FÍSICA- TERMODINÂMICA E ONDAS - AULAS - 1+2+3+4+5+6

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Física 
Termodinâmica e Ondas 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 1 
 
 
Professor Cristiano Cancela da Cruz 
 
 
 
 
 
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Conversa Inicial 
Olá! Você está no primeiro encontro de Física: Termodinâmica e Ondas! 
Preparado para começar esta aula e enriquecer os seus conhecimentos? 
 Pegue papel e caneta e vamos lá! Ao realizar o estudo cinemático do 
movimento de determinados objetos foi possível verificar que esses movimentos 
são classificados de acordo com a trajetória percorrida (movimento retilíneo, 
movimento parabólico, movimento circular). Quando estes movimentos se 
repetem indefinidamente, seja qual for a trajetória, eles são chamados de 
movimento periódico ou oscilação. O movimento dos planetas ao redor do 
sol, a oscilação do pêndulo de um relógio, o bater das asas de um beija-flor, o 
sobe e desce de um barco na água, são exemplos de movimentos periódicos. 
O que caracteriza um movimento periódico, diferenciando-o de outro do 
mesmo tipo, são as grandezas físicas envolvidas no movimento, como a 
amplitude, o período, a frequência e a frequência angular. Nosso objetivo nesta 
aula é conhecer e entender estas principais grandezas físicas envolvidas, 
definindo o mais simples movimento de oscilação conhecido como movimento 
harmônico simples (MHS) e aplicá-las em alguns tipos de osciladores, como o 
pêndulo simples e o pêndulo físico. 
Também verificaremos as energias envolvidas neste tipo de movimento e 
a aplicação delas no estudo do MHS. Além de estudarmos as razões pelas quais 
algumas oscilações diminuem de amplitude no decorrer do tempo e outras 
aumentam produzindo deslocamentos cada vez maiores quando forças externas 
atuam sobre o sistema. 
 
Bons estudos e vamos ao trabalho! 
 
 
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Que tal começar com a introdução feita pelo professor Cristiano? É ele que 
guiará você ao longo desta disciplina. Acompanhe no material online. 
 
Contextualizando 
 
Terremotos são oscilações da crosta terrestre que são causados por 
falhas geológicas, erupções vulcânicas e pelo encontro de placas tectônicas. As 
regiões da crosta terrestre mais suscetíveis à ocorrência de terremotos são as 
regiões próximas às bordas das placas tectônicas. O Brasil localiza-se no centro 
da placa tectônica denominada placa Sul-Americana, que possui 
aproximadamente 200 quilômetros de espessura, nesta localização geográfica 
os tremores possuem baixa magnitude e intensidade. Mas mesmo assim, no dia 
26/11/2015 um forte terremoto atingiu a região norte do país. O tremor com 
magnitude de 6,7 na escala Richter atingiu a cidade de Tarauacá no Acre. 
Segundo o centro geológico dos Estados Unidos, o epicentro ocorreu a 604 km 
de profundidade a cerca de 400 km da capital Rio Branco. 
Na América do Sul, países como Peru, Equador e Chile sofrem mais com 
terremotos pois estão localizados próximos à região de encontro das placas 
tectônicas Sul-Americana e de Nazca. Por esta razão, os engenheiros, ao 
projetarem construções e prédios, por exemplo, preocupam-se em reforçar sua 
estrutura para que suporte as oscilações provocadas pelos terremotos. 
Mas não são apenas os terremotos que provocam oscilações, estamos 
cercados deste tipo de movimento. Os pistões dos motores a combustão, as 
cordas do violão, a vibração das moléculas do ar durante a propagação do som, 
o movimento dos elétrons em um fio condutor metálico sujeito a uma corrente 
alternada, as vibrações de um cristal de quartzo em um relógio eletrônico e até 
mesmo o vento. 
 
 
 
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Um caso curioso, no qual as oscilações provocadas pelo vento foram 
capazes de destruir uma ponte, foi o ocorrido com a ponte de Tacoma Narrows, 
uma ponte pênsil de 1600 metros de comprimento, localizada no estado de 
Washington, Estados Unidos. A Ponte de Tacoma, como qualquer ponte pênsil, 
sempre balançava, porém, poucos meses após a sua inauguração, no dia 7 de 
novembro de 1940, o vento atingiu uma velocidade de aproximadamente 
70 km/h o que gerou movimentos de oscilações e de torção na ponte, fazendo 
com que a estrutura viesse a desabar. Veja acessando o link: 
https://www.youtube.com/watch?v=xPMwVVfaUYs 
 
Um movimento oscilatório é todo movimento onde o objeto material se 
move sujeito a forças restauradoras em dois sentidos, de forma alternada em 
torno de uma posição de equilíbrio estável. Apesar de todo formalismo 
matemático aplicado a oscilações ser fundamentado no movimento mecânico de 
objetos materiais, as mesmas relações são válidas quando tratarmos de ondas 
eletromagnéticas, como a luz, o raio x, ondas de rádio, micro-ondas, etc. 
 Mas o que diferencia uma oscilação da outra? O que diferencia um 
terremoto que causa muita destruição de outro que é apenas sentido como um 
tremor? Ou, por que o vento a 70 km/h destrói uma ponte e ventos com 
velocidade maior não? 
E em relação as ondas eletromagnéticas, o que diferencia a luz do raio x 
ou do micro-ondas? 
 
Todas as respostas para essas perguntas poderão ser explicadas e 
entendidas a partir do conhecimento das grandezas físicas envolvidas no 
movimento oscilatório, como a amplitude, o período, a frequência e a 
frequência angular. Então vamos resolvê-las! 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=xPMwVVfaUYs
 
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Pesquise 
TEMA 1: Modelo de oscilador 
Para facilitar nosso aprendizado iremos estudar o mais simples dos 
osciladores: um oscilador ideal que descreve movimento periódico. 
O movimento oscilatório, dito periódico, é um tipo de movimento que se 
repete em intervalos de tempo iguais. Os valores das grandezas como posição, 
velocidade, aceleração, entre outras, se repetem a cada movimento completo do 
oscilador. 
 
A partir da tela seguinte você verá exemplos, muita atenção! 
 
 
 
Na figura 1, a seguir, você pode observar um oscilador idealizado que 
realiza movimento periódico, conhecido como oscilador massa-mola. Este 
oscilador é composto por um bloco da massa m que desliza sobre um plano 
horizontal sem atrito e é preso à extremidade de uma mola que está fixa na outra 
ponta em um 
suporte vertical. 
 
 
 
 
 
 
A mola que você viu possui massa desprezível e pode ser comprimida ou 
esticada. Quando deformada, ela aplica no bloco uma força, a qual é a única 
força horizontal que atua sobre o bloco, a força vertical, força peso, é anulada 
pela força normal do plano sobre o bloco. 
 
 
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Para facilitar, definimos como origem do sistema de coordenadas o ponto 
O, que se encontra na posição de equilíbrio quando a mola está em repouso, 
neste ponto a mola não está nem esticada, nem comprimida. 
O eixo coordenado x fornece o componente do vetor deslocamento a partir 
da posição de equilíbrio, indicando a variação do comprimento da mola. Quando o 
bloco é deslocado da posição de equilíbrio por uma força externa, a força da mola 
(Fmola), chamada de força restauradora, tende a trazer o bloco novamente para 
posição de equilíbrio. 
 
 
 
Por exemplo, quando deslocamos o bloco para a direita do ponto O, na 
posição x = +A, figura 2, e então o liberamos, a única força, a força restauradora 
da mola atua para esquerda, produzindo uma aceleração ax também para 
esquerda. A partir daí, figura 3, como o movimento é acelerado, a velocidade do 
bloco aumenta até chegar no ponto O. 
 
 
Quando o bloco chega no ponto de equilíbrio, a força restauradora é igual a 
zero (Fmola = 0), neste momento ele não possui aceleração, porém como o bloco 
possui velocidade, ele continua o movimento e ultrapassa essa posição deslocando-
se para o lado esquerdo do ponto O. Agora a mola passa a ser comprimida,exercendo uma força restauradora para direita, e, portanto, contrária ao movimento, 
desacelerando o bloco até o repouso, que acontece no ponto x = - A, figura 4. 
 
 
 
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A mola agora está sofrendo compressão, a seguir ela acelera o bloco da 
esquerda para direita, a sua velocidade, portanto, aumenta enquanto a mola 
estica, ultrapassando novamente o ponto de equilíbrio e projetando o bloco para 
o lado direito até o ponto x = +A, onde o bloco atinge o repouso e a mola 
encontra-se novamente esticada pronta para iniciar o ciclo novamente. 
 
Se no sistema formado pelo oscilador massa-mola não existir atrito, ou 
qualquer outra força que retire energia do sistema, o movimento do oscilador se 
repetirá interminavelmente. 
Então, até aqui você viu a descrição do movimento do oscilador ideal que 
iremos utilizar para descrever as grandezas físicas envolvidas no movimento 
oscilatório, como amplitude, período, frequência e frequência angular. Apesar 
destas grandezas e definições serem obtidas através do oscilador ideal, elas são 
válidas para qualquer tipo de oscilação periódica, seja mecânica ou 
eletromagnética. 
O oscilador massa - mola também pode funcionar na 
vertical, eixo coordenado y. Porém, neste caso, ocorre a 
contribuição da força gravitacional. Como a força 
gravitacional é uma força conservativa, ela não irá dissipar 
energia mecânica do movimento e, portanto, o oscilador irá 
funcionar da mesma maneira. 
 
 
 
 
 
 
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Amplitude, Período, Frequência e Frequência Angular 
 
 A toda vez que o oscilador realiza um ciclo completo, ou seja, quando ele 
inicia na posição x = +A e depois volta a esta posição, o intervalo de tempo gasto 
para realizar esse ciclo é chamado de período (T). Sua unidade no sistema 
internacional de unidades é o segundo (s). 
O inverso do período é chamado de frequência (f), definida como o número 
de ciclos realizados pelo oscilador no intervalo de tempo, normalmente 1 
segundo. 
𝑇 =
1
𝑓
 ou 𝑓 =
1
𝑇
 
Em homenagem ao físico Heinrich Hertz, que muito contribuiu no estudo 
das ondas eletromagnéticas, a unidade de frequência é o Hertz (Hz), sendo: 
1 𝐻𝑒𝑟𝑡𝑧 = 1 𝐻𝑧 = 1
𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜
𝑠
 = 1 𝑠−1 
 
A frequência angular (), corresponde variação da posição angular, 
medida em radianos (rad), pelo tempo. Portanto a unidade de frequência angular 
é radiano por segundo (
𝑟𝑎𝑑
𝑠
). 
Como a frequência é dada em ciclos por segundo (
𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠
𝑠
) e uma oscilação 
completa resulta em 2𝜋
𝑟𝑎𝑑
𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜
, podemos relacionar as grandezas de frequência e 
frequência angular e período pela equação: 
𝜔 = 2𝜋𝑓 =
2𝜋
𝑇
 
A amplitude (A) do movimento oscilatório corresponde ao módulo 
máximo do vetor deslocamento do oscilador em relação a posição de equilíbrio 
O. 
A unidade de amplitude é o metro (m). 
 
