Referencial de Centro de Massa e o Problema de Dois Corpos - NOIC

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Referencial de Centro de
Massa e o Problema de Dois
Corpos
O Referencial de Centro de Massa é a ferramenta mais poderosa que
teremos na nossa jornada pela mecânica celeste. É ela que nos
permitirá transformar o problema de dois corpos em um problema de
um corpo só, simpli�cando drasticamente nossas contas! Veremos que,
apesar do nome comprido, esta ferramenta não passa de uma média
ponderada, só que com vetores!
Sem mais delongas, vamos começar!
Imagine um espaço tridimensional com três eixos ortogonais com duas
massas, e , dispostas de forma aleatória, com vetores-posição 
e . Você saberia dizer a partir dessas variáveis, o vetor-posição do
centro de massa do sistema? Dica: é aqui que entra a parte da média
ponderada.
Fica como desa�o para o leitor provar que:
Dica: projete os vetores-posição das massas sobre os eixos!
Se imaginar tudo isso foi difícil para você, aqui está uma imagem que
pode ajudar:
Agora, imagine que , isto é, o centro de massa está na origem!
m1 m2 r1
→
r2
→
R⃗ 
≡R⃗  +m1 r1
→
m2 r2
→
+m1 m2
= 0R⃗ 
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Assim, podemos dizer que:
Assim:
Temos assim, uma equação simples para descrever a relação entre as
distâncias das massas à origem e as próprias massas!
Mas lembre-se: nosso objetivo é reduzir o problema de duas massas se
movendo, para apenas uma. Como podemos fazer isso? Veja: já temos o
centro de massa �xo na origem! Não seria conveniente se pudéssemos
por uma massa orbitando o centro de massa a uma distância de tal
forma que a atração entre eles seja a mesma que a atração entre e
?
Vamos de�nir primeiramente , visto que essa é a distância
original entre as massas e .
Temos assim o módulo da força gravitacional entre as massas e :
0 =
+m1 r1
→
m2 r2
→
+m1 m2
= −m1 r1
→
m2 r2
→
μ r ⃗ 
m1
m2
= −r ⃗  r2
→
r1
→
m1 m2
m1 m2
F = G
m1m2
r 2
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que deve ser igual ao módulo da força gravitacional entre as massas ,
o centro de massa, e , a massa orbitante.
Assim, temos que:
Pela de�nição de centro de massa, temos:
Assim:
,
a chamada massa reduzida!
Temos assim, equações que transformam um problema de duas
massas móveis para apenas uma móvel e uma �xa! Veremos
futuramente que variáveis do sistema de dois corpos, como momento
angular e energia, são idênticas no sistema de um corpo, ou, se você
preferir, no sistema reduzido!
Alguns outros resultados úteis que serão deixados como desa�o para o
leitor provar:
M
μ
F = G
Mμ
r
2
Mμ = m1m2
( + )μ =m1 m2 m1m2
μ =
m1m2
+m1 m2
= −r1
→ μ
m1
r ⃗ 
=r2
→ μ
m2
r ⃗ 
Feito por estudantes, para estudantes
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