Apostila Matematica II unidade Noturno

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COLÉGIO ESTADUAL PORTO DE SAUIPE 
Professor Gene – Matemática Unidade Maio-Junho 
 
 
 
Componente: Matemática Turmas: 1° ANO A – NOTURNO (2021) 
Professor: Gene Santos Aluno (a): _________________________ 
Prezados estudantes: Para um melhor entendimento, segue link para reforço de conteúdo. 
https://youtu.be/tDbgcB4CwC8 
 
Plano cartesiano 
O plano cartesiano é formado por duas retas reais perpendiculares, ou seja, o ângulo 
entre elas é de 90°. Essas retas determinam um único plano, que é denominado com sistema 
ortogonal de coordenadas cartesianas ou somente plano cartesiano. 
No ano de 1637, René Descartes teve a brilhante ideia de relacionar álgebra e 
geometria, dando início à conhecida geometria analítica, método que possibilita descrever a 
geometria utilizando uma menor quantidade de diagramas e desenhos. Apesar de os créditos 
dessa descoberta serem dados a Descartes, Pierre de Fermat já conhecia e utilizava alguns 
conceitos de geometria analítica, logo o plano cartesiano. 
 
Para que serve um plano cartesiano? 
 
O plano cartesiano é um sistema de coordenadas desenvolvido por René Descartes. 
Esse sistema de coordenadas é formado por duas retas perpendiculares, chamadas de eixos 
cartesianos. Esses eixos determinam um único plano, assim, é possível determinar a 
localização no sistema de coordenadas de todo os pontos e, consequentemente, de qualquer 
objeto formado por esses pontos que estejam nesse plano. 
 
 
 
 
https://youtu.be/tDbgcB4CwC8
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/retas-perpendiculares.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/geometria-analitica.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/o-que-e-plano.htm
 
 
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Como se faz um plano cartesiano? 
 
O plano cartesiano é formado por duas retas reais em que o ângulo entre elas é de 90°, 
ou seja, elas são perpendiculares. Essas retas são chamadas de eixos. Assim, há o eixo 
horizontal, que é chamado de eixo das abscissas, e o eixo vertical, que é o eixo das 
ordenadas. 
 
Perceba que as retas perpendiculares dividem o plano em quatro regiões, que são 
chamadas de quadrantes – isso porque as duas retas perpendiculares dividem o plano 
em quatro regiões. 
Vamos representar os quadrantes no sentido anti-horário. Veja: 
 
 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/angulos.htm
 
 
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Ponto em um plano cartesiano 
Para localizar um ponto, basta marcar o valor no eixo das abscissas e, em seguida, o 
valor no eixo das ordenadas. Depois trace uma reta perpendicular aos pontos x e y 
encontrados. O local onde essas retas perpendiculares se encontram é onde ponto P está. 
 
Exemplo 
Questão 1 – Marque os pontos A (2, 3), B (-2,5), C (-3, -2) e D (1, -4) no plano cartesiano. 
Solução 
 
 
 
 
 
 
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ATIVADADES 
 
1. Maria fez um mapa da sua escola utilizando o plano cartesiano e marcou o ponto exato 
em que cada lugar estava: 
 
Qual é a coordenada que representa o bebedouro? 
 
 
2. Identifique no plano cartesiano a reta formada pelos pontos A(2, -1) e B(-3, 2). 
3. Um triângulo é formato pelos pontos A(-2, 3), B(3, 1) e C(-2, 1) no plano cartesiano, 
calcule a área e o perímetro deste triângulo em centímetro. 
4. Localizar (Sugestão: Se possível utilize o papel milimetrado) e rotular no plano 
cartesiano os pontos A (0 , -3) , B (3 , -4) , C (5 , 6) , D (-2 , -5) e E (-3 , 5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Domínio e Imagem – Conjuntos de entrada e saída 
(Link para reforço de conteúdo: https://www.youtube.com/watch?v=G3zjNRYbDv8&list=RDCMUCW9_n8p_Byz-
4k8wV1tnUBg&index=1) 
 
