executivo público. Logo, é verdade que a) Ana é advogada. b) André não é médico. c) Márcia é enfermeira. d) Cláudio não é eletricista. e) Carolina é nutricionista. 8. (TJ-SP/VUNESP/2015) Considere as afirmações a seguir. I - Se Célia é assistente, então Dalva é escrivã. II - Aline é juíza ou Dalva é escrivã. Sabe-se que a afirmação (I) é verdadeira e a afirmação (II) é falsa. Sendo assim, é possível concluir, corretamente, que 8. (TJ-SP/VUNESP/2015) a) Aline é juíza ou Dalva não é escrivã. b) Célia é assistente e Dalva é escrivã. c) Se Célia não é assistente, então Aline é juíza. d) Aline é juíza ou Célia é assistente. e) Ou Aline não é juíza ou Célia não é assistente. 9. (PC-SP/VUNESP/2018) De um argumento válido, sabe-se que suas premissas são: I - Se a investigação é feita adequadamente e as provas são consistentes, então é certo que o réu será condenado. II - O réu não foi condenado. Dessa forma, uma conclusão para esse argumento está contida na alternativa: 9. (PC-SP/VUNESP/2018) a) A investigação não foi feita adequadamente e as provas não foram consistentes. b) A investigação foi feita adequadamente ou as provas foram consistentes. c) A investigação não foi feita adequadamente, mas as provas foram consistentes. d) A investigação não foi feita adequadamente ou as provas não foram consistentes. e) A investigação foi feita adequadamente, mas as provas não foram consistentes. 10. (CRO-SP/VUNESP/2015) Zeca, Pedro, Daniela e Isabel seguem rigorosamente os seguintes hábitos: I - Se Pedro vai ao teatro, então Isabel estuda. II - Se Zeca estuda, então Daniela limpa a casa. III - Se chove, Isabel não estuda. IV - Aos domingos, Isabel estuda ou Zeca estuda. Sabe-se, com certeza, que, neste último domingo, choveu. Pode-se concluir corretamente que 10. (CRO-SP/VUNESP/2015) a) Daniela limpou a casa, e Pedro não foi ao teatro. b) Zeca estudou, e Pedro foi ao teatro. c) Daniela não limpou a casa, e Zeca não estudou. d) Daniela não limpou a casa, e Pedro não foi ao teatro. e) Pedro foi ao teatro, e Zeca não estudou. No exemplo que veremos a seguir, todas as premissas tem como conectivo uma disjunção exclusiva ('OU … OU'). Assim, a interpretação pode ser: Disjunções Exclusivas Bom, mas, e se não tivermos uma proposição simples ou uma conjunção, o que fazer? 11. (COFEN/CONSULPLAN/2011) Três amigas Bruna, Cíntia e Daniela usam óculos devido a problemas de visão distintos: miopia, hipermetropia e astigmatismo, não necessariamente nesta ordem. Sabe-se que: • Ou Bruna é hipermétrope, ou Cíntia é astigmata. • Ou Daniela é astigmata, ou Cíntia é astigmata. • Ou Bruna é míope, ou Daniela é míope. • Ou Cíntia é hipermétrope, ou Daniela é hipermétrope. Assim, os problemas de visão de Bruna, Cíntia e Daniela são, respectivamente: 11. (COFEN/CONSULPLAN/2011) a) Miopia, hipermetropia, astigmatismo. b) Astigmatismo, miopia, hipermetropia. c) Hipermetropia, astigmatismo, miopia. d) Miopia, astigmatismo, hipermetropia. e) Astigmatismo, hipermetropia, miopia. 12. (PE-BA/AOCP/2014) Gustavo, Camila e Rafaela foram juntos para uma festa. Chegando na festa, um deles só tomou água, o outro, refrigerante e, o outro, cerveja. Sabendo que: • ou Gustavo tomou água, ou Camila tomou água; • ou Gustavo tomou refrigerante, ou Rafaela tomou água; • ou Camila tomou cerveja, ou Rafaela tomou cerveja. Assinale a alternativa que apresenta o que Gustavo, Camila e Rafaela tomaram na festa, respectivamente. 