Livro Texto - Unidade 2

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TÓPICOS DE INFORMÁTICA
Unidade II
5 FUNÇÃO DO 1º GRAU
5.1 Definição
Uma função do primeiro grau é uma função com dependência linear da variável, ou seja, em 
y(x)=a.x+b, a variável x está elevada à primeira potência. A representação gráfica da função do primeiro 
grau é uma reta.
Para uma equação do primeiro grau, genericamente descrita como y(x)=a.x+b, temos duas 
quantidades relevantes, indicadas a seguir:
• a é o coeficiente angular (sendo a diferente de zero), que dá a inclinação da reta;
• b é o coeficiente linear, que dá o ponto no qual a reta cruza o eixo y.
O coeficiente angular a está relacionado com a inclinação da reta da seguinte forma:
• a>0 implica uma reta crescente;
• a<0 implica uma reta decrescente.
Dados dois pontos P1=(x1,y1) e P2=(x2,y2) de uma reta, seu coeficiente angular é calculado por:
a
y
x
y y
x x
y y
x x
 







1 2
1 2
2 1
2 1
Na expressão, x1 é a abscissa do ponto P1, x2 é a abscissa do ponto P2, y1 é a ordenada do ponto P1 
e y2 é a ordenada do ponto P2. Note que a ordem dos pontos 1 e 2 no cálculo do coeficiente angular é 
indiferente, desde que mantenhamos a mesma ordem no numerador e denominador. Podemos escolher, 
livremente, quaisquer dois pontos pertencentes à reta.
O domínio da função do 1º grau é o conjunto de todos os números reais e sua imagem é o conjunto 
de todos os números reais, ou seja, a função pode ser calculada com qualquer valor pertencente aos 
números reais, e o resultado obtido pertence aos números reais.
São exemplos de funções do 1º grau as funções a seguir:
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Unidade II
• y=2.x–5 (reta crescente que intercepta o eixo y em y=–5);
• y=2.x (reta crescente que intercepta o eixo y em y=0);
• y=–5.x+4 (reta decrescente que intercepta o eixo y em y=1);
• y=–5.x (reta decrescente que intercepta o eixo y em y=0);
• y=2.x–2 (reta crescente que intercepta o eixo y em y=–2).
5.2 Retas que passam pela origem
As retas y(x)=ax+b que passam pela origem são as que cruzam o eixo y em y=0, logo, apresentam 
coeficiente linear b nulo (b=0). A equação geral das retas que passam pela origem é, portanto, y(x) = a.x.
Para construir gráficos de retas que passam pela origem, vamos utilizar uma planilha, calculando as 
funções y(x)=-x, y(x)=0,5.x, y(x)=x e y(x)=2x como exemplo. Para tanto, precisamos escolher pelo menos 
dois valores de x. Na figura 61, são dados os valores obtidos para as funções para x=-2 e x=2.
Figura 60 – Fórmulas para o cálculo de y(x)=-x, y(x)=0,5.x, y(x)=x e y(x)=2x para x=-2 e x=2
Figura 61 – Valores das funções y(x)=-x, y(x)=0,5.x, y(x)=x e y(x)=2x para x=-2 e x=2
Selecionamos os dados na planilha, clicamos na aba Inserir e selecionamos o gráfico de dispersão 
e o subtipo de gráfico que usa apenas linhas suaves. A figura a seguir ilustra gráficos de retas com 
diferentes coeficientes angulares, todas passando pela origem.
Os gráficos das funções y(x)=0,5.x, y(x)=x e y(x)=2.x são retas crescentes, pois essas funções têm 
coeficientes angulares positivos (0,5, 1 e 2 são valores maiores que zero). Nessas funções, um aumento 
em x implica um aumento em y.
O gráfico de y=-x é uma reta decrescente, visto que seu coeficiente angular é um número negativo. 
Nessa função, um aumento em x implica uma diminuição em y.
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TÓPICOS DE INFORMÁTICA
As retas associadas com y(x)=x e y(x)=-x são simétricas em relação ao eixo y, pois, a menos de um 
sinal, seus coeficientes angulares são iguais. A reta associada com y=x mostra que se aumentarmos 
1 unidade em x, aumentamos 1 unidade em y, ou seja, a proporção de variação de y em relação 
a x é de 1 (valor do coeficiente angular). Já para a reta y(x)=0,5.x, se aumentarmos 1 unidade em 
x, aumentamos 0,5 unidade em y, ou seja, a proporção de variação de y em relação a x é de 0,5 
(novamente o coeficiente angular).
Figura 62 – Retas que passam pela origem
5.3 Retas paralelas
Retas paralelas são retas que têm mesma inclinação, ou seja, apresentam mesmo coeficiente angular 
e coeficientes lineares distintos.
As fórmulas da planilha empregada para gerar os gráficos de retas paralelas de equações y(x)=2.x, 
y(x)=2.x-1 e y(x)=2.x+1 são indicadas na figura a seguir. Em seguida, são apresentados os resultados do 
cálculo dessas fórmulas.
Figura 63 – Fórmulas usadas para construção dos gráficos de y(x)=2.x, y(x)=2.x-1 e y(x)=2.x+1
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Unidade II
Figura 64 – Valores usados para construção dos gráficos de y=2x-1, y=2x e y=2x+1
A figura a seguir ilustra retas paralelas, de equações y(x)=2.x, y(x)=2.x-1 e y(x)=2.x+1, ou seja, todas 
com coeficiente angular a=2 e coeficientes lineares b=0, b=-1 e b=1, respectivamente. A reta y(x)=2.x+1 
cruza o eixo y em y=1, a reta y(x)=2.x cruza o eixo y em y=0 e a reta y(x)=2.x–1 cruza o eixo y em y=-1.
Figura 65 – Retas paralelas
5.4 Retas perpendiculares
Sejam duas retas de equação y1=a1.x+b1 e y2=a2.x+b2. As retas são ditas perpendiculares, ou seja, 
formam ângulo de 90 graus entre si, se seus coeficientes angulares satisfazem a relação a1.a2=-1. Note 
que não há restrição alguma para o coeficiente linear.
São exemplos de retas perpendiculares:
• y(x)=x+1 e y(x)=-x+1
• y(x)=3.x e y(x)=- 1
3
x+9
• y(x)=-2x+5 e y(x)=0,5x+7
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TÓPICOS DE INFORMÁTICA
• y(x)= 3
5
x+2 e y(x)=- 5
3
x-2
Na figura a seguir, temos o gráfico desse último exemplo. Note que só veremos esse ângulo 
corretamente se a escala adotada for a mesma nos eixos x e y.
Figura 66 – Retas perpendiculares y(x)= 3
5
x+2 e y(x)=- 5
3
x-2
5.5 Exemplos
Exemplo 1
Vamos esboçar o gráfico da reta que passa pelos pontos P1=(-2,-6) e P2=(3,4) e escrever a equação 
da reta.