 
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O professor Cristiano nos fala um pouco mais sobre o oscilador massa-
mola na videoaula a seguir. Confira no material online! 
 
TEMA 2: Movimento harmônico simples (MHS) 
Quando a força restauradora é proporcional ao deslocamento do oscilador 
em relação a posição de equilíbrio O, ele irá descrever o mais simples dos 
movimentos oscilatórios, denominado de Movimento Harmônico Simples ou 
de maneira abreviada “MHS”. 
Em nosso modelo, sistema massa - mola, isso irá ocorrer quando a mola 
utilizada obedecer à Lei de Hooke, ou seja, quando a força restauradora (Fmola) 
for dada por: 
 
𝐹𝑚𝑜𝑙𝑎 = − 𝑘 . 𝑥 
 
 
Esta relação matemática determina o módulo e a direção da força 
restauradora da mola, independente de x ser positivo, negativo ou nulo. 
De acordo com a Segunda Lei de Newton, a aceleração do bloco preso a 
mola será dada pela relação: 
𝐹𝑅 = 𝑚. 𝑎 
Logo: 
𝑎 = 
𝐹𝑅
𝑚
 
Como a força resultante (FR) atuante no bloco é a força da mola (Fmola), 
força restauradora, a aceleração será dada por: 
𝑎 = −
 𝑘 
𝑚
 𝑥 
 
 
Onde: 
k = constante de proporcionalidade (unidade = N/m) 
x = deslocamento em relação a posição de equilíbrio O (unidade = metro). 
 
 
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Repare que a aceleração depende do valor de x e esse varia a todo 
momento, portanto a aceleração do movimento do bloco não será constante. 
Repare também que devido ao sinal negativo a aceleração sempre terá sentido 
contrário ao deslocamento x. 
 
Leitura obrigatória. Aproveite este momento e acesse o livro “Física II”, de 
Sears e Zemansky em sua Biblioteca Virtual. Procure pelo capítulo “Movimento 
circular e as equações do movimento harmônico simples” na página 39. 
 
Podemos relacionar a frequência angular de um bloco de massa m que 
executa o movimento harmônico simples sob a ação de uma força restauradora 
de uma mola de constante da mola k, pela relação: 
𝜔 = √
𝑘
𝑚
 
Esta relação mostra que a frequência de oscilação de um oscilador 
harmônico simples no sistema massa - mola depende do próprio oscilador com 
suas características massa do bloco e constante da mola. 
 
Se substituirmos essa relação nas equações de frequência e período, 
 
𝑓 =
𝜔
2𝜋
 
 
Obtemos a frequência do oscilador, dada por: 
𝑓 =
1
2𝜋
√
𝑘
𝑚
 
 
E o período: 
 
 
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Repare que nas equações que você viu não há relação alguma com a 
amplitude (A) do movimento, portanto em um oscilador harmônico simples o 
período e a frequência de oscilação não dependem da amplitude. Para iniciar o 
movimento você poderia produzir um pequeno deslocamento em relação a 
posição de equilíbrio ou um grande deslocamento, mas independentemente do 
valor deste deslocamento as grandezas frequência e período do oscilador 
seriam sempre as mesmas. 
 
ATENÇÃO! 
 
Não confunda frequência e frequência angular. Você poderá se atrapalhar 
caso não saiba a diferença entre a frequência 𝑓 e a frequência angular 𝜔 = 2𝜋𝑓. 
A frequência informa o número de ciclos por segundo, enquanto a frequência 
angular informa o número de radinhos por segundo correspondente ao círculo 
de referência. Ao resolver um problema, verifique cuidadosamente se o objetivo 
é achar 𝑓
 ou
𝜔
. (SEARS apud ZEMANSKI. Física II, p.41. 2003)
 
 
Leitura obrigatória. Livro “Física II”, de Sears e Zemansky em sua Biblioteca 
Virtual, página 41. 
 
 Deslocamento, Velocidade e Aceleração no MHS 
 O gráfico abaixo mostra o deslocamento x do bloco oscilante em função 
do tempo no movimento harmônico simples, 
 
Figura 6 - Gráfico do deslocamento (x) em função do tempo (t) 
para o oscilador harmônico simples. 
 
 
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Queremos determinar a equação que descreve o comportamento da 
coordenada x em função do tempo para o MHS. De acordo com o gráfico da 
figura 6, percebe-se que o deslocamento x é uma função do tempo senoidal 
periódica. Sem entrar em muitos detalhes, iremos omitir alguns passos, a 
equação que descreve a variação da coordenada x em função do tempo é dada 
por: 
𝑥 = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + ϕ) 
 
 
Sendo: 
A = amplitude máxima 
w = frequência angular 
t = tempo 
f = ângulo de fase 
A constante f, ângulo de fase, indica em que ponto do ciclo de movimento 
o bloco oscilante se encontrava no início do movimento quanto t = 0. Vamos 
supor que quando o movimento do oscilador iniciou (t = 0) a coordenada x = xo, 
substituindo esses valores na equação, 
obtemos: 𝑥𝑜 = 𝐴 cos(𝜔. 0 + ϕ) Logo: 𝑥𝑜 = 𝐴 cos 𝜙 Se f = 0, então:𝑥𝑜 =
𝐴 cos 0 = 𝐴 
 
Ou seja, o oscilador começa seu movimento no deslocamento máximo 
positivo. Se f = p, então: 𝑥𝑜 = 𝐴 cos 𝜋 = −𝐴 
O movimento começa no deslocamento máximo negativo. Se f = p/2, 
então: 𝑥𝑜 = 𝐴 cos
𝜋
2
= 0. 
O movimento se inicia na origem.Sabendo a equação do deslocamento em função do tempo para o 
oscilador, podemos através da derivada primeira determinar a equação que 
descreve o comportamento da velocidade do bloco oscilante em função do 
tempo. 
 
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Lembrando que: 𝑣𝑥 = 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 
Então: 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
[𝐴 cos(𝜔𝑡 + ϕ)] 
Como a amplitude A é constante, ela sai do sinal de derivada, 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝐴 
𝑑
𝑑𝑡
[cos(𝜔𝑡 + ϕ)]. Sendo a derivada do cosseno igual a função seno com sinal 
negativo, e como a derivada é na variável t, devemos derivar 
𝑑𝜔𝑡
𝑑𝑡
= 𝜔, que sai 
da operação do cosseno passando multiplicar toda equação, dessa forma 
obtemos a velocidade no MHS por: 𝑣𝑥 = − 𝜔𝐴 sen(𝜔𝑡 + ϕ). 
Da mesma maneira vista, através da derivada segunda da posição em 
função do tempo do oscilador, podemos obter a equação que descreve o 
comportamento da aceleração em função do tempo para MHS. 
Sendo: 𝑎𝑥 = 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
= 
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑡
 
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
[− 𝜔𝐴 sen(𝜔𝑡 + ϕ)] 
Logo, resolvendo a derivada obtemos a equação da aceleração para o 
MHS: 𝑎𝑥 = − 𝜔
2𝐴 cos(𝜔𝑡 + ϕ) 
 
Leitura obrigatória. Livro “Física II”, de Sears e Zemansky em sua Biblioteca 
Virtual, páginas 44 e 45, “estratégia para solução de problemas”. 
 
 Acesse o link a seguir para ver outro simulador: 
http://phet.colorado.edu/sims/mass-spring-lab/mass-spring-lab_en.html 
 
E o que será que o professor Cristiano tem mais a nos dizer sobre o MHS? 
Assista no conteúdo online! 
 
TEMA 3: Energia no movimento harmônico simples 
Até agora estudamos o MHS no ponto de vista cinemático relacionando 
posição, velocidade, aceleração e tempo. No entanto, podemos obter outras 
informações se observarmos e levarmos em conta os tipos de energias 
envolvidas no movimento. 
http://phet.colorado.edu/sims/mass-spring-lab/mass-spring-lab_en.html
 
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No modelo de oscilador massa – mola horizontal descrito no início da aula 
foi possível verificar que a força resultante é determinada por uma única força 
envolvida no movimento, a força da mola. Destacamos aqui que esta força é uma 
força conservativa, sendo então a energia mecânica total do sistema constante. 
Considerando que a massa da mola é desprezível podemos determinar a energia 
cinética do bloco oscilante pela relação: 𝐾 = 
1
2
𝑚. 𝑣2 
Já a energia potencial elástica da mola poderá ser determinada por: 𝑈 =
 
1
2
𝑘. 𝑥2 
Como não existe nenhuma força dissipativa no movimento, a energia 
mecânica total (E) será conservada e será dada pelo somatório da energia 
cinética com a energia potencial elástica, matematicamente: 
𝐸 = 
1
2
𝑚. 𝑣2 + 
1
2
𝑘. 𝑥2 
 
Veja a figura: 
 
 
 
 
 
 
Figura 7 – Gráficos da energia cinética, potencial e mecânica para o MHS. 
Fonte: Livro Sears e Zemansky. Física II. p.46, 2003. 
 
 
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A figura 7 que você viu na tela anterior mostra alguns deslocamentos 
característicos do oscilador para as posições quando x = 0, x = + A/2 e x = + A. 
Abaixo de cada desenho encontram-se os gráficos de energia mecânica com as 
parcelas de energia cinética e energia potencial para cada uma dessas posições. 
 
Repare que nos extremos do movimento, quando x = + A, ou x = - A, a 
energia cinética é nula. Isso se deve ao fato que nestes pontos a velocidade do 
bloco é igual a zero. Por outro lado, nestes extremos, a mola ou está sofrendo 
compressão máxima (ponto x = - A) ou está sofrendo elongação máxima (ponto 
x = + A), devido a deformação máxima nestes pontos a energia potencial elástica 
será máxima. 
Já quando o oscilador encontra-se passando pela origem, ponto de 
equilíbrio O, seja para direita ou para esquerda, a velocidade do bloco oscilante 
é máxima e, portanto, neste ponto a energia cinética também é máxima. Mas 
como a mola não está sofrendo deformação alguma (ponto de equilíbrio), a 
energia potencial elástica neste ponto será igual a zero. 
Em qualquer outra posição entre o ponto de equilíbrio (x = 0) e as 
amplitudes máximas (x = + A), o oscilador irá possuir energia cinética 
(velocidade), como também energia potencial elástica (mola possui 
deformação), é o que acontece nos pontos médios (x = + A/2). 
 
