Resistência dos materiais II (3)

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 A autora do caderno de estudos é a professora Muriel Batista de Oliveira, 
brasileira, natural de Rio Grande/RS, bacharel em Engenharia Civil pela Universidade 
Federal de Rio Grande (FURG, 2002), Mestre em Engenharia Civil pela Universidade 
Federal do Rio de Janeiro (COPPE/UFRJ, 2005) e Doutora em Ciências da Educação 
pela Universidad Americana (2016). Especialista em Docência do Ensino Superior 
(REDENTOR, 2007), Especialista em Engenharia de Segurança do Trabalho 
(REDENTOR, 2011) e Especialista em Educação Ambiental (FETREMIS, 2014). 
Professora da Faculdade Redentor desde 2006, nos cursos de Engenharias. 
Coordena o curso de engenharia civil na modalidade EaD. Tem experiência nas 
disciplinas de Cálculo 0, Geometria Descritiva, Geometria Analítica, Metodologia 
Científica, Álgebra Linear, Probabilidade e Estatística, Resistência dos Materiais, 
Hidráulica Fenômenos de Transporte, Instalações Prediais II, Prevenção e Combate 
a Incêndios Saneamento, Engenharia de Segurança do Trabalho e Trabalho de 
Conclusão de Curso. Atuou como Engenheira Civil, sendo projetista e responsável 
técnica de obras públicas e privadas. 
 
Muriel Batista de Oliveira 
 
Sobre a autora 
 
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Olá, querido(a) aluno (a), seja muito bem-vindo (a)! 
 
Dando sequência à sua formação em Engenharia, agora no sexto período, você 
tem a continuação do desafio imposto pela disciplina de Resistência dos Materiais. 
Nossa disciplina intitula-se Resistência dos Materiais II e é uma complementação da 
disciplina de Resistência dos Materiais I, abordando conteúdos que são ferramentas 
importantes para a formação profissional na área de Engenharia. 
Após terminar esta disciplina, como em Resistência dos Materiais I, você 
deverá ser capaz de compreender o comportamento dos materiais sujeitos a agentes 
mecânicos, dentre outros que atuam sobre peças de formas simples, buscando-se a 
quantificação dos efeitos através da introdução de hipóteses simplificadoras as quais, 
ao tempo em que permitem a obtenção de fórmulas matemáticas mais simples que 
não deixam de representar a realidade prática, nos limites de precisão exigidos pelas 
necessidades da Engenharia. Nosso foco aqui está no dimensionamento e 
deformações de vigas, na flambagem de colunas e nos métodos de energia ou 
trabalho de deformação. 
É importante frisar que nesse caderno você encontrará o básico dos conceitos 
e aplicações. O conteúdo vai muito além. Vale ressaltar que será muito importante 
consultar as bibliografias básica e complementar. Acima de tudo, você deverá praticar 
muito. Sugiro que após cada capítulo, que estará apresentado dividido em aulas, você 
busque fazer alguns dos exercícios propostos nas listas e na bibliografia indicada ao 
final das mesmas. 
A disciplina foi dividida em quatro capítulos divididos em dezesseis aulas, 
contendo exemplos e atividades a serem resolvidas, sendo importante você manter 
uma constância em seus estudos. 
 Portanto, não acumule dúvidas! Consulte o professor, participe dos fóruns, 
releia o caderno, as bibliografias recomendadas, faça os exercícios teóricos e 
principalmente os práticos, assista aos vídeos sugeridos e outras fontes que você 
considerar importantes para sua aprendizagem. 
Não esqueça: é preciso praticar... e muito! 
Bons estudos! 
Apresentação 
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Como vimos no caderno da disciplina de Resistência dos Materiais I, a 
Resistência dos Materiais é um ramo da Mecânica Aplicada que estuda a resistência 
de materiais de engenharia e seu comportamento mecânico sob ação de 
carregamentos. A disciplina busca fornecer a você aluno (a) conceitos sobre 
resistência dos materiais, objetivando prepará-lo (a) para as disciplinas do ciclo 
profissional onde esses conceitos são aplicados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este caderno de estudos tem como objetivos: 
 
 Compreender o comportamento de estruturas mecânicas sujeitas 
a esforços externos; 
 Analisar elementos que compõem projetos; 
 Interpretar catálogos, manuais e tabelas; 
 Especificar elementos que compõem projetos; 
 Aplicar conceitos de tensão admissível e fator de segurança; 
 Efetuar cálculos e identificar os materiais quanto a sua capacidade 
de carga e tensões; 
 Dimensionar vigas e calcular suas deformações dentro dos 
padrões de economia e segurança; 
 Analisar a estabilidade de colunas quanto a flambagem; 
 Aplicar os conceitos de métodos de energia (trabalho de 
deformação); 
 Analisar as classes de resistência: tração, flexão, compressão, 
cisalhamento, torção, flexotorção e flambagem; 
 Ajudar e dar subsídio para o aluno desenvolver a sua capacidade 
de projetar sistemas estruturais. 
 
Objetivos 
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AULA 1 ......................................................................................................................... . 
CAPÍTULO 1: PROJETO DE VIGAS ...................................................................... . 
1.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................ 13 
1.2 – DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE (DEC) E DIAGRAMA DE 
MOMENTO FLETOR (DMF) .............................................................................. 13 
Exemplo 1 ......................................................................................................... 17 
Exemplo 2 ......................................................................................................... 19 
Exemplo 3 ......................................................................................................... 21 
Exemplo 4 ......................................................................................................... 23 
 
AULA 2 ......................................................................................................................... . 
CAPÍTULO 1: PROJETO DE VIGAS ...................................................................... . 
1.3 CONSIDERAÇÕES PARA O PROJETO DE VIGAS PRISMÁTICAS ........... 31 
1.4 TENSÕES EM UMA VIGA............................................................................ 31 
1.5 PROJETO DE VIGAS PRISMÁTICAS ........................................................... 32 
Exemplo ............................................................................................................
36 
 
AULA 3 ......................................................................................................................... . 
CAPÍTULO 1: PROJETO DE VIGAS ...................................................................... . 
EXEMPLOS RESOLVIDOS: PROJETO DE VIGAS ............................................. 44 
EXEMPLO 1........................................................................................................ 44 
EXEMPLO 2........................................................................................................ 47 
 
AULA 4 ......................................................................................................................... . 
CAPÍTULO 1: PROJETO DE VIGAS ...................................................................... . 
EXEMPLOS RESOLVIDOS: projeto DE VIGAS ................................................ 56 
EXEMPLO 1........................................................................................................ 56 
EXEMPLO 2........................................................................................................ 59 
 
AULA 5 ......................................................................................................................... . 
CAPÍTULO 2: DEFLEXÃO EM VIGAS POR INTEGRAÇÃO ................................. . 
Sumário 
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2.1. INTRODUÇÃO ........................................................................................... 67 
2.2. DEFORMAÇÃO DE UMA VIGA SUJEITA A UM CARREGAMENTO 
TRANSVERSAL ................................................................................................... 69 
2.3. EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA ............................................................. 70 
Exemplo 1 ......................................................................................................... 73 
Exemplo 2 ......................................................................................................... 74 
 
AULA 6 ......................................................................................................................... . 
CAPÍTULO 2: DEFLEXÃO EM VIGAS POR INTEGRAÇÃO ................................. . 
2.3 LINHA ELÁSTICA DEFINIDA POR DIFERENTES FUNÇÕES ........................ 82 
Exemplo ............................................................................................................ 82 
 
AULA 7 ......................................................................................................................... . 
CAPÍTULO 2: DEFLEXÃO EM VIGAS POR INTEGRAÇÃO ................................. . 
2.4. UTILIZAÇÃO DAS FUNÇÕES SINGULARES .............................................. 92 
Exemplo 1 ......................................................................................................... 93 
Exemplo 2 ......................................................................................................... 96 
 
AULA 8 ......................................................................................................................... . 
CAPÍTULO 2: DEFLEXÃO EM VIGAS POR INTEGRAÇÃO ................................. . 
EXEMPLOS RESOLVIDOS: deflexão em vigas por integração ................ 104 
EXEMPLO 1...................................................................................................... 104 
EXEMPLO 2...................................................................................................... 106 
EXEMPLO 3...................................................................................................... 108 
 
AULA 9 ......................................................................................................................... . 
CAPÍTULO 3: FLAMBAGEM ................................................................................. . 
3.1. INTRODUÇÃO ......................................................................................... 116 
3.2 – ESTABILIDADE DAS ESTRUTURAS .......................................................... 116 
3.3 - FÓRMULA DE EULER PARA COLUNAS COM EXTREMIDADES 
ARTICULADAS ................................................................................................. 120 
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EXEMPLO 1...................................................................................................... 126 
EXEMPLO 2...................................................................................................... 128 
EXEMPLO 3...................................................................................................... 129 
 
 
AULA 10 ....................................................................................................................... . 
CAPÍTULO 3: FLAMBAGEM ................................................................................. . 
3.4 - FÓRMULA DE EULER PARA COLUNAS COM OUTRAS CONDIÇÕES DE 
EXTREMIDADE ................................................................................................. 136 
EXEMPLO 1...................................................................................................... 139 
EXEMPLO 2...................................................................................................... 140 
 
AULA 11 ....................................................................................................................... . 
CAPÍTULO 3: FLAMBAGEM ................................................................................. . 
3.5 – CARGAS EXCÊNTRICAS: FÓRMULA DA SECANTE ............................ 149 
3.6 – FLAMBAGEM INELÁSTICA .................................................................... 152 
3.7 – PROJETO DE COLUNAS COM CARGAS CONCÊNTRICAS .............. 153 
EXEMPLO ......................................................................................................... 156 
3.8 – PROJETO DE COLUNAS COM CARGAS EXCÊNTRICAS ................... 157 
 
