Dinâmica do ponto material energia e quantidade de movimento

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MECÂNICA GERAL II
Marcelo Quadros
Dinâmica do ponto 
material: energia e 
quantidade de movimento
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
� Demonstrar o conceito de trabalho e energia cinética do ponto 
material.
� Reconhecer o significado e a aplicação de energia potencial, linear e 
angular.
� Descrever a cinemática das colisões dos corpos — choque.
Introdução
Neste capítulo, você estudará a dinâmica do ponto material em função 
da energia mecânica, que é definida como a soma da energia cinética 
e da potencial. A energia cinética é a associada ao movimento de um 
objeto, e a mudança de energia cinética resultante de forças 
aplicadas é igual ao trabalho realizado pelas forças. Já a energia 
potencial é armazenada na configuração de um sistema de objetos 
que exercem forças entre si. 
Você verá sobre o momento, também conhecido por quantidade de 
movimento, impulso, que é a variação da quantidade de movimento, e 
por fim, as colisões que podem ser elásticas e inelásticas. 
Trabalho e energia cinética do ponto material 
Segundo Knight (2009, p. 304), a palavra “trabalho” é de uso comum no 
português e apresenta diversos significados. 
Quando você pensa pela primeira vez em trabalho, provavelmente pensa em 
esforço físico ou atividade com o qual alguém se sustenta como descrito no 
dicionário; pois afinal falamos em “esforço” ou dizemos: “eu vou para casa 
depois do trabalho”. Todavia não é esse o significado de trabalho na física. 
O modelo básico de energia emprega “trabalho” no sentido da transferência de 
energia para um corpo ou para fora dele por meio da aplicação de uma força.
Podemos, também, descrever trabalho como uma energia transferida para 
um objeto ou de um objeto, causado pela ação de uma força externa: o positivo 
transfere energia para o objeto, e o negativo transfere do objeto. Trabalho é o 
produto escalar do vetor força pelo vetor de deslocamento
De acordo com o modelo básico de energia, o trabalho realizado pode ser 
positivo ou negativo, indicando, respectivamente, energia transferida para 
dentro ou para fora do mesmo. As grandezas F e Δr são sempre positivas, 
de modo que o sinal de W é determinado inteiramente pelo ângulo Θ entre a 
força F
→
 e o deslocamento Δr→, demonstrados no Quadro 1.
Energia cinética
Nenhuma grandeza física tem maior importância em nossa vida diária do que 
a energia. Consumo energético, eficiência energética e “produção” de energia 
são de extrema importância econômica e objetos de discussões acaloradas sobre 
políticas nacionais e acordos internacionais. A energia também desempenha 
um papel importante na rotina diária de cada indivíduo: consumo energético 
através de calorias alimentares e por meio de processos celulares, atividades, 
trabalho e exercício. Em última análise, a perda ou o ganho de peso devem-se 
a um desequilíbrio entre consumo e uso de energia (BAUER; WESTFALL; 
DIAS, 2012). 
Dinâmica do ponto material: energia e quantidade de movimento2
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Dinâmica do ponto material: energia e quantidade de movimento4
Além das formas de energia mecânica, como energia cinética e energia potencial, 
temos outras de grande importância, as quais listamos a seguir (Figura 1).
 � Energia térmica: outra forma de energia que é um dos pilares centrais da 
termodinâmica. 
 � Energia química: é armazenada em compostos químicos, e reações químicas podem 
consumir energia do ambiente (reações endotérmicas) ou gerar energia utilizável 
para o ambiente (reações exotérmicas). 
 � Energia solar: quase todas as outras fontes de energia renovável na Terra remontam 
à energia solar. 
 � Energia eólica: é responsável pelo vento que impulsiona grandes aerogeradores 
de energia. 
 � Energia por biomassa: outra forma de energia renovável, que depende da capaci-
dade de plantas e animais em armazenarem energia solar durante seus processos 
metabólicos e de crescimento.
Figura 1. Tipos de energias.
Fonte: Alberto Masnovo/Shutterstock.com.