Foram dados os seguintes pontos: P1 = (x1,y1) = (-2,-6) e P2 = (x2,y2) = (3,4).
O coeficiente angular a da reta é calculado por:
a
y
x
y y
x x
 


  
 
 



1 2
1 2
6 4
2 3
2
1
2
( )
( )
a
y
x
y y
x x
 


  
 
 



1 2
1 2
6 4
2 3
2
1
2
( )
( )
∆
∆
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Unidade II
O coeficiente linear b da reta pode ser obtido pela substituição das coordenadas de P1 e do coeficiente 
angular que acabamos de calcular na equação geral da reta, ou seja:
y = a . x + b
- 6 = 2 . (- 2) + b
b = - 6 + 4 = - 2
Caso substituamos as coordenadas de P2 na equação geral da reta, obteremos o mesmo valor de b, 
conforme pode ser observado a seguir. Logo, é indiferente usar um ponto ou outro da reta nesse cálculo.
y = a . x + b
4 = 2 . (3) + b
b = - 6 + 4 = - 2
A equação da reta é: y = 2.x –2. O gráfico da função y = 2.x –2 pode ser construído com o auxílio 
do assistente de gráfico da planilha do Excel. Para tanto, elabore uma tabela na planilha contendo as 
abscissas (x1 e x2) e ordenadas (y1 e y2) dos pontos P1 e P2, similar ao exposto na figura a seguir.
Figura 67 – Pontos P1=(-2,-6) e P2=(3,4)
Selecione a tabela (faixa de valores de A1 até B3), clique na aba Inserir e selecione o tipo e subtipo 
de gráfico. Nesse exemplo, vamos fazer o gráfico inicialmente apenas dos pontos.
Caso o gráfico produzido não seja o gráfico de uma reta, provavelmente o Excel não está tratando 
como dados ao longo de colunas. Clique no gráfico com o botão direito do mouse. Em seguida, escolha 
Selecionar Dados. Uma caixa de diálogo (figura 69) abre e permite que se alterne entre linhas e colunas, 
pressionando o botão no centro da caixa.
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TÓPICOS DE INFORMÁTICA
Figura 68 – Escolha de tipo e subtipo do gráfico
Figura 69 – Caixa de diálogo para alternar linhas e colunas
Dê título ao gráfico e nomeie os eixos. O gráfico obtido com o uso dos pontos P1 e P2 está na figura 
a seguir:
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Unidade II
Figura 70 – Gráfico dos pontos P1=(-2,-6) e P2=(3,4)
Pressione o botão direito do mouse na posição do ponto P1 (ou na posição do ponto P2, se preferir). 
Visualizaremos o menu na figura a seguir. Clique, então, em Adicionar Linha de Tendência. A linha 
de tendência é um ajuste de uma função aos dados do gráfico, com a opção de indicar a equação da 
função ajustada.
Figura 71 – Menu para inserção de linha de tendência
Escolha Linha de Tendência do tipo Lineare selecione a opção para exibir a equação no gráfico.
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TÓPICOS DE INFORMÁTICA
Figura 72 – Caixa de diálogo para inserir linha de tendência
É inserida a reta que melhor se ajusta aos dois pontos dados e é exibida a sua equação, no caso, 
y=2.x-2.
Figura 73 – Gráfico de y = 2.x –2
Exemplo 2
Vamos aproximar os dados da tabela a seguir por uma reta.
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Unidade II
Tabela 3 – Pares (x,y)
x y
-5 11,5
-3 6
0 1
2 -4,5
3 -5,5
6 -14
Nesse exemplo, os pontos dados na tabela não estão perfeitamente alinhados. No entanto, é possível 
aproximar esses dados por uma reta. Para estimar a melhor reta adaptada aos pontos, vamos utilizar o 
ajuste de linha de tendência do Excel. Os passos são os mesmos do exemplo anterior:
• Digite a tabela na planilha eletrônica do Excel.
• Selecione a faixa de valores que inclui a tabela.
• Clique em Inserir e escolha o tipo e subtipo de gráfico oferecido na caixa de diálogo colocada na 
tela – no caso, dispersão (xy), mas usando apenas pontos.
• Digite o título do gráfico (pode ser “exemplo 2”) e nomeie os eixos de valores.
• Pressione o botão direito do mouse na posição de um dos pontos marcados.
• Selecione Adicionar Linha de Tendência.
• Na caixa de diálogo, escolha o tipo linear e clique em Exibir Equação no Gráfico.
O gráfico e sua respectiva equação são mostrados na figura seguinte.
A equação y = -2,2362.x + 0,2014 é a reta ajustada por regressão linear para os dados da tabela do 
exemplo 2. Essa reta também é chamada de reta média relativa aos dados da tabela.
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TÓPICOS DE INFORMÁTICA
Figura 74 – Reta ajustada aos pontos do exemplo 2
Exemplo 3
Considere a equação de reta y(x)=3.x+2. Vamos traçar o gráfico dessa reta e de uma reta perpendicular. 
Usaremos a mesma escala em x e y para que a perpendicularidade fique evidente.
Considere duas retas, de equações y1=a1.x+b1 e y2=a2.x+b2. As retas são perpendiculares se a1.a2=-1.
A reta dada tem inclinação a=3, logo, a reta perpendicular deverá ter inclinação:
a a a
a1 2 2 1
1
1 1
3
.       
Logo, y(x)=-(1/3).x+2 é perpendicular a y(x)=3.x+2. Nas figuras a seguir, temos as fórmulas usadas 
na planilha para calcular essas equações e uma planilha com pontos calculados para as duas retas.
Figura 75 – Fórmulas para cálculo de retas perpendiculares
Figura 76 – Resultados das fórmulas para cálculo de retas perpendiculares
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Unidade II
A figura a seguir fornece os gráficos das duas retas perpendiculares desse exemplo.
Figura 77 – Retas perpendiculares: y(x)=3x+2 em azul e y(x)=- 1
3
x+2 em laranja
 Saiba mais
Relações lineares são frequentes em Física. Por exemplo, a segunda 
lei de Newton, que afirma que a força resultante F é igual ao produto da 
massa m de um corpo pela sua aceleração a (F=m.a), é uma relação linear. 
Se considerarmos F(a), ou seja, que a aceleração é uma variável e a massa 
do corpo é fixa, vemos que m corresponderia ao coeficiente angular e 
que o coeficiente linear seria nulo, pois não temos nenhum termo aditivo 
constante na equação.
Para mais detalhes sobre a segunda lei de Newton:
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física. 9. ed. Rio 
de Janeiro: LTC, 2012. v. 1.
Para mais fórmulas no Excel:
MCFEDRIES, P. Fórmulas e funções com Microsoft Excel. Rio de Janeiro: 
Ciência Moderna, 2005.
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TÓPICOS DE INFORMÁTICA
6 FUNÇÃO DO 2º GRAU
6.1 Equação e gráfico
Uma função é dita do segundo grau se sua equação é da forma y(x)= ax2+bx+c, com a≠0 e a, b e c 
constantes. A representação gráfica de uma função do segundo grau é uma parábola.