Leitura obrigatória. Livro “Física II”, de Sears e Zemansky em sua Biblioteca 
Virtual, página 47, “estratégia para solução de problemas. Ver exemplos 13.2 e 
13.4. 
 
Professor Cristiano, o que mais precisamos saber sobre o Movimento 
Harmônico Simples? Acesse o material online para saber! 
 
 
 
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TEMA 4: Pêndulo simples 
Um pêndulo simples é um modelo de oscilador, ele é constituído por um 
objeto, geralmente uma esfera, a qual é presa em uma das extremidades de um 
fio que não estica e de massa desprezível e a outra extremidade do fio é fixa em 
um suporte. 
Quando a esfera é deslocada da posição de equilíbrio, determinado 
ângulo q, e em seguida é solta, ela oscila em torno da posição de equilíbrio como 
um balanço, descrevendo uma trajetória na forma de um arco de circunferência 
que possui raio L igual ao comprimento do fio, veja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma limitação para que o pêndulo simples visto na tela anterior comporte-
se promovendo um movimento harmônico simples é que o ângulo q seja 
pequeno. Como vimos, no estudo do sistema massa - mola, o movimento 
harmônico simples exige que a força restauradora seja proporcional à distância 
x ou ao ângulo q. 
A força restauradora no pêndulo simples é a força gravitacional, mostrada 
na figura 8 como o produto massa pela aceleração da gravidade (mg). Em 
determinado instante, que não seja na posição de equilíbrio, a força gravitacional 
pode ser decomposta em componentes retangulares (mg senq e mg cosq). 
 
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A componente (mg cosq) é anulada pela tração no fio, representado na 
figura pelo vetor T, portanto a força restauradora atuante no pêndulo simples é 
dada por mg senq. 
𝐹𝜃 = −𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 
 
Contudo, como se pode ver, a força restauradora não é proporcional ao 
ângulo q, mas sim a (senq), e nesse caso o movimento não é harmônico simples. 
Porém, se utilizarmos uma aproximação, quando o ângulo q, medido em 
radianos, for suficientemente pequeno, senq será aproximadamente igual a q 
(senq ≈ q), com isso podemos escrever a força restauradora como: 
𝐹𝜃 = −𝑚𝑔𝜃 
Ou, sendo: 𝑥 = 𝐿𝜃 Pode-se escrever: 𝐹𝜃 = −
𝑚𝑔
𝐿
𝑥 
 
Dessa forma a força restauradora é proporcional a coordenada x para 
pequenos deslocamentos, e a constante de proporcionalidade da força 𝑘 = 
𝑚𝑔
𝐿
 
Substituindo a constante de proporcionalidade na equação da frequência 
angular destacada no estudo do sistema massa – mola, podemos escrever: 
𝜔 = √
𝑘
𝑚
 
Então: 𝜔 = √
𝑚𝑔
𝐿
𝑚
= √
𝑔
𝐿
 , logo a frequência e o período do movimento do 
pêndulo simples podem ser escritos por: 𝑓 =
𝜔
2𝜋
𝑓 =
1
2𝜋
√
𝑔
𝐿
 e o período: 𝑇 =
2𝜋√
𝐿
𝑔
 
Deve ser lembrado que as relações que você viu são válidas somente 
para pequenas amplitudes, quando q for pequeno. 
 
 
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Sendo válidas estas relações, repare que as grandezas, a frequência 
angular, a frequência e o período do pêndulo simples não dependem da massa 
da esfera posta a oscilar, mas dependem do comprimento L do fio e também da 
aceleração da gravidade local. 
 
Veja outro simulador, no link: https://phet.colorado.edu/sims/pendulum-
lab/pendulum-lab_pt_BR.html 
 
Leitura obrigatória. Livro “Física II”, de Sears e Zemansky em sua 
Biblioteca Virtual, página 54. 
 
Oscilações Amortecidas 
 
Os sistemas oscilantes descritos até aqui, sistema massa–mola e pêndulo 
simples são considerados sistemas ideaisporque não possuem forças resistivas 
(atrito) e desta forma quando postos para oscilar, mantém o movimento 
infinitamente sem diminuir a amplitude. 
 Mas em sistemas reais isso não acontece, pois nestes a força de atrito 
está presente, dissipando a energia do movimento e reduzindo a amplitude 
gradativamente até atingir o repouso. A diminuição da amplitude é chamada de 
amortecimento, por isso o nome, oscilações amortecidas. 
 
O gráfico a seguir mostra a posição x em função do tempo para um 
sistema de oscilações amortecidas. 
https://phet.colorado.edu/sims/pendulum-lab/pendulum-lab_pt_BR.html
https://phet.colorado.edu/sims/pendulum-lab/pendulum-lab_pt_BR.html
 
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Verifique que a cada período de oscilação a amplitude do movimento do 
oscilador diminui, quanto maior for a força de amortecimento mais rapidamente 
a amplitude será reduzida. Quando a força de amortecimento for suficientemente 
grande, ao ser deslocado da posição de equilíbrio e posto para oscilar, o 
oscilador retorna para posição de equilíbrio sem oscilar, ocorrendo o 
amortecimento crítico. E, quando além de não oscilar, o oscilador voltar para a 
posição de equilíbrio, lentamente temos o superamortecimento. 
 
Oscilações forçadas e Ressonância 
Naturalmente se um oscilador amortecido é deixado para oscilar 
livremente, seu movimento tende a cessar atingindo o repouso. Contudo, se a 
cada movimento de ir e vir e uma força externa atuar no oscilador e o movimento 
continuar mantendo a amplitude máxima constante (e isso é claro) enquanto a 
força externa atuar, damos a este tipo de oscilação a denominação de oscilação 
forçada. 
Um relógio de pêndulo mantém seu movimento por oscilação forçada 
através de uma força promovida por uma mola de corda ou por pesos suspensos 
fornecendo energia para suprir a dissipação da energia mecânica devido ao atrito 
nas engrenagens e no pivô do pêndulo. 
 
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Um ponto de vista interessante em relação a oscilação forçada ocorre 
quando a frequência com que a força propulsora atua no sistema é 
aproximadamente igual à frequência natural das oscilações do sistema oscilante. 
Quando isso ocorre dizemos que o sistema está em ressonância. 
 
Sobre o pêndulo simples, assista no material online o que mais o professor 
Cristiano tem a nos ensinar! 
 
Trocando ideias 
Lembra do exemplo introdutório sobre a ponte que despencou devido a 
um vento de 70 km/h nos Estados Unidos? Com esta ideia, pesquise por outros 
exemplos com base no que você estudou até aqui e poste para os seus colegas 
no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA), veja também o que postaram e 
comente! 
 
Na Prática 
Hora de refletir! 
Pare e olhe em volta, quais objetos do seu dia a dia têm movimentos? 
Faça uma lista de 10 itens e indique qual o tipo de movimento, oscilação que 
eles têm? Claro, com base no conteúdo que você aprendeu hoje. 
 
Síntese 
Chegamos ao fim deste encontro, e claro que não poderíamos deixar de 
ouvir as palavras do professor Cristiano! Hoje você aprendeu sobre o modelo de 
oscilador, o MHS e até como isso funciona em um pêndulo simples. 
 
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21 
Não deixe de fazer outras pesquisas também, desse modo você vai fixar 
o conteúdo na cabeça e facilitar os próximos aprendizados. Agora, assista a 
sintetização pelo professor Cristiano, a seguir. 
 
Assista à sintetização no material online! 
 
Referências 
SEARS E ZEMANSKI. Física II: Termodinâmica e Ondas. 12ª edição 
– ed. Pearson. 2003. 
 
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1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física 
Termodinâmica e Ondas 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 2 
 
 
Professor Cristiano Cancela da Cruz 
 
 
 
 
 
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2 
Conversa Inicial 
Você acorda e está respirando, o ar entre e sai do seu sistema 
respiratório, sente seu coração batendo e o sangue sendo impulsionado em seus 
vasos sanguíneos. Ânimo, mais um dia está começando! 
Você vai ao banheiro lavar o rosto, abre a torneira e a água flui pela 
tubulação. Água fria? Ninguém merece. Na cozinha, a cafeteira eletrônica, já 
programada na noite anterior, goteja saborosas gotas de café, o aroma flui e 
espalha-se pelo ambiente. Apesar de saboroso, você está com pressa, rápido! 
Em goles grandes o café desce pelo esôfago provocando o ruído característico 
de um líquido que desce por uma tubulação. Que incrível é o corpo humano. 
Você sai às pressas, afinal está atrasado, de moto é mais rápido. Sobe na 
moto, a gasolina que estava em repouso durante a noite é agitada no tangue, 
você dá a partida. O combustível flui pela mangueira chegando ao carburador, 
ele é vaporizado, misturando-se com o ar atmosférico, a mistura vai parar no 
cilindro sendo comprimida pelo pistão, uma faísca, uma explosão, brum, brum... 
O motor está ligado, gases saem do escapamento lançados na atmosfera. 
Você, já a caminho, observa um avião que voa em ar tranquilo, sem 
turbulência, diferente do barco que navega na lagoa em águas agitadas. Água? 
Vai chover? Deveria ter vindo de carro, a pressa aumenta, não quer se molhar. 
Vamos, vamos, estou quase chegando, ufa, deu tempo, a aula de física irá 
começar. Como você deve ter percebido no texto ilustrativo acima, no nosso dia 
a dia, seja observando o funcionamento do nosso corpo, nossas residências, ou 
meios de locomoção e até mesmo o próprio ar atmosférico, estamos cercados 
de fluidos. 
Mas o que vem a ser um fluido? 
Fluido é o nome dado a qualquer substância que pode fluir. Nesta classe 
enquadram-se os líquidos e os gases, sendo que, os gases considerados fluidos 
podem ser comprimidos e os líquidos fluidos são a aqueles que sofrem pouca 
compressão, ou são incompressíveis, com algumas exceções. 
 
