Notas Aulas Estatistica I

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UNIVERSIDADE SÃO TOMÁS DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS ECONÓMICAS E EMPRESARIAIS 
CURSO DE: GESTÃO DE EMPRESAS, GESTÃO FINANCEIRA E GESTÃO 
BANCÁRIA, ECONOMIA E CONTABILIDADE/AUDITORIA 
 
ESTATÍSTICA I E ESTATÍSTICA & PROBABILIDADE 
 
1. Introdução 
1.1. Evolução do papel da Estatística 
Todas as ciências têm suas raízes na história do homem. 
A Matemática, que é considerada como “a ciência que une à clareza do raciocínio a síntese da 
linguagem”, originou-se do convívio social, das trocas, da contagem, com carácter prático, 
utilitário, empírico. 
 
A Estatística, ramo da Matemática Aplicada, teve origem semelhante. 
Desde a Antiguidade vários povos já registavam o número de habitantes, de nascimentos, de 
óbitos, faziam estimativas das riquezas individual e social, distribuíam equitativamente terras 
ao povo, cobravam impostos e até realizavam inquéritos quantitativos por processos que, hoje, 
chamaríamos de “estatísticas”. 
 
A palavra Estatística provém da palavra latina, Status, que significa Estado. Foi no Estado 
onde teve a sua origem, onde era utilizado para denominar levantamentos de dados, cuja 
finalidade era orienta-lo no processo de tomada de decisões. 
 
Ao longo da Idade Média e até ao século XVIII a Estatística foi puramente descritiva, onde 
foi usada pelos governos nos processos de censos, com o objectivo de conhecer seus 
habitantes, sua condição socioeconómica, sua cultura, religião, etc. Foi também utilizado para 
determinar o valor dos impostos a cobrar os cidadãos, para determinar a estratégia de uma 
nova batalha em guerras que se caracterizavam por uma sucessão de batalhas, pois era 
fundamental aos comandantes, saber de quantos homens, armas, cavalos, etc, dispunham após 
a última batalha. 
A definição de estatística não é única, pelo que será apresentada uma, em forma de resumo de 
entre as mais comuns na literatura: 
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Estatística é uma ciência exacta que visa fornecer subsídios ao analista para colectar, 
organizar, resumir, analisar e apresentar dados. 
 
Estatística é uma parte da Matemática que fornece um conjunto de técnicas ou métodos para 
a colecta, a organização, a apresentação, a análise e a interpretação de dados quantitativos, 
viabilizando a utilização dos mesmos dados na tomada de decisões, com mínimo grau de 
incerteza. 
 
Quando se aborda um problema que envolve métodos estatísticos, estes devem ser utilizados 
mesmo antes da recolha dos dados, isto é, deve-se planificar a experiência que vai permitir 
recolher os dados, de modo que, posteriormente, se possa extrair o máximo de informação 
relevante para o problema em estudo. 
 
A estatística no plural (estatísticas) – como informação – indica qualquer colecção consistente 
de dados, reunidos com a finalidade de fornecer informações de uma actividade qualquer ou 
fenómeno (estatísticas da produção, estatísticas demográficas, estatísticas sociais, etc.). 
 
A estatística no singular (estatística) – como ciência - refere-se a um conjunto de métodos, ou 
melhor, uma metodologia tendo em vista a recolha, a classificação, a apresentação, a análise 
e interpretação de dados, bem como a obtenção de conclusões válidas e tomada de decisões. 
 
 
Importância da Estatística 
A estatística, ou método estatístico, como é denominada algumas vezes, desempenha um papel 
crescente e importante em quase todas as pesquisas humanas. Lidando anteriormente apenas 
com os negócios de Estado, a influência da estatística estendeu-se agora à Agricultura, 
Biologia, Comércio, Química, Comunicações, Economia, Educação, Electrónica, Medicina, 
Física, Ciências Políticas, Psicologia, Sociologia e outros numerosos campos da ciência e 
engenharia onde é usada no auxílio de tomada de decisões, com o mínimo de erro possível e 
maior eficiência. 
Por exemplo, o Estado através do Ministério da Agricultura, conduz um censo para apurar o 
número de indivíduos que desenvolvem a actividade agrícola, quais os produtos cultivados, 
em que áreas o são, qual o resultado da colheita, o que foi vendido, que pestes afectaram a 
produção, etc. Estas estatísticas informam ao Ministério para além de várias outras coisas, 
como é que está a desenvolver o sector da Agricultura, em quanto irá contribuir a Agricultura 
para o PIB Nacional e ajuda na prevenção de possíveis pestes nas colheitas seguintes. A 
análise dos dados colhidos é muito importante para se fazer um planeamento adequado. 
A estatística fornece-nos as técnicas para extrair informação de dados, na medida em que nos 
dão informação útil sobre o problema em estudo, sendo assim, é objectivo da Estatística extrair 
informação dos dados para obter uma melhor compreensão das situações que representam. 
3 
 
 
 
A Estatística geralmente é dividida em duas partes: estatística descritiva e estatística 
inferencial ou indutiva. 
 
A estatística descritiva tem por objectivo, a observação de fenómenos da mesma natureza, a 
recolha de dados numéricos desses fenómenos, a organização e classificação dos dados 
recolhidos e a sua apresentação através de gráficos e quadros, além do cálculo de parâmetros 
(estatísticas) que permitem descrever resumidamente os fenómenos, sem tirar quaisquer 
conclusões sobre a sua população. 
 
A estatística inferencial (indutiva) refere-se a um processo de generalização a partir de 
resultados particulares. Consiste em obter e generalizar conclusões, ou seja, inferir 
propriedades para o todo com base numa parte do universo de referência. Por se basear numa 
parte do universo (população), a ela está associada uma medida da incerteza que é tratada 
mediante técnicas e métodos que se fundamentam na Teoria da Probabilidade. 
 
Conceitos fundamentais em Estatística 
Alguns conceitos importantes para o processo de aprendizado da Estatística. 
 
População (N) é o conjunto de elementos com pelo menos uma característica comum e de 
interesse, ou seja, é o conjunto, finito ou infinito, de todos os elementos, indivíduos ou 
objectos que apresentam em comum pelo menos uma característica definida, cujo 
comportamento interessa analisar. A população é estudada em termos de observações de 
características nos indivíduos (animados ou inanimados) que sejam relevantes para o estudo, 
e não em termos de pessoas ou objecto em si. Por isso, em qualquer estudo estatístico é 
importante definir bem as características de interesses dos elementos de uma população para 
que seja delimitado os elementos que pertencem à população e os que não pertencem. 
 
Exemplo de população: Estudar o nº de filhos tidos, o tipo de moradia, condições de trabalho, 
tempo de trabalho, estado civil, etc., dos docentes da Universidade São Tomás. 
População: Todos docentes (de tempo inteiro ou parcial) de uma Universidade. 
 
A população (Universo) pode ser dividida em finita e infinita. 
População Finita: apresenta um número limitado de observações, que é passível de 
contagem. Exemplo, Idade dos funcionários do banco XYZ, População: Todos funcionários 
do banco XYZ. 
População Infinita: apresenta um número ilimitado de observações que é impossível de 
contar e geralmente esta associada a processos. Exemplo, satisfação dos clientes do 
supermercado ABC, população: Todos clientes do supermercado ABC. 
 
4 
 
Censo: é uma colecta exaustiva de dados relativos a todos os elementos de uma população. 
Amostra (n): é um subconjunto da população e deve ser finita. A amostra deve ser 
seleccionada seguindo certas regras e deve ser representativa, de modo que ela represente 
todas as características da população como se fosse uma fotografia desta. Ou seja, a amostra 
é considerada representativa quando apresenta as principais características da população de 
origem, por isso, é estudada com o propósito tirar conclusões válidas sobre a essa população. 
Exemplo: estudo da satisfação dos estudantes da USTM em relação a qualidade das aulas. 
População: todos estudantes daUSTM 
Amostra: estudantes do 2º ano do curso de Gestão 
 
O processo de obtenção ou extracção de amostras designa-se por amostragem. De um modo 
geral deve ter-se os seguintes cuidados na formação de uma amostra: 
 
 
Imparcialidade – Todos os elementos devem ter a mesma oportunidade de fazer parte da 
amostra 
 
Representatividade – Deve conter em proporção as principais características que a população 
possui, qualitativa e quantitativamente. 
 
Tamanho – A amostra deve ser suficientemente grande de modo que as suas características 
se aproximem tanto quanto possível das características da população. 
 
