Lista 8

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8ª Lista de Exercícios
1 - Suponha que estamos atirando dardos em um alvo circular com raio de 10 cm, e seja X a
distância, em cm, do ponto atingido pelo dardo ao centro do alvo. A função densidade de
probabilidade (f.d.p.) de X é
f(x) =
{
kx, 0 ≤ x ≤ 10,
0, c.c.
a) Calcule o valor da constante k.
b) Qual a probabilidade de �acertar a mosca�, se ela é um círculo concêntrico de raio 1 cm?
c) Mostre que a probabilidade de acertar qualquer círculo concêntrico em relação ao alvo, é
proporcional a sua área.
d) Calcule a esperança, a variância e o desvio padrão de X.
2 - O tempo adequado de troca, X, de um amortecedor de certa marca em automóveis, sujeitos
a uso contínuo e severo, pode ser considerado como uma variável contínua, medida em anos.
Suponha que a função densidade de probabilidade (f.d.p.) desta variável seja dada pela seguinte
expressão
f(x) =

x/4, 0 ≤ x ≤ 2,
1/8, 2 < x ≤ 6,
0, c.c.
a) Qual a probabilidade de um automóvel, sujeito às condições descritas acima, necessitar
de troca entre 1 e 3 anos de uso?
b) Supondo que um automóvel está há 3 anos com o mesmo amortecedor, qual a probabilidade
de que seja necessário fazer a troca antes de completar 4 anos de uso?
c) Qual é o tempo médio adequado para a troca do amortecedor desses automóveis?
3 - O tempo, em horas, que um computador de certa marca funciona, sem apresentar problemas,
é uma variável aleatória X com a seguinte função densidade de probabilidade (f.d.p.)
f(x) =

1
100
· e−x/100, x ≥ 0,
0, x < 0.
a) Qual a probabilidade de um computador dessa marca funcionar mais de 10 dias sem
apresentar problemas?
b) Calcule o tempo médio (ou tempo esperado) que o computador funciona sem apresentar
problemas.
4 - Numa determinada localidade, a distribuição de renda (em milhares de reais) é uma v.a. X
com f.d.p.
f(x) =

x
10
+
1
10
, 0 ≤ x ≤ 2,
9
20
− 3x
40
, 2 < x ≤ 6,
0, c.c.
a) Escolhida uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de sua renda ser superior a R$
3.000,00?
b) Qual a renda média nessa localidade?
5 - Seja V a velocidade do vento (em milhas por hora) e suponha que V seja uma v.a. com f.d.p.
dada por
f(v) =
{
1/10, 0 ≤ v ≤ 10,
0, c.c.
A pressão, digamos W (em libras/pé quadrado), na superfície da asa de um avião, é dada pela
relação
W = 0, 003V 2.
a) Calcule a velocidade média do vento.
b) Obtenha o valor esperado da pressão W .
6 - Certa liga é formada pela mistura fundida de dois metais. A liga resultante contém certa
porcentagem de chumbo, X, que pode ser considerada uma v.a. com f.d.p.
f(x) =

3
5
10−5 x (100− x), 0 ≤ x ≤ 100,
0, c.c.
Suponha que L, o lucro líquido obtido na venda dessa liga (por unidade de peso), seja dado
por L = C1 + C2X. Calcule E(L), o lucro esperado por unidade.
Bom Trabalho!
RESPOSTAS
Questão 01: (a) 0,02. (b) 0,01. (c) P (0 ≤ X ≤ r) =
(
1
100π
)
× (πr2).
(d) E(X) ≃ 6,66667 cm; Var(X) ≃ 5,55556 cm2 e DP(X) ≃ 2,35702 cm.
Questão 02: (a) 0,5. (b) 0,33333. (c) 2,66667.
Questão 03: (a) 0,09072. (b) E(X) = 100 horas.
Questão 04: (a) 0,3375. (b) E(X) ≃ 2,46667 milhares de reais.
Questão 05: (a) E(V ) = 5 milhas por hora. (b) E(W ) = 0,1 libras/pé quadrado.
Questão 06: E(L) = C1 + 50C2.