12. (PE-BA/AOCP/2014) a) Refrigerante, água e cerveja. b) b) Água, refrigerante e cerveja. c) c) Refrigerante, cerveja e água. d) Refrigerante, água e cerveja e) Cerveja, refrigerante e água. Condicionais, Bicondicionais e Disjunções • consideram-se todas as premissas verdadeiras; • atribui-se um valor lógico (V ou F) para uma das proposições simples: • procurem a proposição que mais vezes aparece entre as premissas; • caso tenhamos proposições com condicional (→), uma saída é atribuir o valor lógico F para a 2ª parte da proposição; • caso tenhamos proposições com disjunção (v), uma saída é atribuir o valor lógico F para uma das duas proposições; • substitui-se o valor lógico nas outras premissas, observando se não haverá nenhuma contradição. Agora, se não temos uma proposição simples, ou uma conjunção, ou até mesmo proposições com disjunção exclusiva, o que fazer??? 13. (PE-BA/AOCP/2014) Considere verdadeiras as premissas I, II e III. I - Se Cláudio é médico, então Ana é advogada. II - Se Marcelo é professor, então Débora é dentista. III - Ana não é advogada ou Débora não é dentista. A alternativa que contém uma conclusão que pode ser associada às premissas apresentadas, de modo a constituir um argumento válido, é: 13. (PE-BA/AOCP/2014) a) Marcelo não é professor. b) Cláudio é médico e Débora não é dentista. c) Marcelo é professor e Ana é advogada. d) Cláudio não é médico ou Marcelo não é professor. e) Cláudio é médico e Marcelo é professor. 14. (TJ-SP/VUNESP/2017) Se Débora é mãe de Hugo, então Marcelo é baixo. Se Carlos não é filho de Débora, então Neusa não é avó dele. Sabendo-se que Marcelo é alto ou que Neusa é avó de Carlos, conclui-se corretamente que a) Hugo e Carlos são irmãos. b) Débora não é mãe de Hugo, e Carlos é filho de Débora. c) Hugo e Carlos não são irmãos. d) Débora não é mãe de Hugo, ou Carlos é filho de Débora. e) Neusa é mãe de Débora. 15. (EBSERH/IBFC/2016) Um argumento válido para: “Se João estudou, então Paulo foi aprovado no concurso. Se Paulo foi aprovado no concurso, então Ana não é dentista”, é: a) Se João estudou, então Ana é dentista. b) Se João não estudou, então Ana não é dentista. c) Se João não estudou, então Ana é dentista. d) Se João estudou, então Ana não é dentista. e) Se João não estudou, então Paulo não foi aprovado no concurso. 16. (DCTA/VUNESP/2013) Considere a seguinte afirmação: todos os filhos de Paulo têm mais de 55 quilos. Dessa afirmação, pode-se concluir que: a) se Fernando é filho de Paulo, então seu peso é inferior a 55 quilos. b) se o peso de Laura é menos que 55 quilos, então ela não é filha de Paulo. c) se o peso de Glória é mais que 55 quilos, então ela é filha de Paulo. d) Paulo tem mais que 55 quilos e) o peso de Paulo é menos que 55 quilos GABARITO 1 - D 2 - C 3 - C 4 - C 5 - E 6 - B 7 - A 8 - A 9 - D 10 - A 11 - D 12 - A 13 - D 14 - D 15 - D 16 - B Rumo à aprovação! Questões Lógicas (IBFC/VUNESP) Prof. Paulo Henrique 1 - Sequências Lógicas Sequencia lógica Uma Sequência lógica é um conjunto de elementos (números, letras, palavras, figuras) que seguem uma determinada lei de formação. Diante de uma questão de sequência lógica, temos que descobrir qual é a regra de formação a fim de encontrarmos os elementos que completam a sequência. É através de intuição, da experiência e por tentativas que se descobre qual a regra de formação da sequência. 