Formulário prova de calculo

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Departamento de Cieˆncias Exatas - DEX
Formula´rio de Ca´lculo 1
Prof. Paulo Se´rgio Costa Lino Setembro de 2011
Matema´tica elementar e limites nota´veis
(a± b)2 = a2± 2ab+ b2 (a+ b)3 = a3+3a2b+3ab2+ b3 (a− b)3 = a3− 3a2b+3ab2− b3
a3 + b3 = (a+ b)(a2 − ab+ b2) a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2) a2 − b2 = (a− b)(a+ b)
cos2 θ+sin2 θ = 1 tan θ =
sin θ
cos θ
cossecθ =
1
sin θ
sec θ =
1
cos θ
cot θ =
1
tan θ
=
cos θ
sin θ
sin(a±b) = sin a cos b±sin b cos a cos(a±b) = cos a cos b∓sin a sin b cos2 θ = 1 + cos 2θ
2
sin2 θ =
1− cos 2θ
2
lim
θ→0
sin θ
θ
= 1 lim
θ→0
1− cos θ
θ
= 0
xnxm = xm+n
xm
xn
= xm−n (xm)n = xmn x−n =
1
xn
A = pir2 V =
pir2h
3
loga xy = loga x+ loga y loga
x
y
= loga x− loga y loga xm = m loga x loge x = lnx
lim
x→±∞
(
1+
1
x
)x
= e = 2, 71828182845 . . . lim
y→0
(1+y)1/y = e lim
x→0
ax − 1
x
= ln a, 0 < a 6= 1
Derivadas
∆y
∆x
=
f(x1)− f(x0)
x1 − x0
∆y
∆x
= coeficiente angular da reta secante que passa por P0(x0, y0) e P1(x1, y1)
f ′(x0) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 f
′(x0) = lim
∆x→0
f(x0 +∆x)− f(x0)
∆x
y−f(x0) = f ′(x0)(x−x0)
f ′(x) =
dy
dx
= lim
∆x→0
f(x+∆x)− f(x)
∆x
(xn)′ = nxn−1, n ∈ N (xa/b)′ = a
b
xa/b−1, a ∈ Z, b ∈ Z∗
(ax)′ = ax ln a (loga x)
′ =
1
x ln a
(sin θ)′ = cos θ (cos θ)′ = − sin θ (tan θ)′ = sec2 θ
(sec θ)′ = sec θ tan θ (cossecθ)′ = −cossecθ cot θ (cot θ)′ = −cossec2θ (u±v)′ = u′±v′
(ku)′ = ku′ (uv)′ = u′v+uv′
(
u
v
)′
=
uv′ − uv′
v2
f ′(x) = f ′(u)·u′(x) dy
dx
=
dy
du
du
dx
(arcsinx)′ =
1√
1− x2 (arccosx)
′ = − 1√
1− x2 (arctanx)
′ =
1
1 + x2
y′(x) =
y′(t)
x′(t)
=
dy/dt
dx/dt
dy = f ′(x0)∆x ∆y = y1 − y0 = f(x1)− f(x0) dy ∼= ∆y
y′(x) =
dy
dx
⇒ y′′(x) = (y′(x))′ = d
dx
(
dy
dx
)
=
d2y
dx2
lim
x→x0
f(x)
g(x)
= lim
x→x0
f ′(x)
g′(x)
1
vm =
∆s
∆t
v =
ds
dt
am =
∆v
∆t
a =
dv
dt
Regra de L Hoˆpital
lim
x→x0
f(x)
g(x)
= lim
x→x0
f ′(x)
g′(x)
Aplca-se diretamente a regra de L’Hoˆpital nas indeterminac¸o˜es da forma 0/0 e ∞/∞. Para as
demais indeterminac¸o˜es matema´ticas, tem que usar artif´ıcios alge´bricos.
Teoremas sobre a Variac¸a˜o das Func¸o˜es
Teorema de Rolle: Se f e´ uma func¸a˜o cont´ınua em [a, b], deriva´vel em (a, b) e f(a) = f(b),
enta˜o existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.