O conceito de Domínio e Imagem é fundamental para o estudo de funções, pois 
representam os conjuntos de entrada e saída, respectivamente, de uma função. Eles 
podem ser conceituados da seguinte forma: 
1) Domínio: é o conjunto de todas as possíveis entradas, ou seja, é o conjunto de 
todos os valores nas quais a variável independente, , pode assumir. 
2) Imagem: é o conjunto de todas as saídas oriundas do conjunto das entradas, ou 
seja, é o conjunto que possui a variável dependente , que tem sua origem em . 
Obs: A imagem não é necessariamente igual ao contradomínio. O contradomínio é o 
conjunto de saídas, ou seja, contém toda a imagem, mas pode conter também outros 
elementos. 
Uma função com domínio e imagem pode ser projetada graficamente 
em um plano cartesiano, na qual . 
Função 
Para entender o que são domínio, contradomínio e imagem, precisamos definir o que é 
função. 
Conhecemos como função uma relação entre dois conjuntos A e B, em que, para 
todo elemento do conjunto A, existe um único correspondente no conjunto B. Perceba 
que na função os valores do conjunto A, conhecido como domínio, são relacionados 
aos seus correspondentes no conjunto B, conhecido como contradomínio, dependendo 
do comportamento dessa função, o que conhecemos como lei de formação. 
 
 
 
 
 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/conjuntos-numericos.htm
 
 
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Exemplos: 
 
Trata-se de uma função, pois satisfaz a definição, todo elemento de A possui um único 
correspondente em B. 
 
Não se trata de uma função, pois há elementos no domínio que não possuem 
correspondente em B, o que contradiz a definição. 
 
 
Também não é uma função, pois há elementos do conjunto A que possuem dois 
correspondentes no conjunto B, o que contradiz a definição. 
 
 
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É função, pois as restrições são para o domínio, ou seja, o conjunto A não tem 
problema algum caso sobre elementos no contradomínio ou caso exista um elemento 
de B correspondente a dois elementos distintos em A. 
Domínio da função 
Dada uma função qualquer, o domínio é formado pelos valores que o x pode 
assumir. Na maioria das vezes, trabalhamos a função que vai de R em R, ou seja, o 
domínio é o conjunto dos números reais e o contradomínio também, entretanto, 
pode ser que haja algumas restrições para o domínio. 
Exemplo 1: 
Vamos começar com um exemplo mais simples, essa função f(x) = 2x f: A → B, A = {1, 
2, 3, 4, 5} e B ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. 
Nesse caso o domínio da função D(f): {1, 2, 3, 4, 5}. 
Agora, analisando a lei de formação e pensando em uma função R → R, eliminaremos 
as possíveis restrições do domínio, por exemplo, se a função possuir a lei de 
formação: 
 
Note que o x não pode ser igual a 0, já que isso causaria uma indeterminação, pois 
não é possível dividir 1 por 0. Nesse caso o domínio da minha função não pode ser 0, 
então o D(f) = R* (conjunto dos números reais não nulos). 
Outro exemplo bastante comum são funções com radical. Quando trabalhamos com 
raiz quadrada, os valores que estão dentro da raiz não podem ser negativos, pois 
estamos trabalhando com números reais, e, no conjunto dos números reais, não existe 
raiz quadrada para números negativos, o que justifica a criação posteriormente do 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/conjunto-dos-numeros-reais.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/divisao.htm
 
 
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conjunto dos números complexos. Vamos analisar um exemplo de função com radical 
e determinar seu domínio. 
 
Exemplo 2: 
 
Note que, nesse caso, x – 10 precisa ser maior ou igual a zero já que não existe raiz 
quadrada de números negativosno conjunto dos números reais: 
 