AULA 12 ....................................................................................................................... . 
CAPÍTULO 3: FLAMBAGEM ................................................................................. . 
EXEMPLOS RESOLVIDOS: FLAMBAGEM ...................................................... 164 
EXEMPLO 1...................................................................................................... 164 
EXEMPLO 2...................................................................................................... 165 
EXEMPLO 3...................................................................................................... 166 
EXEMPLO 4...................................................................................................... 167 
EXEMPLO 5...................................................................................................... 169 
EXEMPLO 6...................................................................................................... 170 
 
AULA 13 ....................................................................................................................... . 
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CAPÍTULO 4: MÉTODOS DE ENERGIA – TRABALHO DE DEFORMAÇÃO ........ 
4.1 – INTRODUÇÃO........................................................................................
177 
4.2 – TRABALHO EXTERNO E ENERGIA DE DEFORMAÇÃO ....................... 177 
4.3 – TRABALHO DE DEFORMAÇÃO ESPECÍFICO ...................................... 179 
Exemplo 1 ....................................................................................................... 182 
4.4 – TRABALHO DE DEFORMAÇÃO ELÁSTICA PARA TENSÕES NORMAIS
 ......................................................................................................................... 183 
Exemplo 2 ....................................................................................................... 184 
Exemplo 3 ....................................................................................................... 185 
Exemplo 4 ....................................................................................................... 187 
 
AULA 14 ....................................................................................................................... . 
CAPÍTULO 4: MÉTODOS DE ENERGIA – TRABALHO DE DEFORMAÇÃO ....... . 
4.5 – TRABALHO DE DEFORMAÇÃO ELÁSTICO PARA TENSÕES DE 
CISALHAMENTO ............................................................................................. 194 
Exemplo 4 ....................................................................................................... 196 
4.6 - TRABALHO DE DEFORMAÇÃO A UMA ÚNICA CARGA ................... 197 
4.7 – CARREGAMENTO PRODUZIDO POR IMPACTO ................................ 199 
Exemplo 5 ....................................................................................................... 200 
Exemplo 6 ....................................................................................................... 201 
Exemplo 7 ....................................................................................................... 202 
 
AULA 15 ....................................................................................................................... . 
CAPÍTULO 4: MÉTODOS DE ENERGIA – trabalho de deformação ............... . 
4.8 – TEOREMA DE CASTIGLIANO ................................................................ 210 
4.8 – TEOREMA DE CASTIGLIANO APLICADO A VIGAS ............................ 211 
4.10 – TEOREMA DE CASTIGLIANO APLICADO A TRELIÇAS ..................... 212 
Exemplo1 ........................................................................................................ 214 
Exemplo 2 ....................................................................................................... 216 
 
AULA 16 ....................................................................................................................... . 
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REVISÃO GERAL .................................................................................................... 
PROBLEMAS PROPOSTOS ............................................................................. 224 
PROBLEMA 1 ................................................................................................... 224 
PROBLEMA 2 ................................................................................................... 224 
PROBLEMA 3 ................................................................................................... 225 
PROBLEMA 4 ................................................................................................... 225 
PROBLEMA 5 ................................................................................................... 226 
PROBLEMA 6 ................................................................................................... 226 
PROBLEMA 7 ................................................................................................... 227 
PROBLEMA 8 ................................................................................................... 227 
PROBLEMA 9 ................................................................................................... 228 
PROBLEMA 10 ................................................................................................. 228 
PROBLEMA 11 ................................................................................................. 229 
PROBLEMA 12 ................................................................................................. 229 
 
ANEXOS .................................................................................................................. 234 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Iconografia 
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APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
No capítulo 4 da disciplina de Resistência dos Materiais I, calculamos a tensão 
provocada pela flexão em vigas. Nesta aula faremos uma breve revisão de conceitos 
e equações já vistos no capítulo de flexão pura em Resistência dos Materiais I, que 
utilizaremos para o dimensionamento de vigas. Para dimensionar vigas é necessário 
determinar a maior força de cisalhamento e o maior momento fletor em um dado 
elemento e especificar onde ocorrem, para isso este capitulo, nessa aula 1, inicia com 
a discussão de como construir os diagramas de esforço cortante e momento fletor. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
 Analisar membros prismáticos sujeitos a cargas axiais ou cisalhantes; 
 Calcular a força cortante máxima em uma viga; 
 Calcular o momento fletor máximo em uma viga; 
 Determinar o ponto onde ocorrem os maiores valores de força cortante e 
momento fletor; 
 Representar graficamente os diagramas de escorço cortante e momento 
fletor em vigas. 
Capítulo 1: Projeto de Vigas 
Aula 1 
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1 PROJETO DE VIGAS 
1.1 INTRODUÇÃO 
O objetivo deste capítulo é projetar vigas (material e dimensões da seção 
transversal), de modo que elas não venham a falhar quando submetidas a cargas de 
flexão e cisalhamento. Vigas são importantes elementos estruturais e mecânicos, 
usados em projetos de engenharia, que suportam carregamentos que são aplicados 
perpendicularmente ao eixo longitudinal. 
As vigas de um modo geral, podem ser consideradas elementos longos, barras 
retas, com área da seção transversal constante e são classificadas de acordo com o 
modo que são apoiadas, como por exemplo, viga simplesmente poiada, viga apoiada 
com extremidade em balanço ou viga em balanço). 
Para projetar as vigas corretamente, primeiro devemos determinar a força de 
cisalhamento e o momento fletor, que em geral, variam de ponto a ponto ao longo do 
eixo longitudinal de viga. 
1.2 DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE (DEC) E DIAGRAMA DE MOMENTO 
FLETOR (DMF) 
Como as vigas estão sujeitas aos carregamentos aplicados, surgem nas 
mesmas forças cisalhantes internas e momentos fletores, que podem variar ao longo 
do comprimento da viga. Os valores máximos são os de nosso interesse e podem ser 
determinados expressando-se
V e M em função de uma distância arbitrária x ao longo 
do eixo da viga. Os diagramas de esforço cortante e momento fletor representam a 
variação da força cisalhante e do momento fletor ao longo da viga e são obtidos 
“cortando-se” a seção no ponto onde se deseja determinar os valores de V e M. 
Nesses diagramas, as abscissas (horizontais) representam a posição da seção 
ao longo da viga, e as ordenadas (verticais) indicam os valores da força cortante e do 
momento fletor, respectivamente. 
Uma das grandes aplicações dos diagramas de força cortante e momento fletor 
na engenharia é que auxiliam na decisão de onde colocar materiais de reforço no 
interior da viga ou de como calcular as dimensões da viga em vários pontos ao longo 
do seu comprimento (HIBBELER, 2010). 
 
 
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 Convenção de sinais 
Embora a escolha da convenção de sinais seja arbitrária, 
adotaremos a convenção de uso mais frequente na prática da 
engenharia e segundo os autores Beer (2006) e Hibbeler (2010). 
Assim, temos um sistema de coordenadas com a origem na extremidade A, e a 
distância de uma seção qualquer da viga à extremidade A é denotada pela variável x. 
A viga é submetida a um tipo qualquer de carga transversal distribuída de uma forma 
geral, como mostrada na figura 1.1. 
Essa viga apresenta apoios simples, mas as considerações aqui valem para 
qualquer tipo de vinculação. 
As direções positivas consideram que: a carga distribuída age para baixo na 
viga; a força cortante interna provoca uma rotação no sentido horário no segmento da 
viga sobre o qual age; e o momento interno causa compressão nas fibras superiores 
do segmento. Carregamentos opostos a esses são considerados negativos. 
Figura 1.1 – Convenção a partir de um “corte” na seção transversal de uma viga. 
 
Fonte: BEER (2006) 
 
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Figura 1.2 – Convernção quando se seciona uma seção transversal de uma viga. 
 
Fonte: HIBBELER (2010) 
 Procedimento para construção do DEC e DMF 
A seguir será apresentado um roteiro para a construção dos diagramas de 
esforço cortante e momento fletor. 
 Primeiramente devemos determinar as reações nos apoios da viga, usando 
as equações de equilíbrio; 
O segundo passo é determinar as funções de cisalhamento e momento e para 
isso é necessário: 
 Consideramos a origem na extremidade esquerda da viga, e especificamos 
por x cada trecho da viga. Trecho pode ser considerado a região entre forças 
concentradas e/ou momentos, ou até onde não existir nenhuma descontinuidade do 
carregamento e distribuído; 
 Depois de determinado o trecho a ser analisado, devemos fazer o diagrama 
de corpo livre do mesmo. As ações de V e M devem ser mostradas no sentido positivo, 
de acordo com a convenção adotada; 
 O cisalhamento (ou força cortante) é obtido pelo somatório das forças 
verticais (perpendiculares) ao eixo da viga; 
 O momento é determinado pelo somatório dos momentos em torno da 
extremidade onde o elemento foi secionado; 
 De posse dos valores de V e M em extremidade da seção, podemos construir 
os diagramas (DEC e DMF), diretamente abaixo do diagrama de corpo livre da viga; 
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 Se os valores numéricos das funções que descrevem V e M forem positivos, 
serão marcados acima do eixo x, logo valores negativos serão marcados abaixo do 
eixo, pois 𝑑𝑀 = 𝑉𝑑𝑥 ou 𝑉 =
𝑑𝑀
𝑑𝑥
. 
 Devemos observar que uma mudança abrupta na força cortante, o que 
corresponde a uma força concentrada, é acompanhada de uma mudança abrupta na 
inclinação do DMF; 
 Nas seções em que a força cortante é zero, a inclinação do DMF é zero. 
Nesses pontos em que a tangente do DMF é horizontal, o momento fletor pode ter um 
valor máximo ou mínimo. Essa situação resulta da técnica usual do cálculo de 
obtermos os valores máximos ou mínimos de uma função igualando a zero a primeira 
derivada da função. Assim na Figura 1.3, se as curvas representam partes de um 
DMF, então valores críticos podem ocorrer nos pontos A e B. De uma maneira geral, 
igualando a equação do esforço cortante a zero, determinados o ponto (x) onde o valor 
do momento é extremo, assim substituímos esse valor de x na equação do momento 
fletor da seção obtendo seu valor máximo; 
 Para se estabelecer o sentido da concavidade em um determinado ponto, 
podemos determinar a segunda derivada de M em relação à x, isto é 
𝑑²𝑀
𝑑𝑥²
. Se o valor 
dessa segunda derivada por positivo, então o DMF apresenta concavidade para cima 
e o momento assume um valor mínimo. Se a segunda derivada tiver valor negativo, 
então o DMF apresenta concavidade para baixo e o momento assume um valor 
máximo. 
Figura 1.3 – Valores máximos e mínimos para M(x). 
 