5Dinâmica do ponto material: energia e quantidade de movimento
Sabemos que existem diversos e importantes tipos de energia, entretanto 
nosso objeto de estudo baseia-se em um tipo específico, que é a energia as-
sociada ao movimento de um objeto ou descrita como energia cinética. Essa 
é definida como metade do produto da massa de um objeto em movimento 
pelo quadrado de sua velocidade, sendo:
Observe que, por definição, a energia cinética é sempre positiva ou igual 
a zero, sendo somente zero para um objeto em repouso. Também note que a 
energia cinética, como todas as formas de energia, é um escalar, e não uma 
grandeza vetorial. Como ela é o produto da massa (kg) e da velocidade ao 
quadrado (m/s · m/s), as unidades de energia cinética são kg m2/s2. 
Uma vez que a energia é uma grandeza tão importante, ela tem sua própria 
unidade do SI: o joule (J). A unidade de força do SI, o Newton, é 1 N = 1, e 
podemos fazer uma conversão útil, sendo unidade de energia: 
1 J = 1 Nm = 1 kgm2/s2. 
Para facilitar o entendimento de nossos estudos, analisaremos um exemplo de energia 
cinética de um veículo de massa 1890 kg, movimentando-se a uma velocidade limite 
de 25 m/s. Ele tem uma energia cinética de:
Outro exemplo para melhor a compreensão dos conceitos da energia cinética 
e, também, do trabalho, é o de uma prensa industrial de 650 kg, que acerta o 
topo de uma matriz de forja de 140 kg. Após o impacto, a punção e a matriz 
se juntam e têm uma velocidade de 3 m/s. A força vertical exercida sobre a 
matriz após o impacto é dada por F = 0,02 × 2, onde x e F são expressos em 
mm e kN, respectivamente. 
Dinâmica do ponto material: energia e quantidade de movimento6
Vamos determinar a velocidade do sistema após estampar 80 mm na peça. 
Inicialmente, calculamos a energia cinética, de forma que as duas posições 
consideradas são imediatamente após o impacto e depois que o sistema des-
ceu 50 mm. Como o sistema está inicialmente deslocando a 3 m/s, a energia 
cinética inicial é:
Na posição 2 a energia cinética será de:
Nosso segundo passo será calcular o trabalho. À medida que o sistema se 
move para dentro do chão, o peso e a força de resistência F realizam trabalho. 
O trabalho que o peso realiza é:
(U1→2)g = mgy (790 kg)(9,81 m/s
2)(0,08 m) = 620,0 J
A equação dada para a força é tal que F é em kN, quando x é expresso em 
mm. Isso significa que o número na frente (isto é, o 0,02) tem que ter as unida-
des de kN/mm2 para que elas funcionem. O trabalho da força de resistência é:
Portanto, o trabalho total é de:
U1→2 = (U1→2)g + (U1→2)F = 620,0 J – 3413 J = –2793 J
7Dinâmica do ponto material: energia e quantidade de movimento
Substituindo as energias cinéticas e o trabalho total no princípio de trabalho 
e energia, obtemos:
Para determinar quão profundamente o sistema entra no solo antes de parar, 
você precisa definir a energia cinética final igual a zeroe fazer a profundidade 
máxima, xm, desconhecida. Escrevemos:
Resolvendo isso, determinamos xm = 0,0859 m ou 85,9 mm.
Significado e aplicação de energia potencial, 
linear e angular
O princípio de trabalho e energia é útil para resolver muitos tipos diferentes 
de problemas de engenharia. No entanto, em muitas aplicações, a energia 
mecânica total permanece constante, embora possa ser transformada de uma 
forma para outra. Isso é conhecido como princípio de conservação de energia. 
Para formulá-lo, devemos, primeiro, definir uma quantidade conhecida como 
energia potencial (BEER et al., 2019)
O princípio de conservação de energia afirma que a energia não pode ser criada 
nem destruída, apenas convertida de uma forma ou de outra. Muitas máquinas são 
projetadas especificamente para converter energia de uma forma para outra em um 
processo controlado. Dependendo da eficiência da máquina, uma parte da energia 
de entrada será convertida em calor, o qual não pode ser completamente recupe-
rado. Contudo, uma ampla quantidade de energia será tipicamente armazenada, de 
modo temporário, no interior da máquina em ambas as formas, potencial e cinética 
(NORTON, 2010).