Teorema do Valor Me´dio ou de Lagrange: Se f e´ uma func¸a˜o cont´ınua em [a, b], deriva´vel
em (a, b), enta˜o existe c ∈ (a, b) tal que
f ′(c) =
f(b)− f(a)
b− a
Teste da Primeira Derivada: Seja x0 e´ um ponto cr´ıtico de f(x), isto e´ f
′(x0) = 0.
i) Seja x pro´ximo de x0. Se f
′(x) < 0 para x < x0 e f ′(x) > 0 para x > x0, enta˜o x0 e´ um
ponto de m´ınimo local;
ii) Seja x pro´ximo de x0. Se f
′(x) > 0 para x < x0 e f ′(x) < 0 para x > x0, enta˜o x0 e´ um
ponto de ma´ximo local;
iii) Se f ′(x) na˜o muda de sinal para valores de x pro´ximos de x0, enta˜o x0 e´ um ponto de inflexa˜o.
Teste da Segunda Derivada: Seja f uma func¸a˜o duas vezes diferencia´vel e x0 e´ um ponto
cr´ıtico de f(x), isto e´ f ′(x0) = 0.
i) Se f ′′(x0) > 0, enta˜o x0 e´ um ponto de m´ınimo local;
ii) Se f ′′(x0) < 0, enta˜o x0 e´ um ponto de ma´ximo local;
iii) Se f ′′(x0) = 0, o teste falha.
Integrais Indefinidas
∫
xndx =
xn+1
n+ 1
+C para n 6= −1
∫
dx = x+C
∫
1
x
dx = lnx+C
∫
exdx = ex+C
∫
ax ln adx = ax+C (0 < a 6= 1)
∫
1
x ln a
dx = loga x+C (0 < a 6= 1)
∫
cos xdx = sin x+C∫
sinxdx = − cosx+ C
∫
sec2 xdx = tanx+ C
∫
cossec2xdx = − cotx+ C∫
sec x tanxdx = sec x+C
∫
cossecx cotxdx = −cossecx+C
∫
1√
1− x2dx = arcsin x+C∫
1
1 + x2
dx = arctanx+C
∫
ku(x)dx = k
∫
u(x)dx+C
∫
[u(x)±v(x)]dx =
∫
u(x)dx±
∫
v(x)dx
2
d
dx
(∫
f(x)dx
)
= f(x)
∫
f ′(x)dx = f(x) + C
∫
f(u(x))u′(x)dx = f(u(x)) + C∫
udv = uv −
∫
vdu
Sn =
n−1∑
k=0
f(xk)∆x =
(b− a)
n
n−1∑
k=0
f
[
a+
(b− a)k
n
]
Sn =
n∑
k=1
f(xk)∆x =
(b− a)
n
n∑
k=1
f
[
a+
(b− a)k
n
] n∑
k=1
1 = n
n∑
k=1
k =
n(n+ 1)
2
n∑
k=1
k2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
n∑
k=1
k3 =
n2(n+ 1)2
4
∫ a
b
f(x)dx = −
∫ b
a
f(x)dx
∫ b
a
f(x)dx = lim
n→∞
(b− a)
n
n−1∑
k=0
f
[
a+
(b− a)k
n
]
= lim
n→∞
(b− a)
n
n∑
k=1
f
[
a+
(b− a)k
n
]
f(ξ) = µ =
1
b− a
∫ b
a
f(x)dx
∫ b
a
f(x)dx = F (b)− F (a) L =
∫ b
a
√
1 + [f ′(x)]2dx
µ e´ chamado de valor me´dio de f .
Se f e´ uma func¸a˜o par, isto e´, f(x) = f(−x) enta˜o ∫ a−a f(x)dx = 2 ∫ a0 f(x)dx. Se f e´ uma
func¸a˜o ı´mpar, isto e´, f(−x) = −f(x) enta˜o ∫ a−a f(x)dx = 0.
L =
∫ d
c
√
1 + [g′(y)]2dy L =
∫ b
a
√
[f ′(t)]2 + [g′(t)]2dt
V = pi
∫ d
c
[g(y)]2dy A =
∫ b
a
f(x)dx A =
∫ d
c
g(y)dy V = pi
∫ b
a
[f(x)]2dx
3