Fonte: NASH e POTTER (2014) 
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Agora serão apresentados alguns exemplos resolvidos do 
BEER (2006) e HIBBELER (2010). Refaça-os para praticar, ou se 
preferir faça os propostos na bibliografia indicada no material 
complementar! 
 
EXEMPLO 1 
(Adaptado de BEER, 2006 e HIBBELER, 2010) representar 
graficamente os diagramas de esforço cortante e de momento fletor 
(DEC e DMF), da viga simplesmente apoiada abaixo, que tem uma 
força concentrada aplicada em seu ponto médio. 
 
 
 
Solução: Primeiramente devemos calcular as reações de apoio. Como a viga 
é simétrica a intensidade de cada reação é 𝑃/2. Confirmamos esse resultado fazendo 
somatório de momentos em um dos apoios e, em seguida, somatório das forças 
verticais: 
 
 
∑𝑀𝐴 = 0: − 𝑃 (
𝐿
2
) + 𝐶𝑦(𝐿) = 0 → 𝐶𝑦 =
𝑃
2
 (1) 
 
 
∑𝐹𝑦 = 0: − 𝑃 +
𝑃
2
+ 𝐴𝑦 = 0 → 𝐴𝑦 =
𝑃
2
 (2) 
 
O próximo passo é fazer as funções de força cortante e momento fletor para 
cada trecho da viga. Para isso secionamos a viga a uma distância x do ponto A, e 
nesse primeiro trecho AB, o intervalo é de (0 ≤ 𝑥 ≤
𝐿
2
). O diagrama de corpo livre da 
seção AB é apresentado abaixo: 
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Pela convenção de sinais adotada e aplicando as equações de equilíbrio temos: 
 
 
−𝑉𝐴𝐵 +
𝑃
2
= 0 → 𝑉𝐴𝐵 =
𝑃
2
 
(3) 
 
𝑀𝐴𝐵 −
𝑃
2
𝑥 = 0 
(4) 
𝑥 = 0 → 𝑀𝐴 = 0 e, 
 
𝑥 =
𝐿
2
 → 𝑀𝐵 =
𝑃𝐿
4
 (5) 
 
O segundo trecho da viga é o BC, o intervalo é de (
𝐿
2
≤ 𝑥 ≤ 𝐿). O diagrama de 
corpo livre da seção BC é: 
 
 
 
Pela convenção de sinais adotada e aplicando as equações de equilíbrio temos: 
 
−𝑉𝐵𝐶 +
𝑃
2
− 𝑃 = 0 → 𝑉𝐶𝐵 = −
𝑃
2
 (6) 
 
𝑀𝐵𝐶 −
𝑃
2
𝑥 + 𝑃(𝑥 −
𝐿
2
) = 0 (7) 
 
𝑥 =
𝐿
2
 → 𝑀𝐵 =
𝑃𝐿
4
 
𝑥 = 𝐿 → 𝑀𝐶 = 0 
(8) 
 
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Por fim, apresentamos graficamente os valores obtidos nos DEC e DMF, 
observando que a aplicação de uma força causa um salto no DEC: 
 
 
 
EXEMPLO 2 
(Adaptado de HIBBELER, 2010) representar graficamente os 
diagramas de esforço cortante e de momento fletor (DEC e DMF), da 
viga simplesmente apoiada abaixo: 
 
 
 
Solução: Primeiramente devemos calcular as reações de apoio. Fazendo 
somatório de momentos em um dos apoios e, em seguida, somatório das forças 
verticais, temos. 
 
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∑𝑀𝐴 = 0: − 𝑀𝑜 + 𝐶𝑦(𝐿) = 0 → 𝐶𝑦 =
𝑀𝑜
𝐿
 
∑𝐹𝑦 = 0: 
𝑀𝑜
𝐿
+ 𝐴𝑦 = 0 → 𝐴𝑦 = −
𝑀𝑜
𝐿
 
(9) 
 
O próximo passo é fazer as funções de força cortante e momento fletor para 
cada trecho da viga. Para isso secionamos a viga a uma distância x do ponto A, e 
nesse primeiro trecho AB, o intervalo é de (0 ≤ 𝑥 ≤
𝐿
2
). O diagrama de corpo livre da 
seção AB é apresentado abaixo: 
 
 
 
Pela convenção de sinais adotada e aplicando as equações de equilíbrio temos: 
 
 
−𝑉𝐴𝐵 −
𝑀𝑜
𝐿
= 0 → 𝑉𝐴𝐵 = −
𝑀𝑜
𝐿
 
𝑀𝐴𝐵 +
𝑀𝑜
𝐿
𝑥 = 0 
𝑥 = 0 → 𝑀𝐴 = 0 e 
𝑥 =
𝐿
2
 → 𝑀𝐵 = −
𝑀𝑜
2
 
(10) 
 
O segundo trecho da viga é o BC, o intervalo é de (
𝐿
2
≤ 𝑥 ≤ 𝐿). O diagrama de 
corpo livre da seção BC é: 
 
 
 
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Pela convenção de sinais adotada e aplicando as equações de equilíbrio temos: 
 
 
−𝑉𝐵𝐶 −
𝑀𝑜
𝐿
= 0 → 𝑉𝐶𝐵 = −
𝑀𝑜
𝐿
 
𝑀𝐵𝐶 +
𝑀𝑜
𝐿
𝑥 −𝑀𝑜 = 0 
𝑥 =
𝐿
2
 → 𝑀𝐵 =
𝑀𝑜
2
 
𝑥 = 𝐿 → 𝑀𝐶 = 0 
(11) 
 
Por fim, apresentamos graficamente os valores obtidos nos DEC e DMF: 
 
 
 
Podemos observar que no exemplo anterior, a aplicação de uma 
força causou um salto no DEC, e nesse caso o momento aplicado 
causou um salto no DMF. 
 
 
Anotações: _________________________________________________________ 
________________________________________________________ 
________________________________________________________ 
______________________________________________________ 
 
 
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EXEMPLO 3 
(Adaptado de HIBBELER, 2010) representar graficamente os 
diagramas de esforço cortante e de momento fletor (DEC e DMF), da 
viga simplesmente apoiada abaixo: 
 
 
 
Solução: Primeiramente devemos calcular as reações de apoio. Fazendo 
somatório de momentos no apoio esquerdo da viga (ponto A) e, em seguida, somatório 
das forças verticais, temos. 
 
 
∑𝑀𝐴 = 0: − 𝑤𝐿.
𝐿
2
+ 𝐵𝑦(𝐿) = 0 → 𝐶𝑦 =
𝑤𝐿
2
 
∑𝐹𝑦 = 0: − 𝑤 +
𝑤𝐿
2
+ 𝐴𝑦 = 0 → 𝐴𝑦 =
𝑤𝐿
2
 
(12) 
 
Essa viga apresenta um único trecho, pois não há descontinuidade do 
carregamento, assim a única carga é a distribuída 𝑤, e o intervalo na seção é de 
(0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿). O diagrama de corpo livre da seção AB é apresentado abaixo: 
 
 
 
Pela convenção de sinais adotada e aplicando as equações de equilíbrio temos, 
considerando a distância de x variando de 0 a L, temos para a força cortante: 
 
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−𝑉𝐴𝐵 +
𝑤𝐿
2
− 𝑤. 𝑥 = 0 
𝑥 = 0 → 𝑉𝐴 =
𝑤𝐿
2
 
𝑥 = 𝐿 → 𝑉𝐵 = −
𝑤𝐿
2
 
(13) 
 
E para o momento: 
 
 
𝑀𝐴𝐵 −
𝑤𝐿
2
𝑥 + 𝑤. 𝑥.
𝑥
2
= 0 
𝑥 = 0 → 𝑀𝐴 = 0 e 
𝑥 = 𝐿 → 𝑀𝐵 = 0 
(14) 
 
Por fim, apresentamos graficamente os valores obtidos nos DEC e DMF: 
 
 
 
Observamos que o momento fletor é máximo onde a força 
cortante é nula. Para determinar a distância onde o cisalhamento é 
zero, pegamos a equação da força cortante no trecho e fizemos 𝑉𝐴𝐵 =
0: 
 
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−𝑉𝐴𝐵 +
𝑤𝐿
2
−𝑤. 𝑥 = 0 → 0 +
𝑤𝐿
2
−𝑤. 𝑥 = 0 → 𝑥 =
𝐿
2
 (15) 
 
Substituindo 𝑥 =
𝐿
2
 na equação do momento do mesmo trecho encontramos o 
valor do momento máximo: 
 
 
𝑀𝐴𝐵 −
𝑤𝐿
2
𝑥 + 𝑤. 𝑥.
𝑥
2
= 0 → 𝑥 =
𝐿
2
 
𝑀𝑚á𝑥 −
𝑤𝐿
2
.
𝐿
2
+ 𝑤.
𝐿
2
.
𝐿
2
2
= 0 → 𝑀𝑚á𝑥 =
𝑤𝐿²
8
 
(16) 
 
 
 
 
 
Anotações: ________________________________________________ 
__________________________________________________________ 
_______________________________________________________ 
 
 
EXEMPLO 4 
(Adaptado de HIBBELER, 2010) representar graficamente os 
diagramas de esforço cortante e de momento fletor (DEC e DMF), da 
viga engastada em balanço abaixo: 
 
 
 
P á g i n a | 26 
 
 
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Solução: Essa viga engastada livre apresenta um momento e uma força 
vertical no vínculo à esquerda. Fazendo somatório de momentos no engaste esquerdo 
da viga (ponto A) e, em seguida, somatório das forças verticais, temos. 
 
