Livro Texto - Unidade 1

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Tópicos de Informática
 
Autoras: Profa. Christiane Mázur Doi
 Profa. Fabíola Mariana Aguiar Ribeiro
Colaboradores: Prof. Pedro Americo Frugoli
 Prof. José Carlos Morilla
Tópicos de Informática
Professoras conteudistas: Christiane Mázur Doi / Fabíola Mariana Aguiar Ribeiro
Christiane Mázur Doi
Possui doutorado em Engenharia Metalúrgica e de Materiais pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo 
– USP (2005), mestrado em Tecnologia Nuclear pelo Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares da USP (1998), 
aperfeiçoamento em Tópicos de Estatística pelo Instituto de Matemática e Estatística da USP (2012), graduação em 
Engenharia Química pelo Centro Universitário da FEI (1992) e licenciatura em Matemática pelo Centro Universitário 
Claretiano (2012). Realizou pesquisas na área de Engenharia Nuclear (com ênfase em Conversão, Enriquecimento e 
Fabricação de Combustível Nuclear) e Engenharia de Materiais (principalmente em Soldagem Branda, com ênfase em 
Meio Ambiente). Tem experiência na produção de materiais didáticos e instrucionais. É autora de diversos livros. Atua, 
desde 1993, no Magistério Superior e é professora titular da Universidade Paulista (UNIP).
Fabíola Mariana Aguiar Ribeiro
Possui doutorado em Astronomia pela USP (2006) e bacharelado em Física, com habilitação em Astronomia, pela USP 
(2001). Fez pós-doutorado em Astronomia na USP de 2006 a 2008. Tem experiência na área de Astronomia e realizou 
pesquisa nos seguintes temas: variáveis cataclísmicas, discos de acréscimo, flickering e tomografia Doppler, incluindo a 
simulação de discos de acréscimo com vento e flickering. É professora titular da Universidade Paulista (UNIP). 
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
D657t Doi, Christiane Mázur.
Tópicos de informática. / Christiane Mázur Doi, Fabíola Mariana 
Aguiar Ribeiro. – São Paulo: Editora Sol, 2020.
108 p., il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ISSN 1517-9230.
1. Expressões numéricas. 2. Matrizes. 3. Funções. I. Ribeiro, 
Fabíola Mariana Aguiar. II. Título.
CDU 681.3
U504.88 – 20
Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcello Vannini
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Rose Castilho
 Elaine Pires
Sumário
Tópicos de Informática
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................8
Unidade I
1 EXPRESSÕES NUMÉRICAS ..............................................................................................................................9
1.1 Cálculos algébricos .................................................................................................................................9
1.2 Operadores aritméticos .........................................................................................................................9
1.3 Planilhas, células e fórmulas ............................................................................................................ 10
1.4 Funções matemáticas ......................................................................................................................... 12
2 FÓRMULAS E APLICAÇÕES........................................................................................................................... 15
2.1 Fórmulas e aplicações ......................................................................................................................... 15
2.1.1 Aplicação 1 ................................................................................................................................................ 15
2.1.2 Aplicação 2 ................................................................................................................................................ 16
2.1.3 Aplicação 3 ................................................................................................................................................ 18
2.1.4 Aplicação 4 ................................................................................................................................................ 19
2.1.5 Aplicação 5 ................................................................................................................................................ 22
3 MATRIZES ........................................................................................................................................................... 24
3.1 Definição .................................................................................................................................................. 24
3.2 Soma de matrizes ................................................................................................................................. 25
3.3 Multiplicação de um escalar por uma matriz ........................................................................... 27
3.4 Multiplicação de matrizes................................................................................................................. 30
4 FUNÇÕES ............................................................................................................................................................ 32
4.1 Definição .................................................................................................................................................. 32