Parâmetros: são valores singulares que existem na população e que servem para caracterizá-
la. Para definirmos um parâmetro devemos examinar toda a população. Os parâmetros, 
normalmente, são representados por letras do alfabeto grego (exemplo: media -  ; desvio 
padrão - ). 
 
Estimativa ou estatística: é um valor aproximado do parâmetro e é calculado com o uso da 
amostra. As estimativas (estatísticas) normalmente são representadas por letras do alfabeto 
latino. (exemplo: media - x ; desvio padrão - s). 
 
Fenómeno estatístico: é qualquer evento que se pretenda analisar, cujo estudo seja possível 
a aplicação do método estatístico. 
 
Chama-se unidade estatística a cada um dos elementos que compõem a população. Cada 
estudo estatístico é feito para atingir um certo objectivo. Dependendo do objectivo do estudo, 
observa-se cada unidade estatística em relação a um atributo ou atributos determinados. Os 
atributos observados podem ser qualitativos ou quantitativos 
 
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Um atributo é qualitativo, quando as modalidades não são numéricas ou não são passíveis de 
medição, mas podem ser apenas constatadas; uma variável estatística é qualitativa quando se 
classifica em diversas modalidades ou categorias e quantitativa quando tem uma modalidade 
com intensidades diferentes, ou seja é quantitativa quando for passível de medição. De um 
modo geral, os atributos observados quando são qualitativos revestem-se em várias 
modalidades, e quando são quantitativos apresentam uma modalidade com diferentes 
intensidades ou valores. 
 
As variáveis podem ser classificadas em quantitativas e qualitativas (atributo) 
 
Variáveis estatísticas - como conceito o termo “variável” é um substantivo que representa 
classes de objectos, por exemplo: sexo, grau de escolaridade, renda mensal, participação 
política, etc. Evidentemente existem variáveis fáceis de identificar suas modalidades como 
sexo, mas existem outras mais complexas como participação política. Uma variável estatística 
pode ser contínua ou discreta 
 
Variáveis quantitativas são as que têm por modalidades quantidades numéricas com as quais 
podemos fazer operações aritméticas, sendo classificadas em discretas e contínuas 
 
Variável estatística quantitativa discreta - Quando só pode tomar valores isolados num 
certo intervalo finito ou finito. Ou seja, são as que podem assumir somente valores inteiros, 
inclusive zero, num conjunto de valores, isto é, não admitem uma modalidade intermediária 
entre duas quaisquer de suas modalidades. 
Exemplo: X1; X2; X3; ...; Xn; O número de estudantes numa sala de aulas; O número de 
crianças numa família, número de blocos utilizados na construção de uma casa, número de 
viaturas na cidade de Maputo. 
 
Variável estatística quantitativa contínua – Quando pode tomar qualquer valor dentro de 
um intervalo finito ou infinito. São aquelas que podem assumir um valor dentro de um 
intervalo de valores. É gerada pelo processo de medição. 
Exemplo: Dado um intervalo a;b com a  b, existe um valor x tal que x  a, e x  b, isto é a 
 x  b. Exemplo, altura de uma pessoa, distância entre dois pontos; a temperatura numa 
cidade. 
 
Variáveis qualitativas ou atributos são as observações (dados estatísticos) que apresentam 
um carácter qualitativo, não podendo ser medidas em termos numéricos 
 
Os atributos podem ser Dicotómicos ou Múltiplos (Polipotómicos) 
 
Atributos Dicotómicos são aqueles que admitem uma subdivisão em apenas duas classes. 
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Exemplo: quando classificamos os estudantes quanto ao sexo, só podemos ter duas respostas 
possíveis: masculino e feminino. 
 
Atributos Múltiplos são aqueles que admitem uma subdivisão em mais de duas classes 
Exemplo: quando classificamos os estudantes quanto ao estado civil, podemos ter mais de 
duas respostas possíveis: solteiro; casado; divorciado e viúvo. 
 
Escalas de medidas de dados estatísticos 
Conforme a natureza dos atributos, existem quatro escalas principais usadas para medi-los. 
 
a) Escalas Nominais - são aquelas que separam os atributos em categorias diferentes onde 
não existe uma ordenação em termos de hierarquia. Na utilização destas escalas é preciso que 
se obedeçam as seguintes condições: 
A divisão deve ser coerente de acordo com um único critério; 
 
A divisão deve ser completa. 
 
As categorias que participam na divisão devem ser mutuamente exclusivas. 
 
Exemplo: sexo, nacionalidade, etc. 
 
Exemplo: Profissão (1. Contabilista, 2. Informático, 3.Camponês, etc.) 
 
b) Escalas Ordinais – baseiam-se numa classificação hierárquica. Através desta escala os 
atributos são colocados em determinada ordem conforme o critério adoptado. Exemplo: nível 
académico, classe social, etc; Exemplo: Cargo numa empresa (1.Presidente, 2.Vice-
presidente, 3.administrador, etc.). 
 
c) Escalas de intervalo – colocam as categorias a distâncias iguais. Uma propriedade 
importante nesta escala é a de adoptar um zero (0) arbitrários (não absoluto). Exemplo, 
temperatura em graus célsius; tempo do calendário, etc.. Exemplo: A idade e o número de 
partos [paridade] são variáveis com intervalos constantes de mesmo modo que a duração do 
uso de anticoncepcionais e a data de aceitação de um método anticoncepcional. 
 
d) Escalas de Razão - a escala de razão são também uma escala de intervalos adoptando um 
zero absoluto, pelo que, admitem as quatro operações. São um caso especial das escalas 
ordinais, as quais são também nominais hierárquicas. Assim a escala de razão é também uma 
escala de intervalo dotada de zero absoluto. Tem essa designação porque a razão dos números 
da escala é igual a razão que descreve o grau em que duas pessoas ou objetos possuem um 
atributo 
Exemplo: uma pessoa com peso de100 Kg e uma outra com 50 Kg a razão é 2 : 1 
7 
 
Exemplo, saldo da conta bancária, idade, peso, etc. 
 
Os dados necessários para a análise estatística podem ser obtidos através de um CENSO 
(pesquisa de toda a população), ou através de uma AMOSTRA (subconjunto finito) da 
população. 
Fases do Método Estatístico 
1º - Definição do Problema: Saber exactamente aquilo que se pretende pesquisar é o mesmo 
que definir correctamente o problema. 
2º - Planeamento: Como levantar informações? Que dados deverão ser obtidos? Qual 
levantamento a ser utilizado? Censitário? Por amostragem? E o Cronograma de actividades? 
Os custos envolvidos? etc. 
3º - Recolha de dados (informações): Fase operacional. É o registo sistemático de dados, com 
um objetivo determinado. 
Dados primários: quando são publicados pela própria pessoa ou organização que os haja 
recolhido. Ex: tabelas do censo demográfico do INE. 
Dados secundários: quando são publicados por outra organização. Ex: quando determinado 
jornal publica estatísticas referentes ao censo demográfico extraídas do INE. 
OBS: É mais seguro trabalhar com fontes primárias. O uso da fonte secundária traz o grande 
risco de erros de transcrição. 
Colecta Directa: quando é obtida directamente da fonte. Ex: Empresa que realiza uma pesquisa 
para saber a preferência dos consumidores pela sua marca. 
A colecta directa pode ser: contínua (registos de nascimento, óbitos, casamentos, etc.), 
periódica (recenseamento demográfico, censo industrial) e ocasional (registo de casos de 
dengue). 
Colecta Indirecta:É feita por deduções a partir dos elementos conseguidos pela colecta 
directa, por analogia, por avaliação, indícios ou proporcionalização. 
4º - Apuramento dos dados: Resumo dos dados através de sua contagem e agrupamento. É a 
condensação e tabulação de dados. 
5º - Apresentação dos dados: Há duas formas de apresentação, que não se excluem 
mutuamente. A apresentação tabular, ou seja, é uma apresentação numérica dos dados em 
linhas e colunas distribuídas de modo ordenado, segundo regras práticas fixadas pelo 
Conselho Nacional de Estatística. A apresentação gráfica dos dados numéricos constitui uma 
apresentação geométrica permitindo uma visão rápida e clara do fenómeno. 
6º - Análise e interpretação dos dados: A última fase do trabalho estatístico é a mais importante 
e delicada. Está ligada essencialmente ao cálculo de medidas e coeficientes, cuja finalidade 
principal é descrever o fenómeno (estatística descritiva). Na estatística indutiva a interpretação 
dos dados se fundamentam na teoria da probabilidade. 
 