Dinâmica do ponto material: energia e quantidade de movimento8
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Verificar. Neste caso seria momento linear e angular. Impulso e momento não são sinônimos.
A energia potencial
A energia potencial U de um corpo definida como sendo igual ao valor negativo 
do trabalho realizado pelas forças conservativas (geralmente as gravitacionais) 
que agem no corpo, deslocando-o da posição de referência até a posição em 
questão. A escolha da posição de referência é arbitrária — normalmente por 
conveniência (NELSON; MCLEAN; POTTER, 2013).
Vimos que a energia potencial, U, é a armazenada na configuração de um 
sistema de objetos que exercem forças entre si. Por exemplo, consideremos um 
corpo de peso W que se move ao longo de uma trajetória curva de um ponto 
A1 de elevação y1 até um ponto A2 de elevação y2, conforme demonstrado na 
Figura 2.
Figura 2. Corpo de peso W que se move ao longo de uma tra-
jetória curva.
Fonte: Beer et al. (2019, p. 786).
Dessa forma, podemos afirmar que o trabalho realizado pela força da 
gravidade W durante esse deslocamento tem a seguinte equação: 
U1→2 = –(Wy2 – Wy1) = Wy1 – Wy2
9Dinâmica do ponto material: energia e quantidade de movimento
O trabalho de W pode, então, ser obtido pela subtração do valor da função 
Wy, correspondente à segunda posição do corpo, do seu valor correspondente à 
primeira posição. O trabalho de W é independente da trajetória real percorrida; 
ele depende apenas dos valores inicial e final da função Wy, que é denominada 
energia potencial do corpo em relação à força da gravidade W, igual à equação:
onde y é medido a partir de um dado arbitrário horizontal, sendo a energia 
potencial zero, por definição. Notemos que, se (Vg)2 > (Vg)1, isto é, se a energia 
potencial aumenta durante o deslocamento (como no caso aqui considerado), 
o trabalho U1-2 é negativo. Se, por outro lado, o trabalho de W é positivo, a 
energia potencial diminui. 
Logo, a energia potencial Vg do corpo fornece uma medida do trabalho 
que pode ser realizado pelo seu peso W. Por essa razão, o nível de referência a 
partir do qual a elevação y é medida pode ser escolhido arbitrariamente. Dessa 
forma, a energia potencial é expressa nas mesmas unidades que o trabalho, 
isto é, em joules.
Para facilitar nosso entendimento sobre a aplicação de energia potencial em uma 
situação específica, considere o caso de um halterofilista que levanta uma barra de 
massa m (Figura 3). Ele começa com a barra no solo, conforme (a). Em y = 0, a energia 
potencial gravitacional pode ser definida como Ug = 0. A seguir, o halterofilista pega a 
barra, levanta-a até uma altura de y = h/2 e mantém-na lá, como mostra (b). A energia 
potencial gravitacional agora é Ug = mgh/2, e o trabalho realizado pela gravidade sobre 
a barra é Wg = – mgh/2. O halterofilista, então, levanta a barra sobre sua cabeça até 
uma altura de y = h, conforme mostra (c). A energia potencial gravitacional agora é 
Ug = mgh, e o trabalho realizado pela gravidade durante essa parte do levantamento é 
Wg = – mgh/2. Após concluir o levantamento, ele solta a barra, que cai até o solo, con-
forme ilustrado em (d). A energia potencial gravitacional da barra no solo é novamente 
Ug = 0, e o trabalho realizado pela gravidade durante a queda é Wg = mgh.
Dinâmica do ponto material: energia e quantidade de movimento10
Figura 3. Levantamento de peso e energia potencial. O peso da barra é mg, e a força normal 
exercida pelo solo ou pelo halterofilista para manter o peso para cima é F.
Fonte: Bauer, Westfall e Dias (2012, p. 170)..