4.2 Elaboração de gráficos na planilha eletrônica ......................................................................... 33
Unidade II
5 FUNÇÃO DO 1º GRAU .................................................................................................................................... 49
5.1 Definição .................................................................................................................................................. 49
5.2 Retas que passam pela origem ....................................................................................................... 50
5.3 Retas paralelas ....................................................................................................................................... 51
5.4 Retas perpendiculares ........................................................................................................................ 52
5.5 Exemplos .................................................................................................................................................. 53
6 FUNÇÃO DO 2º GRAU .................................................................................................................................... 61
6.1 Equação e gráfico ................................................................................................................................. 61
6.2 Raízes da função do 2º grau ............................................................................................................61
6.3 Vértice da parábola .............................................................................................................................. 62
6.4 Cálculos das raízes e do vértice usando planilha eletrônica .............................................. 63
6.5 Construção de gráficos de parábolas ........................................................................................... 65
6.6 Funções do tipo y=a.x2 ....................................................................................................................... 67
6.7 Efeito do coeficiente c em parábolas do tipo y=ax2+c ......................................................... 70
6.8 Efeito do coeficiente b em parábolas do tipo y=ax2+bx ...................................................... 71
7 FUNÇÕES SENO E FUNÇÃO COSSENO .................................................................................................... 74
7.1 Circunferência trigonométrica ....................................................................................................... 74
7.2 Gráfico da função y(x)=cos(x) ......................................................................................................... 75
7.3 Gráfico da função y(x)=sen(x) ......................................................................................................... 80
7.4 Variações na amplitude ..................................................................................................................... 84
7.5 Variações no período .......................................................................................................................... 86
8 FUNÇÃO EXPONENCIAL ................................................................................................................................ 89
8.1 Função exponencial de base a ........................................................................................................ 89
8.2 Função exponencial de base e ........................................................................................................ 92
8.3 Função logarítmica .............................................................................................................................. 93
7
APRESENTAÇÃO
Caro aluno,
Este livro-texto é uma introdução ao uso de planilhas eletrônicas, ferramentas importantes para 
profissionais de quaisquer áreas do conhecimento. Além de explicações sobre a utilização das planilhas, 
são apresentados conceitos básicos de matemática, como funções, para ilustrar o uso dessas ferramentas.
Em resumo, as planilhas são ferramentas rápidas e práticas para a execução de cálculos e para a 
elaboração de gráficos, com aplicações no dia a dia, como a preparação de uma tabela de gastos mensais 
ou de um orçamento doméstico.
A planilha eletrônica recebe esse nome por ter uma tabela como sua estrutura fundamental. Nessa 
tabela, as linhas são identificadas por letras e as colunas são identificadas por números: o cruzamento 
dessas duas informações fornece o endereço de uma célula. Isso é importante, pois permite que sejam 
feitos tanto cálculos diretos quanto referências a outras células da planilha.
O primeiro programa de planilha eletrônica foi desenvolvido em 1978 por dois estudantes de Harvard, 
Bricklin e Frankston, com objetivo de automatizar os cálculos feitos no quadro negro pelo professor e, 
assim, minimizar o tempo gasto no processo. O nome desse primeiro programa de planilha eletrônica é 
Visicalc e a sua estrutura reproduzia os cálculos feitos no quadro negro pelo professor dos dois estudantes.
Em 1983, houve o lançamento do programa de planilhas Lotus 123, que, além de gerar gráficos, 
funcionava como uma estrutura de banco de dados para armazenar, acessar e manipular informações.
Em 1985, a Microsoft lançou o Excel, hoje parte do pacote Office, que é o programa de planilhas 