O coeficiente a da equação nos dá informação sobre a concavidade da parábola: se a>0, a parábola 
tem concavidade para cima, porém se a<0, a concavidade é para baixo.
O coeficiente c, por sua vez, é a posição na qual a parábola intercepta o eixo y.
O domínio de uma função do 2º grau é o conjunto dos números reais.
Como exemplo, vamos analisar a função y(x) = -x2+5x-4. Seu gráfico está representado na figura 
a seguir.
Note que o gráfico tem concavidade para baixo, conforme esperado, pois a= -1 e a<0, e que ele 
cruza o eixo y em y=-4, conforme esperado, pois c= -4 na equação.
Figura 78 – Gráfico de y(x) = -x2+5x-4
6.2 Raízes da função do 2º grau
Definimos raiz de uma função como o valor do domínio para o qual a função cruza o eixo x. A função 
do segundo grau pode ter duas raízes distintas, uma raiz (ou, equivalentemente, duas raízes idênticas) 
ou nenhuma raiz, o que é definido pelo discriminante ∆ = b2-4ac:
• Se o discriminante for positivo (∆>0), temos duas raízes reais e distintas.
• Se o discriminante for nulo (∆=0), temos uma única raiz.
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Unidade II
• Se o discriminante for negativo (∆<0), não temos raízes reais.
Esses casos são ilustrados na figura a seguir. Com o valor do discriminante ∆, caso esse seja positivo 
ou nulo, as raízes x1 e x2 podem ser calculadas por:
x
b
a1 2
    , x
b
a1 2
   
Repare que se ∆ for nulo (∆=0), as raízes x1 e x2 têm valores idênticos.
∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0
a < 0
a > 0
Figura 79 – Parábolas, raízes e determinantes
6.3 Vértice da parábola
O vértice V é o ponto extremo (ponto de máximo ou de mínimo) de uma parábola e suas coordenadas 
são representadas por V=(xv,yv). O vértice é o ponto máximo de uma parábola de concavidade para baixo 
ou o ponto mínimo de uma parábola de concavidade para cima. A abscissa do vértice (xv) e a ordenada 
do vértice (yv) são calculadas, respectivamente, por:
x
b
aV
 
2 e 
y
aV
 
4
A figura a seguir mostra a localização do vértice de uma parábola com concavidade para cima (a>0) 
e duas raízes reais e distintas (∆>0).
63
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
yV
xV
Figura 80 – Vértice de uma parábola
Note que a coordenada x do vértice é o ponto médio entre as duas raízes da parábola; nesse caso, 
temos duas raízes reais e distintas (∆>0). No caso de uma única raiz (∆=0), a coordenada x do vértice 
coincide com essa raiz.
6.4 Cálculos das raízes e do vértice usando planilha eletrônica
Para os cálculos das raízes e do vértice de uma função do 2º grau, os valores dados como entrada são 
os valores dos coeficientes a, b e c da equação do segundo grau y(x) = ax2 + bx + c.
Considere como exemplo o caso da função y(x) = x2 – 2x – 3, os coeficientes são a=1, b=-2 e 
c=-3. Podemos elaborar uma planilha no Excel similar à apresentada na figura seguinte. Os valores são 
atribuídos às células B3, B5 e B7 e são inseridas fórmulas nas células B9, B11, B13, B15 e B17. Repare que 
foram atribuídos os valores 1, -2 e -3, correspondentes aos coeficientes da equação de segundo grau do 
exemplo (respectivamente, às células B3, B5 e B7).
As fórmulas nas células B9, B11, B13, B15 e B17 são:
• =B5^2-4*B3*B7, na célula B9.
• =SE(B9<0;”Não há raiz”; (-1*B5+RAIZ(B9))/(2*B3)), na célula B11.
• =SE(B9<0;”Não há raiz”; (-1*B5-RAIZ(B9))/(2*B3)), na célula B13.
• =(-1*B5)/(2*B3), na célula B15.
• =(-1*B9)/(4*B3), na célula B17.
A execução das fórmulas resulta nos valores ilustrados na figura 82. Note que, nesse caso, delta é 
maior do que zero e temos duas raízes reais e distintas, 3 e -1.
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Unidade II
Figura 81 – Trecho de planilha para cálculo das raízes e do vértice de uma função do segundo grau
Figura 82 – Trecho de planilha para calcular os valores das raízes e das coordenadas do vértice de uma função do 2º grau
Se alterarmos os valores de a, b e c para -2, 4 e -5, respectivamente, vamos obter os resultados 
expressos na figura a seguir. Note que, nesse caso, o discriminante ∆ é negativo; logo, não temos raízes 
reais, e a mensagem usada, para esse caso, na função SE() aparece na planilha.
65
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
Figura 83 – Função do 2º grau sem raízes reais
6.5 Construção de gráficos de parábolas
Para construir o gráfico de uma função do segundo grau, elabore uma tabela na planilha do Excel, 
digitando valores nas células que representarão pontos do domínio da função (x) e insira fórmulas nas 
células para o cálculo das respectivas imagens (y(x)). A figura a seguir ilustra esse procedimento para afunção y=x2-2x-3.
Figura 84 – Trecho de planilha com fórmula na célula B2 para calcular a função y=x2-2x-3, com x dado em A2
Copie a fórmula da célula B2 até a célula B10 e obtenha os resultados expostos na figura a seguir.
66
Unidade II
Figura 85 – Valores de x e y(x) da função y(x) = x2-2x-3
Selecione a faixa de valores de A1 até B10. Acione o assistente de gráfico, optando pelo gráfico do 
tipo dispersão, subtipo com linhas suaves e pontos.
Figura 86 – Construção do gráfico da função y(x) = x2-2x-3
A etapa seguinte é nomear os eixos e atribuir um título ao gráfico. O gráfico com a parábola de 
equação y(x) = x2-2x-3 está na figura seguinte. Note que o gráfico tem concavidade para cima, como 
esperado pelo coeficiente a=1, e que cruza o eixo y em y=-3, como esperado para c=-3. Do gráfico, 
vemos que a parábola tem duas raízes reais e distintas, -1 e 3.
67
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
Figura 87 – Gráfico de y(x) = x2-2x-3
6.6 Funções do tipo y=a.x2
Os gráficos de funções do tipo y(x) = ax2 são parábolas cujos vértices localizam-se na origem (0,0).
Como exemplo, vamos comparar os gráficos de diversas parábolas com vértice na origem y1=x
2, 
y2=2.x
2 e y3=0,5.x
2 . As fórmulas usadas na planilha, os resultados dessas fórmulas e os gráficos estão nas 
figuras a seguir, respectivamente.