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3 
Um fluido pode estar em repouso em determinado recipiente, como um 
copo d’água sobre a mesa, ou fluindo através de uma tubulação. No primeiro 
caso o fluido encontra-se em equilíbrio e o estudo desta situação chama-se 
estática dos fluidos ou hidrostática. É a parte da física que estuda os líquidos e 
os gases em repouso, sob ação de um campo gravitacional constante, como 
ocorre com o ar atmosférico na superfície do planeta Terra. E no segundo caso, 
o fluido em movimento, chama-se dinâmica dos fluidos ou hidrodinâmica, que 
lida com a ciência de fluxo de fluido, ou seja, é a ciência natural que estuda o 
movimento de fluidos. 
As leis que regem a hidrostática e a hidrodinâmica estão presentes 
constantemente no dia a dia do homem, mais do que se pode imaginar. Elas se 
verificam, por exemplo, na água que sai da torneira das residências, nas 
represas das hidrelétricas que geram a energia elétrica, no movimento do 
sangue nos vasos sanguíneos, na pressão arterial e pulmonar, pressão osmótica 
e na pressão que o ar exerce sobre o corpo humano. 
Nesta aula faremos uso das leis de Newton e da conservação da energia 
obtendo aplicações simples para o estudo do comportamento dos fluidos. 
Definiremos grandezas básicas como densidade, pressão e empuxo. Também 
estudaremos a lei de Pascal, o princípio de Arquimedes e a equação de 
Bernoulli. 
Boa aula! 
 
No material online, o professor Cristiano Cancela da Cruz faz uma breve 
introdução sobre os conteúdos que serão abordados nesta rota. Não perca! 
 
 
 
 
 
 
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4 
Contextualizando 
O tubarão é considerado um animal agitado, pois está constantemente em 
movimento, nadando de um lugar ao outro. Ele precisa utilizar essa tática para 
não afundar e também para respirar. Ao nadar ele faz uso de suas barbatanas 
utilizando a sustentação dinâmica para manter a profundidade, e caso pare, ele 
afunda. O tubarão é como um avião, ele usa seumovimento para frente, 
impulsionado pelo movimento da calda, para controlar sua posição vertical. Ele 
possui dois conjuntos de nadadeiras nas laterais do corpo, na mesma posição 
das asas de um avião. Ao posicionar as nadadeiras em ângulos diferentes, ele 
altera o percurso da água a sua volta alterando a inclinação de seu corpo. 
Quando ele inclina a nadadeira para baixo, a água flui por ela gerando 
maior pressão sobre a parte inferior da nadadeira, criando a elevação do seu 
corpo, assim consequentemente ele sobe. E quando o tubarão inclina a 
nadadeira para cima, a pressão é maior sobre a parte superior da barbatana e o 
tubarão movimenta-se para o fundo. Ou contrário do tubarão, outros peixes, 
como a carpa ou o peixe-palhaço, (peixinho do filme “Procurando Nemo”) 
conseguem manter-se no mesmo nível na água. Esses peixes possuem no seu 
organismo uma bolsa de ar chamada bexiga natatória que os auxilia no 
movimento na água. Quando peixes desse tipo respiram oxigênio, eles liberam 
um pouco de ar para a bexiga natatória aumentando seu volume e 
consequentemente a sua capacidade de flutuar na água. Por outro lado, para 
afundar, o peixe solta parte do ar da bexiga natatória, diminuindo seu volume 
corporal o que lhes faz afundar. 
Mas como explicar a diferença entre esses peixes em relação a 
capacidade de emergir e submergir na água? Com o conhecimento da 
hidrostática e da hidrodinâmica podemos explicar esse efeito. Para isso 
precisamos conhecer conceitos de densidade, pressão, empuxo, entre outros. 
O professor Cristiano Cancela da Cruz aborda melhor esse contexto no 
material online. Confira! 
 
 
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5 
 
Pesquise 
TEMA 1: Densidade (p) 
Para ilustrar a definição de densidade imagine os seguintes objetos: um 
cubo de gelo, uma aliança, uma borracha escolar, um botão de madeira, um 
dado de plástico e uma moeda. 
 
Observando esses objetos você poderia classificá-los de diversas formas, 
uma delas por exemplo, seria o tamanho. De acordo com a figura, o maior seria 
o cubo de gelo, em seguida o dado de plástico, depois a borracha escolar, a 
moeda, a aliança e por fim o botão de madeira. Ou em ordem alfabética: aliança, 
borracha, botão, cubo de gelo, dado e moeda. 
Uma outra forma de classificar esses objetos seria pela densidade, neste 
caso teríamos a seguinte ordem, do mais denso para o menos denso. Em 
primeiro: a aliança, depois a moeda, borracha, dado, gelo e o menos denso, o 
botão de madeira. Mas o vem a ser densidade? 
Densidade é uma característica do material, a matéria-prima com que ele 
é feito. Ela representa a relação entre massa e volume, ou seja, a massa do 
material por unidade de volume. Quando um objeto produzido com determinada 
matéria-prima possui a mesma densidade em qualquer parte, dizemos que esse 
objeto é homogêneo. Corriqueiramente costuma-se representar a densidade 
pela letra grega ρ (lê-se rô). A densidade de um material homogêneo será dada 
pela relação da massa do objeto pelo volume: 
 
 
𝜌 = 
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
= 
𝑚
𝑉
 
 
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6 
A unidade de densidade no sistema internacional de unidades (S.I.) é o 
quilograma por metro cúbico (1
𝐾𝑔
𝑚3
) e no sistema CGS é dada em gramas por 
centímetro cúbico (1
𝑔
𝑐𝑚3
). A relação entre essas duas unidades é: 
 
 
 
 
Na tabela a seguir estão listados algumas substâncias e suas respectivas 
densidades com unidade no sistema internacional de unidades, caso queira os 
valores no sistema CGS, basta dividir os valores de densidade por 103. 
 
Fonte: SEARS e ZEMANSKY. 
 
Quando o material não possui densidade homogênea, por exemplo, o ar 
atmosférico terrestre, o qual é mais denso a baixas altitudes e menos denso em 
pontos elevados, costumasse representar a densidade média. 
Aprofunde seus conhecimentos acessando o simulador de densidade, 
disponível a seguir. 
https://phet.colorado.edu/sims/density-and-buoyancy/density_pt_BR.html 
 
1 
𝑔
𝑐𝑚3
= 1000 
𝐾𝑔
𝑚3
 
https://phet.colorado.edu/sims/density-and-buoyancy/density_pt_BR.html
 
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7 
Leitura Obrigatória: 
Aprofunde os seus estudos lendo o livro “Física II”, de Sears e Zemansky, 
a partir da página 73. 
 
Agora é com o professor Cristiano Cancela da Cruz! Assista à 
explicação dele sobre a densidade no material online. 
 
TEMA 2: Pressão em um Fluido 
 
No ponto de vista da dinâmica, a física do movimento de objetos sólidos 
extensos, ou até mesmo pontuais, uma força que não se pode deixar de levar 
em consideração é a força gravitacional, a qual, como verificamos, está 
intimamente relacionada com a massa do objeto. Quando aplicamos forças 
nesse tipo de objeto, todas as partes do objeto se movem juntas e da mesma 
maneira. Devido a isso, pode-se dizer que as grandezas de força e massa são 
imprescindíveis para o estudo dinâmica do movimento. Mas como utilizar essas 
grandezas para tratar da mecânica de fluidos? 
O peso do fluido, força gravitacional, depende da quantidade de fluido 
existente, assim como a massa. Se aplicarmos forças no fluido, ele não irá 
comportar-se como um corpo sólido, suas partes irão descrever movimentos 
diferentes. Devido a essas dificuldades, quando estudamos a dinâmica em 
fluidos, o melhor é tratar o fluido através da grandeza de densidade ao invés da 
massa e a ação de forças através da grandeza pressão. 
Pressão é um dos conceitos mais importantes para desenvolver o estudo 
da hidrostática e hidrodinâmica. Para entender o que é pressão, tomemos como 
exemplo um bloco de madeira com peso igual a 2 N, e com uma superfície de 
contato de área igual a 0,25 m2 apoiada sobre uma mesa, conforme a figura a 
seguir. 
 
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8 
 
Esse bloco, como sabemos, exerce uma determinada força sobre a mesa, 
e às vezes há necessidade de saber qual a força que cada parte da área de 
contato está suportando. Para isso fazemos a razão entre a força que o bloco 
exerce sobre a mesa e a área da mesa que está suportando o mesmo. 
 
 
Isso quer dizer que cada m2 da base do bloco está comprimindo a mesa 
com uma força de 8 N. Pressão é isso, a razão da força aplicada pela área onde 
esta força é aplicada. Portanto, a pressão é calculada através da razão entre a 
força aplicada pela área da superfície onde a força está atuando. 
 
 
 
Em que: 
P = pressão 
F = força aplicada 
A = área de aplicação da força 
2,0 𝑁
0,25 𝑚2
= 8 
𝑁
𝑚2
 
 
𝑷 = 
𝑭𝒐𝒓ç𝒂
Á𝒓𝒆𝒂
= 
𝑭
𝑨
 
 
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9 
Pressão é uma grandeza escalar e a sua unidade no Sistema 
Internacional de Unidades (S.I.) é o Pascal (Pa). Em homenagem a Blaise 
Pascal. A unidade de força é o newton (N) e a unidade de área é o m2, ambas 
no S.I. A razão entre força e área resulta em N/m2. 
 
 
 A pressão pode ser medida em outras unidades, por exemplo: 
atmosferas (atm), milímetros de mercúrio (mmHg), libras por polegada quadrada 
(lb/pol²), milibars (bar), etc. 
 
 
Pressão de uma Coluna de Líquido 
 Um fluido quando em repouso, exerce uma força perpendicular sobre 
qualquer superfície que esteja em contato com ele, seja a parede interna do 
recipiente ou a superfície de um objeto submerso no fluido. 
Devido ao peso do fluido, a pressão exercida por ele varia conforme 
aumentamos a profundidade. Felizmente podemos deduzir uma equação que 
represente a pressão exercida pelo fluido em função da profundidade. 
Para isso iremos considerar que o fluido possua densidade ρ constante 
em todas as partes do fluido, ou seja, o fluido é homogêneo e ele está contido 
em um recipiente cilíndrico de raio r. 
A altura da coluna de fluido da superfície até o fundo do recipiente será h 
e a aceleração da gravidade local é constante, dado por g = 9,8 m/s2. Analisea 
figura a seguir. 
1 N/m2 = 1 Pascal = 1Pa 
 
 1 atm = 1,013 x 105 Pa = 760 mmHg 
 
 
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10 
 
A pressão P que o fluido exerce no fundo do recipiente terá a contribuição 
da pressão atmosférica Po, que atua na superfície do fluido somada a pressão 
exercida pelo próprio fluido, PF dada por: 
 
Como: 
 
 
A pressão do fluido PF no fundo do recipiente será: 
 
 
𝑃 = 𝑃𝑜 + 𝑃𝐹 
𝑃𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 = 
𝐹𝑜𝑟ç𝑎
á𝑟𝑒𝑎
= 
𝐹
𝐴
 
𝑃𝐹 = 
𝐹
𝐴
 
 
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11 
A força F aplicada no fundo do recipiente é o peso do fluido que nele está 
contido e a área A onde essa força está sendo aplicada é a área do fundo do 
recipiente. 
Sendo o peso determinado por: 
 
 
Substituindo a massa m na equação pela correspondente a densidade: 
 
 
Logo: 
 
 
Substituindo, 
 
 
 
O volume V do fluido será determinado pelo produto da área da base A 
pela altura de fluido h: 
 
 
 
Então: 
 
𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑚 . 𝑔 
𝜌 = 
𝑚
𝑉
 
𝑚 = 𝜌 . 𝑉 
𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝜌 . 𝑉 . 𝑔 
𝑉 = 𝐴 . ℎ 
𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝜌 . 𝐴. ℎ . 𝑔 
 
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12 
Substituindo em: 
 
 
 
 
Portanto, a pressão no fundo do recipiente será determinada por: 
 
 
 
 
Em que: 
Po = pressão atmosférica 
ρ = massa específica do fluido 
g = aceleração da gravidade 
h = profundidade. 
 