 
∑𝑀𝐴 = 0: 𝑀 − 𝑤. 𝐿.
𝐿
2
.
2𝐿
3
+ 𝐵𝑦(𝐿) = 0 → 𝑀𝐴 =
𝑤𝐿2
3
 
∑𝐹𝑦 = 0: 
−𝑤. 𝐿
2
+ 𝐴𝑦 = 0 → 𝐴𝑦 =
𝑤𝐿
2
 
(17) 
 
Essa viga apresenta um único trecho, pois não há descontinuidade do 
carregamento, assim a única carga é a distribuída 𝑤, e o intervalo na seção é de 
(0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿). O diagrama de corpo livre da seção AB é apresentado abaixo, 
juntamente com os valores das reações de apoio: 
 
 
 
Pela convenção de sinais adotada e aplicando as equações de equilíbrio temos, 
considerando a distância de x variando de 0 a L, temos para a força cortante: 
 
 
−𝑉𝐴𝐵 +
𝑤𝐿
2
−
𝑤𝑥
2
= 0 
𝑥 = 0 → 𝑉𝐴 =
𝑤𝐿
2
 
(18) 
P á g i n a | 27 
 
 
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𝑥 = 𝐿 → 𝑉𝐵 = 0 
 
E para o momento: 
 
 
𝑀𝐴𝐵 +
𝑤𝐿2
3
−
𝑤𝐿
2
. 𝑥 +
𝑤. 𝑥
𝐿
.
1𝑥
2
.
1𝑥
3
= 0 
𝑥 = 0 → 𝑀𝐴 =
𝑤𝐿2
3
 
𝑥 = 𝐿 → 𝑀𝐵 +
𝑤𝐿2
3
−
𝑤𝐿
2
. 𝐿 +
𝑤. 𝐿
𝐿
.
1𝐿
2
.
1𝐿
3
= 0 → 𝑀𝐵 +
𝑤𝐿2
3
−
𝑤𝐿2
2
+
𝑤. 𝐿2
6
= 0 → 𝑀𝐵 = 0 
(19) 
 
Por fim, apresentamos graficamente os valores obtidos nos DEC e DMF: 
 
 
 
Note que para a carga triangular a força fica concentrada a 2/3 do lado 
esquerdo e a 1/3 do lado direito. Determinamos a força na seção por cálculo 
proporcional, isto é, 
 
 𝑤0
𝑥
=
𝑤
𝐿
 (20) 
 
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A equação do esforço cortante é uma
parábola (equação do 2° 
grau), e o momento é representado por uma função do 3° grau. A tabela 
1.1 ilustra a inclinação dos diagramas de esforço cortante e momento 
fletor, para casos comuns de carregamentos. É importante salientar 
que existem equações específicas que demonstram esses resultados (HIBBELER, 
2010, item 6.2) e os gráficos não devem ser simplesmente decorados e sim 
estudados. 
Tabela 1 – Carregamentos e inclinações do DEC e DMF. 
 
Fonte: HIBBELER (2010) 
P á g i n a | 29 
 
 
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Nesta aula, abordamos: 
 
 Introdução ao dimensionamento de vigas; 
 Procedimento determinação dos diagramas de esforço cortante e momento 
fletor; 
 Como calcular o ponto onde a força cortante é nula e o momento é máximo 
em uma viga; 
 Exemplos resolvidos com determinação de reações de apoio e uso de 
método das seções para determinar esforço cortante e momento em cada trecho da 
viga, até chegar nos DEC e DMF. 
 
 
 
Fonte: HIBBELER (2010, Pág. 182 e 191) 
 
Resumo 
P á g i n a | 30 
 
 
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Para enriquecer seu conhecimento é importante que você 
Revise os tópicos abordados nesta aula em bibliografia presente na 
Biblioteca Digital e material complementar; 
Resolva exemplos resolvidos 6.7 a 6.13 do HIBBELER (2010) – Biblioteca Digital 
e outros que julgar necessários da bibliografia básica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Complementar 
P á g i n a | 31 
 
 
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Básica: 
BEER, F.P. Resistência dos Materiais. 3. ed. São Paulo: McGraw Hill, 2006. 
 
HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 
2010. 
 
POPOV, E.P. Introdução à Mecânica dos Sólidos. São Paulo: Ed. Edgard Blucher, 
1978. 
 
Complementar: 
ASSAN, A.E. Resistência dos Materiais. São Paulo, UNICAMP, 2010. 
 
BOTELHO, M.H. Resistência dos Materiais para entender e gostar. São Paulo: 
Studio Nobel, 1998. 
 
GERE, J.M. Mecânica dos Materiais. Tradução da 7. Edição Norte-Americana, 2011. 
 
NASH, W.A. Resistência dos Materiais. São Paulo. McGraw-Hill do Brasil. 2. ed. 
2003. 
 
NASH, W.A; POTTER, M.C. Resistência dos Materiais. Porto Alegre. Bookman. 5. 
ed. 2014. 
 
 
Referências Bibliográficas 
P á g i n a | 32 
 
 
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1) Defina viga. 
 
2) Defina e exemplifique com desenhos vigas em balanço, vigas simples, vigas 
simples com balanço. 
 
3) O que representam os diagramas de esforço cortante e momento fletor e 
quais os procedimentos básicos para construção dos mesmos? 
 
4) (HIBBELER, 2010 e BEER 2006) Para as vigas abaixo determine o diagrama 
de esforço cortante (DEC) e o diagrama de momento fletor (DMF). Faça todos os 
cálculos detalhados e use o método das seções. 
 
 
. 
 
AULA 1 
Exercícios 
P á g i n a | 33 
 
 
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APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
No capítulo 4 da disciplina de Resistência dos Materiais I, calculamos a tensão 
provocada pela flexão em vigas. Nesta aula nosso foco será o dimensionamento de 
vigas. Para dimensionar vigas é necessário determinar a maior força de cisalhamento 
e o maior momento fletor em um dado elemento e especificar onde ocorrem, de acordo 
com os procedimentos vistos na aula 1. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
 Aplicar o conceito de tensão normal ao dimensionamento de vigas; 
 Aplicar o conceito de tensão de cisalhamento ao dimensionamento de 
vigas; 
 Analisar membros prismáticos sujeitos a cargas axiais ou cisalhantes; 
 Dimensionar o carregamento que uma viga suporta dada sua seção 
transversal e dimensões; 
 Dimensionar a seção transversal de uma viga dado um determinado 
carregamento a ser suportado com segurança. 
Capítulo 1: Projeto de vigas 
Aula 2 
P á g i n a | 34 
 
 
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1 PROJETO DE VIGAS 
1.3 CONSIDERAÇÕES PARA O PROJETO DE VIGAS PRISMÁTICAS 
Para chegarmos ao objetivo deste capítulo que é projetar vigas (material e 
dimensões da seção transversal), vamos discutir aqui a metodologia para cálculo de 
modo que elas não venham a falhar quando submetidas a cargas de flexão e 
cisalhamento. 
 “Quando escolhemos uma viga para resistir a ambas as tensões de 
cisalhamento e flexão, diz-se que ela é projetada com base na resistência” 
(HIBBELER, 2010, pág. 400). A partir dessa consideração utilizaremos as fórmulas de 
Flexão Pura (capítulo 4 de Resistência dos Materiais I) e de Esforço cortante (capítulo 
5 de Resistência dos Materiais I), e nosso estudo ficará limitado ao caso de vigas 
homogêneas (feitas de um único material) e que tenham comportamento linear 
elástico. 
Para isso, a máxima tensão normal 𝜎𝑚á𝑥 na viga não deve exceder a tensão 
admissível 𝜎𝑎𝑑𝑚 do material e a tensão máxima de cisalhamento 𝜏𝑚á𝑥 também deve 
ser menor que a tensão cisalhante admissível 𝜏𝑎𝑑𝑚. 
Como vimos na aula anterior, os diagramas de esforço cortante e momento 
fletor representam a variação da força cortante do momento fletor ao longo da viga e 
são obtidos “cortando-se” a seção no ponto onde se deseja determinar os valores de 
V e M, que serão utilizados nas equações de flexão e cisalhamento. 
1.4 TENSÕES EM UMA VIGA 
Vimos nos capítulos 4 e 5 de Resistência dos Materiais I que, dentro do regime 
elástico, as tensões que se exercem dentro de um pequeno elemento de faces 
perpendiculares, respectivamente aos eixos x e y, se reduzem a tensão normal 
𝜎𝑚á𝑥=𝑀. 𝑐/𝐼, se o elemento está localizado na superfície livre da viga (c é a distância 
do eixo neutro a superfície), ou a tensão de cisalhamento 𝜏𝑚á𝑥 = 𝑉𝑄/𝐼𝑡 se o elemento 
estiver na linha neutra (Figura 1.4). Em qualquer outro ponto da viga, o elemento vai 
estar submetido simultaneamente a tensão normal 𝜎 = 𝑀. 𝑦/𝐼, onde y é a distância do 
eixo neutro até a fibra onde se encontra o elemento, e a tensão de cisalhamento é 𝜏 =
−𝑉𝑄/𝐼𝑡. Para estas expressões I é o momento de inércia da seção transversal, Q é o 
momento estático em relação ao eixo neutro da parte da seção transversal localizada 
P á g i n a | 35 
 
 
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acima do ponto onde se deseja calcular a tensão, e t é a largura da seção transversal 
nesse ponto. 
Figura 1.4 – Tensões principais em uma viga. 
 