Figura 88 – Fórmulas para o cálculo dos pontos das funções y1=x
2, y2=2.x
2 e y3=0,5.x
2
68
Unidade II
Figura 89 – Resultados das fórmulas para cálculo das funções y1=x
2, y2=2.x
2 e y3=0,5.x
2
Gráfico de parábolas do tipo y=ax2
Figura 90 – Gráficos das funções y1=x
2, y2=2x
2 e y3=0,5x
2
Agora, vamos esboçar os gráficos das funções y1 = x
2
 e y2 = -x
2. Nas figuras a seguir estão as fórmulas 
utilizadas na planilha e os resultados dessas fórmulas.
69
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
Figura 91 – Fórmulas para elaboração do gráfico de y1 = x
2 e y2 = -x
2
Figura 92 – Resultados das fórmulas da figura anterior
Na figura seguinte estão exibidos os gráficos de y1=x
2
 e y2=-x
2. A parábola y1 tem concavidade para 
cima (a>0) e a parábola y2 tem concavidade para baixo (a<0), sendo que o gráfico de uma é o mesmo 
da outra, mas espelhado em relação ao eixo x.
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Unidade II
Gráfico de parábolas do tipo y=ax2
Figura 93 – Gráficos das funções y1=x
2 e y2=-x
2
6.7 Efeito do coeficiente c em parábolas do tipo y=ax2+c
Quando tratamos da reta cuja equação é do tipo y(x)=a.x+b, o termo que não multiplica x é o 
coeficiente linear, ponto em que a reta cruza o eixo y. De maneira similar, para parábolas de equação 
y(x)=ax2+bx+c, o termo que não multiplica x ou x2 dá o ponto em que a parábola cruza o eixo y.
Vamos construir o gráfico das funções y(x)=x2-5, y(x)=x2 e y(x)=x2+5. Na planilha a seguir, temos as 
fórmulas para o cálculo dessas funções, para valores de x variando de -5 até +5.
Figura 94 – Fórmulas para o cálculo de y(x)=x2-5, y(x)=x2 e y(x)=x2+5
71
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
Figura 95 – Valores obtidos pelos cálculos das fórmulas da figura anterior
Na figura a seguir, temos os gráficos das parábolas de equações y(x)=x2-5, y(x)=x2 e y(x)=x2+5.
Gráfico de parábolas com diferentes coeficientes c
Figura 96 – Gráficos de parábolas do tipo y(x)=ax2+bx+c com diferentes coeficientes c
Note que a primeira função, em azul, intercepta o eixo y em y=-5, como esperado, pois c=-5. A 
segunda função, em laranja, intercepta o eixo y em y=0, como esperado, pois c=0. A terceira função, em 
cinza, intercepta o eixo y em y=5, como esperado, pois c=5.
6.8 Efeito do coeficiente b em parábolas do tipo y=ax2+bx
Para analisar o efeito do coeficiente b nos gráficos de funções do tipo y(x)=ax2+bx+c, vamos fazer 
os gráficos das funções y(x)=x2-5x, y(x)=x2 e y(x)=x2+5x. Nas figuras a seguir, temos as fórmulas usadas 
para tanto e os resultados dos cálculos dessas fórmulas.
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Unidade II
Figura 97 – Fórmulas usadas no cálculo dos pontos das funções y(x)=x2-5x, y(x)=x2 e y(x)=x2+5x
Figura 98 – Resultados das fórmulas usadas no cálculo dos pontos das funções y(x)=x2-5x, y(x)=x2 e y(x)=x2+5x
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TÓPICOS DE INFORMÁTICA
A seguir, temos os gráficos dessas funções:
Gráfico de parábolas com diferentes coeficientes b
Figura 99 – Efeito da alteração do coeficiente b em parábolas do tipo y(x)=ax2+bx+c
 Saiba mais
Diversas relações em Física seguem uma função quadrática. Um exemplo 
é a energia cinética EC, calculada pelo produto da metade da massa m do 
corpo pelo quadrado da sua velocidade v, ou seja:
EC=(m/2)v
2
Note que o gráfico da energia cinética é uma parábola com concavidade 
para cima e que passa pela origem.
Para mais detalhes sobre a energia cinética:
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física. 9. ed. Rio 
de Janeiro: LTC, 2012. v. 1.
Para mais fórmulas no Excel:
MCFEDRIES, P. Fórmulas e funções com Microsoft Excel. Rio de Janeiro: 
Ciência Moderna, 2005.
74
Unidade II
7 FUNÇÕES SENO E FUNÇÃO COSSENO
7.1 Circunferência trigonométrica
Considere a circunferência trigonométrica, um círculo de raio igual a 1, utilizado para representar 
ângulos e funções trigonométricas. Para compreendermos a equivalência de um ângulo em graus e em 
radianos, basta lembrarmos que meia volta na circunferência corresponde a um ângulo de 180º, o que 
equivale a π radianos. Logo, para converter um ângulo qualquer, dado em graus, para radianos, basta 
multiplicar o valor do ângulo por π/180.
 Lembrete
O número π é um número irracional, que vale aproximadamente 3,14.
Considere um ângulo θ dado em graus. As equivalências de alguns valores de x em graus e em 
radianos são mostradas na tabela a seguir.
Tabela 4 – Ângulos em graus e radianos
θ (o) θ (rad)
0 0
90 π/2
180 π
270 3π/2
360 2π
Na figura a seguir, temos uma circunferência trigonométrica com os ângulos da tabela anterior 
indicados. Note que começamos a percorrer a circunferência a partir do eixo x positivo e seguimos 
sempre em sentido anti-horário para ângulos positivos. Os ângulos não se limitam a uma volta na 
circunferência trigonométrica: duas voltas seriam equivalentes a um ângulo de 4π radianos.
180º = 3π/2 rad
90º = π/2 rad
0º = 0 radθ180º = π rad
Figura 100 – Ângulos na circunferência trigonométrica
75
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
A seguir, veja a “projeção” OP1 do segmento OP no eixo horizontal e a projeção OP2 do segmento 
OP no eixo vertical. Lembre-se que o segmento OP mede 1, já que o raio da circunferência é unitário.
P
y
xθsen (θ)
cos (θ)
Figura 101 – Projeções do segmento OP
A projeção de OP no eixo x representa cos(θ), e a projeção de OP no eixo y representa sen(θ), sendo 
-1 ≤ cos(θ) ≤ +1 e -1 ≤ sen(θ) ≤ +1.
A tabela a seguir mostra alguns valores de cosseno e de seno para ângulos com intervalo de 90 
graus, a partir do zero.
Tabela 5 – Valores de seno e cosseno de alguns ângulos
x (graus) x (rad) cos(x) sen(x)
0 0 1 0
90 π/2 0 1
180 π -1 0
270 3π/2 0 -1
360 2π 1 0
Observe que na segunda volta sobre a circunferência trigonométrica, ou seja, somando 2π ao ângulo, 
passaremos pelos mesmos pontos, e os valores de seno e cosseno voltam a se repetir.
Dizemos que o cosseno e o seno são funções periódicas, pois seus valores repetem-se em intervalos 
de 2π. As funções seno e cosseno têm, portanto, período 2π.