Apesar da dedução da equação ser obtida para calcular a pressão no 
fundo do recipiente, ela é válida para determinar a pressão a qualquer 
profundidade h no interior do fluido. Observe na equação que a pressão só 
depende da profundidade h, pois as outras grandezas são constantes, isso nos 
leva a concluir que todos os pontos do fluido que estão a uma mesma 
profundidade possuem a mesma pressão, independente da forma geométrica do 
recipiente. 
Também pode-se verificar na equação que se aumentarmos a pressão Po 
na superfície do fluido, a pressão em qualquer ponto do fluido também irá 
𝑃𝐹 = 
𝐹
𝐴
 
𝑃𝐹 = 
𝜌 . 𝐴. ℎ . g
𝐴
 
𝑃𝐹 = 𝜌 . 𝑔 . h 
 
 
 𝑃 = 𝑃𝑜 + 𝑃𝐹 
𝑷 = 𝑷𝒐 + 𝝆 . 𝒈 . 𝐡 
 
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13 
aumentar a mesma quantidade. Essa observação foi feita primeira vez por Blaise 
Pascal e ficou formulada como Princípio de Pascal. 
A pressão exercida em qualquer ponto de um fluido é transmitida 
integralmente a todos os pontos do fluido e também para as paredes do 
recipiente que o contém. Com base neste princípio muitos dispositivos foram 
construídos, entre eles a alavanca hidráulica. A alavanca hidráulica, veja na 
figura a seguir, é um dispositivo que pode ser utilizado para amplificar uma força. 
Com ele pode-se aplicar uma pequena força de entrada e obter uma força maior 
na saída, porém o trabalho realizado é o mesmo, tanto para força de entrada 
como para de saída. 
 
Fonte: SEARS e ZEMANSKY. 
Uma pequena força é aplicada no pistão de entrada com área pequena 
Ae, de acordo com o princípio de Pascal isso causa uma variação de pressão no 
fluido do dispositivo e essa variação se transmite para o pistão de saída com 
área maior As, resultando em uma força de saída maior capaz de sustentar o 
 
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14 
carro. Logo, se a variação de pressão na entrada Pe é igual a variação de 
pressão na saída Ps, podemos escrever: 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
Se deslocarmos o pistão de entrada uma quantidade de o pistão de saída 
deslocará uma quantidade ds, e neste caso o volume de líquido deslocado em 
cada pistão será o mesmo, portanto: 
 
 
Analisando o trabalho realizado no pistão de saída, temos que: 
 
 
Isso mostra que o trabalho realizado na entrada 𝐹𝑠𝑑𝑠 é o mesmo que o 
trabalho realizado no pistão de saída 𝐹𝑒𝑑𝑒. 
 
Exemplo: 
A figura a seguir mostra quatro situações nas quais um líquido escuro e 
um líquido claro estão em um tubo U. Em uma dessas situações, os líquidos não 
podem estar em equilíbrio estático. Que situação é essa? Para as outras 
situações, suponha que os líquidos estão em equilíbrio estático. Para cada uma 
delas, a massa específica do líquido escuro é maior, menor ou igual à massa 
específica do líquido claro? 
𝑭𝒆
𝑨𝒆
= 
𝑭𝒔
𝑨𝒔
 
𝑉 = 𝐴𝑒𝑑𝑒 = 𝐴𝑠𝑑𝑠 
𝑊 = 𝐹𝑠𝑑𝑠 = 
𝐹𝑒𝐴𝑠
𝐴𝑒
 .
𝑑𝑒𝐴𝑒
𝐴𝑠
= 𝐹𝑒𝑑𝑒 
∆𝑃𝑒 = ∆𝑃𝑠 
 
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15 
 
 
Resolução: 
Para simplificar a explicação chamarei a linha tracejada superior de “a”, a 
linha tracejada inferior de “b”, e o segmento ab = h. Denota-se como “M” o ponto 
médio na parte inferior do tubo, “ρe“ a massa específica do líquido escuro e “ρc“ 
a massa específica do líquido claro. 
Considerando também a área da seção transversal do tubo como “A”, 
temos que: 
 Os líquidos estarão em equilíbrio estático se as pressões exercidas 
no ponto médio “M”, entre os dois lados do tubo forem iguais. 
 Como nas quatro situações o líquido abaixo da linha “b” é de mesma 
massa específica (ρc), então, o equilíbrio será estabelecido quando as 
pressões exercidas pela quantidade de líquido acima da linha “b” 
forem iguais. 
 
Portanto: 
Pe = pressão exercida pelo líquido escuro acima da linha “b” 
Pc = pressão exercida pelo líquido claro acima da linha “b” 
 
 
𝑃𝑒 + 𝑃𝑜 = 𝑃𝑐 + 𝑃𝑜 
𝑃𝑒 = 𝑃𝑐 
 
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16 
Como: 
A
F
p
g
 , sabendo que Fg = peso do líquido que está acima da 
linha “b”, Fg = m.g 
 
Então: 
A
F
A
F ce  
 
 Logo: 𝑚𝑒 𝑔 = 𝑚𝑐𝑔 𝑚𝑒 = 𝑚𝑐 
Portanto, o equilíbrio estático será atingido, quando as massas da quantidade 
de líquido acima da linha “b”, entre os dois lados do tubo U, forem iguais. 
 Sabendo que a massa específica é dada por
V
m
 , então Vm .
, substituindo em 𝑚𝑒 = 𝑚𝑐, temos: 
 
 
Analisando cada caso: 
Situação 1: 
 
 
 
 
Situação 2: 
 
 
Portanto na situação (2) os líquidos não podem estar em equilíbrio 
estático. 
Situação 3: 
 
 
 
𝜌𝑒 + 𝑉𝑒 = 𝜌𝑐 + 𝑉𝑐 
2
....
h
AhA ce   
2
c
e

  
 
0.. hAe 
 
 
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17 
 
Situação 4: 
 
 
 
 
 
 
Para a situação (1); (3); (4); a massa específica do líquido escuro é: 
Maior na situação (4) 
2
3 c
e

  
Menor na situação (1) 
2
c
e

  
Igual na situação (3) ce   
 
Leitura Obrigatória: 
Aprofunde os seus estudos lendo as páginas 77 e 78 do livro “Física II”, 
de Sears e Zemansky, página 73. 
 
Assista à explicação do professor Cristiano Cancela da Cruz sobre a 
pressão nos fluidos no material online. 
 
TEMA 3: Empuxo 
Você já deve ter experimentado a ação do empuxo quando entrou em uma 
piscina, água do mar, ou até mesmo em uma banheira. Com certeza você deve 
ter percebido que seu corpo aparentou estar mais leve quando estava submerso 
na água. Mas como explicar esse fato? 
Aplicando a teoria da dinâmica, sabe-se que a força gravitacional que atua 
em seu corpo continua a mesma, pois sua massa não se alterou e muito menos 
 
 
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a aceleração da gravidade local. Para explicar a sensação de estar mais leve 
deve existir outra força que atua em sentido contrário a força gravitacional, 
minimizando sua ação, mas de onde tem origem essa força? 
Isso é explicado pelo Princípio de Arquimedes, que nos diz que quando 
um corpo está total ou parcialmente submerso em um fluido, o fluido ao redor 
dele exerce forças de empuxo E sobre o corpo. A resultante dessas forças está 
dirigida para cima e possui uma intensidade igual ao peso do volumede fluido 
que foi deslocado pelo corpo. 
 
 
 
Em que: E = força de empuxo 
mf = massa do fluido deslocado com a submersão do corpo 
g = aceleração da gravidade 
Substituindo a massa pelo produto da densidade pelo volume V do fluido 
deslocado, temos: 
 
 
 
Logo, o módulo do empuxo pode ser calculado por: 
 
Flutuação 
 Quando um corpo flutua em um fluido, a intensidade E da força de 
empuxo sobre o corpo é igual à intensidade Fg da força gravitacional sobre o 
corpo. 
 
𝐸 = 𝑚𝑓 . 𝑔 
𝜌𝑓 = 
𝑚𝑓
𝑉
 
𝑚𝑓 = 𝜌𝑓 . 𝑉 
𝐸 = 𝜌𝑓 . 𝑔 . 𝑉 
𝐸 = 𝐹𝑔 
 
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Portanto, quando um corpo flutua em um fluido, a intensidade Fg da força 
gravitacional sobre o corpo é igual ao peso mf . g do fluido que foi deslocado pelo 
corpo, ou seja, o corpo flutuante desloca o seu próprio peso de fluido. 
Peso Aparente em um Fluido 
Se medirmos o peso de um corpo com um dinamômetro o valor obtido 
será exatamente o peso do corpo Preal. Agora se realizarmos o mesmo 
procedimento com o corpo submerso em um fluido, a força de empuxo E para 
cima sobre o corpo faz com que a leitura seja menor, essa leitura é o peso 
aparente Pap. 
 
 
Veja a figura a seguir. 
 
Na esquerda o volume inicial de água e o peso real do cilindro e na direita, 
o volume final de água e o peso aparente (Pap) medido no dinamômetro quando 
o cilindro é imerso na água. 
 
 
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Exemplo: 
Uma esfera oca de raio interno igual a 8,0 cm e raio externo igual a 9,0 cm flutua 
parcialmente submersa em um líquido de massa específica igual a 800 Kg/m3. 
Qual é a massa da esfera? Calcule a massa específica do material do qual é 
feita a esfera. 
 