 
1.2 Distribuição de Frequências 
Introdução 
8 
 
Ao colectar os dados referentes ao fenómeno objecto de estudo, normalmente o analista se 
defronta com valores que se repetem algumas ou muitas vezes, sugerindo sua apresentação 
através de tabelas, onde somente apareçam valores distintos uns aos outros. Essa providência 
favorece evidentemente uma análise e interpretação mais rápida da natureza e comportamento 
do fenómeno observado. 
 
Um dos objectivos da Estatística Descritiva quando se trabalha com grandes quantidades de 
dados é obter uma significativa redução dos mesmos dados, para facilitar a sua análise. 
 
Neste caso, a Distribuição de Frequência é uma ferramenta estatística apropriada para a 
apresentação de grandes massas de dados, numa forma que torna mais clara a tendência central 
e a dispersão dos valores ao longo da escala de medição, bem como a frequência relativa de 
ocorrência dos diferentes valores. 
 
Alguns conceitos importantes 
Para que se possa organizar os dados em frequência é necessário que eles estejam na sua forma 
bruta. 
Dados brutos – são os dados originais, que ainda não se encontram prontos para análise, por 
não estarem numericamente organizados. (Também são conhecidos como Tabela Primitiva). 
Exemplo 1: Considere o conjunto dos pesos (em kg) dos 20 estudantes, tirado de uma lista 
alfabética da base de dados do Registo Académico 
 
45, 41, 42, 41, 42 43, 44, 41, 50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, 51 
 
Depois de obter os dados brutos no campo, é importante organiza-los em rol. 
O Rol é uma lista em que os valores numéricos brutos estão dispostos em uma determinada 
ordem, crescente ou decrescente. 
Exemplo 2: Apresentando em ordem crescente o conjunto dos pesos dos 20 estudantes do 
exemplo anterior temos: 
41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45, 46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60 
 
Existem 4 tipos de frequências pela qual podemos apresentar os dados 
Frequência simples ou absoluta ( i
f
): é o valor que representa o número de observações em 
uma determinada classe ou em um determinado atributo de uma variável qualitativa. A soma 
das frequências simples é igual ao número total dos dados da distribuição. 
Frequência relativa ( rf ): é o valor da razão (proporção) entre a frequência absoluta em uma 
determinada classe e a frequência total da distribuição. A soma das frequências relativas é 
igual a 1 (100%). 
9 
 
Frequência simples acumulada de uma classe ( i
F
): é o total das frequências de todos os 
valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma determinada classe. 
Frequência relativa acumulada de uma classe ( rF ): é a frequência acumulada da classe, 
dividida pela frequência total da distribuição. 
 
 
Distribuição de frequências de dados não agrupados em classe 
É a simples condensação dos dados conforme as repetições de seus valores. Este tipo de 
apresentação é utilizado para representar uma variável discreta ou contínua. Para uma tabela 
de tamanho razoável, esta distribuição de frequência é inconveniente, já que exige muito 
espaço. 
Na primeira coluna, encabeçado pelo índice i, aparecem os números correspondentes à ordem 
dos valores da variável. Na segunda coluna, encabeçada por xi, são anotados em ordem 
crescente apenas os valores distintos da variável. 
A terceira coluna é uma coluna auxiliar (opcional), utilizada para que se possa processar a 
contagem dos valores repetidos, sem grande esforço. 
A última coluna, encabeçada por fi, apresenta as frequências, que são os resultados numéricos 
provenientes da contagem. A soma de frequências é sempre igual ao número total de valores 
observados: 
nf
k
i
i =
=1 
k: é o extremo superior do intervalo de valores do índice i. 
fi,:é o número de observações de um valor 
n: é o número total de valores observados. 
Exemplo 3: Considerando o exemplo anterior, sobre o peso dos 20 estudantes, a tabela de 
distribuição de frequência será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela1. Exemplo da distribuição de frequência de uma variável não agrupada em classe 
i ix Frequências 
( )if 
1 41 3 
2 42 2 
3 43 1 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Distribuição de frequências de dados agrupados em classe 
Quando a variável objecto do estudo é contínua, é sempre conveniente agrupar os valores 
observados em classes. Se por outro lado, a variável é discreta e o número de valores 
representativos dessa variável é muito grande, recomenda-se o agrupamento dos dados em 
classes. 
Neste último caso, o procedimento visa evitar certos inconvenientes, como: 
Grande extensão da tabela, dificultando, tanto quanto os dados brutos, a leitura e a 
interpretação dos resultados apurados; 
Aparecimento de diversos valores da variável com frequência nula; 
Dificuldade de visualização do comportamento do fenómeno como um todo. 
Usando os dados do exemplo 1, abaixo a distribuição dos mesmos em classes 
i Classes Frequências 
( )if 
1 41 |------ 45 7 
2 45 |------ 49 3 
3 49 |------ 53 4 
4 53 |------ 57 1 
5 57 |------ 61 5 
Total 20 
 
Elementos de uma distribuição de frequência com classe 
Classe: Intervalos nos quais os valores da variável analisada são agrupados. Cada classe é 
simbolizada por (i) e o número total de classe é simbolizado por (k). 
4 44 1 
5 45 1 
6 46 2 
7 50 2 
8 51 1 
9 52 1 
10 54 1 
11 57 1 
12 58 2 
13 60 2 
Soma 20 
11 
 
Ex: na tabela anterior k=5 e 49 |------- 53 é a 3ª classe, onde i=3. 
 
Limites da classe: são extremos de cada classe. O menor número é o limite inferior de classe 
( )infL e o maior número, o limite superior de classe ( )supL . 
Deste modo, o intervalo de classe quanto a sua natureza pode ser aberto, fechado ou misto. 
 
Intervalos abertos – os limites da classe (inferior e superior) não pertencem a ela. Exemplo 
de notação: 49 --- 53 
 
Intervalos fechados – os limites de classe (superior e inferior) pertencem à classe em questão. 
Exemplo de notação: 49 |-----|53 
 
Intervalos mistos – um dos limites pertence à classe, e o outro, não. Exemplo de notação: 49 
|-----53 ou 49 ----|53. 
 
Cálculo de número total de classes 
Para montar uma distribuição de frequência é necessário que primeiro se determine o número 
de classes (k) em que os dados serão agrupados. 
 
Não existe regra fixa para se determinar o número de classes (k). Contudo, neste material 
são apresentadas algumas: 
Regra 1: Por questões de ordem prática e estética sugere-se utilizar de 5 a 20 classes; 
Regra 2: o uso da fórmula de Sturges, que nos dá o número de classe em função do número 
de valores da variável: nk log*3.31+= onde n é o número de itens que compõe a amostra 
Regra 3: Se 


=→
=→
nkn
kn
25
525
 onde n é o número total de observações 
Nota: De um modo geral, na resolução dos exercícios iremos usar a regra 2 e/ou regra 3, para 
determinar o número de classe em função do númerode observações (n). 
Exemplo 4: considerando os dados do exemplo 1 podemos obter o número total de classe: 
Temos que n=20 então, pela regra 2, K=1+3.3*log20= 1+3.3*1.3= 5.29  5 
 
Amplitude Total ou “Range” (At) é a diferença entre o maior e o menor número do rol. A 
amplitude total pode ser denotada por: 
minmax XXAt −= 
Exemplo 5: o maior peso dos 20 estudantes é de 60 kg e o menor peso é de 41 kg, a amplitude 
total será de 19 kg porque ( 60 kg - 41 kg= 19 kg). 
 
12 
 
Amplitude do intervalo de classe (c): é o valor que representa a quantidade de números que 
se encontram entre o limite inferior e limite superior de uma classe, e é constante em todas 
as classes de uma mesma distribuição de frequências. 
A fórmula para o cálculo da c é: 1−
=
k
A
c t
 
Onde: c – é a amplitude de classe; At – é a amplitude total de classe e k – é o nº total de 
classes 
Exemplo 6: o c para o exemplo em estudo é: 
75.4
15
19
=
−
=c
 
 
Ponto Médio de classe (PM): é o valor que se encontra no meio dos limites de cada classe 
2
infsup LL
PM
+
=
, onde Lsup= Limite superior da classe; Linf= Limite inferior da classe; 
Assim, o limite inferior da primeira classe será: 
2
mininf1
c
XL −=
, onde Xmin é o menor valor de todas as observações da amostra. 
E os demais limites são obtidos somando-se c ao limite anterior. 
Exemplo 7: Elaboração de uma distribuição de frequências com classes. 
Os dados da tabela abaixo foram obtidos em uma pesquisa de mercado e correspondem ao 
tempo (T) em minutos que consumidores (C) de uma determinada operadora de telefonia 
móvel utilizariam em um mês. Elabore uma distribuição de frequências com classe. 
 