mais popular do mercado. A primeira versão do Excel foi desenvolvida para o sistema operacional 
Machintosh. Em 1987, foi lançada a primeira versão do Excel para o sistema operacional Windows. Hoje, 
o Excel é disponível inclusive para dispositivos móveis, como tablets e celulares. O Excel é um programa 
proprietário, de código fechado.
Em 1999, a Star Division lançou o StarOffice, um pacote de ferramentas de escritório que também continha 
um ambiente de planilhas eletrônicas. O código foi comprado pela Sun, que lançou, em 2000, um pacote de 
ferramentas de escritório chamado OpenOffice. A primeira distribuição do programa, gratuito e de código 
aberto, foi em 2001. O OpenOffice, além de gratuito, é multiplataforma e apresenta versões para sistemas 
operacionais Windows, Unix, Solaris, Linux e Mac. No Brasil, o OpenOffice é conhecido como BrOffice.
Os programas de planilhas Excel e OpenOffice necessitam de instalação em uma máquina. Já o 
Google Sheets (Google planilhas) opera diretamente na nuvem, tem integração com o Excel, permite o 
compartilhamento de documentos e é gratuito.
Antes era necessário um computador com um programa de planilhas instalado para a reprodução 
dos exemplos que trataremos neste material. Hoje, você pode estudar os exemplos usando um celular 
ou um tablet com acesso às planilhas eletrônicas.
8
INTRODUÇÃO
Os tópicos abordados neste livro-texto são divididos em duas partes.
Inicialmente, apresentaremos uma planilha eletrônica com a definição dos seus componentes 
fundamentais: células, linhas e colunas. Mostraremos a forma com que fórmulas devem ser inseridas na 
planilha para a realização de cálculos numéricos. Como aplicação, exemplificaremos o uso de planilhas 
eletrônicas para operações de matrizes: adição, multiplicação por um escalar e multiplicação de matrizes. 
Apresentaremos, também, o emprego de planilhas eletrônicas para a elaboração de gráficos de funções.
Na segunda parte, seguiremos com gráficos de funções lineares, com a determinação de coeficientes 
lineares e angulares dessas funções. Trataremos de funções de segundo grau, explorando o papel dos 
coeficientes da equação na concavidade do gráfico. Passaremos, então, para funções trigonométricas, 
fundamentais no estudo de fenômenos oscilatórios. Usaremos planilhas para elaborar os gráficos das 
funções seno e cosseno, analisando o papel da amplitude e do período dessas funções. Finalizaremos a 
parte de estudo de funções usando planilhas eletrônicas com a função exponencial, de base qualquer e 
de base e, além de sua inversa, a função logarítmica.
9
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
Unidade I
1 EXPRESSÕES NUMÉRICAS
1.1 Cálculos algébricos
O problema de fazermos cálculos à mão é que podemos levar um tempo considerável se tais 
cálculos forem complexos e, ainda, estamos sujeitos a erros. Para a resolução desses problemas, usamos 
computadores para executar cálculos, principalmente os repetitivos. Os computadores fazem os cálculos 
mais rapidamente do que um ser humano, não sofrem desgastes com tarefas longas e repetitivas e, 
além disso, não erram. Nesse curso, vamos usar a planilha eletrônica como ferramenta de cálculo. São 
programas de planilha eletrônica: o Microsoft Excel (parte do pacote Office); o Calc (parte do pacote 
LibreOffice); Planilhas Google (parte do Documentos Google). Nos exemplos citados neste material, 
utilizaremos o programa Microsoft Excel, do pacote Office 2013, para a elaboração das planilhas.
 Saiba mais
Para saber mais sobre o pacote LibreOffice e Planilhas Google – e até 
mesmo realizar o download para instalação –, acesse, respectivamente:
<https://pt-br.libreoffice.org>.
<https://www.google.com/sheets/about>.
1.2 Operadores aritméticos
Os principais operadores aritméticos usados quando realizamos cálculo em planilha eletrônica estão 
listados no quadro a seguir:
Quadro 1 – Operadores algébricos e símbolos
Operador Algébrico Símbolo
Adição +
Subtração -
Multiplicação *
Divisão /
Exponenciação ^
10
Unidade I
As prioridades de cálculo são as mesmas das expressões matemáticas: calculam-se, inicialmente, as potências; 
em seguida,calculam-se as multiplicações e divisões; e, por último, calculam-se as adições e subtrações. Para 
alterar essa prioridade de execução em cálculos manuais, usam-se os parênteses, chaves e colchetes. Em uma 
planilha eletrônica, usamos apenas parênteses, não usamos chaves e colchetes nos cálculos.
Por exemplo, considere a seguinte expressão matemática:
5.5+5
Nessa expressão, primeiro calculamos a multiplicação (5.5=25) e, em seguida, somamos 5 a esse 
resultado parcial (25+5=30), já que a multiplicação é calculada antes da adição. Considere agora a 
seguinte equação:
5.(5+5)
Nessa expressão, devemos calcular primeiro o que está entre parênteses, respeitando a ordem de 
cálculo dentro deles. Como temos apenas uma operação, vamos calcular o seu resultado (5+5=10). Em 
seguida, multiplicamos esse resultado parcial por 5 (5.10=50). Note que o resultado obtido pelo cálculo 
das duas expressões é diferente. O uso ou não de parênteses é fundamental para obtermos o resultado 
correto usando planilhas eletrônicas ou em cálculos matemáticos.
1.3 Planilhas, células e fórmulas
O ambiente no qual trabalhamos no Excel, por exemplo, é uma planilha eletrônica, composta 
por 16.777.216 células, divididas em 65.536 linhas e 256 colunas. Cada célula é identificada pelo seu 