7.2 Gráfico da função y(x)=cos(x)
Para analisarmos o comportamento da função cosseno, podemos construir o gráfico da função 
y(x)=cos(x). O domínio de y(x)=cos(x) é o conjunto dos números reais, e a imagem é -1 ≤ y ≤ 1.
Tomemos alguns valores do domínio de y(x)=cos(x) e calculemos as respectivas imagens. Isso pode 
ser feito, por exemplo, atribuindo-se valores nas células da coluna A, desde a linha 2 até a linha 31, de 
76
Unidade II
-3,3 até 3,3, com incremento de 0,3. Para o cálculo dos valores de imagem, inserimos a seguinte fórmula 
na célula B2 e copiamos a fórmula até a célula B31.
=cos(A2)
Automaticamente, a fórmula será atualizada ao longo da coluna para os endereços de célula 
correspondentes, ou seja, na célula B3 a fórmula será =cos(A3) e assim por diante.
 ObservaçãoComo COS() é uma função e precisa de um parâmetro de entrada 
para ser calculada, é necessário que esse valor seja dado sempre entre 
parênteses. A planilha realizará o cálculo do cosseno apenas se seguirmos 
o formato COS(2), em que 2 é o argumento, enquanto COS 2 ou COS2 
resultará em erro.
Figura 102 – Fórmula para o cálculo do cosseno
Como resultado, temos os pares de valores exibidos na figura a seguir. O conjunto de valores de y 
(valores exibidos na coluna B) é o cosseno dos respectivos valores de x.
77
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
Figura 103 – Pares (x,y) da função y(x)=cos(x)
Para construir o gráfico, selecione o conjunto de valores desde a célula A1 até a célula B24 
(posicione o cursor na célula A1, mantenha o botão esquerdo do mouse pressionado, mova o cursor 
para a coluna B e desloque-o até o final do intervalo das células). Selecione a aba Inserir e escolha o 
tipo e o subtipo de gráfico.
A próxima etapa consiste em adicionar título ao gráfico e nomear os eixos de valores, basta selecionar 
o gráfico, clicando na aba Design e em seguida em Adicionar Elemento Gráfico.
78
Unidade II
Figura 104 – Construção do gráfico da função y(x)=cos(x)
Figura 105 – Inserção do título e títulos dos eixos no gráfico da função y(x)=cos(x)
79
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
O gráfico resultante está ilustrado na figura a seguir. Trata-se de uma função periódica de período 
2π, ou seja, que se repete em intervalos de 2π. A amplitude é definida como o valor entre a linha média 
(nesse caso, o eixo x) e um ponto de máximo ou mínimo, e é igual a 1. Em alguns trechos, a função 
cosseno é crescente e, em outros, é decrescente. Seu gráfico é chamado de cossenoide. Note que o 
gráfico do cosseno não é limitado. Conforme mostra a figura a seguir, esse comportamento ocorre 
porque escolhemos um intervalo limitado para o cálculo dos pontos da função.
Figura 106 – Gráfico da função y(x)=cos(x)
 Lembrete
A planilha eletrônica trabalha com valores em radianos para o cálculo de 
funções trigonométricas. Isso pode ser visto no gráfico do cosseno, em que a 
função vai a zero em aproximadamente x = 1,6, o que corresponderia a π/2.
Para uma visualização mais clara da periodicidade da função cosseno, podemos incluir mais de um 
período no gráfico, ou seja, incluir valores de x inferiores a -π e superiores a π, como pode ser visto na figura 
a seguir. Note que a função estende-se indefinidamente tanto para x positivo quanto para x negativo, mas 
nosso gráfico está truncado, pois selecionamos um número finito de pontos em x (nesse caso, de -6,8 até 8,2).
Figura 107 – Gráfico da função y(x)=cos(x)
80
Unidade II
 Lembrete
Como COS() é uma função e precisa de um parâmetro de entrada 
para ser calculada, é necessário que esse valor seja dado sempre entre 
parênteses. A planilha realizará o cálculo do cosseno apenas se seguirmos 
o formato COS(2), em que 2 é o argumento, enquanto COS 2 ou COS2 
resultará em erro.
7.3 Gráfico da função y(x)=sen(x)
O procedimento para a construção do gráfico da função y(x)=sen(x) é similar ao adotado para o 
gráfico de y(x)=cos(x). O domínio de y(x)=sen(x) também é o conjunto dos números reais, e a imagem 
também é restrita ao intervalo -1 ≤ y ≤ 1.
De modo similar ao executado para a função cosseno, tomemos, agora, alguns valores do domínio 
de y(x)=sen(x) e calculemos as respectivas imagens. Para tanto, podemos atribuir valores às células da 
coluna A, desde a linha 2 até a linha 31, tomando os mesmos valores do caso anterior. Em seguida, 
vamos inserir a seguinte fórmula na célula B2 e copiá-la até a célula B24.
=sen(A2)
Automaticamente, os endereços das células na fórmula serão atualizados ao longo da coluna, ou 
seja, na célula B3 a fórmula será sen(A3) e assim por diante.
 Observação
O Excel corrigirá ortograficamente “sen(A3)” para “sem(A3)”. Temos 
duas opções: clique sobre a expressão e corrija manualmente ou pressione 
CTRL+Z logo após a correção automática para desfazer a correção proposta 
pelo Excel.
81
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
Figura 108 – Fórmula para o cálculo do seno
Como resultado, temos os pares de valores exibidos na figura a seguir. O conjunto de valores de 
y (imagem da função, exibidos na coluna B) é igual ao seno dos respectivos valores de x (exibidos na 
coluna A).
Selecione o conjunto de valores desde a célula A1 até a célula B4 (para isso, posicione o cursor 
na célula A1, mantenha o botão esquerdo do mouse pressionado, mova o cursor para a coluna B e 
desloque-o até o final do intervalo das células). Clique na aba Inserir e escolha o tipo e o subtipo de 
gráfico.
A próxima etapa consiste em adicionar título ao gráfico e nomear os eixos de valores.
82
Unidade II
Figura 109 – Pares (x,y) da função y=senx
Figura 110 – Construção do gráfico da função y(x)=sen(x)
83
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
Figura 111 – Inserção do título do gráfico e dos eixos para y(x)=sen(x)
O gráfico resultante está ilustrado na figura a seguir. Trata-se de uma função periódica, ou seja, 
que se repete em intervalos de 2π. A amplitude de y(x)=sen(x) é 1. Em alguns trechos, a função seno é 
crescente e, em outros, é decrescente. Seu gráfico é chamado de senoide. Note que o gráfico do seno 
não é limitado: esse comportamento é visto na figura porque escolhemos um intervalo limitado para o 
cálculo dos pontos da função.
Figura 112 – Gráfico da função y(x)=sen(x)
84
Unidade II
Novamente, vamos incluir mais pontos em x para que a periodicidade da função fique mais evidente:
Figura 113 – Gráfico da função y(x)=sen(x)
Comparando a figura 107 com esta última, notamos que as funções seno e cosseno assumem valores 
diferentes em zero, enquanto cos(0)=1, sen(0)=0. Esse critério é bom para diferenciar as duas funções. 