C T C T C T C T C T 
1 104 9 122 17 129 25 144 33 183 
2 108 10 142 18 138 26 151 34 138 
3 138 11 106 19 122 27 146 35 115 
4 101 12 201 20 161 28 82 36 179 
5 163 13 169 21 167 29 137 37 142 
6 141 14 120 22 189 30 132 38 111 
7 90 15 210 23 132 31 172 39 140 
8 154 16 98 24 127 32 87 40 136 
 
Resolução: Passos para elaboração de uma distribuição de frequências com classes. 
 
 
 
 
 
 
13 
 
Primeiro passo: Organizar os dados brutos em um ROL crescente: 
82 111 132 142 167 
87 115 136 142 169 
90 120 137 144 172 
98 122 138 146 179 
101 122 138 151 183 
104 127 138 154 189 
106 129 140 161 201 
108 132 141 163 210 
 
Segundo passo: Calcular a amplitude total At: 
minutos82min =X ; 
210max =X então 
min12882210minmax =−=−= XXAt 
 
Terceiro passo: calcular o número total de classe (k) 
O número de observações da amostra (n) é 40, então 
632.640 === nk ou pelo Sturges 
classes628.66.1*3.3140log*3.31log*3.31 =+=+=+= nK 
 
 
Quarto passo: conhecido o número de classe, calcular a amplitude de cada classe: 
min6.25
16
128
1
=
−
=
−
=
k
A
c t
 
 
Quinto passo: calcular o limite inferior da primeira classe: 
2.698.1282
2
6.25
82
2
mininf =−=−=−=
c
XL
 
 
Sexto passo: Determinar os intervalos de classes: 
69.2|---94.8 
94.8|---120.4 
120.4|---146.0 
146.0|---171.6 
171.6|---197.2 
197.2|---222.8 
 
 
 
 
14 
 
 Apresentar a tabela com as classes e respectivas frequências 
i Classe 
if (consumidores) i
F
 r
f (proporção) rF 
1 69.2|---94.8 3 3 0.075 0.075 
2 94.8|---120.4 
 
8 11 0.200 0.275 
3 120.4|---146.0 
 
16 27 0.400 0.675 
4 146.0|---171.6 
 
7 34 0.175 0.850 
5 171.6|---197.2 
 
4 38 0.100 0.950 
6 197.2|---222.8 
 
2 40 0.050 1.000 
Total 40 1.000 
 
 
 
 
Medidas de Posição 
Medidas de Tendência Central 
Medidas de variabilidade 
 
 Medidas de Posição 
As medidas de posição, mais concretamente as de Tendência Central ou promédias são 
assim denominados pelo facto de haver uma tendência de os dados observados se 
agruparem em torno dos valores centrais. 
 
Dentro do grupo das medidas de tendência central temos a média, a moda, a mediana, 
que são as 3 medidas de tendência central mais usadas para resumir o conjunto de valores 
representativos do fenômeno que se deseja estudar e serão as abordadas ao longo da ficha. 
 
3.1.Média 
É a medida de tendência central mais usada para descrever resumidamente uma 
distribuição de frequências. Esta medida dá-nos a informação de qual é o valor que 
representa o ponto de equilíbrio de determinado conjunto de dados. 
Apesar da existência de vários tipos de média como a aritmética, harmônica, geométrica, 
quadrática e outros, nesta ficha iremos abordar somente como se calcula e interpreta o 
valor da média aritmética. 
 
15 
 
3.1.1. Média Aritmética 
Símbolo: x (lê-se x barra) 
A média aritmética de um conjunto de dados somente pode ser calculada para variáveis 
quantitativas (tanto discretas quanto contínuas) e pode ser simples ou ponderada. 
 
 
a. Média aritmética simples 
A média aritmética simples é aquela em que todos valores do conjunto de dados 
apresentam igual peso. 
O seu cálculo é igual ao quociente entre a soma dos valores do conjunto e o número 
total de valores, isto é, é igual a soma de cada um dos valores pertencentes ao conjunto 
de números, pelo número total de observações. Genericamente, podemos escrever: 
 
n
x
x
n
i
i
== 1 (1) 
 
Onde xi: valor genérico da observação; 
n : número total de observações; 
Exemplo 1: Num escritório de advogacia há cinco advogados estagiários auferindo um 
salário de USD 820, 810, 790, 800 e 780 cada um deles. 
O salário médio mensal dos advogados estagiários, de acordo com a definição, será de: 
800
5
4000
5
7808007908108201 ==
++++
==

=
n
x
x
n
i
i
 
Interpretação: o salário médio dos advogados estagiários do escritório de advogados 
é de USD 800, ou, em média o salário mensal dos advogados estagiários é de USD 800. 
 
Nota: A média aritmética simples será calculada sempre que os dados aparecerem na 
forma de dados brutos. 
 
b. Média aritmética ponderada 
A média aritmética é considerada ponderada quando os valores do conjunto de dados 
apresentarem pesos diferentes. Para o seu cálculo faz-se o quociente entre o produto 
de cada valor do conjunto de dados pelo seu peso e a soma dos pesos. 
 
16 
 


=
==
n
i
i
n
i
ii
w
wx
x
1
1
*
 onde wi representa o peso (2) 
Exemplo 2: Nos cursos lecionados na Universidade XYZ a direcção académica 
decretou que por semestre deviam ser realizados dois testes e dois mini-testes, cada um 
deles com o seguinte peso, 0.40 para cada teste e 0.10 para cada mini-teste. Um 
estudante que durante o semestre em determinada cadeira tiver tido 15 e 13 nos testes 
e 17 e 15 nos mini-testes, a sua média de frequência para o exame será: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
14
1
4.14
10.010.040.040.0
15*10.017*10.013*40.015*40.0
*
1
1 =
+++
+++
==


=
=
n
i
i
n
i
ii
w
wx
x 
 
Interpretação: a média de frequência para o exame do estudante em causa será de 14 
valores. 
 
c. Média aritmética para dados agrupados em uma distribuição de frequência de 
valores simples 
Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de frequência de valores 
simples, a média aritmética será o quociente entre o produto de cada valor do conjunto 
de dados pela sua frequência e o número total de observações. 
 
n
fx
x
i
n
i
i *
1

== onde 
=
=
n
i
ifn
1
 (3) 
 
Exemplo 3: usando o enunciado do exercício 3 da aula prática 2, sobre o número de 
irmãs de alguns estudantes do curso de Contabilidade e Auditoria da USTM, podemos 
calcular a média do número de irmãs por estudantes com a fórmula 3, visto que os dados 
estão apresentados por distribuição de frequências de valores simples. 
 
 
 
 
i Nº de 
irmãs 
ix 
Nº de 
estudantes 
if 
ii fx * 
17 
 
1 0 3 0 
2 1 9 9 
3 2 9 18 
4 3 3 9 
Total 24 36 
 
25.1
24
36
24
91890
*
1 ==
+++
==

=
n
fx
x
i
n
i
i
 
Interpretação: os estudantes entrevistados do curso de Contabilidade e Auditoria da 
USTM têm em média duas irmãs OU o número médio de irmãs dos estudantes 
entrevistados do curso de Contabilidade eAuditoria da USTM é de duas irmãs. 
 
d. Média aritmética para dados agrupados em uma distribuição de frequência por 
classes 
Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de frequência por classe, a 
média aritmética será o quociente entre o produto do ponto médio de cada classe pela 
sua frequência e o número total de observações. 
A fórmula será igual a fórmula 3 apresentada: 
n
fx
x
i
n
i
i *
1

== 
Exemplo 4: considere o enunciado do exemplo 7 da ficha teórica 2, sobre o tempo (T) 
em minutos que os consumidores (C) de determinada operadora utilizariam em um mês. 
68.137
40
2.5507
*
1 ===

=
n
fx
x
i
n
i
i
 
 
Interpretação: O tempo médio que os consumidores (os entrevistados) de uma 
determinada operadora de telefonia móvel usariam em um mês é de 137.68 minutos. 
 