1. (EBSERH/IBFC/2015) Analisando os números escritos numa seqüência lógica: 3, 6, 10, 15, 21..... podemos dizer que a soma entre o décimo e décimo segundo termos é igual a: a) 133 b) 111 c) 169 d) 183 e) 157 2. (Câmara Mun. de São José dos Campos – SP/VUNESP/2018) Na sequência numérica ..., 12, 17, 23, 30, 38,..., o número 12 é o 15°elemento. Mantida a lógica de formação, o 23° elemento será a) 80 b) 76 c) 72 d) 68 e) 64 3. (PC-SP/VUNESP/2018) Considere a sequência numérica (1402, 701, 700, 350, 175, 174, 87, 86,…, 1). Nessa sequência, a soma entre os 11º e 15º termos é igual a a) 21 b) 19 c) 25 d) 15 e) 28 4. (MPE-SP/VUNESP/2016) Na sequência (4; 4; 6; 12; 30; 90; . . .), a partir do 2° termo, cada termo é obtido por meio de uma operação, ou operações, aplicada(s) ao termo imediatamente anterior. O 7° termo somado ao 10° termo, ambos dessa sequência, resultam em a) 5445. b) 7020. c) 27035. d) 28665. e) 29610. 5. (PRODEST-ES/VUNESP/2014) Na sequência numérica − 3 2 , 7 4 , − 15 8 , 31 16 em que o 1.º elemento é − 3 2 mantido o padrão de regularidade, o 7.º elemento será a) – 511/128 b) - 323/128 c) - 255/128 d) 255/128 e) 511/128 6. (TJ-SP/VUNESP/2018) Na sequência numérica 1, 2, 3, 6, 7, 8, 21, 22, 23, 66, 67, 68, ..., os termos se sucedem segundo um padrão. Mantido o padrão, o décimo quarto termo é o número a) 202 b) 282 c) 229 d) 308 e) 255 Rumo à aprovação! Questões Lógicas Prof. Paulo Henrique 2 – Sequência N em 1 Sequência N em 1 Aqui, vale uma observação: as bancas vêm trazendo uma nova forma de montagem de Sequências. O PH chama de “Sequência N em 1” (pode ser 2 em 1, 3 em 1, etc). 7. (Câmara de Feira de Santana/IBFC/2018) A soma dos dois próximos termos da sequência lógica 3,4,7,10,11,16,15,22,..., indica a idade de Ana hoje. Desse modo, a idade de Ana daqui 3 anos será igual a: a) 47 b) 50 c) 51 d) 52 Progressão Aritmética São sequências de números reais em que a diferença entre cada termo e o seu anterior, a partir do segundo, é um valor constante. Exemplos: (2, 5, 8, 11, ... ) é P.A. com r = _______. (–20, –25, –30, ... ) é P.A. com r = _______. Progressão Geométrica É toda sequência numérica onde cada termo a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado por uma constante (razão da P.G). Exemplos: (2, 6, 18, 54,... ) é P.G. com q = _____. (3, –6, 12, –24, ... ) é P.G. com q = _____. (18,18, 18, 18,... ) é P.G. com q = _____. A partir dessa definição, podemos trabalhar com as seguintes fórmulas: Fórmula do termo geral Soma de “n” elementos Quando precisarmos encontrar um elemento da progressão, sabendo um outro elemento e a razão: Quando precisarmos encontrar a soma de um determinado número de elementos: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 . 𝑟 𝑆𝑛 = (𝑎1+𝑎𝑛) . n 2 1º termo Razão Termo que quero encontrar Quantidade 1º termo Último termo Quantidade de termos Soma dos termos Fórmula do termo geral Soma de “n” elementos 𝑎𝑛 = 𝑎1. 