Vemos ainda que a função cosseno é uma função par, ou seja, cos(x)=cos(-x), enquanto a função seno 
é ímpar, ou seja, sen(x)=-sen(-x).
A amplitude (A) e o período (P) da função seno estão assinalados no gráfico a seguir. Note que, para 
a função seno, A=1 e P=2π (aproximadamente 6,3).
Figura 114 – Gráfico da função y(x)=sen(x) com a amplitude (A) e período (P) assinalados
7.4 Variações na amplitude
As funções seno e cosseno têm valores limitados entre -1 e +1. Uma forma de alterar a amplitude 
dessas funções é multiplicá-las por uma constante. Por exemplo, a função y=4.senx passa a ter valores 
entre -4 e +4, ou seja, tem amplitude igual a 4 e período de 2π. Já a função y=0,5.senx passa a ter 
valores entre -0,5 e +0,5, ou seja, tem amplitude igual a 0,5 e período de 2π.
Podemos construir, no mesmo sistema de eixos, os gráficos de y1=sen(x), y2=4.sen(x) e y3=0,5.sen(x), 
com o auxílio do “assistente de gráfico” do Excel, para analisar o efeito de diferentes amplitudes na 
função seno. A figura a seguir mostra um trecho de uma tabela, em planilha eletrônica, contendo 
85
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
alguns valores dos domínios das funções e as fórmulas inseridas nas células B2, C2 e D2 relacionadas, 
respectivamente, com as funções y1=sen(x), y2=4.sen(x) e y3=0,5.sen(x).
Figura 115 – Fórmulas para cálculo das funções y1=sen(x), y2=4.sen(x) e y3=0,5.sen(x)
Os resultados das cópias das fórmulas de B2 até a célula B24, de C2 até célula C24 e de D2 até D24 
estão ilustrados na figura a seguir.
Para gerar o gráfico, selecionamos o conjunto dos valores, incluindo as quatro colunas com 
dados, clicamos na aba Inserir, escolhemos tipo e subtipo de gráfico. Em seguida, nomeamos o 
gráfico e os eixos.
Figura 116 – Valores das funções y1=sen(x), y2=4.sen(x) e y3=0,5.sen(x)
86
Unidade II
Figura 117 – Efeito da variação de amplitude em funções periódicas. y1=sen(x), y2=4.sen(x) e y3=0,5.sen(x)
7.5 Variações no período
Para variar os períodos das funções seno e cosseno, devemos multiplicar os argumentos das funções 
pelo inverso (1/x) do fator que desejamos aplicar no período. Vamos, para tanto, estudar as funções 
y1=cos(x) e y2=cos(2x). As funções seno e cosseno, de período P, podem ser escritas como:
cos . , .
2 2 
P
x sen
P
x






A função y1=cos(x) tem amplitude igual a 1 e período de 2π radianos, pois o argumento do cosseno 
é equivalente a 1.x e
2
1 2
 
P
P  
Já a função y2=cos(2x) tem amplitude igual a 1 e período de π radianos, pois
2
2
2
2
  
P
P   
Outra forma de compreender o período de funções trigonométricas é com o seguinte cenário: 
podemos pensar que o período seria o tempo que a função levaria para executar um ciclo completo, 
ou seja, para voltar a se repetir. A velocidade da função y2=cos(2x) seria o dobro da velocidade da 
função y1=cos(x). Logo, o tempo para que y2=cos(2x) execute um ciclo completo seria metade do 
87
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
tempo necessário para y1=cos(x). Ou seja, se o período de y1=cos(x) é 2π radianos, o período de 
y2=cos(2x) é π radianos.
Vamos construir, no mesmo sistema de eixos, os gráficos de y1=cos(x) e y2=cos(2x). A figura a seguir 
mostra um trecho de uma tabela, em planilha eletrônica, contendo alguns valores dos domínios das 
funções, e as fórmulas inseridas nas células B2 e C2 relacionadas, respectivamente, com as funções 
y1=cos(x) e y2=cos(2x).
Figura 118 – Trecho de tabela com as fórmulas para o cálculo das funções y1=cos(x) e y2=cos(2x)
Os resultados das cópias das fórmulas de B2 até a célula B24 e de C2 até a célula C24 estão ilustrados 
na figura a seguir.
Figura 119 – Valores das funções y1=cos(x) e y2=cos(2x)
Os procedimentos a serem adotados são idênticos aos já praticados: selecionar os dados, clicar na 
aba Inserir, escolher o tipo e subtipo de gráfico, além de nomear o gráfico e os eixos clicando no gráfico 
e em seguida na aba Design.
88
Unidade II
A figura a seguir exibe os gráficos obtidos. Note que a função y2=cos(2x) oscila mais rápido do que 
a função y1=cos(x).
Efeito de uma constante multiplicativa no argumento de funções periódicas
Figura 120 – Gráficos de y1=cos(x) e y2=cos(2x)
O efeito da alteração do período pode ser visualizado melhor se incluirmos no gráfico mais de um 
período. Na figura a seguir, vemos claramente que P1 é o dobro de P2.
Efeito de uma constante multiplicativa no argumento de funções periódicas
Figura 121 – Gráficos de y1=cos(x) e y2=cos(2x) com respectivos períodos
(P1 e P2) assinalados
89
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
 Saiba mais
As funções seno e cosseno são usadas em Física sempre que 
representamos um comportamento oscilatório. No caso de um oscilador 
harmônico simples, sem amortecimento, não há ação de força externa, e a 
posição y(t) do oscilador em função do tempo t pode ser representada por:
y(t)=A.cos(ωt+ϕ),
em que A é a amplitude do movimento, ω é a frequência angular ou 
pulsação e ϕ é a fase inicial. A fase inicial corresponde à posição angular 
do início do movimento, enquanto a frequência angular se relaciona com o 
período P do movimento por ω=2π/P.
As análises que fizemos sobre amplitude e constante multiplicativa no 
argumento de funções periódicas aplicam-se perfeitamente ao caso de 
osciladores.
Para mais detalhes sobre oscilações:
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física. 9. ed. Rio 
de Janeiro: LTC, 2012. v. 2.
8 FUNÇÃO EXPONENCIAL
8.1 Função exponencial de base a
A equação relacionada com uma função exponencial de base a é y(x)=ax. A base a deve ser um 
número real maior que zero e diferente de 1. O domínio da função y(x)=ax é o conjunto dos números 
reais, e a imagem é o conjunto dos números maiores que zero.
Usaremos o Excel para construir o gráfico da função y1(x)=2
x. Na figura a seguir, temos a fórmula 
usada para calcular os valores de y do gráfico, valores estes apresentados na figura seguinte.