Fonte:
BEER (2006) 
1.5 PROJETO DE VIGAS PRISMÁTICAS 
O projeto de uma viga deve levar em conta também a economia. 
Isto é, entre vigas do mesmo material, quando outros dados coincidem, 
devemos optar por aquela de menor peso por unidade de comprimento, 
e, portanto, de menor seção transversal. 
Agora vamos traçar os passos para o dimensionamento de uma viga: 
1º) Determinamos os valores de 𝜎𝑎𝑑𝑚 e 𝜏𝑎𝑑𝑚 do material a partir do valor 
especificado no projeto ou por meio de tabelas de propriedades mecânicas dos 
materiais (BEER, 2006, apêndice B). Podemos obter esse valor também a partir da 
tensão última do material associada a um coeficiente de segurança; 
2º) O projeto de uma viga depende da força cortante e momento fletor máximos, 
assim, com as condições de carregamento dadas, usando o método das seções, 
desenhamos os diagramas de V e M, determinando os valores máximos absolutos 
ȁ𝑉ȁ𝑚á𝑥 e ȁ𝑀ȁ𝑚á𝑥; 
3º) Calculamos o mínimo valor admissível do módulo resistente 𝑊, onde 
𝑊𝑚í𝑛 =
𝐼
𝑦
. Considerando que o dimensionamento da viga é dado pelo valor da tensão 
normal no ponto 𝑦 = ±𝑐 na seção transversal do máximo momento fletor, substituímos 
𝜎𝑎𝑑𝑚em lugar de 𝜎𝑚á𝑥, encontrando: 
P á g i n a | 36 
 
 
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𝑊𝑚í𝑛 =
ȁ𝑀ȁ𝑚á𝑥
𝜎𝑎𝑑𝑚
 (1.1) 
 
E, 
 
𝑊𝑚í𝑛 =
𝐼
𝑦𝑚á𝑥
 (1.2) 
 
Para seção retangular temos que: 
 
𝐼 =
𝑏ℎ³
12
 (1.3) 
 
E, 
 
𝑦𝑚á𝑥 =
ℎ
2
 (1.4) 
 
4º) Entre as seções transversais que podem ser utilizadas, 
devemos considerar aquelas com 𝑊 < 𝑊𝑚í𝑛, entre elas escolher a 
seção com menor peso por unidade de comprimento (ou seja, a favor 
da economia). Nem sempre essa seção transversal será a que possui 
um maior 𝑊, como veremos nos exemplos resolvidos desta aula e na seguinte. Em 
alguns casos, outras considerações podem ser limitantes, como os valores 
admissíveis para a deflexão da viga ou restrições no valor da altura da seção 
transversal. 
5º) Verificamos agora a resistência da viga à força cortante pela equação 1.5 
(ou 1.6 e 1.7) e comparando depois com o valor da 𝜏𝑎𝑑𝑚. Se o valor encontrado para 
𝜏𝑚á𝑥 for maior do que 𝜏𝑎𝑑𝑚, devemos redimensionar a seção transversal, escolhendo 
uma maior. 
 
𝜏𝑚á𝑥 =
ȁ𝑉ȁ𝑚á𝑥.𝑄
𝐼.𝑡
 (1.5) 
 
P á g i n a | 37 
 
 
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Para as vigas de seção retangular a tensão máxima de cisalhamento é dada 
por: 
 
𝜏𝑚á𝑥 =
3
2
.
ȁ𝑉ȁ𝑚á𝑥
𝐴
 (1.6) 
 
Para perfis I ou de abas largas, podemos adotar que toda a força cortante é 
resistida pela alma, e nesse caso, a tensão máxima de cisalhamento é dada por: 
 
𝜏𝑚á𝑥 =
ȁ𝑉ȁ𝑚á𝑥
𝐴𝑎𝑙𝑚𝑎
 (1.7) 
 
6º) Para perfis I e perfis de abas largas, verificamos 𝜎𝑚á𝑥 na junção da alma 
com as abas, na seção de ȁ𝑀ȁ𝑚á𝑥, para que a 𝜎𝑚á𝑥 não exceda o valor de 𝜎𝑎𝑑𝑚. 
“Usualmente basta que se tenha uma estimativa rápida de 𝜎𝑚á𝑥 sendo, desnecessário 
o cálculo das componentes de tensões 𝜎𝑥 𝑒 𝜏𝑥𝑦. 
 
A Figura 1.5 apresenta alguns tipos de aços laminados que tem suas seções 
transversais utilizadas no dimensionamento de vigas: 
Figura 1.5 – Perfis laminados. 
 
Fonte: SARTORI (1999) 
P á g i n a | 38 
 
 
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Esses perfis são designados com o Código Literal, altura (mm), peso (kg/m). 
Por exemplo: 
I 203 x 27,3 → perfil I, com 203 mm de altura e 27,3 quilogramas por metro. 
L 50 x 50 x 3 → cantoneira de abas iguais (50 mm) e espessura 3 mm. 
 
A Figura 1.6 apresenta as propriedades para o cálculo de perfis metálicos do 
tipo H no sistema internacional de unidades. Tabelas no sistema FPS podem ser 
encontradas no anexo deste caderno de estudos. 
Figura 1.6 – Tabela das propriedades dos Perfis de abas largas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 39 
 
 
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Figura 1.6 – Tabela das propriedades dos Perfis de abas largas. 
(conclusão). 
 
Fonte: Adaptado de BEER (2006) 
EXEMPLO 
(BEER, 2006) Uma viga de madeira AB tem 3,0 m de vão e 
100mm de largura. Ela suporta as três cargas concentradas indicadas. 
Determinar a mínima altura necessária d para a viga, sabendo-se que, 
para a qualidade de madeira usada, 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 12600 𝐾𝑃𝑎 e 𝜏𝑎𝑑𝑚 =
840 𝐾𝑃𝑎. 
P á g i n a | 40 
 
 
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Solução: Como os valores das tensões admissíveis normal e cisalhante foram 
dados, devemos primeiramente calcular as reações impostas pelos apoios, 
considerando as cargas externas e, por convenção, adotamos como positivo o 
momento no sentido anti-horário, a força vertical para cima e a força horizontal para 
direita: 
 
∑𝑀𝐴 = 0: − 10(0,6) − 4(1,5) − 10(2,4) + 𝐵𝑦(3) = 0 → 𝐵𝑦 = 12 𝐾𝑁 
∑𝐹𝑦 = 0: 𝐴𝑦 − 10 − 4 − 10 + 𝐵𝑦 = 0 → 𝐴𝑦 = 12 𝐾𝑁 
 
Assim: ȁ𝑉ȁ𝑚á𝑥 = 12 𝐾𝑁 
Para determinar o momento máximo ȁ𝑀ȁ𝑚á𝑥 vamos usar o método das 
seções: Seção AC (0 ≤ 𝑥 ≤ 0,6𝑚) 
−𝑉𝐴𝐶 + 12 = 0; 𝑉𝐴𝐶 = 12 𝐾𝑁 
𝑀𝐴𝐶 − 12𝑥 = 0; 
𝑥 = 0 → 𝑀𝐴 = 0; 
𝑥 = 0,6𝑚 → 𝑀𝐶 = 7,2 𝐾𝑁.𝑚 
 
Seção CD (0,6 ≤ 𝑥 ≤ 1,5𝑚) 
−𝑉𝐶𝐷 + 12 − 10 = 0; 𝑉𝐷𝐶 = 2 𝐾𝑁 
𝑀𝐶𝐷 − 12𝑥 + 10(𝑥 − 0,6) = 0; 
𝑥 = 0,6 → 𝑀𝐶 = 7,2 𝐾𝑁.𝑚; 
 𝑥 = 1,5𝑚 → 𝑀𝐷 = 9 𝐾𝑁.𝑚 
 
P á g i n a | 41 
 
 
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Como a viga é simétrica os cálculos para as demais seções podem ser 
dispensados. Os diagramas de esforço cortante e momento fletor são mostrados 
abaixo: 
 
 
 
Dimensionamento da viga baseado na tensão normal admissível de acordo 
com as equações 1,1 e 1.2: 
 
𝑊𝑚í𝑛 =
ȁ𝑀ȁ𝑚á𝑥
𝜎𝑎𝑑𝑚
 𝑒 𝑊𝑚í𝑛 =
𝐼
𝑦𝑚á𝑥
 
 
Para seção retangular temos que: 
 
𝐼 =
𝑏ℎ³
12
= 
0,1𝑑³
12
 𝑒 𝑦𝑚á𝑥 =
ℎ
2
 =
𝑑
2
 
 
Logo, 
𝑊𝑚í𝑛 =
0,1𝑑³
12
𝑥
2
𝑑
 = 0,0167𝑑² 
 
P á g i n a | 42 
 
 
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E 
 
ȁ𝑀ȁ𝑚á𝑥
𝜎𝑎𝑑𝑚
 =
𝐼
𝑦𝑚á𝑥
 → 
9000
12600
= 0,0167𝑑2 → 𝑑 = 0,206 𝑚 = 206 𝑚𝑚 
 
Verificando a tensão de cisalhamento na viga de seção retangular: 
𝜏𝑚á𝑥 =
3
2
.
ȁ𝑉ȁ𝑚á𝑥
𝐴
 → 𝜏𝑚á𝑥 =
3
2
.
12000
0,1 . 0,206
 → 𝜏𝑚á𝑥 = 873 𝐾𝑃𝑎 
𝜏𝑚á𝑥 = 873 𝐾𝑃𝑎 > 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 840 𝐾𝑃𝑎, assim a altura d não é aceitável e 
devemos redimensionar a viga de acordo com a tensão admissível:
Redimensionando: 
 
𝜏𝑚á𝑥 =
3
2
.
ȁ𝑉ȁ𝑚á𝑥
𝐴
 → 840. 103 =
3
2
.
12000
0,1. 𝑑
 → 𝒅 = 𝟎, 𝟐𝟏𝟒 𝒎 = 𝟐𝟏𝟒 𝒎𝒎 
 
Assim a altura mínima para a viga é de 214 mm. 
Note que os passos 4 e 6 do procedimento foram dispensados 
por se tratar de uma seção retangular definida no problema. 
 