“endereço”, composto por uma combinação de coluna e linha, nessa ordem. Na figura a seguir, por 
exemplo, está marcada em amarelo a primeira célula da planilha, de endereço A1. Essa célula encontra-se 
na coluna A e na linha 1.
Figura 1 – Identificação da célula de endereço A1
Para calcularmos o resultado de uma expressão numérica, devemos inserir uma “fórmula” na célula. 
A digitação de uma fórmula deve iniciar com o sinal de igual (=). Caso a fórmula não se inicie com o 
sinal de igual, a planilha não realizará o cálculo da expressão. Por exemplo, para exibir o resultado da 
seguinte expressão na célula A1:
53+2.7-3-8.(4/5-6/7)
11
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
Devemos digitar, nessa mesma célula, a fórmula:
=5^3+2*7^-3-8*(4/5-6/7)
Note que a fórmula foi reescrita utilizando os operadores algébricos adequados para a planilha eletrônica.
Figura 2 – Exemplo de fórmula inserida na célula A1
Ao acionar a tecla <enter>, o resultado exibido em A1 será 125,46, conforme ilustrado na figura a seguir.
 Observação
Sempre que fizermos referência a alguma tecla do teclado do computador, 
indicaremos o nome da tecla entre <>. Logo <enter> significa que se deve 
pressionar a tecla correspondente e não digitar a expressão <enter>.
Figura 3 – Resultado da fórmula inserida na célula A1
Nas figuras a seguir temos outros exemplos de fórmulas digitadas em células de planilha eletrônica 
e os respectivos resultados.
Figura 4 – Exemplo de fórmula inserida na célula A5
12
Unidade I
Figura 5 – Resultado da fórmula inserida na célula A5
Figura 6 – Exemplo de fórmula inserida na célula B9
Figura 7 – Resultado da fórmula inserida na célula B9
No quadro que apresentaremos a seguir, encontram-se algumas expressões numéricas e suas 
respectivas fórmulas. Note que uma pequena alteração no uso de parênteses na fórmula corresponde a 
uma grande diferença na expressão numérica e, consequentemente, no resultado do cálculo.
1.4 Funções matemáticas
Nos cálculos realizados em Física, não nos limitamos aos operadores algébricos. Quando estudamos 
oscilações, projeções de forças ou movimento de sólidos, por exemplo, usamos funções trigonométricas. 
Algumas dessas funções matemáticas estão representadas no quadro a seguir.
Quadro 2 – Funções matemáticas
Função Sintaxe
Cosseno COS(argumento)
Seno SEN(argumento)
Exponencial de base e EXP(argumento)
Logaritmo neperiano LN(argumento)
O argumento pode ser um número ou uma referência a uma célula (à qual esteja atribuído um valor 
numérico). No caso das funções trigonométricas, o argumento deve ser um ângulo em radianos. Caso 
13
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
seja necessário usar o número π em planilhas eletrônicas, ele deverá ser representado pela função PI(). 
Lembre-se de que π é um número irracional que vale aproximadamente 3,14.
A forma correta de representar a função exponencial na planilha eletrônica é a função EXP(argumento).
 Saiba mais
O número de Euler, indicado por e, é um número irracional que tem 
valor aproximado de 2,41. A função logaritmo neperiano y=ln(x) é a inversa 
da função y=ex.
Mais informações sobre o número de Euler e logaritmo neperiano 
podem ser obtidas em:
POMMER, W. M. O número de Euler: possíveis abordagens no ensino 
básico. Seminários de Ensino de Matemática (SEMA-FEUSP), São Paulo, ago. 
2010. Disponível em: <http://stoa.usp.br/wmpommer/files/3812/20210/
CO+2010+1sem+SEMAFEUSP+O+n%C3%BAmero+de+Euler.pdf>. Acesso 
em: 21 dez. 2016.
SODRÉ, U. Elementos de matemática: funções exponenciais e 
logarítmicas. Londrina: UEL, 2007. (Roteiro n. 4). Disponível em: <http://
www.uel.br/projetos/matessencial/superior/elementos/elementos04.pdf>. 
Acesso em: 27 dez. 2016.
Como exemplo, calcularemos o valor da seguinte expressão utilizando recursos do Excel:
15.{[7.cos(π/3)+24].[1/6–4/5]+2/7}
Podemos inserir, na célula A3, a fórmula:
=15*((7*COS(PI()/3)+2^4)*(1/6-4/5)+2/7)
Figura 8 – Exemplo de expressão numérica no Excel
14
Unidade I
Acionando a tecla <enter>, a planilha realiza o cálculo e exibe o resultado da expressão, ou seja, 
-180,96.
Na tabela a seguir, temos alguns exemplos de expressões numéricas e as fórmulas a serem digitadas 
em células do Excel para o cálculo. Alguns parênteses foram coloridos para facilitar a visualização de 
qual expressão está entre parênteses.
Tabela 1 – Exemplos de fórmulas de expressões numéricas
Expressão Numérica Fórmula na planilha
sen(3+2) =SEN(3+2)
sen(5.π) =SEN(5*PI())
sen(5).π =SEN(5)*PI()
12.sen(35-43) =12*(SEN(3^5-4^3))
cos(cos(2+4)) =COS(COS(2+4))
cos2(3)+sen2(4) =(COS(3))^2+(SEN(4))^2
sen( )
( )
2
3cos
=(SEN(2)/COS(3))^(1/2)
cos( )π4 =(COS(PI()))^(1/4)
3.e2+4 =3*EXP(2)+4
3.e2+4 =3*EXP(2+4)
Ln(5) =LN(5)
Ln(5+42) =LN(5+4^2)
ecos(ln(3)) =EXP(COS(LN(3))
5.e3+7 =5*EXP(3)+7
e2 3
32
+
=((EXP(2+3))/2^3)^(1/2)
ee2 =EXP(EXP(2))
2.[35.(1/6-10)-Ln5] =2*(3^(5*(1/6-10))-LN(5))
2.[35.(1/6-10)-Ln5] =2*(3^5*(1/6-10)-LN(5))
2.35.(1/6-10)-Ln5 =2*3^5*(1/6-10)-LN(5)
1 2 13+ + =(1+2^(1/3))^(1/2)+1
1 2 13+ + =(1+2^(1/3)+1)^(1/2)
1 2 13+ + =(1+2^(1/3+1))^(1/2)
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TÓPICOS DE INFORMÁTICA
2 FÓRMULAS E APLICAÇÕES
2.1 Fórmulas e aplicações
Nos exemplos a seguir, trataremos de algumas aplicações de fórmulas em planilhas eletrônicas.
2.1.1 Aplicação 1
Considere que o valor do lado de um quadrado, em cm, é dado. Construa uma planilha que calcule 