 
 
 
i Classe PM de xi if (C) ii fx * 
1 69.2|---94.8 82 3 246 
2 94.8|---120.4 107.6 8 860.8 
3 120.4|---146.0 133.2 16 2131.2 
18 
 
4 146.0|---171.6 158.8 7 1111.6 
5 171.6|---197.2 184.4 4 737.6 
6 197.2|---222.8 210 2 420 
Total 40 5507.2 
 
 
Propriedades da Média Aritmética 
1. A soma algébrica dos desvios de um conjunto de números tomados em relação 
à média aritmética é zero: ( ) 0
11
=−=
==
n
i
i
n
i
i xxd 
 
2. Somando-se (ou subtraindo-se) um valor constante e arbitrário (k) a cada um 
dos elementos de um conjunto de números, a média aritmética fica somada (ou 
subtraída) por essa constante. kxx = x 
 
3. Multiplicando-se (ou dividindo-se) cada elemento de um conjunto de números 
por um valor constante e arbitrário (k), a média aritmética fica multiplicada (ou 
dividida) por essa constante: xkx = ou 
k
x
x = 
 
Características da Média Aritmética 
1. É muito influenciada pelos valores extremos da distribuição 
2. Localiza-se em geral na classe de maior frequência 
3. É única para um conjunto de dados 
 
 
3.2.Moda 
Símbolo: Mo ou X̂ 
A Moda é uma medida de tendência central que nos dá a informação acerca do valor 
que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados. Quanto a classificação da 
moda, um conjunto de dados pode apresentar uma distribuição: 
Unimodal ou modal – quando possui um único valor de maior frequência 
Exemplo 5: no seguinte conjunto de dados 3, 7, 8, 8, 11 possuímos somente um valor 
que com maior frequência, que é o valor 8. Estamos perante uma distribuição modal 
com Mo=8 
 
Bimodal – quando possui dois valores com o maior e igual número de frequência 
19 
 
Exemplo 6: no seguinte conjunto de dados 3, 3, 7, 8, 8, 11 possuímos 2 valores com 
igual valor de frequência que são o 3 e 8. Estamos perante uma distribuição bimodal 
com Mo= 3 e 8 
 
Amodal – quando não ocorre um valor de maior frequência 
Exemplo 7: no seguinte conjunto de dados 3, 7, 8, 10, 11 não possuímos nenhum valor 
de maior frequência que os outros, por isso, estamos perante uma distribuição amodal. 
 
A moda pode ser verificada em variáveis quantitativas (contínuas e discretas) e 
variáveis qualitativas ordinais. 
 
 
e. Cálculo da moda de valores não agrupados 
Para os dados não agrupados em classe a determinação da moda é feita observando qual 
é o valor que aparece mais vezes. 
Vide os exemplos 5, 6 e 7 
 
f. Cálculo da moda de dados agrupados em distribuição de frequências por valores 
simples 
 
Para este tipo de distribuição, a identificação da moda e feita pela observação do 
elemento que apresenta maior frequência. 
Exemplo 8: tomando os dados do exemplo 3, verificamos que estamos perante um 
conjunto de dados que possuí dois valores com igual e o maior número de frequências, 
isto é, fi=9 então Mo=1 e 2. Estamos perante uma distribuição bimodal. 
Interpretação: verifica-se que há maior frequência de estudantes com 1 e 2 irmãs. 
 
 
g. Cálculo da moda de dados agrupados em distribuição de frequências por classes 
 
c
ff
f
lM
postant
post
mo *0
+
+= 
Onde: 
lmo – limite inferior da classe modal (é a classe que apresenta a maior frequência) 
fpost – frequência absoluta simples posterior à classe modal 
fant - frequência absoluta simples anterior à classe modal 
c – amplitude do intervalo de classe 
 
Exemplo 9: usando os dados do exemplo 4, calcule a moda. 
20 
 
a maior frequência é igual a 16 e encontra-se na 3ª classe, logo, a classe modal é 120.4|-
--146.0. assim: 
lmo = 120.4 
fpost = 7 
fant = 8 
c = 25.6 
 
35,1326.25*
78
7
4.120*0 =
+
+=
+
+= c
ff
f
lM
postant
post
mo 
Interpretação: o tempo em minutos mais observado no conjunto de dados é de 
132,35minutos 
 
 
3.3.Mediana 
Símbolo: Md ou X
~
 
 
A Mediana é o valor real que separa os dados em ROL em duas partes, deixando à sua 
esquerda o mesmo número de elementos que à sua direita, isto é, é o valor que divide a 
distribuição de dados de tal modo que 50% dos dados sejam superiores à mediana e 
50% sejam inferiores. Por isso é também chamada de separatriz. 
 
A moda pode ser verificada em variáveis quantitativas (contínuas e discretas) e 
variáveis qualitativas ordinais. 
 
h. Cálculo da Mediana de valores não agrupados 
Para o cálculo da Mediana de valores não agrupados, é essencial que os mesmos 
estejam organizados em ROL. 
 
O Nº de observações é impar 
Quando o número total de observações é ímpar, o valor mediano é o que se encontra na 
posição encontrada por 




 +
2
1n
 
Exemplo 10: considerando os dados em Rol, do exemplo 1, sobre o salário dos 
advogados estagiários do escritório de advogados: 780, 790, 800, 810 e 820 verificamos 
que o valor mediano é o que se encontra na 3
2
15
2
1
=




 +
=




 +n
 posição, Md = 800 
Interpretação: 50% dos advogados estagiários do escritório de advogados auferem um 
salário até 800 usd e os outros 50% auferem um salário acima de 800usd 
i. 
21 
 
O Nº de observações é par 
Para este caso são encontradas duas posições no rol de dados, através das expressões: 






2
n
 e 





+1
2
n
. Após encontrada essas posições, a Mediana é convencionada como 
sendo a média aritmética dos valores que ocupam essas posições centrais. 
Exemplo 11: Suponha que foi contratado mais um advogado estagiário para o escritório 
de advogados, aumentando para 6 os advogados estagiários e que este último aufere um 
salário de 700usd. Determine a mediana do conjunto de salários dos estagiários. 
 
700, 780, 790, 800, 810 e 820 
3
2
6
2
=





=




 n
 e 41
2
6
1
2
=





+=





+
n
 
Na 3ª e 4ª posição temos os valores 790 e 800. Sendo assim 
795
2
80079043
=
+
=
+
=
n
aa
Md 
Interpretação: 50% dos advogados estagiários do referido escritório auferem um 
salário igual ou inferior a 795usd. 
 
 
j. Cálculo da Mediana de dados agrupados em uma distribuição de frequências por 
valores simples 
 
Para dados distribuídos em frequência por valores simples, primeiro deve-se verificar 
se o valor da frequência total (nº total de valores observados) é impar ou par, e 
dependendo do caso, aplicamos as fórmulas apresentadas para o cálculo de Md de 
número ímpar e par 
Exemplo 11: usando os dados do exemplo 3, verificamos que o número total de 
observações é o 24, que é um número par. Então temos: 12
2
24
2
=





=




 n
 e 
131
2
24
1
2
=





+=





+
n
 
 
Para localizar os valores correspondentes a essas posições, construímos a tabela de 
frequências acumuladas e facilmente conseguimos verificar que na 12ª posição temos 
o valor 1 e na 13ª posição temos o valor 3, então 
25.1
2
211312
=
+
=
+
=
n
aa
Md 
Interpretação: 50% dos estudantes de Contabilidade e Auditoria possuem mais que duas 
irmãs e outros 50% possuem duas ou menos irmãs. 
22 
 
 
 
i Nº de 
irmãs 
ix 
Nº de 
estudantes 
if 
iF 
1 0 3 3 
2 1 9 12 
3 2 9 21 
4 3 3 24 
Total 24 36 
 
 
k. Cálculo da Mediana de dados agrupados em uma distribuição de frequências porclasses 
 
Procedimentos para o cálculo da Md 
1. Calcular a posição do valor da Mediana: 
2
n
EMd = 
2. Identificar a classe que contém o valor da mediana através da coluna de 
frequência acumulada 
3. Aplicar a fórmula c
f
F
n
lM
Md
ant
Mdd *
2
−
+= 
Onde: 
Mdl – limite inferior da classe mediana 
n – número total de observações 
antF – frequência acumulada da classe anterior à classe mediana 
Mdf – frequência absoluta simples da classe mediana 
c – amplitude de intervalo de classe 
 