Qual é a massa da esfera? 
Considerando que o termo, flutua parcialmente submersa, refira-se a 
metade da esfera para fora do líquido e metade da esfera dentro do líquido. 
Portanto, se a esfera flutua nesta condição de equilíbrio, teremos que a 
intensidade da força gravitacional (Fg) que age sobre a esfera é numericamente 
igual à força de empuxo (E) provocada pelo líquido que rodei a esfera. Pelo 
diagrama do corpo livre. 
 
 
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Em que: 
ρL = massa específica do líquido. 
Vs = volume submerso 
me = massa da esfera 
Como o volume submerso é dado por 
2
3
4 3
e
s
R
V

 ; temos: 
Kg
R
m
eL
e 22,1
2
09,0
3
4
.800
2
3
4
. 33
















 
Calcule a massa específica do material do qual é feita a esfera. 
e
e
e
V
m
 ; onde: ρe = massa específica da esfera. 
Ve = volume da esfera = 33
3
4
3
4
iee RRV   
Logo: 
3
33
1320
08,0
3
4
09,0
3
4
2,1
m
Kg
e 



 
Leitura Obrigatória: 
Aprofunde os seus estudos lendo as páginas 80 e 81 do livro “Física II”, 
de Sears e Zemansky, página 73. 
 
Quer saber mais sobre o empuxo? Assista à explicação do professor 
Cristiano Cancela da Cruz no material online. 
 
 
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22 
TEMA 4: Escoamento de um Fluido 
Com posse dos conhecimentos de fluidos adquiridos até aqui, podemos 
estudar o movimento de um fluido, chamado de escoamento. O estudo do 
escoamento de um fluido é muito complexo, mas se levarmos em consideração 
algumas condições que envolve as propriedades dos fluidos em movimento, 
podemos criar um modelo idealizado que facilitará a descrição deste movimento. 
Considera-se um fluido ideal o fluido não-viscoso, ou seja, fluidos que não 
possuem atrito interno entre as moléculas e com as paredes da tubulação. Eles 
devem possuir densidade constante, pois devem ser incompressíveis e em 
determinado ponto a velocidade de escoamento em função do tempo deve ser 
constante. A trajetória de uma partícula individual do fluido durante o escoamento 
chama-se linha de escoamento ou linha de fluxo. Do princípio proposto por 
Daniel Bernoulli, se a velocidade de uma partícula de um fluido aumenta 
enquanto ela se escoa ao longo de uma linha de escoamento, a pressão do fluido 
deve diminuir e vice-versa. 
O escoamento pode ocorrer de duas maneiras, quando as linhas de 
escoamento de diversas partículas que constituem o fluido fluem em camadas 
adjacentes do fluido, deslizando uma sobre as outras, o escoamento é dito 
laminar. Já quando a velocidade de escoamento do fluido aumenta 
drasticamente, tornando-o irregular e caótico, as linhas de escoamento se 
misturam constantemente, variando a todo momento, o escoamento é dito 
turbulento. 
Equação da Continuidade 
Uma característica muito importante no escoamento de fluidos é que a 
massa do fluido não se altera durante o escoamento, ou seja, a quantidade de 
fluido que entra em um ponto da tubulação é igual a quantidade de fluido que sai 
em outro ponto. Isso pode ser demonstrado e comprovado através da equação 
da continuidade. Para deduzir essa relação iremos analisar o escoamento de um 
fluido em uma tubulação onde a entrada do tubo possui área da seção reta A1 e 
a saída com área A2, veja a figura a seguir. 
 
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23 
 
Fonte: SEARS e ZEMANSKY 
A velocidade do fluido é tangente as paredes da tubulação em qualquer 
ponto, sendo a velocidade de escoamento na seção de área A1 igual a v1 e a 
velocidade na seção de área A2 igual a v2. 
Em um pequeno intervalo de tempo (dt), uma partícula do fluido que 
estava entrando na tubulação na seção A1 desloca-se uma quantidade (v1dt), e 
durante o mesmo intervalo de tempo, uma partícula do fluido desloca-se uma 
quantidade (v2dt) na saída do tubo de seção A2. 
Como a quantidade de fluido que entra na tubulação deve ser igual a 
quantidade de fluido que sai, os volumes de fluido em cada seção reta do tubo 
no mesmo intervalo de tempo devem ser os mesmos. 
 O volume de fluido deslocado na seção de área A1 no intervalo de 
tempo dt, será dado por: 
 
 
E o volume de fluido deslocado na seção de área A2 no mesmo intervalo 
de tempo será: 
 
 
𝑑𝑉1 = 𝐴1 𝑣1𝑑𝑡 
𝑑𝑉2 = 𝐴2 𝑣2 𝑑𝑡 
 
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24 
Como vimos essas quantidades são iguais e, portanto, podemos escrever: 
 
 
Logo, a equação da continuidade para um fluido incompressível será dada 
por: 
 
 
 
 A relação do produto da área da seção pela velocidade de escoamento 
nesta área (𝐴𝑣), é a vazão volumétrica ou a taxa com a qual o volume do fluido 
atravessa a seção reta do tubo. Podemos escrever: 
 
 
 
Já a vazão mássica, ou seja, a taxa de variação da massa do fluido por 
unidade de tempo através da seção reta do tubo, será dada pelo produto da 
densidade do fluido pela vazão volumétrica. 
 
 
 
 
Equação de Bernoulli 
A equação de Bernoulli complementa a equação da continuidade e torna-
se essencial para analisar escoamentos, por exemplo em sistemas de 
encanamento, em tubulações de usinas hidrelétricas e a sustentação de uma 
aeronave durante o voo. Essa equação traz a relação entre pressão, velocidade 
de escoamento e a altura da tubulação no escoamento de fluidos ideais. 
A dependência da pressão em relação a velocidade de escoamento 
decorre que quando um fluido percorre uma tubulação que afunila, a velocidade 
de escoamento do fluido deve ser cada vez maior, ou seja, o fluido deve ser 
𝐴1 𝑣1𝑑𝑡 = 𝐴2 𝑣2 𝑑𝑡 
𝑨𝟏 𝒗𝟏 = 𝑨𝟐 𝒗𝟐 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 𝐴𝑣 
𝑑𝑚
𝑑𝑡
= 𝜌
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 𝜌𝐴𝑣 
 
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acelerado. Para que isso ocorra deve existir uma força resultante que empurre o 
fluido para frente aumentando sua velocidade. Isso ocorre porque a pressão ao 
longo da tubulação varia. Outro fator que faz a pressão variar nos diversos 
pontos da tubulação é quando existe uma diferença de altura em pontos distintos 
da tubulação. 
Nesta aulanão iremos nos ater a dedução da equação de Bernoulli, 
iremos apenas analisá-la com a intensão de compreendê-la. 
Observe a figura a seguir que apresenta uma tubulação que afunila e ao 
mesmo tempo se eleva do ponto indicado pela coordenada y1 até o ponto mais 
alto da tubulação indicado pela coordenada y2. 
 
Fonte: SEARS e ZEMANSKY 
A equação de Bernoulli afirma que o trabalho realizado pelo fluido das 
vizinhanças sobre uma unidade de volume de fluido é igual à soma das variações 
da energia cinética e da energia potencial ocorridas na unidade de volume 
durante o escoamento. Em termos de pressão pode-se escrever como: 
 𝑃1 + 𝜌𝑔𝑦1 + 
1
2
 𝜌𝑣1
2 = 𝑃2 + 𝜌𝑔𝑦2 + 
1
2
 𝜌𝑣2
2 
 
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 A equação de Bernoulli relaciona a pressão P com a velocidade de 
escoamento v e a altura y para quaisquer dois pontos da tubulação, supondo o 
escoamento estacionário de um fluido ideal. 
Atenção: o princípio de Bernoulli se aplica apenas em certas situações. 
Acentuamos mais uma vez que a equação de Bernoulli vale somente para o 
escoamento estacionário de um fluido incompressível sem viscosidade. Por ser 
uma equação simples e fácil de usar, surge a tentação de usá-la em situações 
para as quais ela não é válida, mas você deve resistir a essa tentação! 
Leitura Obrigatória: 
Aprofunde os seus estudos lendo as páginas 83 e 85 do livro “Física II”, 
de Sears e Zemansky, página 73. 
 
Assista à explicação do professor Cristiano Cancela da Cruz sobre o 
escoamento de um fluido no material online. 
 
Trocando ideias 
 Está com alguma dúvida sobre o conteúdo? Não perca tempo e entre em 
contato com o nosso tutor. Ele sempre está disponível para ajudá-lo. 
 
Na Prática 
Chegou a hora de você ver como toda essa teoria acontece na prática. 
Clique no link a seguir e teste a pressão de fluidos de diversos elementos em um 
simulador. 
https://phet.colorado.edu/sims/html/under-pressure/latest/under-
pressure_en.html 
 
 
https://phet.colorado.edu/sims/html/under-pressure/latest/under-pressure_en.html
https://phet.colorado.edu/sims/html/under-pressure/latest/under-pressure_en.html
 
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27 
Esse outro simulador testa a força do empuxo. 
https://phet.colorado.edu/sims/density-and-
buoyancy/buoyancy_pt_BR.html 
 
E esse outro a pressão de fluidos! 
https://phet.colorado.edu/sims/html/under-pressure/latest/under-
pressure_en.html 
 
Síntese 
Para finalizar, confira no material online as considerações do professor 
Cristiano Cancela da Cruz sobre os tópicos analisados nesta aula. 
 
Referências 
SEARS E ZEMANSKI. Física II: Termodinâmica e Ondas. 12ª edição – ed. 
Pearson. 2003. 
https://phet.colorado.edu/sims/density-and-buoyancy/buoyancy_pt_BR.html
https://phet.colorado.edu/sims/density-and-buoyancy/buoyancy_pt_BR.html
https://phet.colorado.edu/sims/html/under-pressure/latest/under-pressure_en.html
https://phet.colorado.edu/sims/html/under-pressure/latest/under-pressure_en.html
 
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Física: termodinâmica e ondas 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 3 
 
 
Professor Cristiano Cancela da Cruz 
 
 
 
 
 
 
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2 
Conversa Inicial 
Seja bem-vindo à terceira aula de Física, Termodinâmica e Ondas! 
Confira a seguir o conteúdo de hoje que será estudado! 
A percepção auditiva é um dos cinco sentidos utilizados para entender o 
mundo que nos cerca, ela consiste de um processo mental que é iniciado por um 
estímulo sonoro, e este é captado por nossos ouvidos. Este estímulo sonoro 
nada mais é do que um sinal acústico, originado por uma onda sonora, devido a 
alguma vibração mecânica do meio material a nossa volta. Quando chega até 
nossos ouvidos, esta onda sonora desencadeia um processo neural, o qual o 
cérebro reconhece, permitindo identificar o causador daquele som e até mesmo 
localizando a origem da fonte sonora. 
 