a área desse quadrado, em cm2.
Primeiro, precisamos pensar na solução do problema e montar a equação para o cálculo da solução. 
A área de um quadrado é calculada pelo valor do lado elevado ao quadrado ou, ainda, pelo valor do lado 
multiplicado por ele mesmo.
 Saiba mais
É útil saber como calcular áreas de figuras geométricas simples.
A área de um retângulo é o produto do comprimento de sua base por 
sua altura. Podemos considerar o quadrado como o caso particular de um 
retângulo de base e altura iguais.
A área de um triângulo pode ser calculada da seguinte forma: considere 
um retângulo e trace uma diagonal ligando duas extremidades opostas 
da figura. Vemos, então, que um retângulo é formado por dois triângulos 
idênticos, ou seja, a área do triângulo é metade da área do retângulo. Logo, 
a área do triângulo é metade do produto da sua base pela sua altura.
Outra figura geométrica bastante frequente em Engenharia é o círculo. 
A área do círculo de raio R é calculada como π.R2.
Para mais detalhes, consulte:
DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de Matemática Elementar: 
geometria plana. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013. v. 9.
Um exemplo de planilha para esse problema está na figura a seguir. Note que o valor do lado deverá 
ser inserido na célula ao lado da expressão “Lado do quadrado (cm)”.
16
Unidade I
Figura 9 – Área de um quadrado
Para resolvermos a aplicação, devemosadotar o seguinte procedimento:
• Inserir na célula B3 o valor do lado do quadrado, por exemplo, 5, referente a 5 cm.
• Inserir a fórmula para o cálculo da área do quadrado =B3^2 na célula B5 (vide figura a seguir) e 
acionar a tecla <enter> para visualizar o resultado da área do quadrado.
Observe que a entrada de dados para o cálculo é feita na célula B3 (no caso, 5, referente a 5 cm) e a 
saída de dados é feita na célula B5 (no caso, 25, referente a 25 cm2). Se alterarmos o número associado 
com B3, teremos automaticamente a atualização do resultado exibido em B5.
Figura 10 – Fórmula para cálculo da área de um quadrado
2.1.2 Aplicação 2
Dados os valores do raio (em cm) e da altura (em cm) de um cilindro, elabore uma planilha que 
calcule a área lateral desse cilindro (em cm2).
A área lateral de um cilindro é calculada pelo produto entre o valor do perímetro da circunferência 
de sua base e a altura, ou seja, A=(2π.R).h.
17
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
Figura 11 – Área lateral de um cilindro
 Saiba mais
Para calcularmos o volume de sólidos simples, podemos pensar 
no produto da área da base pela altura. Os sólidos mais frequentes em 
Engenharia são o paralelepípedo, o cilindro e a esfera.
O volume do paralelepípedo de base de comprimento a, profundidade 
b e altura h é calculado pela área da base multiplicada pela altura, ou seja, 
a área é a.b.h.
O cilindro é um sólido de base circular. Logo, para um cilindro de base 
de raio R e altura h, seu volume é calculado por π.R2.h.
O volume de uma esfera de raio R é calculado por (4/3)π.R3.
Para mais detalhes, consulte:
DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de Matemática Elementar: 
geometria espacial. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013. v. 10.
Para resolvermos a aplicação, podemos utilizar o seguinte formato de planilha:
Figura 12 – Área lateral de um cilindro
18
Unidade I
Para essa aplicação, devemos adotar os procedimentos a seguir:
• Inserir na célula B3 o valor do raio da base do cilindro, por exemplo, 5 (cm).
• Inserir na célula B4 (que representa o valor da altura do cilindro), por exemplo, 10 (cm).
• Inserir a fórmula =2*PI()*B3*B4 na célula B6 e acionar a tecla <enter> para visualizar o resultado 
da área lateral do cilindro (o resultado será 314,16cm2).
Figura 13 – Cálculo da área lateral de um cilindro
2.1.3 Aplicação 3
Dado o valor de um ângulo em graus, elaborar uma planilha que calcule o seno e o cosseno desse ângulo.
Podemos utilizar o seguinte formato de planilha:
Figura 14 – Seno e cosseno de um ângulo
Para solucionar o problema da aplicação, devemos adotar os procedimentos a seguir:
• Inserir na célula B3 o valor de um ângulo, em graus, por exemplo, 60. Note que o símbolo de graus 
não deve ser inserido com o valor numérico. Se desejar, pode incluir o símbolo na célula ao lado, 
nesse caso, a célula C3.
• Inserir a fórmula =COS(B3*PI()/180) na célula B5. Acionar a tecla <enter> para visualizar o 
resultado do cosseno do ângulo, que, no caso, será 0,50.
19
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
• Inserir a fórmula =SEN(B3*PI()/180) na célula B6. Acionar a tecla <enter> para visualizar o 
resultado do cosseno do ângulo, que, no caso, será 0,87.
Figura 15 – Cálculo do cosseno de um ângulo
 Saiba mais
As funções seno e cosseno são funções matemáticas periódicas de 
período 2π, ou seja, a cada 2π radianos, os valores obtidos no cálculo das 
funções voltam a se repetir. Essas funções apresentam resultados limitados 
entre -1 e +1. A diferença entre as funções seno e cosseno é apenas uma 
diferença de fase de π/2. Veremos os gráficos dessas funções mais à frente.
As funções seno e cosseno são utilizadas em diversas áreas da Física, 
principalmente no estudo de oscilações, sejam elas mecânicas (pêndulo, 
sistema massa-mola etc.) ou eletromagnéticas (ondas eletromagnéticas, 
tensão alternada etc.).
Para mais detalhes, consulte:
DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de Matemática Elementar: 
trigonometria. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013. v. 3.
2.1.4 Aplicação 4
Dados dois números reais a e b, faça uma planilha que retorne a soma desses números se a for maior 
que b e o produto deles, caso essa condição não seja satisfeita.
O primeiro passo é esquematizar o problema:
• Se a>b → retorna a+b
• Caso contrário → retorna a*b
20
Unidade I
Segue um exemplo de planilha para essa aplicação:
Figura 16 – Planilha para cálculo da aplicação
Os valores de a e b devem ser inseridos, respectivamente, nas células B3 e B4. O resultado será 
mostrado na célula B6. A fórmula a ser inserida na célula B6 para o cálculo do resultado utiliza a função 
SE() do Excel:
• A condição a ser usada é B3>B4 (ou seja, a>b).
• Caso a condição retorne valor verdadeiro, a fórmula a ser calculada é B3+B4 (ou seja, a+b).
• Caso a condição retorne valor falso, a fórmula a ser calculada é B3*B4 (ou seja, a*b).
A fórmula da célula B6 é, portanto:
=SE(B3>B4; B3+B4; B3*B4)
A figura a seguir mostra a planilha com valores a=1, b=2 e a fórmula da célula B6. Note que, ao 
clicarmos na fórmula inserida, surge um quadro com a estrutura do comando SE().
Figura 17 – Planilha para aplicação com fórmula usando função SE()
O resultado do cálculo para a=1 e b=2 está na figura a seguir. Nesse caso, como a>b retorna valor 
falso, esperamos que a planilha retorne o produto dos dois números, ou seja, 1x2=2.
21
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
 Observação
É importante sempre testar se a planilha está correta e retorna o 
resultado esperado. No caso da função SE(), é necessário testar todas as 
possibilidades, tanto quando o teste retorna verdadeiro como quando 
retorna falso.
Figura 18 – Resultado da aplicação para a=1 e b=2
Para testarmos o caso em que a condição retorna valor verdadeiro, basta invertermos os valores de 
entrada, ou seja, basta usarmos a=2 e b=1. Nesse caso, a condição a>b retorna verdadeiro e é calculada 
a soma dos dois números, ou seja, 1+2=3. A figura a seguir mostra que esse resultado esperado foi 
obtido na planilha.
Figura 19 – Resultado da aplicação para a=2 e b=1
Será que podemos usar uma função SE() dentro de outra função SE()? Vejamos um caso desse tipo 
na aplicação a seguir.
22
Unidade I
 Saiba mais
A função SE(), em planilhas eletrônicas, é um exemplo de estrutura 
condicional, fundamental em qualquer linguagem de programação.
Saiba mais sobre estruturas condicionais em:
MATTOS, C. Estruturas condicionais no C#. Linha de Código, 2016. 
Disponível em: <http://www.linhadecodigo.com.br/artigo/2286/estruturas- 
condicionais-no-csharp.aspx>. Acesso em: 27 dez. 2016.
MANZANO, J. A. N. G.; OLIVEIRA, J. F. Algoritmos: lógica para 
desenvolvimento de programação. 4. ed. São Paulo: Érica, 2004.
2.1.5 Aplicação 5
Dados dois números a e b, caso a>b desejamos calcular o triplo da soma desses dois números, caso 
contrário, e se a for positivo, desejamos calcular ab, senão desejamos calcular a-b.
Primeiro, precisamos esquematizar o problema:
• Se a>b → calculamos 3*(a+b), o triplo da soma.
• Caso contrário:
— se a≥0 → calculamos ab;
— senão calculamos a-b.
Note que temos um condicional dentro de outro condicional, ou seja, uma função SE() dentro de 
outra função SE(), mais precisamente na parte em que é especificado o que fazer quando a primeira 
condição é falsa.
A planilha para a resolução dessa aplicação é similar à planilha anterior e está representada na figura 
a seguir.
23
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
Figura 20 – Planilha para aplicação
A fórmula a ser inserida na célula B6 (com o segundo condicional em vermelho) é a seguinte.
=SE(B3>B4; 3*(B3+B4); SE(B3>=0; B3^B4; B3-B4))
Vamos atribuir os valores a=2 e b=1.
Figura 21 – Fórmula para cálculo da aplicação
O resultado obtido para a=2 e b=1 é mostrado na figura a seguir. Nesse caso, a primeira condição (a>b) 
é satisfeita, e a planilha deve retornar o triplo da soma, ou seja, 3.(2+1)=9, conforme mostrado na planilha.
Figura 22 – Resultado da aplicação para a=2 e b=1
24
Unidade I
Devemos testar também os demais casos. Fazendo a=1 e b=2, o primeiro teste retorna falso ecaímos no segundo condicional, marcado em vermelho na fórmula. Nesse caso, a≥0 retorna verdadeiro 
e esperamos como resultado ab=12=1, o que foi obtido com a planilha:
Figura 23 – Resultado da aplicação para a=1 e b=2
Para cairmos no caso em que ambos os testes dão negativo, basta escolhermos a=-1 e b=2, por 
exemplo. Nesse caso, a>b retorna falso, caímos no segundo condicional e a≥0 também retorna falso, 
logo, devemos calcular a-b=-1-2=-3. Esse resultado foi obtido com a planilha:
Figura 24 – Resultado da aplicação para a=-1 e b=2
 Lembrete
É sempre importante testar se a planilha está correta e retorna o 
resultado esperado. No caso de uso da função SE(), é necessário testar todas 
as possibilidades: quando o teste retorna verdadeiro e quando retorna falso.
3 MATRIZES
3.1 Definição
Uma matriz de ordem m x n (lê-se “m” por “n”) é uma tabela de números reais dispostos em m linhas 
e n colunas. Cada número é um elemento da matriz e é identificado pela sua posição (linha e coluna). Por 
exemplo, a matriz A representada a seguir é uma matriz de ordem 3 x 2, pois tem 3 linhas e 2 colunas.
25
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
A=
0 2
1 1
2 4 3 2









