ENG1007_G3_11_1BG

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4,5 kN 
B 
3 kN/m 
1,0 m 1,0 m 5,0 m 
A 
ENG 1007 – INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
Segunda prova (G3) – turmas B e G 16/06/2011 
Nome: 
Matrícula: 
Turma: 
 
1a Questão (2,5 pontos) 
Calcule as reações no apoio B da estrutura esquematizada abaixo, assim como a força no cabo em 
A. Faça um esboço do resultado obtido, indicando módulo, direção e sentido das reações que atuam 
sobre a estrutura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1a 2a 3a 4a Nota 
 
2a Questão (2,5 pontos) 
A viga da figura está submetida a um determinado carregamento, apresentando os diagramas de 
esforço cortante (V) e momento fletor (M) abaixo. Não há esforço normal. Determine: 
a) As reações de apoio 
b) As distâncias marcadas 
c) O carregamento (cargas concentradas e distribuídas) 
d) As expressões algébricas para o esforço cortante e o momento fletor 
 
 
 )()( xq
dx
xdV
−= 
 
)()( xV
dx
xdM
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
V 
(kN) 
M 
(kNm) 
x 
-8 -10,4 
20 
16 
4,96 
+ 
− 
x
qM
V
dx
V dV+
M dM+
0,5m
3a Questão (2,5 pontos) 
Considere a viga formada por duas peças, de mesmo material e altura h1 = 10 cm e h2 = 20 cm, 
coladas como indicado na figura. Sabendo que a tensão cisalhante admissível do material é τadm = 
500 kPa e a tensão cisalhante máxima suportada pela cola é τcola = 300 kPa, pede-se o mínimo valor 
da base b para suportar o carregamento indicado. São dadas as reações de apoio e esquematizados 
os diagramas de esforço cortante (kN) e momento fletor (kN.m). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
2 2
 ; 
12
 
8 2
x z
z
xy
z
M bhy I
I
V h y
I
σ
τ
= =
 
= − 
 
x
qM
V
dx
V dV+
M dM+
y
4a Questão (2,5 pontos) 
A viga biapoiada ao lado está submetida a 
um carregamento triangular de expressão 
q(x) = 3x kN/m e a uma carga momento M 
= 6kNm na seção que dista 1m do apoio 
esquerdo, conforme indicado. 
As reações de apoio são RA = 5kN e RB = 
1kN. 
O diagrama de momento fletor é 
xxM 5
2
1 3 +−=
 ( 10 <≤ x ) 
65
2
1 3
−+−= xxM
 ( 21 ≤< x ) 
 
Calcular a expressão da deflexão transversal 
( )v x da viga, dada pela fórmula 
2
2
( ) ( )z
d v xEI M x
dx
= . 
Embora não seja necessário para os 
cálculos, as contas ficam facilitadas pela 
informação de que 5(1)
8z
EI v = − . 
 
 
x 
M=6 kNm 1m 1m 
q =6 kN/m 
5=AR 1=BR
V
5
1−
5,3
M
4,5
1,5-
0,1
( )v x
ENG 1007 – INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
Segunda prova (G3) – turmas B e G 16/06/2011 
1a Questão (2,5 pontos) 
Calcule a reação no apoio B da estrutura esquematizada abaixo, assim como a força no cabo em A. 
Faça um esboço do resultado obtido, indicando módulo, direção e sentido das reações que atuam 
sobre a estrutura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2a Questão (2,5 pontos) 
A viga da figura está submetida a um determinado carregamento, apresentando os diagramas de 
esforço cortante (V) e momento fletor (M) abaixo. Não há esforço normal. Determine: 
a) As reações de apoio 
b) As distâncias marcadas 
c) O carregamento (cargas concentradas e distribuídas) 
d) As expressões algébricas para o esforço cortante e o momento fletor 
 
 )()( xq
dx
xdV
−= 
 
)()( xV
dx
xdM
= 
 
 
 
 
 
