ENG1007_P3_12.1D

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ENG 1007 – INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
Terceira prova (P3) – turma D 14/06/2012 
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1a Questão (3,0 pontos) 
A viga da figura está submetida a um determinado carregamento, apresentando os diagramas de esforço 
cortante (kN) e momento fletor (kNm) abaixo. Não há esforço normal. Determine: 
a) As reações de apoio. 
b) As distâncias marcadas. 
c) O carregamento (cargas concentradas e distribuídas). 
d) As expressões algébricas para o esforço cortante e o momento fletor. 
)()( xq
dx
xdV
−=
 
)()( xV
dx
xdM
=
 
 
 
 
 
Resposta: a), b) e c) marcadas na figura 
 
d) 
0 6x< ≤ : ( ) 43,2 10V x x= − , 2( ) 43, 2 5M x x x= − 
6 8x≤ ≤ : ( ) 16,8V x = − , ( ) 180 16,8M x x= − 
8 10x≤ ≤ : ( ) 26,8V x = − , ( ) 260 26,8M x x= − 
10 12x≤ ≤ : ( ) 4V x = , ( ) 4 48M x x= − 
 
 
1a 2a 3a Nota 
 
43,2 kN 30,8 kN 
x
qM
V
dx
V dV+
M dM+
2a Questão (3,5 pontos) 
Determine para a viga abaixo, de seção retangular b=15 cm e h=40 cm, e para a qual já são fornecidos 
os diagramas e reações de apoio: 
1-as máximas tensões normais (trativa e compressiva), dando as coordenadas de onde ocorrem; 
2- a máxima tensão cisalhante, dando as coordenadas de onde ocorre. 
 






−=
=
=
=
2
y
8
hbQ
bI
VQ
12
bhI
I
My
22
z
z
z
3
z
z
x
τ
σ
 
 
 
 
 
Resposta: 
)qq,m0,m2,2(,kPa260
)qq,m2,0,m5,0 e 0 entre(,MPa5
m10x8I
x
44
z
=
±±=
=
−
τ
σ 
 
10,4kN 
DEC 
(kN) 
DMF 
(kNm) 
q = 2 kN/m 
0,5 m 0,5 m 1,2 m 
M = 20 kNm 
x 
P = 8 kN 4,96kNm 
-8 
-10,4 
20 
16 
4,96 
3a Questão (3,5 pontos) 
Determine a equação da linha elástica da viga abaixo. 
 
 
Momento fletor: 
(0 ≤ x ≤ 2m) M = -0,5x3-x2-0,5x 
(2m ≤ x < 4m) M = 6x-21 
 
Gabarito: 
Serão realizadas integrações em dois trechos, com as seguintes condições de contorno, para a 
determinação das constantes de integração: 1 1(0) 0, (2) 0v v= = , 2 12
(2) (2)(2) 0, dv dvv
dx dx
= = . 
Primeiro trecho: 
2 3 4 3 2 5 4 3
21 1
1 1 1 22
( ) ( ) ( )
2 2 8 3 4 40 12 12z z z
d v x dv xx x x x x x x xEI x EI C EI v x C x C
dx dx
= − − − ⇒ = − − − + ⇒ = − − − + + 
Segundo trecho: 
2 2
2 32 2
3 2 3 42
( ) ( ) 216 21 3 21 ( )
2z z z
d v x dv x xEI x EI x x C EI v x x C x C
dx dx
= − ⇒ = − + ⇒ = − + + 
De 1(0) 0v = , obtém-se 2 0C = . 
De 1(2) 0v = , obtém-se 1
7
5
C =
 
De 2 1(2) (2)dv dv
dx dx
= , obtém-se 3
386
15
C =
 
De 2 (2) 0v = , obtém-se 4
262
15
C = −
 
Respostas: 
(0 ≤ x ≤ 2m) 
5 4 3 7( )
40 12 12 5z
x x xEI v x x= − − − +
 
(2m ≤ x ≤ 4m) 
2
3 21 386 262( )
2 15 15z
xEI v x x x= − + − 
2
2
( ) ( )z
d v xEI M x
dx
=
2 m 2 m 
M = 3 Nm 
q2 = 8 N/m 
A B 
6 N 
q1 = 2 N/m