 
 
Nossa pretensão aqui não é desvendar o funcionamento da audição, mas 
sim estudar o comportamento das ondas chamadas ondas mecânicas e o som 
é um exemplo importante. Para isso, iremos determinar equações matemáticas 
que possibilitem descrever o comportamento de uma onda, utilizaremos como 
modelo as ondas periódicas, nas quais os valores das grandezas físicas que 
descrevem a configuração da onda se repetem em intervalo de tempo igual, 
conforme a onda se propaga. 
Vamos, também, conhecer e analisar o fenômeno ondulatório chamado 
de interferência, fenômeno que ocorre quando há superposição de duas ondas 
ou mais, no mesmo local do meio e ao mesmo tempo. 
 
Assista no material online à explicação do professor Cristiano! 
 
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3 
 
Contextualizando 
Maria Júlia ligou para Fabiano, e como toda boa namorada, ela quis logo 
saber onde ele estava e o que estava fazendo, afinal, como ela sempre diz, quem 
ama cuida. Em meio a conversa, Fabiano que trabalhava como decorador de 
festa infantil, resolveu fazer uma brincadeira. Naquele momento ele acabara de 
prender diversos balões de gás hélio pelo salão de festa alugado por dona Sônia, 
como esta senhora era sempre exagerada, sobraram diversos balões. Fabiano 
então, pegou um destes balões, soltou o nó que prendia o bico e deixou o gás 
escapar lentamente, inalando o gás liberado durante uma inspiração profunda. 
Neste instante, ao falar, a voz de Fabiano, que sempre foi meio rouca, soou em 
tom agudo parecendo voz de mulher, seu colega Leandro que assistia a cena, 
caiu na gargalhada. 
O que Fabiano não esperava era a reação da moça, pois Júlia, ciumenta 
por natureza, ao ouvir aquela voz aguda, foi logo colocando Fabiano contra a 
parede, enfurecida ela dizia sem parar não dando chance para o rapaz se 
explicar: “quem está aí com você?”, “tem alguma mulher aí?”, “quem é? Pode 
me falar Fabiano!”. 
Apesar da história acima ser apenas ficção, você já deve ter visto em 
vídeos na internet, ou até mesmo feito essa brincadeira de inalar gás hélio e 
posteriormente falar. O som produzido ao falar é emitido em tom agudo, diferente 
do qual estamos acostumados. 
 
Você neste momento deve estar se perguntando, o que isso tem a 
ver com essa aula? Vamos conferir a seguir! 
 
 
 
 
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4 
A brincadeira em si, realmente não tem nada a ver com a aula, mas as 
diferenças entre as ondas sonoras que são produzidas ao se falar sem inalar gás 
hélio e quando se inala têm grande relação com esta aula, afinal, o tema que 
iremos abordar são as ondas mecânicas e o som é um exemplo importante de 
onda mecânica. É claro que ele não é o único exemplo, pois as ondas produzidas 
em um lago quando se joga uma pedra, ou em uma corda posta a oscilar, assim 
como a corda de um violão, e até mesmo as ondas sísmicas produzidas por um 
terremoto, são também todas ondas mecânicas. 
A origem de uma onda mecânica ocorre com a perturbação de algum meio 
material, deslocando-o de uma posição de equilíbrio para outra de maior energia. 
Essa perturbação propaga-se através do meio carregando a energia fornecida 
na forma de uma onda. Quando jogamos uma pedra em um lago, a pedra 
provoca a perturbação do meio, que neste caso é a água, fornecendo energia no 
local, no ponto onde a pedra caiu. A energia fornecida se propaga para o restante 
da água, deslocando-se na forma de onda. 
As ondas mecânicas não são a única forma de onda existente na 
natureza, também existem as ondas eletromagnéticas, nesta forma 
encontram-se as ondas de luz, ondas de rádio, ondas de micro-ondas, entre 
outras. Esses tipos de ondas são gerados por vibrações eletromagnéticas, de 
uma maneira geral, se um campo elétrico for variável em relação ao tempo, este 
produziráum campo magnético também variável, formando assim uma onda 
eletromagnética que se desloca no espaço. Portanto, uma onda eletromagnética 
caracteriza-se por oscilações de campos elétricos e campos magnéticos. 
A diferença entre as ondas mecânicas e eletromagnéticas consiste no fato 
que as ondas eletromagnéticas não necessitam de um meio material para se 
propagarem, assim como ocorre com as ondas mecânicas. 
 
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Pesquise 
TEMA 1: Tipos de ondas mecânicas 
A origem de uma onda mecânica ocorre a partir da perturbação do meio 
material, esta perturbação propaga-se através do meio carregando a energia 
fornecida na forma de uma onda. A medida que a onda se propaga pelo meio 
material, as partículas que compõem esse meio são deslocadas de sua posição 
de equilíbrio para posições de maior energia que posteriormente a passagem da 
onda, devido a forças restauradoras, retornam para suas posições de origem. 
A maneira como essas partículas são deslocadas irão determinar a 
natureza da onda. Quando a perturbação faz com que as partículas do meio se 
desloquem perpendicularmente em relação a direção de propagação da onda, 
dizemos que essa onda é uma onda transversal. Já quando o deslocamento 
das partículas ocorre na mesma direção da propagação da onda, ela é chamada 
de onda longitudinal. Mas, dependendo da maneira com que ocorre a 
perturbação do meio, pode existir uma combinação de deslocamentos 
transversais e longitudinais produzindo ondas mistas. 
 
Independentemente do tipo de onda mecânica (transversal, 
longitudinal ou mista) a propagação dela ocorre com velocidade constante, a 
qual, depende do tipo do meio de propagação, essa velocidade de propagação 
é chamada de velocidade da onda. 
Apesar da onda se deslocar através do meio material, as partículas que o 
compõem não se deslocam com a onda, elas apenas oscilam em relação a um 
ponto médio de equilíbrio durante a passagem da onda. Uma onda, portanto, 
transmite apenas energia e jamais transporta matéria de uma região para outra 
do meio. 
 
 
 
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Ondas Periódicas 
Um tipo de onda transversal muito comum de se observar, ocorre quando 
oscilamos para cima e para baixo a extremidade de uma corda esticada. Esta 
perturbação faz com que pulsos de onda se propaguem ao longo do 
comprimento da corda. Se a oscilação ocorrer em movimentos repetitivos 
periódicos, cada partícula da corda também sofrerá movimentos periódicos com 
a mesma frequência de oscilação da fonte que originou a perturbação. O 
resultado disso é a formação de uma onda periódica transversal. 
Iremos supor que a perturbação da corda ocorreu por um movimento 
harmônico simples, com amplitude (A), frequência (f), frequência angular () e 
período (T). O resultado desta ação é a formação de uma onda na corda com 
uma sequência simétrica de cristas e ventres. 
 Observa a figura a seguir em que as ondas periódicas produzidas em 
uma corda são mostradas em nove instantes diferentes. 
 
A onda avança uniformemente para direita, repetindo sua forma em 
intervalo de tempos iguais, conforme pode-se ver na parte sombreada da figura. 
A medida que a onda se propaga, qualquer partícula da corda oscila 
verticalmente em MHS em torno de uma região de equilíbrio, com a mesma 
frequência da fonte oscilatória que a gerou. 
 
ATENÇÃO! Movimento de onda x movimento de partícula. Tome cuidado 
para não confundir o movimento de uma onda transversal ao longo da corda com 
o movimento de uma partícula da corda. A corda se desloca com uma velocidade 
v ao longo da corda, enquanto o movimento da partícula é um MHS transversal 
(perpendicular) à direção da propagação da onda. 
 
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7 
(Fonte: Física II; Sears e Zemanski) 
 
A figura a seguir indica algumas características das ondas periódicas. 
 
 
 Comprimento de onda () – é a medida linear da distância entre 
duas cristas ou dois ventres consecutivos. 
 Período (T) – O intervalo de tempo entre uma oscilação completa 
da onda e a próxima. 
 Velocidade de propagação (V) – toda propagação de uma onda em 
um meio qualquer se propaga com uma determinada velocidade que 
depende do meio em que a onda se desloca. 
 Frequência (f) – o número de ondas completas que passam pelo 
mesmo ponto em um intervalo de tempo igual a 1 segundo 
estabelece a frequência da onda. A frequência da onda é dada em 
Hertz (Hz) que significa o número de ondas formadas por segundo. 
 Amplitude (A) – Distância média do deslocamento das partículas do 
meio material da sua posição de equilíbrio até seu deslocamento 
máximo quando sujeitas a onda. 
Onda periódica transversal 
 
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8 
A relação entre as grandezas da onda, como o comprimento de onda 
(, velocidade de propagação da onda (V) e frequência (f) é dado por: 
𝑣 = 𝜆. 𝑓 
A velocidade da onda é igual ao produto do comprimento de onda pela 
frequência de oscilação das partículas do meio. 
Neste exemplo, ondas produzidas em uma corda, a onda se propaga em 
uma única dimensão. No entanto, a teoria aqui desenvolvida é válida para ondas 
que se propagam em duas, como ondas em um lago, e até mesmo três 
dimensões, como é o caso da onda sonora. 
 
Leitura obrigatória (pesquise na Biblioteca Virtual) 
Sears e Zemansky – Física II – p. 106-107 (exemplo 15.1) – ONDAS 
PERIÓDICAS LONGITUDINAIS. Editora Pearson. 
Veja à explicação deste tema com o professor Cristiano, no material online! 
 
TEMA 2: Descrição matemática das ondas 
Descrever matematicamente as características de uma onda periódica 
em termos da velocidade da onda (V), comprimento de onda (), frequência (f), 
período (T) e amplitude (A) parece ser suficiente para entender o comportamento 
desta onda. No entanto, muitas vezes para uma descrição mais detalhada do 
comportamento da onda, precisamos determinar a posição e o movimento de 
cada partícula do meio em função do tempo durante a passagem da onda. Para 
isso, será necessário descrever a onda através de uma equação ou função de 
onda. 
Para ilustrar continuaremos a observar ondas propagando-se em uma 
corda esticada, utilizaremos o sistema cartesiano (x, y), veja a figura da tela a 
seguir, onde o eixo x será posicionado ao longo da corda quando essa encontra-
se na condição de equilíbrio, os valores da coordenada x irão determinar a 
posição na corda em relação ao local onde a corda será oscilada pela fonte, 
 
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ponto inicial, e as coordenadas do eixo y irão determinar a posição da partícula 
da corda localizada pela coordenada x quando essa é deslocada na vertical em 
relação a sua posição de equilíbrio. 
O valor da coordenada y depende de uma partícula específica da corda, 
determinada pela coordenada x, portanto a coordenada y depende da 
coordenada x e também do tempo t, ela é uma função de x e do tempo, y (x, t), 
que é a função de onda. 
 