Usando os dados do exemplo 4, calcular o valor da Mediana 
 
i Classe 
if (C) iF 
1 69.2|---94.8 3 3 
2 94.8|---120.4 8 11 
3 120.4|---146.0 16 27 
23 
 
4 146.0|---171.6 7 34 
5 171.6|---197.2 4 38 
6 197.2|---222.8 2 40 
Total 40 
20
2
40
2
===
n
EMd 
O vigésimo elemento está situado na 3ª classe (a 3ª classe engloba do 12º elemento ao 
27º elemento), por isso, a 3ª classe será a classe mediana. Então: 
Dados: 
Mdl = 120.4 
n = 40 
antF = 11 
Mdf = 16 
c =25.6 
 
8.1344.144.1206.25*
16
1120
4.120*2 =+=
−
+=
−
+= c
f
F
n
lM
Md
ant
Mdd 
Interpretação: 50% dos inqueridos falariam acima de 134.8 minutos por mês e os 
restantes 50% falariam até 134.8 minutos 
 
Md = Q2 = P50 
Q1 = P25 
Q3 = P75 
 
Relação empírica entre Média, Moda e Mediana 
Distribuição Relação 
Simétrica MoMdx == 
Assimétrica positiva (à direita) MoMdx  
Assimétrica negativa (à esquerda) MoMdx  
 
 
3.4.Quartis, Decis e Percentis (Centis) 
Para além das medidas de tendência central já apresentadas, há outras que 
individualmente não são medidas de tendência central, mas estão ligadas à mediana, 
relativamente a sua característica como separatriz de determinado conjunto de dados 
organizados em rol. Estamos a falar dos Quartis, Decis e Percentis. 
24 
 
 
3.4.1. Quartis (
iQ ) 
Os quartis dividem a distribuição de um conjunto de dados em 4 partes iguais, sendo 
que existem 3 quartis: 
 
O 1Q divide os dados em duas partes, sendo que 25% dos valores encontram-se 
abaixo dele e 75% acima dele. 
O 2Q divide os dados em duas partes iguais, pois coincide com a Mediana. Neste 
caso, 50% dos valores encontram-se abaixo dele e 50% acima dele. 
O 3Q divide os dados em duas partes, sendo que 75% dos valores encontram-se 
abaixo dele e 25% acima dele. 
 
Procedimentos para o cálculo dos Quartis 
1. Calcular a posição do quartil: 
4
* ni
EQ = , onde i=1, 2 e 3 
2. Identificar a classe que contém o valor do quartil calculado no ponto anterior, 
através da coluna de frequência acumulada – classe iQ 
3. Calcular o valor do quartil com a fórmula: 
c
f
F
ni
lQ
i
i
Q
ant
Qi *
4
*
−
+= (1) 
Onde: 
iQ
l – Limite inferior da classe quartílica 
n – Número total de observações 
antF – Frequência acumulada da classe anterior à classe quartílica 
iQ
f – Frequência absoluta simples da classe quartílica 
c – amplitude de intervalo de classe quartílica 
 
Exemplo 1: com os dados da tabela abaixo, sobre o tempo em minutos que 
consumidores entrevistados de determinada operadora de telefonia móvel iriam falar 
durante um mês, calcule 1º quartil ( 1Q ) 
 
 
i Classe 
if (C) iF 
1 69.2|---94.8 3 3 
2 94.8|---120.4 8 11 
25 
 
3 120.4|---146.0 16 27 
4 146.0|---171.6 7 34 
5 171.6|---197.2 4 38 
6 197.2|---222.8 2 40 
Total 40 
 
1. 10
4
40*1
4
*
===
ni
EQ 
 
2. A Classe Q1=10 é 69.2|---94.8 
 
3. 53.15433.852.696.25*
3
010
2.69*4
*
1
11
=+=
−
+=
−
+= c
f
F
ni
lQ
Q
ant
Q 
Interpretação: 25% dos entrevistados iriam falar menos que 154.53 minutos durante 
um mês, ou, 75% dos entrevistados iriam falar mais que 154.53 minutos durante um 
mês. 
 
 
 
Diagrama de extremos e quartis (Boxplot) 
 
É um tipo de representação gráfica, em que se realçam algumas características da amostra. O 
conjunto dos valores da amostra compreendidos entre o 1º e o 3º quartis, que vamos 
representar por Q1 e Q3 é representado por um rectângulo (caixa) com a mediana indicada 
por uma barra. A largura do rectângulo não dá qualquer informação, pelo que pode ser 
qualquer. Consideram-se seguidamente duas linhas que unem os meios dos lados do 
rectângulo com os extremos da amostra. Para obter esta representação, começa por se 
recolher da amostra, informação sobre 5 números, que são: os 2 extremos (mínimo e 
máximo), a mediana e o 1º e 3º quartil. A representação do diagrama de extremos e quartis 
tem o seguinte aspecto: 
 
O extremo inferior é o mínimo da amostra, enquanto que o extremo superior é o máximo da 
amostra. 
Qual a importância deste tipo de representação? 
Realça informação importante sobre os dados, como sejam o centro da amostra (mediana), 
variabilidade, simetria. 
Repare-se que da forma como o diagrama se constrói, se pode retirar imediatamente a 
seguinte informação: 
26 
 
 
Como é que se pode reconhecer a simetria ou o 
enviesamento dos dados, a partir do Diagrama de extremos e quartis? 
Existem fundamentalmente 3 características, que nos dão ideia da simetria ou enviesamento 
e da sua maior ou menor concentração: 
- distância entre a linha indicadora da mediana e os lados do rectângulo 
- comprimento das linhas que saem dos lados dos rectângulos 
- comprimento da caixa. 
Apresentamos seguidamente 3 exemplos de diagramas de extremos e quartis, 
correspondentes a tipos diferentes de distribuição de dados. 
 
 
A caixa de bigodes é um tipo de representação gráfica, em que se realçam algumas 
características da amostra, nomeadamente a existência de "outliers" (valores que se 
distinguem dos restantes, dando a ideia de não pertencerem ao mesmo conjunto de dados). 
O conjunto dos valores da amostra compreendidos entre o 1º e o 3º quartil, Q1 e Q3 é 
representado por um rectângulo (caixa) com a mediana indicada por uma barra. 
Considera-se seguidamente duas linhas que unem os lados dos rectângulos com os chamados 
valores adjacentes, que definiremos a seguir. 
 
 
 
3.4.2. Decis ( iD ) 
Os decis dividem a distribuição de um conjunto de dados em 10 partes iguais, sendo 
que existem 9 decis. 
 
Procedimentos para o cálculo dos Decis 
 
1. Calcular a posição do decil: 
10
* ni
ED = , onde i=1, 2, 3, …, 9 
2. Identificar a classe que contém o valor do decil calculado no ponto anterior, 
através da coluna de frequência acumulada – classe iD 
27 
 
3. Calcular o valor do decil com a fórmula: 
c
f
F
ni
lD
i
i
D
ant
Di *
10
*
−
+= (2) 
 
Onde: 
iD
l – Limite inferior da classe do decil 
n – Número total de observações 
antF – Frequência acumulada da classe anterior à classe do decil 
iQ
f – Frequência absoluta simples da classe do decil 
c – amplitude de intervalo da classe do decil 
 
Exemplo 2: usando os dados do exemplo 1, calcule o decil 7 ( 7D ) 
1. 28
10
40*7
10
*
===
ni
ED 
 
2. A Classe D7=28 é 120.4|---146.0 
 
3. 6.1472.274.1206.25*
16
1128
4.120*10
*
7
77
=+=
−
+=
−
+= c
f
F
ni
lD
D
ant
D 
Interpretação: 70% dos entrevistados iriam falar menos que 147.6 minutos 
durante um mês, ou, 30% dos entrevistados iriam falar mais que 147.6 minutos 
durante um mês. 
 