 
 
Anotações: ______________________________________________ 
_______________________________________________________ 
_______________________________________________________ 
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Nesta aula, abordamos: 
 
 Procedimento para dimensionamento de vigas baseada na resistência; 
 Exemplo resolvido de dimensionamento da altura de uma viga com seção 
transversal retangular. 
 
 
Fonte: HIBBELER (2010, Pág. 403) 
Resumo 
P á g i n a | 44 
 
 
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Para enriquecer seu conhecimento é importante que você 
Revise os tópicos abordados nesta aula em bibliografia presente na Biblioteca 
Digital e material complementar; 
Leitura do capítulo 7 (BEER, 2006) seções 7.1 a 7.3 e 7.7. 
 
 
 
 
Complementar 
P á g i n a | 45 
 
 
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 Básica: 
BEER, F.P. Resistência dos Materiais. 3. ed. São Paulo: McGraw Hill, 2006. 
 
HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 
2010. 
 
POPOV, E.P. Introdução à Mecânica dos Sólidos. São Paulo: Ed. Edgard Blucher, 
1978. 
 
Complementar: 
ASSAN, A.E. Resistência dos Materiais. São Paulo, UNICAMP, 2010. 
 
BOTELHO, M.H. Resistência dos Materiais para entender e gostar. São Paulo: 
Studio Nobel, 1998. 
 
GERE, J.M. Mecânica dos Materiais. Tradução da 7. Edição Norte-Americana, 2011. 
 
NASH, W.A. Resistência dos Materiais. São Paulo. McGraw-Hill do Brasil. 2. ed. 
2003. 
 
NASH, W.A; POTTER, M.C. Resistência dos Materiais. Porto Alegre. Bookman. 5. 
ed. 2014. 
 
Referências Bibliográficas 
P á g i n a | 46 
 
 
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1) Qual o critério de economia no projeto de vigas? Explique e exemplifique. 
 
2) Descreva o procedimento passo a passo para dimensionamento de uma 
viga. 
 
3) (HIBBELER, 2010) A viga de madeira tem seção retangular e é usada para 
suportar uma carga de 6 KN. Se a tensão de flexão admissível for, 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 14 𝑀𝑃𝑎 e 
a tensão de cisalhamento admissível for 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 5 𝑀𝑃𝑎, determine a altura h da seção 
transversal com aproximação de múltiplos de 5 mm, se ela tiver de ser retangular e 
ter largura b=75 mm. Considere que os apoios A e B exercem somente reações 
verticais sobre a viga. 
 
 
 
 
AULA 2 
Exercícios 
P á g i n a | 47 
 
 
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APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aula iremos resolver exercícios com o objetivo de dimensionar vigas: 
dimensões de uma seção transversal conhecida dado um determinado carregamento 
e, escolha de uma seção transversal (perfil a partir de uma tabela) para um dado 
carregamento. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após a resolução dos exercícios presentes nessa aula, você 
seja capaz de: 
 
 Determinar os diagramas de esforço cortante e momento fletor em uma viga; 
 Analisar e dimensionar estruturas prismáticas sujeitas a carregamentos 
diversos; 
 Projetar vigas visando a economia. 
Capítulo 1: Projeto de Vigas 
Aula 3 
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EXEMPLOS RESOLVIDOS: PROJETO DE VIGAS 
Em todas as aplicações a seguir para dimensionar uma viga, não 
podemos esquecer que a falha do elemento estrutural (viga) ocorre 
quando o momento ou cisalhamento interno na viga é máximo. Assim é 
importante que as tensões de flexão e de cisalhamento associados não ultrapassem 
os valores admissíveis, determinadas por meio de tabelas de engenharia, associados 
aos valores de ȁ𝑉ȁ𝑚á𝑥 𝑒 ȁ𝑀ȁ𝑚á𝑥. 
Em seguida, será verificada a a resistência ao cisalhamento, comparando com 
a tensão admissível. Para seções retangulares: 𝜏𝑎𝑑𝑚>𝜏𝑚á𝑥 =
3
2
.
ȁ𝑉ȁ𝑚á𝑥
𝐴
. 
Para perfis I ou de abas largas usamos: 𝜏𝑎𝑑𝑚>𝜏𝑚á𝑥 =
ȁ𝑉ȁ𝑚á𝑥
𝐴𝑎𝑙𝑚𝑎
 . Para seções de um 
modo geral consideramos: 𝜏𝑎𝑑𝑚>𝜏𝑚á𝑥 =
ȁ𝑉ȁ𝑚á𝑥.𝑄
𝐼.𝑡
. 
EXEMPLO 1 
(Adaptado de HIBBELER, 2010) A viga simplesmente apoiada 
mostrada abaixo é de madeira para a qual 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 960 𝑃𝑠𝑖 e 𝜏𝑎𝑑𝑚 =
75 𝑃𝑠𝑖. Determine suas dimensões transversais mínimas para resistir ao 
carregamento indicado quando h = 1,25 b. 
 
 
 
Solução: Transformamos os valores do comprimento da viga de pés para 
polegadas (6x12=72 in) e do carregamento de Kip/ft para lb/in (5x1000/12=416,67 
lb/in). 
1º Passo: Identificamos os valores das tensões máximas (valores tabelados 
fornecidos pelo problema): 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 960 𝑝𝑠𝑖; 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 75 𝑝𝑠𝑖. 
Agora vamos calcular as reações de apoio: 
 
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∑𝑀𝐴 = 0: 𝐵𝑦(144) −
416,67
2
(144)(72) = 0 → 𝐵𝑦 = 15000 𝑙𝑏 
∑𝐹𝑦 = 0: 𝐴𝑦 + 15000 −
416,67
2
(144) = 0 → 𝐴𝑦 = 15000 𝑙𝑏 
 
Em seguida vamos calcular os valores do esforço cortante e momento em cada 
seção: Trecho AC: (0 ≤ 𝑥 ≤ 72𝑖𝑛) 
−𝑉𝐴𝐶 + 15000 −
416,67
72
× 𝑥 ×
𝑥
2
= 0 
 𝑥 = 0 → 𝑉𝐴 + 15000 −
416,67
72
× 0 ×
0
2
= 0 → 𝑉𝐴 = 15000 𝑙𝑏 
𝑥 = 72 → 𝑉𝐶 + 15000 −
416,67
72
× 72 ×
72
2
= 0 → 𝑉𝐶 = 0 
𝑀𝐴𝐶 − 15000𝑥 +
416,67
72
× 𝑥 ×
𝑥
2
×
𝑥
3
= 0 
𝑥 = 0 → 𝑀𝐴 − 15000(0) +
416,67
72
× 0 ×
0
2
×
0
3
= 0 → 𝑀𝐴 = 0 
𝑥 = 0 → 𝑀𝐶 − 15000(72) +
416,67
72
× 72 ×
72
2
×
72
3
= 0 → 𝑀𝐶 = 720000 𝑙𝑏. 𝑖𝑛 
 
Como a viga é simétrica o cálculo para a outra seção é idêntico. 
2º Passo: Determinamos a força cortante e momento máximo a partir do DEC 
e DMF (faça os diagramas), obtendo: ȁ𝑉ȁ𝑚á𝑥 = 15000 𝑙𝑏 e ȁ𝑀ȁ𝑚á𝑥 = 720000 𝑙𝑏. 𝑖𝑛 
 
 
 
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3º Passo: Devemos calcular o valor do módulo resistente, dado pelas 
equações: 
 
𝑊𝑚í𝑛 =
ȁ𝑀ȁ𝑚á𝑥
𝜎𝑎𝑑𝑚
 e 𝑊𝑚í𝑛 =
𝐼
𝑌𝑚á𝑥
 
 
Calculando o 𝐼 e 𝑌𝑚á𝑥: 
 
𝐼 =
𝑏ℎ3
12
 → 𝐼 =
𝑏 × (1,25𝑏)3
12
 → 𝐼 = 0,163𝑏4 
𝑌𝑚á𝑥 =
ℎ
2
=
1,25𝑏
2
→ 𝑌𝑚á𝑥 = 0,625𝑏 
ȁ𝑀ȁ𝑚á𝑥
𝜎𝑎𝑑𝑚
=
𝐼
𝑌𝑚á𝑥
 → 
720000
960
=
0,163𝑏4
0,625𝑏
 → 750 = 0,261𝑏3 
𝑏 = √
750
0,261
3
 → 𝑏 = 14,22 𝑖𝑛 
Logo: 
 
ℎ = 1,25𝑏 = 1,25 × 14,22 → ℎ = 17,77 𝑖𝑛 
 
4º Passo: Precisamos fazer a verificação quanto a tensão de cisalhamento. 
Para seção retangular temos: 
 
𝜏𝑚á𝑥 =
3
2
ȁ𝑉ȁ𝑚á𝑥
𝐴
≤ 𝜏𝑎𝑑𝑚 
𝜏𝑚á𝑥 =
3
2
ȁ𝑉ȁ𝑚á𝑥
𝐴
=
3
2
15000
(14,22 × 17,77)
 → 𝜏𝑚á𝑥 = 89,04 𝑝𝑠𝑖 > 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 75 𝑝𝑠𝑖 
 
Como a tensão máxima é maior que a admissível devemos redimensionar a 
viga: 
 
𝜏𝑚á𝑥 =
3
2
ȁ𝑉ȁ𝑚á𝑥
𝐴
→ 75 =
3
2
 
15000
𝑏 × 1,25𝑏
→ 75 =
45000
2,5𝑏2
→ 𝑏 = √
45000
75 × 2,5
→ 𝒃 = 𝟏𝟓, 𝟓 𝒊𝒏 
 
Logo: 
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ℎ = 1,25𝑏 = 1,25 × 15,5 → 𝒉 = 𝟏𝟗, 𝟒 𝒊𝒏 
 
 
 
Anotações: _____________________________________________ 
_______________________________________________________ 
_______________________________________________________ 
 
 
EXEMPLO 2 
Sabendo que para o aço valem 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 160𝑀𝑃𝑎 e 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 100 𝑀𝑃𝑎, 
selecionar o perfil de abas largas W mais leve que possa ser usado para 
suportar o carregamento indicado com segurança. 
 