Com o conhecimento dessa função, pode-se determinar a posição de 
qualquer partícula da corda e em qualquer instante, isto nos permite calcular a 
velocidade e a aceleração dessa partícula e também a forma da corda durante 
a passagem da onda. 
 
Veja um exemplo de simulador, acessando o link: 
https://phet.colorado.edu/sims/html/wave-on-a-string/latest/wave-on-a-
string_en.html 
 
Função de onda de uma onda senoidal 
O formato da corda quando uma onda transversal se propaga por ela 
sugere que a função de onda que a descreve é uma função senoidal. Iremos 
supor que a onda parte da esquerda se deslocando para direita do eixo x, no 
sentido de aumento dos valores da coordenada x ao longo da corda. Conforme 
a onda se desloca cada partícula da corda atingida pela onda oscila sofrendo 
MHS com frequência e amplitude iguais ao do oscilador, fonte,que originou a 
onda. 
Coordenadas x, y para ondas em uma corda. 
https://phet.colorado.edu/sims/html/wave-on-a-string/latest/wave-on-a-string_en.html
https://phet.colorado.edu/sims/html/wave-on-a-string/latest/wave-on-a-string_en.html
 
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O deslocamento y de uma partícula da corda localizada na posição x para 
um tempo 𝒕, será dado por: 𝒚(𝒙, 𝒕) = 𝑨 𝐜𝐨𝐬 (𝒌𝒙 − 𝝎𝒕). Esta equação representa 
a função de onda para uma onda senoidal propagando-se em uma corda 
esticada no sentido +x. 
 
 A - Amplitude da onda 
Onde 𝒌 - Número de onda 
𝝎 - Frequência angular da onda 
 
A grandeza k (número de onda) é determinada pela razão entre 2 
radianos e o comprimento de onda . 
𝒌 =
𝟐𝝅
𝝀
 
A unidade do número de ondas é o radiano por metro (
𝒓𝒂𝒅
𝒎
). 
Através da função de onda podemos determinar a forma da onda para 
determinado instante de tempo t fixo. Esse gráfico fornece o deslocamento y de 
uma partícula a partir de sua posição de equilíbrio em função da coordenada x 
da partícula. 
 
 
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Figura 4 - Gráfico do deslocamento y em função de x para tempo t = 0. 
Analisando a equação de onda também podemos representar o gráfico da 
coordenada y em função do tempo, para um valor fixo da coordenada x, neste 
caso estaremos representando o movimento de determinada partícula localizada 
pela coordenada x. 
 
Figura 5 - Gráfico do deslocamento y em função do tempo t quando x = 0 
 
Atenção! 
Apesar dos gráficos da figura 4 e da figura 5 parecerem iguais, eles não 
são idênticos. A figura 4 é uma fotografia instantânea da forma da corda 
quando t = 0 e a figura 5 representa o gráfico do deslocamento y de 
uma partícula x = 0 em função do tempo. 
 
Quando a onda periódica se propaga no sentido negativo do eixo x, ou seja, 
quando os valores das coordenadas do eixo x diminuem conforme a onda se 
propaga, devemos fazer uma pequena modificação na função de onda, 
alterando o sinal negativo por positivo. Logo, teremos: 
𝒚(𝒙, 𝒕) = 𝑨 𝐜𝐨𝐬 (𝒌𝒙 + 𝝎𝒕). Independente do sentido de propagação a onda, 
sentido positivo do eixo x, +x, ou sentido negativo, - x, a grandeza (𝒌𝒙 ± 𝝎𝒕) é 
denominada fase da onda. 
O resultado da combinação das grandezas envolvidas na fase da onda 
determinarão um ponto específico da onda representado pela coordenada y. 
 
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Para determinarmos a velocidade de propagação desta onda será necessário 
viajar ao longo dela para que a fase de determinado ponto permaneça constante. 
Supondo uma onda esteja viajando no sentido positivo do eixo x, a fase 
será determinada por (𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) e, como vimos, esta fase deve permanecer 
constante, logo: 
(𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 
 
Derivando ambos os lados da equação em relação ao tempo, obtemos: 
𝒅(𝒌𝒙 − 𝝎𝒕)
𝒅𝒕
=
𝒅 (𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆)
𝒅𝒕
 
𝒅 𝒌𝒙
𝒅𝒕
−
𝒅 𝝎𝒕
𝒅𝒕
= 𝟎 
𝒌 
𝒅 𝒙
𝒅𝒕
− 𝝎
𝒅𝒕
𝒅𝒕
= 𝟎 
𝒌 
𝒅 𝒙
𝒅𝒕
= 𝝎 
𝒅 𝒙
𝒅𝒕
=
𝝎
𝒌
 
 
Como 
𝒅 𝒙
𝒅𝒕
 é a velocidade da onda v , chamada de velocidade de 
fase, teremos: 
𝒗 =
𝝎
𝒌
 
 
Leitura obrigatória (pesquise na Biblioteca Virtual): 
Sears e Zemansky – Física II – p. 110 (exemplo 15.2) – ONDAS 
PERIÓDICAS LONGITUDINAIS. Editora Pearson. 
 
 
 
 
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13 
 
Velocidade e aceleração de uma partícula do meio material oscilando por 
uma onda senoidal 
Até agora fomos capazes de determinar a função de onda que nos 
possibilita determinar a posição de qualquer partícula do meio material sujeita a 
uma onda periódica senoidal transversal. Se esta onda viaja no sentido positivo 
do eixo x a função de onda é: 𝒚(𝒙, 𝒕) = 𝑨 𝐜𝐨𝐬 (𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) 
Agora precisamos determinar uma equação que nos forneça a velocidade 
de oscilação de determinada partícula, localizada pela coordenada x constante. 
Para isso iremos determinar a velocidade dessa partícula no eixo y (vy) pela 
derivada parcial da função de onda em relação ao tempo: 
 
𝜕 𝑦 (𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡
= 𝑣𝑦 (𝑥, 𝑡) 
𝑣𝑦 (𝑥, 𝑡) = 
𝜕 𝐴 cos (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
𝜕𝑡
= 𝜔 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 
𝒗𝒚 (𝒙, 𝒕) = 𝝎 𝑨 𝒔𝒆𝒏 (𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) 
A equação da tela anterior nos mostra que a velocidade transversal de 
determinada partícula varia com o tempo em função de um MHS. A velocidade 
máxima da partícula ocorrerá quando 𝒔𝒆𝒏 (𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) = 𝟏, e neste caso a 
velocidade será: 
𝒗𝒚 𝒎á𝒙 (𝒙, 𝒕) = 𝝎 𝑨 
Da mesma forma que fizemos para determinar a velocidade transversal 
da partícula sujeita a onda senoidal, iremos proceder para obter a aceleração 
da partícula no decorrer do tempo, e para isso vamos realizar a derivada parcial 
de segunda ordem na equação de posição em função do tempo para onda 
senoidal: 
 
𝜕2𝑦 (𝑥,𝑡)
𝜕𝑡2
= 𝑎𝑦 (𝑥, 𝑡) 𝑎𝑦 (𝑥, 𝑡) = 
𝜕 𝜔 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝑘𝑥−𝜔𝑡)
𝜕𝑡
= − 𝜔2𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 
𝒂𝒚 (𝒙, 𝒕) = − 𝝎
𝟐𝑨 𝒄𝒐𝒔 (𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) 
 
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14 
 
Portanto a aceleração de determinada partícula é igual a (− 𝝎𝟐) vezes o 
seu deslocamento: 
𝒂𝒚 (𝒙, 𝒕) = − 𝝎
𝟐 𝒚(𝒙, 𝒕) 
 
Velocidade de uma onda transversal 
Uma característica importante das ondas é a sua velocidade de 
propagação, cada tipo específico de onda tem sua própria velocidade de 
propagação para um meio material particular. 
 
Mas o que determina esta velocidade de propagação? Vejamos a seguir! 
 
Para responder à pergunta, continuaremos utilizando como exemplo as 
ondas transversais em uma corda vibrante. Os resultados obtidos na análise 
desse tipo de onda são válidos e podem ser aplicados a outros tipos de ondas 
mecânicas. As grandezas físicas envolvidas para determinar a velocidade de 
propagação da onda em uma corda, são: a tensão na corda F, ou seja, a força 
aplicada a corda que a mantém esticada e também a massa específica linear  
da corda, massa por unidade de comprimento. 
A relação matemática que determina a velocidade de propagação e uma 
onda em uma corda vibrante é dada pela raiz quadrada da razão entre a tensão 
na corda e sua massa específica linear: 
𝒗 = √
𝑭
𝝁
 
 
Assista à videoaula do professor Cristiano no material online! 
 
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15 
TEMA 3: Energia no movimento ondulatório 
Lembra que destacamos no início da aula que algumas das 
características é que durante a propagação de qualquer onda ela transporta 
apenas energia e nunca matéria, portanto todo movimento ondulatório possui 
uma determinada energia associada a ele. 
Vimos também que o início de uma onda mecânica ocorre com a 
perturbação do meio material, deslocando-se uma partícula do meio de sua 
posição de equilíbrio para outra posição de maior energia. Para isso, devemos 
aplicar uma força nessa partícula movendo-a para uma posição diferente da 
posição de equilíbrio, portanto realizando um trabalho sobre ela. A medida que 
a onda se propaga uma porção do meio exerce força nas partículas adjacentes 
e realiza um trabalho sobre elas, possibilitando a propagação da onda através 
do meio e carregando a energia fornecida de uma região para outra. 
Se analisarmos o gráfico da coordenada y em função da coordenada x 
para uma onda que viaja em uma corda da esquerda para direita, veja figura 6. 
Observe o ponto a localizado na corda durante a passagem da onda, ele 
foi ampliado e podemos ver que a inclinação da corda pode ser determinada pela 
forças que estão atuam no ponto a neste instante, pois a parte da corda a direita 
do ponto a exerce força na parte da corda a esquerda do ponto a e vice-versa. 
Na figura abaixo podemos ver a configuração dessas forças quando omitimos a 
parte da corda do lado esquerdo ao ponto a substituindo-a pela força que ela 
aplica no ponto a.