x
O elemento da primeira linha e da primeira coluna da matriz A é o número 0, o elemento da primeira 
linha e da segunda coluna é o número 2, e assim por diante. O elemento na primeira linha e primeira 
coluna de uma matriz é representado por a11, o elemento da primeira linha e segunda coluna é a12, já o 
elemento da segunda linha e primeira coluna é a21. Um elemento qualquer da matriz A é indicado por 
aij, sendo i=1,2,3,...m a linha e j=1,2,3,...,n a coluna. De forma geral, temos:
A= 
a a a a
a a a a
a a a a
a
n
n
n
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . . .
. . . .
mm m m mxn mxn
a a a1 2 3 . . .
.




















3.2 Soma de matrizes
A soma de duas matrizes A e B somente é possível quando A e B são de mesma ordem. O resultado 
é uma matriz da mesma ordem de A e de B. Se A e B são matrizes de ordem m x n, então C=A+B 
é uma matriz de ordem m x n, em que cada elemento da matriz C=A+B é a soma dos elementos 
correspondentes de A e de B. Ou seja, C= A+B ↔ cij=aij+bij.
Por exemplo, considere as seguintes matrizes A e B.
A 




1 2
3 4
, B 




5 0
2 4
A soma das matrizes A e B é dada por:
A B 
 
 









1 5 2 0
3 2 4 4
6 2
5 8
Utilizando recursos da planilha eletrônica, o procedimento é o seguinte:
• Digitar os elementos das matrizes A e B, por exemplo, nas células C4, D4, C5, D5 e G4, H4, G5, H5 
(figura 25).
26
Unidade I
• Introduzir a fórmula =C4+G4 na célula C7 (figura 26).
• Copiar a fórmula em C7 para C8, D7 e D8 (figura 27).
Figura 25 – Digitação dos elementos das matrizes A e B
Figura 26 – Inserção de fórmula em C7
Figura 27 – Cópia da fórmula em C7 para as demais células da matriz
Quando copiamos a fórmula em C7 para C8, D7 e D8, ocorre a atualização dos endereços de células no 
deslocamento de posições “para a direita e para baixo”. A figura a seguir mostra os resultados numéricos 
correspondentes aos elementos da matriz A+B.
 Observação
Uma forma de copiar a fórmula de uma célula para a célula vizinha 
é clicar sobre a célula, clicar no quadrado que aparece no canto inferior 
(figura 29) e arrastar até atingir o número de células necessário. Note que a 
referência às células das fórmulas obtidas dessa forma também é alterada.
27
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
Figura 28 – Matriz C=A+B
Figura 29 – Visão de uma célula após ser clicada
3.3 Multiplicação de um escalar por uma matriz
Dada uma matriz A de ordem m x n e um escalar c (número real), os elementos da matriz B=c.A são 
obtidos pelo produto do número c por cada elemento da matriz A, ou seja, bij=c.aij.
Considere a matriz A 




1 2
3 4
 e o escalar c=3. A matriz B=c.A é calculada por:
B c A 














. .
. .
. .
3
1 2
3 4
3 1 3 2
3 3 3 4
3 6
9 12
Utilizando os recursos de uma planilha eletrônica, o procedimento é o seguinte:
• Digitar os elementos da matriz A, por exemplo, nas células C2, D2, C3 e D3 e o escalar c na célula 
G2 (figura 30).
• Introduzir a fórmula =$G$2*C2 na célula C6 (figura 31).
• Copiar a fórmula de C2 para as células vizinhas (figura 32).
Figura 30 – Elementos da matriz A e escalar c
28
Unidade I
Figura 31 – Inserção de fórmula em C6
Figura 32 – Cópia da fórmula de C6 para as células vizinhas
Quando copiamos uma fórmula em uma planilha, ocorre uma “atualização” nas referências usadas 
nas fórmulas devido ao deslocamento de posições “para a direita” e “para baixo”. Aqui, nesse exemplo, 
não desejamos isso com o escalar, já que as células vizinhas estão vazias e o cálculo não retornaria o 
valor correto. Para evitar esse problema, usa-se o recurso da referência absoluta, colocando o símbolo $ 
antes da linha e da coluna da referência que não desejamos deslocar.
A figura a seguir mostra os resultados numéricos (elementos da matriz B).
Figura 33 – Matriz B=c.A
Podemos efetuar a soma de produtos de matrizes por escalares. Para exemplificar essa operação, 
considere as matrizes D e E a seguir.
D= 










3 1
5 1
2 0
 e E= 
 










2 6
5 1
2 8
29
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
A matriz F=2.D-5.E é calculada por
F=2.D-5.E=
2 3 5 2 2 1 5 6
2 5 5 5 2 1 5 1
2 2 5 2 2 0
.( ) .( ) . .( )
.( ) .( ) .( ) .
. .( ) .
    