 
Contradomínio 
Como vimos, o contradomínio de uma função f: A → B é o conjunto B. O 
contradomínio que mais trabalhamos é o conjunto dos números reais. É importante 
lembrarmo-nos de que no domínio todo elemento tem que ter necessariamente um 
correspondente no contradomínio, porém não há uma restrição para o 
contradomínio, logo, o conjunto pode ter elementos que não sejam correspondentes 
de ninguém no domínio, um exemplo seria a função f(x) = x² com f: R → R. 
Note que por mais que nessa função a imagem nunca seja negativa, ou seja, para todo 
valor de x, x² é sempre um número positivo, ainda sim o contradomínio pode ser os 
números reais. Ter um resultado sempre positivo faz com que a imagem seja sempre 
um número positivo, o que não altera o contradomínio. 
Imagem 
O conjunto imagem da função é um subconjunto do contradomínio formado por todos 
os elementos correspondentes de algum elemento do domínio. 
Exemplo 1: 
Encontre a imagem da função f(x) = x² f: R → R: 
f(1) = 1² = 1, a imagem da função quando x é igual a 1 é 1. 
f(2) = 2² = 4, a imagem da função quando x é igual a 2 é 4. 
Analisando a função de forma geral, para encontrarmos o conjunto imagem, sabemos 
que x² com x pertencente ao real sempre será um número positivo, logo, o conjunto 
imagem será: 
Im(f) = R+ (conjunto dos números reais positivos). 
 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/subconjuntos-relacao-inclusao.htm
 
 
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Exemplo 2: 
Seja f = 2x – 1 f: A → B em que A = {0, 1, 2, 3} e B = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, qual será 
o conjunto imagem? 
Nesse caso, o conjunto imagem será formado pela imagem de cada um dos elementos 
do conjunto A. 
f(0) = 2 · 0 – 1 = 0 – 1 = -1 
f(1) = 2 · 1 – 1 = 2 – 1 = 1 
f(2) = 2 · 2 – 1 = 4 – 1 = 3 
f(3) = 2 · 3 – 1 = 6 – 1 = 5 
É necessário que todos esses elementos estejam no conjunto B, caso contrário, f: A → 
B não seria uma função. Como todos os elementos pertencem ao conjunto B, o 
conjunto imagem da função será: 
Im(f) = {-1, 1, 3, 5} 
 
ATIVIDADE 
1. Uma função f é uma regra que relaciona cada elemento do conjunto A a um único 
elemento do conjunto B. A respeito das definições de domínio, contradomínio e imagem de 
uma função, assinale a alternativa correta: (RESPOSTA JUSTIFICADA) 
a) Seja f(x) = y a função acima, o domínio dessa função é o conjunto de números que podem ser 
relacionados à variável y dependente. 
b) Seja f(x) = y a função acima, o domínio dessa função é o conjunto de números relacionados à 
variável independente x. 
c) O contradomínio de uma função é o conjunto de todos os resultados que se relacionam a 
algum elemento do domínio. 
d) A imagem de uma função é o conjunto numérico com todos os valores que podem ser 
relacionados a algum elemento do domínio. 
e) Uma função jamais poderá ter domínio igual ao contradomínio. 
 
 
 
 
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2. Dada a função f(x) = 3x – 2, o domínio {2, 3, 4} e o contradomínio composto pelos 
naturais entre 1 e 10, determine o conjunto imagem dessa função? 
 
 
3. Dada a função f(x) = 2x, com domínio igual ao conjunto dos números naturais, assinale a 
alternativa correta relativa a seu domínio, contradomínio e imagem.(resposta justificada) 
a) O domínio dessa função possui todos os números inteiros. 
b) Não é possível usar essa função para qualquer fim, pois o seu contradomínio não está bem 
definido. 
c) A imagem dessa função é igual ao conjunto dos números pares não negativos. 
d) O contradomínio dessa função não pode ser o conjunto dos números naturais. 
e) A imagem dessa função é igual ao seu domínio. 
 
4. Assinale a alternativa abaixo que apresenta o conjunto que não pertence ao domínio da 
função: (Resposta justificada com os cálculos) 
 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
e) 20 
5. Considere a função f: A B representada pelo diagrama a seguir: 
 
 
https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-dominio-contradominio-imagem.htm
 
 
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Determine: 
a) o domínio (D) de f; 
b) f(1), f(-3), f(3) e f(2); 
c) o conjunto imagem (Im) de f; 
 
6. Dada a função f: IR IR (ou seja, o domínio e a contradomínio são os números reais) 
definida por f(x)= -5x+6, calcule: 
a) f(2), f(3) e f(0); 
 
b) o valor de x cuja imagem vale 2. 
 
 
 =