3.4.3. Percentis ( iP ) 
Os percentis dividem a distribuição de um conjunto de dados em 100 partes iguais, 
sendo que existem 99 centis: 
 
Procedimentos para o cálculo dos Percentis 
 
1. Calcular a posição do percentil: 
100
* ni
EP = , onde i=1, 2, 3, …, 98,99 
2. Identificar a classe que contém o valor do percentil calculado no ponto anterior, 
através da coluna de frequência acumulada – classe iP 
3. Calcular o valor do percentill com a fórmula: 
28 
 
c
f
F
ni
lP
i
i
P
ant
Pi *
100
*
−
+= (3) 
 
Onde: 
iP
l – Limite inferior da classe do percentil 
n – Número total de observações 
antF – Frequência acumulada da classe anterior à classe do percentil 
iP
f – Frequência absoluta simples da classe do percentil 
c – amplitude de intervalo da classe percentil 
 
 
Exemplo 3: usando os dados do exemplo1, calcule o percentil 30 ( 30P ) 
1. 12
100
40*30
100
*
30
===
ni
EP 
 
2. A Classe P30=12 é 94.8|---120.4 
 
3. 6.1238.288.946.25*
8
312
8.94*100
*
30
3030
=+=
−
+=
−
+= c
f
F
ni
lP
P
ant
P 
 
Interpretação: 30% dos entrevistados iriam falar menos que 123.6 minutos 
durante um mês, ou, 70% dos entrevistados iriam falar mais que 123.6 minutos 
durante um mês. 
 
 
Após o cálculo dos quartis, decis e percentis, podemos verificar que: 
 
Md=Q2=P50 
Q1=P25 
Q3=P75 
 
 
 
Medidas de Dispersão ou variabilidade 
 
 
4. Introdução 
29 
 
Como foi visto anteriormente, podemos sintetizar um conjunto de observações em 
alguns valores representativos como média, mediana, moda e quartis. No entanto, é 
importante realçar que a análise completa dos dados não requer apenas sua apresentação 
através de gráficos e tabelas ou o cálculo de medidas de posição. Por exemplo, 
caracterizar um conjunto de valores apenas através da média é descreve-lo 
inadequadamente, pois os dados diferem entre si em maior ou menor grau. 
 
Suponhamos que aplicado o mesmo teste de estatística 1 a duas turmas do 2º ano de 
gestão que tiveram as aulas com o mesmo docente, ambas tivessem tido média 14. 
Baseando-nos nesse dado, diríamos que as duas turmas possuem o mesmo nível de 
conhecimento, mas analisando atentamente as notas das duas turmas, poderia dar-se o 
caso de os estudantes da turma 1 terem tido todos eles 14 revelando homogeneidade de 
conhecimento, enquanto que, na turma 2 as notas variaram de 7 a 18, mostrando maior 
heterogeneidade de conhecimento onde os valores extremos contribuíram muito para que 
a média da turma fosse boa. 
 
Por causa de situações como as descritas acima, torna-se necessário visualizar como os 
dados estão dispersos. Para tal, iremos fazer uso das chamadas medidas de dispersão. 
 
As medidas de dispersão são utilizadas para medir o grau de variabilidade, ou dispersão 
dos valores em torno da média aritmética. Servem para medir a representatividade da 
média e proporcionam conhecer o nível de homogeneidade ou heterogeneidade dentro 
de cada grupo analisado, permitindo estabelecer comparações entre fenómenos da 
mesma natureza e mostrando até que ponto os valores se distribuem acima ou abaixo da 
média 
 
As medidas de dispersão podem ser absolutas e relativas. A presente ficha irá debruçar-
se sobre o modo de cálculo e interpretação da Variância e Desvio padrão (medidas de 
dispersão absolutas) e Coeficiente de variação (medida de dispersão relativa) que são as 
mais comuns. 
 
4.1. Variância 
 
Símbolo: Variância populacional: ( )2 ; Variância amostral: ( )2s 
A variância é a média aritmética dos quadrados dos desvios tomados em relação a média 
aritmética de um conjunto de números. 
 
4.1.1. Variância de dados não agrupados (Dados brutos) 
 
Seja o seguinte conjunto de números:  nxxxX ,...,, 21= . A variância deste conjunto será 
definida por: 
 
( )
N
x
N
i
i
2
12

=
−
=

 (1) 
( )
1
2
12
−
−
=

=
n
xx
s
n
i
i
 (2) 
30 
 
Variância populacional Variância amostral 
 
 
4.1.2. Variância de dados agrupados (Dados tabulados) 
 
Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de frequência simples, 
usaremos a variância dos valores nxxx ...,,, 21 ponderados pelas respectivas frequências 
absolutas nfff ...,,, 21 ou então, quando os dados estiverem agrupados numa distribuição 
de frequência por classes usaremos a variância dos pontos médios nxxx ...,,, 21 de cada 
classe, ponderadas pelas frequências absolutas nfff ...,,, 21 
 
( )
N
fx i
N
i
i *
2
12

=
−
=

 (3) 
Variância populacional 
( )
1
*
2
12
−
−
=

=
n
fxx
s
i
n
i
i
 (4) 
Variância amostral 
 
4.2. Desvio padrão 
 
Símbolo: Desvio padrão populacional ( ) ; Desvio padrão amostral ( )s 
Como a variância é calculada a partir dos quadrados dos desvios, ela é um número que 
apresenta a unidade elevada ao quadrado em relação à variável que não está elevada ao 
quadrado; isto se torna um inconveniente em termos de interpretação do resultado. Por 
isso, definiu-se uma nova medida com mais utilidade e interpretação prática, o desvio-
padrão. 
 
O desvio padrão dá-nos a idéia de o quão os valores estão próximos ou dispersos do valor 
da média, facilitando assim, a percepção da homogeniedade ou heterogeniedade dos 
dados. 
 
 É definido como sendo a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios 
em relação a média aritmética de um conjunto de números, isto é, é somar cada diferença 
do valor do conjunto de dados pela média, elevada ao quadrado, e dividi-la pelo número 
total de observações, isto é, o desvio padrão é a raiz quadrada da variância. 
( )
N
x
N
i
i
=
−
= 1
2

 (3) 
Da mesma maneira quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de frequência 
usaremos a fórmula: 
( )
N
fx
N
i
ii
=
−
= 1
2
*
 (4) 
 
Observação: 
31 
 
Quando se trabalha com uma amostra e não com uma população, como acontece na grande 
maioria das situações relacionadas com a inferência estatística, ou então quando o número 
de observações não é grande ( )30n , o denominador das expressões (5) e (6) será igual 
a (n-1), desvio padrão, e não (n) para obter uma melhor estimativa do parâmetro da 
população e o símbolo do desvio padrão será representado por s e não  . 
 
( )
1
1
2
−
−
=

=
n
xx
s
n
i
i
 (5) 
( )
1
*
1
2
−
−
=

=
n
fxx
s
n
i
ii
 (6) 
Para valores grandes de n não há grande diferença entre o resultado proporcionado pela 
utilização de qualquer dos divisores, n ou n - 1. 
 
Exemplo 1: considerando o exemplo 1 da aula teórica 4, sobre os salários que 5 
advogados estagiários auferem, após termos calculado o salário médio, vamos analisar, 
qual a variância e o desvio médio que os salários apresentam. 
 
 780,800,790,810,820=A 
 
Resolução: 
 
Primeiro: cálculo da média do conjunto de dados que é igual a 8001 
 
 
 
 Segundo: cálculo dos desvios quadráticos dos valores em relação a média 
ix ( )xxi − ( )2xxi − 
780 -20 400 
790 -10 100 
800 0 0 
810 10 100 
820 20 400 
Total 1000 
 
Pela fórmula calculemos a variância: De referir que o tamanho da amostra é 5, portanto 
30n 
 
 
 
( )
250
4
1000
15
1000
1
2
12 ==
−
=
−
−
=

=
n
xx
s
n
i
i
 
 
Para calcular o desvio padrão basta tirar a raiz quadrada da variância: 
 
1 Resultado obtido no cálculo da média para dados brutos, na aula teórica 4 
32 
 
 81.152502 === ss 
 
Interpretação: o salário médio dos advogados estagiários apresenta um desvio médio de 
15.81 usd, o que significa que os salários dos advogados estagiários podem ter uma variação 
de até 15.81 usd acima ou abaixo da média, isto é, os salários podem rondar em média entre 
784.19 usd e 815.81 usd. 
 