90
Unidade II
Figura 122 – Fórmula para o cálculo de y1(x)=2
x
Figura 123 – Valores para elaboração do gráfico de y1(x)=2
x
A figura a seguir ilustra o gráfico da função y1(x)=2
x.
f(x)=2x
Figura 124 – Gráfico de y1(x)=2
x
91
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
Agora, usaremos o Excel para construir o gráfico da função y2(x)=0,5
x. Na figura a seguir, temos a 
fórmula usada para calcular os valores de y do gráfico, valores apresentados em seguida.
Figura 125 – Fórmula para o cálculo de y2(x)=0,5
x
Figura 126 – Valores para elaboração do gráfico de y2(x)=0,5
x
A figura a seguir ilustra o gráfico de y2=0,5
x.
f(x)=0,5x
Figura 127 – Gráfico de y2=0,5
x
92
Unidade II
8.2 Função exponencial de base e
A função exponencial de base e é dada por: y(x)=ex, em que e é o número neperiano, um número 
irracional que vale aproximadamente 2,72.
Para construir o gráfico dessa função, atribua valores para x nas células da coluna A, desde a linha 
2 até a linha 12 e, inserindo a fórmula =EXP(A2) na célula B2, copie a fórmula até a célula B8 (figura 
a seguir).
Figura 128 – Fórmula para o cálculo da função y=ex
Como resultado, temos os pares de valores exibidos a seguir:
Figura 129 – Pares (x,y) da função y=ex
Selecionando o conjunto de valores desde a célula A1 até a célula B12 e com o auxílio do assistente 
de gráfico, construímos o gráfico indicado na figura a seguir:
93
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
f(x)=ex
Figura 130 – Gráfico da função y=ex
 Saiba mais
A função exponencial surge, em Física, quando estudamos oscilações 
amortecidas. A exponencial negativa na expressão a seguir é responsável 
pela queda das oscilações geradas pelo amortecimento. Na expressão, A é 
a amplitude do movimiento, ω a pulsação das oscilações amortecidas, ϕ a 
fase inicial e γ o parâmetro de amortecimento. A posição y(t) do oscilador 
amortecido em função do tempo é:
y(t) = Ae-ytcos(ωt+ϕ)
Essa expressão é válida para um tipo de amortecimento chamado 
amortecimento fraco.
Para mais detalhes e para os demais tipos de amortecimento, consulte:
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física. 9. ed. Rio 
de Janeiro: LTC, 2012. v. 2.
8.3 Função logarítmica
Uma função logarítmica de grande interesse para a Física e para a Engenharia é a função logaritmo 
neperiano, indicada por y(x)=ln(x). Essa função é a inversa de y(x)=ex e seu gráfico é dado na figura a 
seguir. No Excel, atribuindo valor à célula A2, por exemplo, o logaritmo neperiano de A2 será calculado 
em B2 pela fórmula:
=LN(A2)
94
Unidade II
Nessa fórmula, A2 é o argumento da função e, no caso da função logarítmica, deve ser um número 
maior do que zero, excluindo o zero. O domínio da função y=ln(x) é, portanto, o conjunto de valores tais 
que x>0.
f(x)=Ln(x)
Figura 131 – Gráfico de y(x)=ln(x)
Uma aplicação em Física e Engenharia da função exponencial y(x)=ex é o estudo das oscilações 
amortecidas. Oscilações sem amortecimento podem ser representadas por funções seno ou cosseno, de 
amplitude constante. Quando há amortecimento, as oscilações são representadas por seno ou cosseno, 
mas a amplitude cai com a função exponencial de expoente negativo e-x, ou seja:
y(t)=e-t.cos(t)
O gráfico dessa função é representado na figura a seguir:
95
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
Figura 132 – Gráfico de uma função periódica amortecida
Na próxima figura, vemos que a função é um cosseno modulado por uma envoltória do tipo e-t.
Figura 133 – Gráfico de uma função periódica amortecida com e-t como envoltória
96
Unidade II
 Resumo
Uma função y=f(x) é dita linear se ela pode ser representada sob a 
forma y=ax+b, em que a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. 
O coeficiente angular dá a inclinação da reta, enquanto o coeficiente linear 
fornece onde a reta intercepta o eixo y. Se o coeficiente a é positivo, a reta 
é crescente; se o coeficiente a é negativo, a reta é decrescente.
Para que duas ou mais retas sejam paralelas, elas devem ter a mesma 
inclinação e, consequentemente, o mesmo coeficiente angular. Para que 
duas retas sejam perpendiculares, o coeficiente angular de uma deve ser o 
inverso do oposto do coeficiente angular da outra.
Para que uma reta passe pela origem, ela deve ter coeficiente linear nulo.
Ao longo desta unidade, apresentamos gráficos de diversas retas: 
paralelas, perpendiculares e concorrentes na origem.
Uma função y=f(x) é dita uma função do segundograu se pode ser escrita 
da forma y(x)=ax2+bx+c. Seu gráfico é representado por uma parábola. 
O coeficiente a determina a concavidade da parábola: se a é positivo, a 
concavidade é para cima; se a é negativo, a concavidade é para baixo.
De forma similar ao que acontece com a reta, o termo independente da 
variável, nesse caso c, dá o ponto onde a função intercepta o eixo y.
O número de raízes de uma função do segundo grau é obtido pelo 
seu discriminante ∆, calculado como ∆=b2-4ac. No caso de discriminante 
nulo, temos duas raízes reais e idênticas. No caso de discriminante positivo, 
temos duas raízes reais e distintas. No caso de discriminante negativo, não 
temos raízes reais. As raízes são calculadas por:
  b
a2
Apresentamos os procedimentos para a construção de gráficos de 
parábolas usando planilha eletrônica e para o cálculo das raízes e dos 
vértices das funções dessas parábolas.
Já as funções seno e cosseno são funções periódicas de período 2π, 
limitadas no eixo y entre -1 e +1. Uma forma de alterar a amplitude dessas 
funções é multiplicá-las por uma amplitude A, de forma que a função 
97
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
resultante passa a oscilar entre –A e +A. Uma forma de alterar o período 
de oscilação dessas funções é multiplicar o argumento por um valor: 
y(x)=cos(2x) tem a metade do período de y(x)=cos(x).
Foram apresentados, ao longo da unidade, os procedimentos para 
elaborar gráficos de funções seno e cosseno usando planilha eletrônica. 
Também analisamos os efeitos, sobre o gráfico, da amplitude e de uma 
constante multiplicativa no argumento da função.
Uma função exponencial é aquela da forma y(x)=ax. Se a é maior do que 1, a 
função é crescente; se a está contido no intervalo ]0,1[, a função é decrescente.
Uma função f(x) é classificada como função exponencial de base e se 
sua equação pode ser escrita como y(x)=eax. Se a é um número positivo, a 
função é crescente; se a é negativo, a função é decrescente. Funções do 
tipo y=eax cruzam o eixo y em 1, independentemente do valor de a.
A função inversa da exponencial de base e é o logaritmo neperiano ln(x).