𝑞 (𝑛−1) 𝑆𝑛 = 𝑎1. (𝑞 𝑛 − 1) 𝑞 − 1 Conheçam as fórmulas da PG: 1º termo Último termo Razão Posição do último termo Soma dos termos 8. (SES-PR/IBFC/2016) Os números 2, 3, 4, 5, 8, 7, 16, 9..... apresentam uma sequência lógica. Nessas condições o décimo primeiro termo da sequência é: a) 64 b) 11 c) 13 d) 128 9. (EBSERH/IBFC/2017) De acordo com a sequencia lógica 3,7,7,10,11,13,15,16,19,19,..., o próximo termo é: a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 10. (HEMOMINAS/IBFC/2013) Considerando a sequencia lógica 3/10; 1/2; 1/2; 1 ; 7/10; 2;0,9;4;11/10;... o valor do décimo terceiro termo é igual a: a) 16 b) 13/10 c) 3/2 d) 8 Rumo à aprovação! Questões Lógicas Prof. Paulo Henrique 3 – Questão Carimbo Questão Carimbo Já ouviram falar na questão “Carimbo”? 11. (PC-SE/IBFC/2014) Considerando a sequencia formada pelas letras da palavra DIFÍCIL, a 348ª letra da sequencia é: DIFICILDIFICILDIFICILDIFICILDIFICIL a) D b) I c) C d) L 12. (EBSERH/IBFC/2016) O algarismo da 80ª posição da sequência lógica: 3,4,5,6,7,8,3,4,5,6,7,8,3,4,5,6,7,8,..., é: a) 5 b) 6 c) 3 d) 8 e) 4 13. (DCTA/VUNESP/2013) Analise a sequência apresentada. Considerando que a regra de formação das figuras seguintes permaneça a mesma, pode-se afirmar que a figura que ocuparia a 89.ª posição dessa sequência é: a) b) c) d) e) 14. (IPT-SP/VUNESP/2014) Um rolo tem 3,32 m de uma fita decorativa composta por quadrados coloridos em sequência, que obedecem sempre a mesma ordem de cores: verde, amarela, azul e branca. Sabendo-se que os quadrados têm 4 cm de lado, e que o quadrado inicial é verde, é correto afirmar que, nessa fita, o número de quadrados azuis será a) 18 c) 20 e) 22 b) 19 d) 21 Rumo à aprovação! Questões Lógicas Prof. Paulo Henrique 4 – Letras, Palavras e Figuras Letras e Palavras Existem também sequência envolvendo letras e palavras. A ideia é a mesma: buscar a regra de formação! Exemplo: Os valores que substituem as lacunas na sequência (7, S, 8, O, 10, ___, 13, T, ___, D, 22, V) são, respectivamente, iguais a: a) S, 19. b) E, 21. c) M, 18. d) F, 16. e) D, 17. 15. (Pref. De Divinópolis-MG/IBFC/2018) Considerando a sequência lógica A, C, F, J, O, ... e o alfabeto de 26 letras, então a próxima letra da sequência é: a) T b) U c) S d) V 16. (EBSERH/IBFC/2015) Considerando a sequencia lógica: 3, A, 5, C, 8, E, 12, G,..., o décimo e o décimo terceiro termos da sequência, considerando o alfabeto de 26 letras, são, respectivamente: a) I ; 30 b) 30 ; L c) I ; 23 d) K ; 23 e) 23 ; I 17. (SUCEN/IBFC/2013) Observe a sequência de figuras abaixo: Mantendo-se a mesma lógica para as próximas figuras pode-se dizer que o total de quadradinhos da figura 12 será de: a) 182 c) 128 b) 132 d) 156 18. (Pref. de São Paulo-SP/VUNESP/2015) As figuras a seguir representam os três primeiros passos de um total de 31 de uma sequência que será composta apenas por palitos de fósforo. O total de palitos de fósforo do 31º passo será a) 97 c) 124 e) 94 b) 93 d) 103 GABARITO Sequências Lógicas 1 - E 2 - A 3 - C 4 - D 5 - C 6 - A Sequências N em 1 7 - B 8 - A 9 - D 10 - C Questão Carimbo 11 - C 12 - E 13 - A 14 - D Letras, Figuras e Palavras 15 - B 16 - A 17 - D 18 - E Rumo à aprovação!
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