O exemplo que estudamos torna-se verdadeiro mesmo para caminhos 
complicados que envolvem movimento horizontal e vertical do objeto, porque 
a força gravitacional não realiza trabalho durante os segmentos horizontais 
do movimento. No movimento horizontal, o deslocamento é perpendicular à 
força da gravidade (que sempre aponta verticalmente para baixo), e, portanto, 
o produto escalar entre os vetores força e deslocamento é zero. Logo, nenhum 
trabalho é realizado. 
O levantamento de qualquer massa a uma elevação mais alta envolve a 
realização de trabalho contra a força da gravidade e gera um aumento de energia 
potencial gravitacional dessa massa. Essa energia pode ser armazenada para 
uso posterior. Esse princípio é empregado, por exemplo, em muitas represas 
hidroelétricas. A eletricidade gerada em excesso pelas turbinas é usada para 
bombear água para um reservatório em uma elevação maior. Lá, ele constitui 
uma reserva que pode ser aproveitada em épocas de alta demanda de energia 
e/ou baixo fornecimento de água. Enunciado em termos gerais, se ΔUg for 
positiva, existe o potencial (daí o nome energia potencial) para permitir que 
11Dinâmica do ponto material: energia e quantidade de movimento
ΔUg seja negativa no futuro, com isso, extraindo trabalho positivo, uma vez 
que Wg = – ΔUg.
 � Energia potencial gravitacional (EPG): devido ao campo gravitacio-
nal, um corpo nas proximidades da superfície terrestre tende a cair 
em direção ao centro da Terra. Esse movimento é possível devido à 
energia guardada que ele possuía, chamada de potencial gravitacional, 
que utiliza a seguinte equação:
EPG = m . g . h
 � Energia potencial elástica (EPE): ao esticarmos ou comprimirmos 
uma mola ou um elástico, sabemos que, ao soltarmos, eles tenderão a 
retornar à sua posição natural (original). Essa tendência é devido a algo 
que fica armazenado na mola ou no elástico à medida que são esticados 
ou comprimidos. Esse algo é a energia potencial elástica, que utiliza 
a seguinte equação:
Para os termos força, posição, velocidade e aceleração, as definições físicas 
exatas estão muito próximas ao uso das palavras na linguagem cotidiana. Com 
o termo momento, a situação é mais análoga à da energia, para a qual só há uma 
vaga conexão entre o uso coloquial e o significado físico preciso. Às vezes, 
ouvimos falar que a campanha de um determinado político ganhou momento 
ou que a legislação ganhou momento no Congresso. Geralmente, diz-se que 
equipes esportivas ou jogadores individuais ganham ou perdem momento. 
O que essas afirmativas implicam é que os objetos que ganham momento têm 
maior dificuldade de parar. Contudo, mesmo objetos com grande momento 
podem ser parados (WESTFALL, 2012).
O momento também é chamado de momento linear para distingui-lo do 
momento angular (rotação). As unidades de momento são kg m/s. Diferente-
mente da unidade para energia, a unidade para momento não tem um nome 
especial. O módulo do momento abarca uma ampla extensão. O Quadro 2, 
a seguir, apresenta os momentos de vários objetos, de uma partícula subatômica 
a um planeta em órbita do sol.
Dinâmica do ponto material: energia e quantidade de movimento12
Fonte: Adaptado de Bauer, Westfall e Dias (2012).
Objeto Momento (kg m/s)
Partícula (α) do decaimentodo 238U 9,53 · 10–20
Arremesso de bola de beisebol a 90 mph 5,75
Rinocerontes atacando 3 · 104
Carro se movendo na estrada 5 · 104
Superpetroleiro com velocidade de cruzeiro 4 · 109
Lua orbitando a Terra 7,58 · 1025
Terra orbitando o Sol 1,78 · 1029
Quadro 2. Momento de vários objetos
Cinemática das colisões dos corpos — choque
Para entendermos as colisões dos corpos, vamos conhecer, inicialmente, 
o impacto que abrange os casos em que os intervalos de tempo durante os 
quais as forças atuam são muito pequenos e, geralmente, indeterminados. 