 
Reações de apoio, distâncias e carregamento indicados na figura 
5,00 <≤ x : 0)( =xV , 0,15,0 ≤< x : 8)( −=xV , 2,20,1 ≤≤ x : 62)( −−= xxV 
5,00 <≤ x : 20)( =xM , 0,15,0 ≤< x : 248)( +−= xxM , 
2,20,1 ≤≤ x : 236)( 2 +−−= xxxM 
x
qM
V
dx
V dV+
M dM+
10,4 
- 
(V) 
(M) 
+ 
q = 2 kN/m 
0,5 m 0,5 m 1,2 m 
M = 20 kNm 
x 
P = 8 kN 4,96 
-8 
-10,4 
20 
16 
4,96 
4,5 kN 
B 
3 kN 
1,0 m 1,0 m 5,0 m 
A 
3,42 kN 
8,58 kN 
3a Questão (2,5 pontos) Resolução: 
Considere a viga formada por duas peças, de mesmo material e altura h1 = 10 cm e h2 = 20 cm, 
coladas como indicado na figura. Sabendo que a tensão cisalhante admissível do material é τadm = 
500 kPa e a tensão cisalhante máxima suportada pela cola é τcola = 300 kPa, pede-se o mínimo valor 
da base b para suportar o carregamento indicado. São dadas as reações de apoio e esquematizados 
os diagramas de esforço cortante (kN) e momento fletor (kN.m). 
 
 
Resolução: 
 
|Vmax| = 9,6 kN em x = 10+ m 
 
A = 0,3 b m2 
 
Cisalhamento máximo 
(x, y, z) = (10+; 0; qualquer z) 
bb
48Pa
3,0
 10 6,95,1
3
max =
⋅
=τ kPa 
50048 =< cadmb
τ kPa => b> 9,6 cm 
 
 
Cisalhamento na cola 
(x, y, z) = (10+; -0,05; qualquer z) 
bb
67,42Pa05,0
4
3,0
3,0
 10 6,96 2
2
3
3
=





−
⋅
⋅
=τ kPa 
30067,42 =< colab
τ kPa => b> 14,2 cm 
 
R: b = 14,2 cm 
 
4a Questão (2,5 pontos) 
A viga biapoiada ao lado está submetida a 
um carregamento triangular de expressão 
q(x) = 3x kN/m e a uma carga momento M 
= 6kNm na seção que dista 1m do apoio 
esquerdo, conforme indicado. 
As reações de apoio são RA = 5kN e RB = 
1kN. 
O diagrama de momento fletor é 
xxM 5
2
1 3 +−=
 ( 10 <≤ x ) 
65
2
1 3
−+−= xxM
 ( 21 ≤< x ) 
 
Calcular a expressão da deflexão transversal 
( )v x da viga, dada pela fórmula 
2
2
( ) ( )z
d v xEI M x
dx
= . 
Embora não seja necessário para os 
cálculos, as contas ficam facilitadas pela 
informação de que 5(1)
8z
EI v = − . 
Gabarito: 
Serão realizadas integrações em dois trechos, com as seguintes condições de contorno, para a 
determinação das constantes de integração: 1 2(0) 0, (2) 0v v= = , 1 2
5(1) (1) ,
8 z
v v
EI
 
= = − 
 
 além de 
1 2(1) (1)dv dv
dx dx
= . 
Primeiro trecho, 0 1x≤ ≤ : 
2 3 4 5
2 31 1
1 1 1 22
( ) ( ) 5 55 ( )
2 8 2 40 6z z z
d v x dv xx x xEI x EI x C EI v x x C x C
dx dx
= − + ⇒ = − + + ⇒ = − + + +
 
Mas 1 1 1 2
5 43(0) 0, (1) ; 0
8 30z
v v C C
EI
= = − ⇒ = − =
5
3
1
5 43( )
40 6 30z
xEI v x x x∴ = − + −
 
Segundo trecho, 1 2x≤ ≤ : 
2 3 4 5
2 3 22 2
3 2 3 42
( ) ( ) 5 55 6 6 ( ) 3
2 8 2 40 6z z z
d v x dv xx x xEI x EI x x C EI v x x x C x C
dx dx
= − + − ⇒ = − + − + ⇒ = − + − + +
Mas 2 2 3 4
5 137(1) , (2) 0 ; 3
8 30z
v v C C
EI
= − = ⇒ = = −M
5
3 2
2
5 137( ) 3 3
40 6 30z
xEI v x x x x∴ = − + − + −
 
Verificação: 
1 2(1) (1)dv dv
dx dx
=
 
 
 
x 
M=6 kNm 1m 1m 
q =6 kN/m 
5=AR 1=BR
V
5
1−
5,3
M
4,5
1,5-
0,1
( )v x