Exemplo 2: Calcular o desvio padrão da distribuição de frequências do consumo de 
energia eléctrica (kwh) 
 
Consumo Nº de usuários 
if 
ix ii fx * xxi − ( )2xxi − ( ) ii fxx *
2
− 
5|---25 4 15 60 -64.5 4160.25 16641 
25|---45 6 35 210 -44.5 1980.25 11881.5 
45|---65 14 55 770 -24.5 600.25 8403.5 
65|---85 26 75 1950 -4.5 20.25 526.5 
85|---105 14 95 1330 15.5 240.25 3363.5 
105|---
125 
8 115 920 35.5 1260.25 10082 
125|---
145 
6 135 810 55.5 3080.25 18481.5 
145|---
165 
2 155 310 75.5 5700.25 11400.5 
Total 80 6360 80780 
 
 5.79
80
6360
*
1 ===

=
n
fx
x
n
i
ii
 
 
 Como n > 30, então: 
 
( )
2
2
12 75.1009
80
80780
1
*
kwh
n
fxx
s
i
n
i
i
==
−
−
=

= 
 
Para calcular o desvio padrão basta tirar a raiz quadrada da variância: 
 kwhss 7765.3175.10092 === 
 
Interpretação: O desvio médio em relação a média de consumo da energia eléctrica é de 
31.7765 kwh, isto é, o consumo médio de energia eléctrica pode ter uma variação de até 
31.7765 Kw/h acima ou aaixo da média. 
 
 
Condições parase usar o desvio-padrão ou variância para comparar variabilidade entre 
grupos: 
33 
 
• Mesmo número de observações; 
• Mesma unidade de medida; e 
• Mesma média. 
 
 
4.3. Coeficiente de variação 
 
Como foi dito, a variância e o desvio padrão são medidas de dispersão absolutas, deste 
modo só podem ser utilizadas para comparar a variabilidade de dois ou mais conjuntos de 
dados quando estes apresentarem a mesma média, mesmo número de observações e 
estiverem expressos nas mesmas unidades. 
 
Para comparar dois ou mais conjuntos de valores, relativamente à sua dispersão ou 
variabilidade, quando estão expressas em unidades de medida diferentes, podemos usar a 
medida de dispersão relativa denominada coeficiente de variação, que é igual ao 
quociente entre o desvio padrão e a média aritmética. 
 
 
x
s
CV = (7) 
Muitas vezes a fórmula é expressa em percentagem: 
 100*
x
s
CV = (8) 
 
Exemplo de uma aplicação do coeficiente de variação: 
Considere uma distribuição com média/valor médio igual a 40 e um desvio padrão igual 
a 4. Considere agora uma outra distribuição com média/valor médio igual a 5 e um desvio 
padrão igual a 4. 
 
Repare-se que o desvio padrão na segunda distribuição tem um peso muito mais 
significativo do que na primeira, isto é, a dispersão na 2ª distribuição tem maior efeito que 
na 1ª, e no entanto, este é igual em ambas. Ao se determinar o coeficiente de variação é 
possível saber de que forma o desvio padrão está para a/o média/valor médio. 
 
Nos exemplos dados, o coeficiente de variação é respectivamente 1,0
40
4
= e 8,0
5
4
= . Ao 
se interpretar estes valores pode-se afirmar que, na primeira distribuição, em média, os 
desvios relativamente à média atingem 10% do valor desta. Na segunda distribuição, 
porém, os desvios relativamente à média atingem, em média, 80% do valor desta. As 
percentagens mostram o peso do desvio padrão sobre a distribuição. 
 
Classificação da distribuição quanto à dispersão: 
 
Dispersão baixa: %15CV 
Dispersão média: %30%15 CV 
Dispersão alta: %30CV 
34 
 
 
Exemplo3: Numa empresa o salário médio dos funcionários de sexo masculino é de 4000 
Mt com um desvio padrão de 1500 Mt, e o dos funcionários do sexo feminino é em média 
de 3000 Mt, com um desvio padrão de 1200. Então: 
 
Sexo masculino: %5.37100*
4000
1500
100* ===
x
s
CV 
Sexo feminino: %40100*
3000
1200
100* ===
x
s
CV 
 
Interpretação: Podemos concluir que o salário médio das mulheres apresenta maior 
dispersão relativa (maior variabilidade) em relação a média dos salários, em relação ao 
salário médio dos homens, podendo atingir uma dispersão de até 40%. 
Quanto a dispersão podemos afirmar que ambos os sexos possuem uma dispersão alta em 
relação aos seus valores médios, pois, os seus CV´s estão acima de 30%. 
 
 
Exemplo 4: Um teste de estatística aplicado a dois grupos de estudantes sendo a 
classificação de 0 a 10 valores, apresentou os seguintes resultados: 
 
Grupo Médias das notas (de 0-10) Desvio padrão das notas 
A 6 2 
B 6.2 1.5 
 
Observando estes dados, podemos constatar que as notas são expressas na mesma unidade 
de medida, e suas médias são quase iguais ou muito próximas. Neste caso é válido 
comparar os valores de s, não se obtendo informação adicional significativa com o uso do 
CV. Por isso, não há necessidade de muito esforço de raciocínio para concluir que o grupo 
B apresentou menos dispersão em relação ao grupo A, tanto em termos absolutos como 
relativos. 
 
 
5. Características estatísticas de forma de uma distribuição de frequência 
 
Os polígonos de frequências ajudam-nos a visualizar a diversidade de formas assumidas por 
distribuições de frequência. Assim, os parâmetros que caracterizam uma distribuição de 
frequências de um conjunto de valores junto às medidas de posição e de dispersão são os 
índices de forma de distribuição. 
 
Neste contexto, para complementar o estudo de uma distribuição no quadro da estatística 
descritiva é necessário estudar as medidas de assimetria e curtose. As características mais 
importantes neste parágrafo são de deformação ou assimetria e o grau de achatamento da 
curva de distribuição de frequências ou histograma. 
 
Chama-se assimetria, o grau de deformação de uma distribuição em relação ao eixo de 
simetria. 
35 
 
 
Para curvas de distribuições de frequências unimodais com um grande número de 
observações verificam-se as seguintes relações: 
 
Relação empírica entre Média, Moda e Mediana 
Distribuição Relação 
Simétrica MoMdx == 
Assimétrica positiva (à direita) MoMdx  ou Mox  
Assimétrica negativa (à esquerda) MoMdx  ou Mox  
 
Nas figuras a seguir apresentam-se as posições relativas entre as três medidas para curvas 
assimétricas ou desviadas e curva simétrica ou normal. 
 
 
A seguir apresentam-se as equações de Karl Pearson e do Bowley que relacionam as três 
medidas de localização. 
 
Coeficiente de Pearson 
 
Para avaliar o grau de assimetria ou deformação são utilizados os coeficientes de assimetria 
de Pearson. O primeiro e segundo coeficientes de assimetria de Pearson são: 
 

).(3 eo MxAse
Mx
As
−
=
−
= 
Classificação do coeficiente de Pearson: 
As = 0 DISTRIBUIÇÃO SIMÉTRICA 
0 < As < 1 DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA POSITIVA FRACA 
As  1 DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA POSITIVA FORTE 
-1 < As < 0 DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA NEGATIVA FRACA 
As  -1 DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA NEGATIVA FORTE 
 
Coeficiente de Bowley 
O coeficiente de Bowley é apresentado pela seguinte fórmula: 
36 
 
 
13
13 )..2
QQ
MQQ
As e
−
−+
= 
Classificação do coeficiente de Bowley: 
 
As = 0 DISTRIBUIÇÃO SIMÉTRICA 
0 < As  0,1 DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA POSITIVA FRACA 
0,1 < As < 0,3 DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA POSITIVA MODERADA 
0,3 As  1 DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA POSITIVA FORTE 
-0,1 As < 0 DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA NEGATIVA FRACA 
- 0,3 < As < -0,1 DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA NEGATIVA MODERADA 
-1 As  - 0,3 DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA NEGATIVA FORTE 
 
Coeficiente de Curtose 
Curtose ou excesso de uma distribuição e seu coeficiente. Entende-se por Curtose o grau de 
achatamento de uma distribuição em relação à curva normal. 
 
 
Para medir o grau de curtose utilizaremos o coeficiente: 
).(2 1090
13
PP
QQ
K
−
−
= 
Classificação do coeficiente de Curtose: 
K = 0,263 CURVA MESOCÚRTICA 
K > 0,263 CURVA PLATICÚRTICA 
K < 0,263 CURVA LEPTOCÚRTICA 
 
Observação: 
✓ Curva platicúrtica, tem curva bastante achatada; 
✓ Curva mesocúrtica, tem curva menos achatada e pico menos acentuado; 
✓ Curva Leptocúrtica, tem pico bastante acentuado. 
 
	UNIVERSIDADE SÃO TOMÁS DE MOÇAMBIQUE
	FACULDADE DE CIÊNCIAS ECONÓMICAS E EMPRESARIAIS