 
 
Solução: 
1º Passo: Identificamos os valores das tensões máximas (fornecidos pelo 
problema): 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 160 𝑀𝑃𝑎; 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 100 𝑀𝑃𝑎 
Agora vamos calcular as reações de apoio: 
 
∑𝑀𝐴 = 0: − 70(3) − 70(8) − 5(11)(5,5) + 𝐷𝑦(11) = 0 → 𝐷𝑦 = 97,5 𝐾𝑁 
∑𝐹𝑦 = 0: 𝐴𝑦 − 70 − 70 + 97,5 − 5(11) = 0 → 𝐴𝑦 = 97,5 𝐾𝑁 
 
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Em seguida vamos calcular os valores de força cortante e momento fletor em 
cada trecho da viga: 
Seção AB: (0 ≤ 𝑥 ≤ 3) 
−𝑉𝐴𝐵 + 97,5 − 5𝑥 = 0 
𝑥 = 0 → 𝑉𝐴 = 97,5 𝐾𝑁 
𝑥 = 3 → 𝑉𝐵 = 97,5 − 5(3) = 82,5 𝐾𝑁 
𝑀𝐴𝐵 − 97,5𝑥 + 5𝑥 ×
𝑥
2
= 0 
𝑥 = 0 → 𝑀𝐴 = 0 
𝑥 = 3 → 𝑀𝐵 = 97,5(3) − 5(3) ×
3
2
 → 𝑀𝐵 = 270 𝐾𝑁𝑚 
 
Seção BC: (3 ≤ 𝑥 ≤ 8) 
−𝑉𝐵𝐶 + 97,5 − 70 − 5𝑥 = 0 
𝑥 = 3 → 𝑉𝐵 = 97,5 − 70 − 5(3) → 𝑉𝐵 = 12,5 𝐾𝑁 
𝑥 = 8 → 𝑉𝐶 = 97,5 − 70 − 5(8) → 𝑉𝐶 = −12,5 𝐾𝑁 
𝑀𝐵𝐶 − 97,5𝑥 + 70(𝑥 − 3) + 5𝑥 ×
𝑥
2
= 0 
𝑥 = 3 → 𝑀𝐵 = 97.5(3) + 70(3 − 3) + 5(3) ×
3
2
 → 𝑀𝐵 = 270 𝐾𝑁𝑚 
𝑥 = 8 → 𝑀𝐶 = 97.5(8) + 70(8 − 3) + 5(8) ×
8
2
 → 𝑀𝐶 = 270 𝐾𝑁𝑚 
 
Como a viga é simétrica, a seção DC será igual a AB. 
 
2º Passo: Faça os DEC e DMF, determinando os valores ȁ𝑉ȁ𝑚á𝑥 e ȁ𝑀ȁ𝑚á𝑥 e 
observando que o ȁ𝑀ȁ𝑚á𝑥 ocorre quando 𝑉 = 0, o que ocorre no trecho BC. 
Assim: 
−𝑉𝐵𝐶 + 97,5 − 70 − 5𝑥 = 0 e 𝑉𝐵𝐶 = 0 
0 + 97,5 − 70 − 5𝑥 = 0 → 𝑥 = 5,5 𝑚 
P á g i n a | 53 
 
 
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Substituindo na equação do 
momento do mesmo trecho, temos: 
𝑀𝐵𝐶 − 97,5𝑥 + 70(𝑥 − 3) + 5𝑥 ×
𝑥
2
= 0 
𝑀𝑚á𝑥 − 97,5(5,5) + 70(5,5 − 3) + 5 ×
5,5²
2
= 0 
𝑀𝑚á𝑥 = 285,62 𝐾𝑁.𝑚 
 
Então: 
ȁ𝑉ȁ𝑚á𝑥 = 97,5 𝐾𝑁 
ȁ𝑀ȁ𝑚á𝑥 = 285,62 𝐾𝑁.𝑚 
 
3º Passo: Devemos calcular o 
módulo resistente mínimo usando a 
equação: 
𝑊𝑚í𝑛 =
ȁ𝑀ȁ𝑚á𝑥
𝜎𝑎𝑑𝑚
=
285,62 × 103
160 × 106
 
𝑊𝑚í𝑛 = 1,785. 10
−3 𝑚3 = 1785. 103 𝑚𝑚3 
 
Neste caso, o objetivo é determinar qual o perfil apresenta a melhor seção 
transversal (segura e econômica), logo não iremos usar expressão 𝑊𝑚í𝑛 =
𝐼
𝑌𝑚á𝑥
, pois 
não temos as dimensões do perfil. 
4º Passo: Selecionamos na tabela abaixo o perfil W (no mínimo três, para fins 
de comparação) com valor do módulo resistente 𝑊 > 1785 (103 𝑚𝑚3), na oitava 
coluna. 
𝑊 360 × 122 → 2020 𝑚𝑚3 
𝑊 250 × 167 → 2060 𝑚𝑚3 
𝑊 530 × 92 → 2080 𝑚𝑚3 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 54 
 
 
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O perfil mais econômico é aquele que tem menor peso por unidade de 
comprimento, e entre os três, 𝑊 530 × 92, com 92 Kg por metro linear. 
5º Passo: Devemos verificar se o perfil 𝑊 530 × 92 é aceitável quanto à força 
cortante. Para isso na tabela pegamos os valores detalhados do perfil (em mm): 
 
 
 
P á g i n a | 55 
 
 
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𝑑 = 533 𝑚𝑚; 𝑏 = 209 𝑚𝑚; 𝑡𝑚 = 15,4 𝑚𝑚; 𝑡𝑎 = 10,2 𝑚𝑚 
Para perfis de abas largas: 
𝜏𝑚á𝑥 =
ȁ𝑉ȁ𝑚á𝑥
𝐴𝑎𝑙𝑚𝑎
≤ 𝜏𝑎𝑑𝑚 
𝜏𝑚á𝑥 =
ȁ𝑉ȁ𝑚á𝑥
𝐴𝑎𝑙𝑚𝑎
=
97,5 × 103
0,0102 × [0,533 − 2(0,0156)]
 
𝜏𝑚á𝑥 = 19,05 𝑀𝑃𝑎 < 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 100 𝑀𝑃𝑎 
 
O perfil 𝑾 𝟓𝟑𝟎 × 𝟗𝟐 é aceitável. 
 
Caso 𝜏𝑚á𝑥 > 𝜏𝑎𝑑𝑚 deveríamos selecionar outro perfil, no caso 
𝑊 360 × 122, com menor peso por unidade de comprimento, quando 
comparado com os outros, desde que 𝑊 > 1785 (103 𝑚𝑚3). 
 
 
 
Anotações: _______________________________________________ 
___________________________________________________ 
 
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Nesta aula, abordamos: 
 
 Exemplos de dimensionamento de viga com seção retangular e carregamento 
distribuído; 
 Exemplos de dimensionamento de vigas com carregamento distribuído, e 
seção transversal com perfil W, selecionado em tabela. 
 
 
HIBBELER (2010, pág. 403-404) 
 
 
Resumo 
P á g i n a | 57 
 
 
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Para enriquecer seu conhecimento é importante que você 
Revise os tópicos abordados nesta aula em bibliografia presente na Biblioteca 
Digital conforme resumo; 
Resolva o problema resolvido 7.9 e alguns dos exercícios propostos de 7.90 a 7.105 
(BEER, 2006); 
Fazer os exercícios da lista de exercícios 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Complementar 
P á g i n a | 58 
 
 
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Básica: 
BEER, F.P. Resistência dos Materiais. 3. ed. São Paulo: McGraw Hill, 2006. 
 
HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 
2010. 
 
POPOV, E.P. Introdução à Mecânica dos Sólidos. São Paulo: Ed. Edgard Blucher, 
1978. 
 
Complementar: 
ASSAN, A.E. Resistência dos Materiais. São Paulo, UNICAMP, 2010. 
 
BOTELHO, M.H. Resistência dos Materiais para entender e gostar. São Paulo: 
Studio Nobel, 1998. 
 
GERE, J.M. Mecânica dos Materiais. Tradução da 7. Edição Norte-Americana, 2011. 
 
NASH, W.A. Resistência dos Materiais. São Paulo. McGraw-Hill
do Brasil. 2. ed. 
2003. 
 
NASH, W.A; POTTER, M.C. Resistência dos Materiais. Porto Alegre. Bookman. 5. 
ed. 2014. 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
P á g i n a | 59 
 
 
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1) (HIBBELER, 2010) Uma viga será feita de aço que tem tensão de flexão 
admissível 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 170 𝑀𝑃𝑎 e a tensão de cisalhamento admissível é 𝜏𝑎𝑑𝑚 =
100 𝑀𝑃𝑎. Selecione uma forma W adequada para suportar a carga mostrada na figura 
abaixo. 
Resposta: W410x46. 
 