Foram apresentados os gráficos de funções exponenciais de expoente 
positivo e negativo e o gráfico da função logaritmo neperiano.
 Exercícios
Questão 1. Sempre que se produz um determinado produto, procura-se determinar o que é 
conhecido como ponto de equilíbrio econômico. Esse ponto indica a quantidade de produtos que, 
vendida a um determinado preço, produz receita suficiente para pagar todas as despesas inerentes à 
fabricação e distribuição dos produtos.
Uma empresa que fabrica equipamentos eletrônicos e que vende cada um por R$ 1.500,00 está 
procurando determinar o ponto de equilíbrio. Na simulação feita para a determinação do custo foi 
encontrada a tabela a seguir:
Tabela 6 
Quantidade (n) Custo (R$)
0 400.000,00
100 500.000,00
500 850.000,00
800 1.150.000,00
1000 1.200.000,00
1300 1.550.000,00
98
Unidade II
Assinale a alternativa que apresenta o gráfico traçado no Excel™ e que mostra o ponto de equilíbrio 
correto:
A) 
0
500.000,00
1.000.000,00
1.500.000,00
2.000.000,00
2.500.000,00
3.000.000,00
40
0
80
0
12
0020
0
60
0
10
00
14
0010
0
50
0
90
0
13
0030
0
70
0
11
0050 45
0
85
0
12
5025
0
65
0
10
5015
0
55
0
95
0
13
5035
0
75
0
11
50
B) 
0
500.000,00
1.000.000,00
1.500.000,00
2.000.000,00
2.500.000,00
40
0
80
0
12
0020
0
60
0
10
00
14
0010
0
50
0
90
0
13
0030
0
70
0
11
0050 45
0
85
0
12
5025
0
65
0
10
5015
0
55
0
95
0
13
5035
0
75
0
11
50
C) 
0
200.000,00
400.000,00
600.000,00
1.000.000,00
800.000,00
1.400.000,00
1.200.000,00
1.800.000,00
1.600.000,00
40
0
80
0
12
0020
0
60
0
10
00
14
0010
0
50
0
90
0
13
0030
0
70
0
11
0050 45
0
85
0
12
5025
0
65
0
10
5015
0
55
0
95
0
13
5035
0
75
0
11
50
99
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
D) 
0
500.000,00
1.000.000,00
1.500.000,00
2.000.000,00
2.500.000,00
40
0
80
0
12
0020
0
60
0
10
00
14
0010
0
50
0
90
0
13
0030
0
70
0
11
0050 45
0
85
0
12
5025
0
65
0
10
5015
0
55
0
95
0
13
5035
0
75
0
11
50
E) 
0
- 500.000,00
500.000,00
1.000.000,00
1.500.000,00
2.000.000,00
40
0
80
0
12
0020
0
60
0
10
00
14
0010
0
50
0
90
0
13
0030
0
70
0
11
0050 45
0
85
0
12
5025
0
65
0
10
5015
0
55
0
95
0
13
5035
0
75
0
11
50
Resposta correta: alternativa B.
Análise das alternativas
A) Alternativa incorreta.
Justificativa: com o valor unitário de venda é possível fazer uma tabela que elenque além do custo 
de produção a receita.
Tabela 7 
Quantidade (n) Custo (R$) Receita (R$)
0 400.000,00 -
100 500.000,00 150.000,00
500 850.000,00 750.000,00
800 1.150.000,00 1.200.000,00
1000 1.200.000,00 1.500.000,00
1300 1.550.000,00 1.950.000,00
100
Unidade II
A receita é linearmente dependente da quantidade, pois ela é o produto da quantidade pelo preço de 
venda. Ou seja, o gráfico dessa função é uma reta, que passa pela origem e termina em R$ 1.950.000,00.
Na alternativa apresentada, nenhuma das retas contém a origem.
B) Alternativa correta.
Justificativa: além do exposto na justificativa da alternativa A, o custo é praticamente linear com 
a quantidade, partindo de R$ 400.000,00 quando a quantidade vendida é zero e terminando em R$ 
1.550.000,00 quando a quantidade vendida é de 1.300 unidades.
Note que a reta azul representa o custo e a vermelha, a receita. Nessa figura o custo e a receita são 
iguais (ponto de equilíbrio) quando a quantidade é de 650 unidades.
C) Alternativa incorreta.
Justificativa: embora a linha que represente a receita contenha a origem e varie linearmente com a 
quantidade, é possível observar que, para uma quantidade de 800 unidades, a receita é de R$ 800.000,00, 
o que indica um preço unitário de R$ 1.000,00.
Observa-se, também, que o gráfico não apresenta ponto de equilíbrio.
D) Alternativa incorreta.
Justificativa: embora a reta que representa a receita esteja correta, a que representa os custos não 
está. Note que no gráfico apresentado o custo é nulo quando a quantidade vendida é igual a zero.
E) Alternativa incorreta.
Justificativa: embora a reta que representa o custo esteja correta, a que representa a receita não 
está. Observe que, para a quantidade igual a zero, a linha que representa a receita apresenta um valor 
negativo.
Questão 2. As instalações hidráulicas são muito importantes nos edifícios residenciais e industriais. 
Normalmente, em um edifício residencial, a água que alimenta os apartamentos provém de uma caixa 
d’água localizada no topo do prédio, que é alimentada por uma bomba hidráulica a partir de outra caixa 
d’água que fica no subsolo. A escolha da bomba e seu ponto de funcionamento são determinados em 
função de duas características conhecidas como vazão (Q) e altura manométrica (Hm).
Suponha que, em uma instalação hidráulica, a vazão (Q) e a altura manométrica (H) da instalação 
estejam relacionadas pelos dados da tabela a seguir:
101
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
Tabela 8 
Q (l/s) H (m)
0 40,0
1 39,9
2 39,8
3 38,1
4 37,0
5 36,5
6 36,0
7 34,8
8 33,5
10 30,0
12 24,0
14 15,0
Para alimentar essa instalação foi escolhida uma bomba hidráulica cuja relação entre a altura 
manométrica (Hm) e a vazão (Q) é:
Hm = 0,55. Q2
Sendo que Q deve ser fornecido em l/s e Hm em metros.
Sabendo que o ponto de funcionamento é aquele em que H = Hm , foi traçado o gráfico, usando o 
Excel, e determinado o ponto de funcionamento que estão representados corretamente na alternativa:
A) 
102
Unidade II
B) 
C) 
103
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
D) 
E) 
Resolução desta questão na plataforma.
104
REFERÊNCIAS
Textuais
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<https://www.wolframalpha.com/>.
106
Exercícios
Unidade I – Questão 1: EXATUS. Banco do Estado do Pará S.A.: Engenheiro eletricista. Prova branca. 
Questão 18. Disponível em: <https://www.exatuspr.com.br/arquivos/1445283548_engenheiro_
eletricista_branca.pdf>. Acesso em: 28 dez. 2016.
107
108
Informações:
www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000