APX3-CIII-2020-2-gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
APX3 de Cálculo III – Gabarito – 2020-2
Código da disciplina: EAD 01015 (Matemática/F́ısica/Qúımica ) e EAD 16062
(Engenharia de Produção )
Nome: Matŕıcula:
Atenção!
• PREENCHER CADA FOLHA DE RESPOSTA COM
NOME, MATŔICULA e POLO;
• ESCREVER O TOTAL DE FOLHAS UTILIZADAS;
• APRESENTAR RESPOSTAS COM TODOS OS
CÁLCULOS;
• APRESENTAR RESPOSTAS MANUSCRITAS, POIS RES-
POSTAS DIGITADAS RECEBERÃO NOTA ZERO;
• USAR APENAS CANETAS AZUIS OU PRETAS;
• ENVIAR TODOS OS ARQUIVOS EM FORMATO PDF.
Questão 1 (3,0 pontos)
Calcule os seguintes limites:
(a) (1,5 ponto) lim
(x,y)→(0,0)
x3 − y3
x4 − y2
;
(b) (1,5 ponto) lim
(x,y)→(0,0)
1− cos x
xy
.
Solução:
(a) Ponhamos
f(x, y) := x
3 − y3
x4 − y2
para cada (x, y) ∈ R2 satisfazendo x2 6= |y|. Como
lim
t→0
f(0, t) = lim
t→0
03 − t3
04 − t2 = limt→0 t = 0
e
lim
t→0+
f(t, 0) = lim
t→0+
t3 − 03
t4 − 02 = limt→0+
1
t
= +∞
deduzimos que lim
(x,y)→(0,0)
x3 − y3
x4 − y2
não existe.
(b) Ponhamos
g(x, y) := 1− cos x
xy
,
para cada (x, y) ∈ R2 tal que xy 6= 0. Como
lim
t→0
g(t, t) = lim
t→0
1− cos t
t2
= lim
t→0
sen t
2t =
1
2
Cálculo III APX3 2
e
lim
t→0+
g(t, t2) = lim
t→0+
1− cos t
t3
= lim
t→0+
sen t
3t2 = limt→0+
cos t
6t = +∞,
deduzimos que lim
(x,y)→(0,0)
1− cos x
xy
não existe.
Questão 2 (3,0 pontos)
Considere a função f : R2 −→ R, definida por
f(x, y) =

y6
x9 + y6 se (x, y) 6= (0, 0);
1 se (x, y) = (0, 0).
(a) (1,0 ponto) Decida se f é cont́ınua em (0,0);
(b) (1,0 ponto) Calcule as derivadas parciais de f em (0, 0), caso existam;
(c) (1,0 ponto) Sem utilizar a definição de diferenciabilidade, decida se f é diferenciável em (0, 0).
Solução:
(a) Uma vez que
lim
t→0
f(t, 0) = lim
t→0
06
t9 + 06
= lim
t→0
0
= 0
e
lim
t→0
f(0, t) = lim
t→0
t6
09 + t6
= lim
t→0
1
= 1,
chegamos à conclusão de que não existe lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y). Portanto, f não é cont́ınua em (0, 0).
(b) Observemos que
lim
h→0+
f(0 + h, 0)− f(0, 0)
h
= lim
h→0+
06
h9+06 − 1
h
= lim
h→0+
−1
h
= −∞,
donde não existe fx(0, 0). Por outro lado,
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Cálculo III APX3 3
lim
h→0
f(0, 0 + h)− f(0, 0)
h
= lim
h→0
h6
09+h6 − 1
h
= lim
h→0
1− 1
h
= 0,
ou seja, fy(0, 0) = 0.
(c) A função f não é diferenciável em (0, 0), pois não é cont́ınua em tal ponto.
Questão 3 (4,0 pontos)
Considere a função f : R2 −→ R, definida por
f(x, y) = xy − 10x− 5y + 50.
(a) (3,0 pontos) Encontre os pontos cŕıticos de f , classificando cada um como ponto de ḿınimo
local , ou como ponto de máximo local , ou como ponto de sela ;
(b) (1,0 ponto) É verdade que a função f não assume valores máximo e ḿınimo em
D =
{
(x, y) ∈ R2; (x− 5)2 + (y − 10)2 ≤ 1
}
,
uma vez que (5, 10) ∈ D? Justifique a sua resposta.
Solução:
(a) Como
fx(x, y) = y − 10
e
fy(x, y) = x− 5
para quaisquer (x, y) ∈ R2, os pontos cŕıcos de f são as soluções do sistema determinado pelas
equações
y − 10 = 0 e x− 5 = 0.
Portanto,
P = (5, 10)
é o único ponto cŕıtico de f . Agora, notemos que
fxx(x, y) ≡ 0 =⇒ fxx(P ) = 0;
fyy(x, y) ≡ 0 =⇒ fyy(P ) = 0;
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Cálculo III APX3 4
fxy(x, y) ≡ 1 =⇒ fxy(P ) = 1.
Nesse caso, sendo
H(x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y)− [fxy(x, y)]2,
para cada (x, y) ∈ R2, segue que
H(P ) = 0 · 0− 12 = −1 < 0 =⇒ P é um ponto de sela de f.
(b) Como a função f é cont́ınua e o disco D ⊂ R2 é um conjunto compacto, tal função assume
SIM valores máximo e ḿınimo em
D =
{
(x, y) ∈ R2; (x− 5)2 + (y − 10)2 ≤ 1
}
,
o que não é afetado pelo fato de o ponto cŕıtico P = (5, 10) de f pertencer a D.
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RASCUNHO
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