 
2) (HIBBELER, 2010) A viga de madeira laminada mostrada na figura abaixo 
suporta uma carga de 12 KN/m. Considerando a relação altura/largura de 1,5, 
determine sua menor largura. A tensão de flexão admissível 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 9 𝑀𝑃𝑎 e a tensão 
de cisalhamento admissível é 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 0,6 𝑀𝑃𝑎. Despreze o peso da viga. 
Resposta: 183 mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 3 
Exercícios 
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APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Da mesma forma que a aula anterior, iremos resolver exercícios com o objetivo 
de dimensionar vigas: Carregamento suportado sendo conhecida a seção transversal, 
dimensões de uma seção transversal conhecida dado um determinado carregamento 
e, escolha de uma seção transversal para um dado carregamento. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após a resolução dos exercícios presentes nessa aula, você 
seja capaz de: 
 
 Determinar os diagramas de esforço cortante e momento fletor em uma viga; 
 Analisar e dimensionar estruturas prismáticas sujeitas a carregamentos 
diversos; 
 Projetar vigas visando a economia. 
Capítulo 1: Projeto de Vigas 
Aula 4 
P á g i n a | 61 
 
 
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EXEMPLOS RESOLVIDOS: PROJETO DE VIGAS 
Repetindo o que foi dito na aula anterior, em todas as aplicações 
a seguir para dimensionar uma viga, não podemos esquecer que a falha 
do elemento estrutural (viga) ocorre quando o momento ou cisalhamento 
interno na viga é máximo. Assim, é importante que as tensões de flexão e de 
cisalhamento associadas não ultrapassem os valores admissíveis, determinadas por 
meio de tabelas de engenharia, associados aos valores de ȁ𝑉ȁ𝑚á𝑥 𝑒 ȁ𝑀ȁ𝑚á𝑥. 
Em seguida, será verificada a resistência ao cisalhamento, comparando com a 
tensão admissível. Para seções retangulares: 𝜏𝑎𝑑𝑚>𝜏𝑚á𝑥 =
3
2
.
ȁ𝑉ȁ𝑚á𝑥
𝐴
. 
Para perfis I ou de abas largas usamos: 𝜏𝑎𝑑𝑚>𝜏𝑚á𝑥 =
ȁ𝑉ȁ𝑚á𝑥
𝐴𝑎𝑙𝑚𝑎
 . Para seções de um 
modo geral consideramos: 𝜏𝑎𝑑𝑚>𝜏𝑚á𝑥 =
ȁ𝑉ȁ𝑚á𝑥.𝑄
𝐼.𝑡
. 
EXEMPLO 1 
(HIBBELER, 2010) Para a viga de aço mostrada abaixo valem 
𝜎𝑎𝑑𝑚 = 140 𝑀𝑃𝑎 e 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 90 𝑀𝑃𝑎. Determine a máxima carga P que pode 
ser suportada com segurança. 
 
 
 
Solução: Iniciamos pelo cálculo das reações de apoio: 
 
∑𝑀𝐶 = 0: 𝑃(4) − 𝐵𝑦(2) = 0 → 𝐵𝑦 = 2𝑃 
∑𝐹𝑦 = 0: − 𝑃 + 2𝑃 + 𝐶𝑦 = 0 → 𝐶𝑦 = −𝑃 
 
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Em seguida vamos calcular os valores de esforço cortante e momento fletor 
para cada trecho da viga: 
Seção AB: (0 ≤ 𝑥 ≤ 2) 
−𝑉𝐴𝐵 − 𝑃 = 0 → 𝑉𝐴𝐵 = −𝑃 
𝑀𝐴𝐵 + 𝑃𝑥 = 0 
𝑥 = 0 → 𝑀𝐴 = 0 
𝑥 = 2 → 𝑀𝐵 = −2𝑃 
 
Seção BC: (2 ≥ 𝑥 ≥ 0) 
𝑉𝐵𝐶 − 𝑃 = 0 → 𝑉𝐵𝐶 = 𝑃 
−𝑀𝐵𝐶 − 𝑃𝑥 = 0 
𝑥 = 2 → 𝑀𝐵 = −2𝑃 
𝑥 = 0 → 𝑀𝐶 = 0 
 
Faça agora os diagramas de esforço cortante e momento fletor, e verifique que 
os valores máximos de força cortante e momento fletor são: 
ȁ𝑉ȁ𝑚á𝑥 = 𝑃 e ȁ𝑀ȁ𝑚á𝑥 = 2𝑃 
 
 
 
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Com os valores de ȁ𝑀ȁ𝑚á𝑥 e 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 140𝑀𝑃𝑎, calculamos o valor de 𝑊𝑚í𝑛: 
 
𝑊𝑚í𝑛 =
ȁ𝑀ȁ𝑚á𝑥
𝜎𝑎𝑑𝑚
 
 
Mas 𝑊𝑚í𝑛 é também: 
 
𝑊𝑚í𝑛 =
𝐼
𝑌𝑚á𝑥
 
 
Então precisamos calcular o centroide e o momento de inércia: 
 
�̅� =
(𝑏 × ℎ ×
ℎ
2
)
⏞ 
𝑎𝑙𝑚𝑎
+ (𝑏 × ℎ ×
ℎ
2
)
⏞ 
𝑚𝑒𝑠𝑎
𝑏 × ℎ + 𝑏 × ℎ
 
�̅� =
0,02 × 0,15 × 0,075 + 0,12 × 0,02 × 0,16
0,02 × 0,15 + 0,12 × 0,02
 → �̅� = 0,113 𝑚, 𝑙𝑜𝑔𝑜, 𝑌𝑚á𝑥 = 0,113 𝑚 
𝐼 = (
𝑏 × ℎ3
12
+ 𝐴 × 𝑑2)
⏞ 
𝑎𝑙𝑚𝑎
+ (
𝑏 × ℎ3
12
+ 𝐴 × 𝑑2)
⏞ 
𝑚𝑒𝑠𝑎
 
𝐼 = (
0,02 × 0,153
12
+ 0,02 × 0,15 × 0,0382) + (
0,12 × 0,023
12
+ 0,12 × 0,02 × 0,0472) 
𝐼 = 15,34 × 10−6 𝑚4 
 
Assim igualando os termos de 𝑊𝑚í𝑛: 
 
ȁ𝑀ȁ𝑚á𝑥
𝜎𝑎𝑑𝑚
=
𝐼
𝑌𝑚á𝑥
 
2𝑃
140 × 106
=
15,34 × 10−6
0,113
 → 𝑃 =
15,34 × 10−6 × 140 × 106
2 × 0,113
 → 𝑃 = 9,5 𝐾𝑁 
 
Para finalizar precisamos fazer a verificação em relação a tensão máxima 
cisalhante: 
 
𝜏𝑚á𝑥 =
ȁ𝑉ȁ𝑚á𝑥.𝑄
𝐼. 𝑡
 
P á g i n a | 64 
 
 
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Vamos calcular o momento estático: 
𝑄 = 𝐴 × 𝑦′ → 𝑄 = 0,02 × 0,113 × 0,0565 → 𝑄 = 1,27 × 10−4 𝑚3 
𝜏𝑚á𝑥 =
ȁ𝑉ȁ𝑚á𝑥. 𝑄
𝐼. 𝑡
 
90 × 106 =
𝑃 × 1,27 × 10−4
15,34 × 10−6 × 0,02
 → 𝑃 =
90 × 106 × 15,34 × 10−6 × 0,02
1,27 × 10−4
 → 𝑃 = 215,7 𝐾𝑁 
 
Logo a carga máxima é 𝑷 = 𝟗, 𝟓 𝑲𝑵, pois atende tanto aos valores 
admissíveis da tensão de flexão quanto da cisalhante. 
EXEMPLO 2 
A viga mostrada na figura abaixo é construída em madeira para a 
qual valem 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 1,1 𝐾𝑠𝑖 e 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 0,70 𝐾𝑠𝑖. Determine a largura b para 
sua seção transversal se h = 2b. 
 
 
 
Solução: 1º Passo: Identificamos os valores das tensões admissíveis: 
𝜎𝑎𝑑𝑚 = 1,1 𝐾𝑠𝑖; 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 0,70 𝐾𝑠𝑖 
 
Calculamos as reações de apoio: 
 
∑𝑀𝐵 = 0: 800(36) + 𝐶𝑦(72) − 6,67(108)(54) = 0 → 𝐶𝑦 = 140 ,27 𝑙𝑏 
∑𝐹𝑦 = 0: − 800 + 𝐵𝑦 − 6,67(108) + 140,27 = 0 → 𝐵𝑦 = 1380,1 𝑙𝑏 
 
Em seguida vamos calcular os valores de esforço cortante e momento fletor 
para cada trecho: 
Seção AB: (0 ≤ 𝑥 ≤ 36) 
−𝑉𝐴𝐵 − 800 = 0 
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𝑉𝐴𝐵 = −800 𝑙𝑏 
𝑀𝐴𝐵 + 800𝑥 = 0 
𝑥 = 0 → 𝑀𝐴 = 0 
 
𝑥 = 36 → 𝑀𝐵 = −800(36) → 𝑀𝐵 = −28800 𝑙𝑏. 𝑖𝑛 
 
Seção BC: (36 ≤ 𝑥 ≤ 108) 
 
−𝑉𝐵𝐶 − 800 − 6,67(𝑥 − 36) + 1380,1 = 0 
𝑥 = 36 → 𝑉𝐵 = −800 − 6,67(36 − 36) + 1380,1 → 𝑉𝐵 = 580,1 𝑙𝑏 
𝑥 = 108 → 𝑉𝐶 = −800 − 6,67(108 − 36) + 1380,1 → 𝑉𝐶 = 99,85 𝑙𝑏 
𝑀𝐵𝐶 + 800𝑥 − 1380,1(𝑥 − 36) + 6,67
(𝑥 − 36)2
2
= 0 
𝑥 = 36 → 𝑀𝐵 = −800(36) + 1380,1(36 − 36) + 6,67
(36 − 36)2
2
 → 𝑀𝐵 = −28800 𝑙𝑏. 𝑖𝑛 
𝑥 = 108 → 𝑀𝐶 = −800(108) + 1380,1(108 − 36) + 6,67
(108 − 36)2
2
 
𝑀𝐶 = −4322,16 𝑙𝑏.