As superfícies dos dois corpos em colisão têm uma normal comum, que é a linha 
de impacto, demonstrada na Figura 4 (NELSON; MCLEAN; POTTER, 2013).
 � Impacto direto ocorre se as velocidades iniciais dos dois corpos em 
colisão estão na direção da linha de impacto.
 � Impacto central direto ocorre se os centros de massa estão na direção 
da linha de impacto.
 � Impacto excêntrico direto ocorre se as velocidades iniciais são paralelas 
à direção normal das superfícies de impacto, mas não são colineares.
 � Impacto oblíquo ocorre se as velocidades iniciais não estão na direção 
da linha de impacto.
13Dinâmica do ponto material: energia e quantidade de movimento
Figura 4. Sequência de tempo de um teste de impacto, demonstrando 
a função de air bags, cintos de segurança e zonas de deformação para 
reduzir as forças que atuam sobre o motorista durante um acidente. 
Fonte: Bauer, Westfall e Dias (2012, p. 210).
No impacto central direto dos dois corpos, o coeficiente de restituição é a 
razão entre a velocidade relativa de separação dos dois corpos pela velocidade 
relativa de aproximação. Portanto:
Dinâmica do ponto material: energia e quantidade de movimento14
onde:
e = coeficiente de restituição;
u1’, u2 = velocidades dos corpos 1 e 2, respectivamente, antes do impacto 
(u1 > u2 para a colisão ocorrer se ambos estão se movendo no mesmo sentido;
v2’, v2 = velocidades dos corpos 1 e 2, respectivamente, depois do impacto.
Quando o impacto for oblíquo, usam-se as componentes normais das velocidades na 
fórmula anterior. Desde que durante o impacto a mesma força atue em cada corpo 
(reação igual e oposta), a soma das quantidades de movimento antes do impacto deve 
ser igual à das quantidades de movimento após o impacto, ou seja, a quantidade de 
movimento é conservada. Essa relação é expressa como:
m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2
Suponha que dois objetos colidam entre si. Eles podem, a seguir, afastar-se, como duas 
bolas de bilhar sobre uma mesa. Esse tipo de colisão é chamado de colisão elástica. 
Outro exemplo de colisão é a de um carro subcompacto com um caminhão, na qual 
os dois veículos ficam presos entre si. Esse tipo de colisão é chamado de colisão 
perfeitamente inelástica.
Figura 5. Tipos de colisão.
Fonte: Spencer Hopkins/Shutterstock.com e Bildagentur Zoonar GmbH/Shutterstock.com.
15Dinâmica do ponto material: energia e quantidade de movimento
Constatamos, a partir de nosso exemplo, que a soma de dois momentos 
após a colisão é igual à dos dois momentos antes da colisão (o índice i1 indica 
o valor inicial para o objeto 1, logo antes da colisão, e o índice f1 indica o valor 
final para o mesmo objeto). Dessa forma:
Essa equação é a expressão básica da lei de conservação de momento total. 
O resultado mais importante dessa equação e da segunda lei de conservação 
que encontramos é a forma de considerar suas consequências.
Além da conservação de momento, as colisões elásticas também apresentam 
a propriedade de que a energia cinética total é conservada. Porém, em colisões 
inelásticas, a quantidade total de energia cinética é perdida, e os objetos em 
colisão aderem-se. 
BAUER, W.; WESTFALL, G. D.; DIAS, H. Física para universitários: mecânica. Porto Alegre: 
AMGH, 2012.
BEER, F. P. et al. Mecânica vetorial para engenheiros: dinâmica. 11. ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2019.
KNIGHT, R. D. Física: uma abordagem estratégica. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009. 
(Mecânica Newtoniana, Gravitação, Oscilações e Ondas, v. 1).
NELSON, E. W.; MCLEAN, W. G.; POTTER, M. C. Engenharia mecânica: dinâmica. 5. ed. 
Porto Alegre: Bookman, 2013. (Série Schaum).
NORTON, R. L. Cinemática e dinâmica dos mecanismos. Porto Alegre: AMGH, 2010. 
Dinâmica do ponto material: energia e quantidade de movimento16