   
  








 









5 8
4 32
35 7
14 40.
Utilizando os recursos da planilha eletrônica, o procedimento é:
• Digitar os elementos das matrizes D e E, por exemplo, nas células C2, C3, C4, D2, D3, D4, G2, G3, 
G4, H2, H3 e H4 (figura 34).
• Introduzir a fórmula =2*D19-5*H19 na célula C6 (figura 35).
• Copiar a fórmula em C6 para C7, C8, D6, D7 e D8 (figura 36).
Figura 34 – Digitação dos elementos das matrizes D e E
Figura 35 – Inserção de fórmula em C6
Figura 36 – Cópia da fórmula em C6 para C7, C8, D6, D7 e D8
Quando copiamos a fórmula em C6 para C7, C8, D6, D7 e D8 ocorre uma atualização dos endereços 
de células no deslocamento de posições “para a direita” e “para baixo”. A figura a seguir mostra os 
resultados numéricos correspondentes aos elementos da matriz F.
30
Unidade I
Figura 37 – Matriz F=2.D-5.E
3.4 Multiplicação de matrizes
O produto da matriz A de ordem m x n pela matriz B de ordem n x p é a matriz C=A.B de ordem m 
x p. Em outras palavras: o produto das matrizes A e B somente é possível se o número de colunas da 
matriz A for igual ao número de linhas da matriz B. Os elementos da matriz C são dados por:
c a b a b a bik ij jk i k in nk
j
n
     

 . ...1 1
1
Para entender o procedimento de multiplicação de matrizes, considere as matrizes J e K a seguir:
J= 
1 5 1
2 3 0




 e K=








1 1
2 1
1 0
A multiplicação de matrizes é feita da seguinte forma: para obter o primeiro elemento da multiplicação 
(primeira linha e primeira coluna), multiplicamos o primeiro elemento da primeira linha da primeira 
matriz com o primeiro elemento da primeira coluna da segunda matriz, somamos com o produto do 
segundo elemento da primeira linha da primeira matriz com o segundo elemento da primeira coluna da 
segunda matriz, sucessivamente, até completar a primeira linha da primeira matriz e a primeira coluna 
da primeira matriz. Para os demais elementos, o processo é análogo, mas alteramos as linhas e colunas.
A matriz L=J.K é o produto da matriz J pela matriz K e é dado por:
L J K 












. .
1 5 1
2 3 0
1 1
2 1
1 0

         
     
1 1 5 2 1 1 1 1 5 1 1 0
2 1 3 2 0 1 2 1 3 1 0 0
. . . . . .
. . . . . .







8 6
4 5
31
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
Utilizando recursos da planilha eletrônica, o procedimento é:
• Digitar os elementos das matrizes J e K, por exemplo, nas células C2, D2, E2, C3, D3, E3para a 
matriz J e H1, I1, H2, I2, H3, I3 para os elementos da matriz K (figura 38).
• Introduzir as fórmulas:
— C2*H1+D2*H2+E2*H3 na célula C6 (figura 39);
— C2*I1+D2*I2+E2*I3 na célula D6;
— C3*H1+D3*H2+E3*H3 na célula C7;
— C3*I1+D3*I2+E3*I3 na célula D7.
Figura 38 – Digitação dos elementos das matrizes J e K
Figura 39 – Fórmula inserida em C6
A figura a seguir mostra o resultado dessa multiplicação de matrizes calculada na planilha eletrônica.
Figura 40 – Matriz L=J.K
32
Unidade I
 Saiba mais
Pesquise no Excel as “fórmulas matriciais” e, entre elas, a MATRIZ.MULT, 
que retorna o produto matricial de duas matrizes.
MATRIZ.MULT (Função MATRIZ.MULT). Microsoft, 2016. Disponível em: 
<https://support.office.com/pt-br/article/MATRIZ-MULT-Fun%c3%a7%c3 
%a3o-MATRIZ-MULT-40593ED7-A3CD-4B6B-B9A3-E4AD3C7245EB>. 
Acesso em: 27 dez. 2016.
Tente usar uma planilha eletrônica para calcular o determinante de matrizes.
4 FUNÇÕES
4.1 Definição
Função é uma regra que relaciona cada elemento do domínio da função a um único elemento da 
imagem da função.
Na tabela a seguir, temos a representação de alguns pontos da função y(x)=5.x+3, em que, escolhidos 
alguns valores do domínio (x), calculamos os respectivos valores da imagem (y).
Tabela 2 – Representação de uma função por uma tabela
x y(x)
-1 -2
0 3
1 8
2 13
3 18
A função y(x) = 5x + 3 é uma função linear, pois o expoente da variável x é igual a 1. Logo, o seu 
gráfico é uma reta. O gráfico da função y = 5x + 3 é a reta ilustrada na figura a seguir.
33
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
Gráfico de f(x)=5.x+3
Figura 41 – Gráfico de y=5.x+3
4.2 Elaboração de gráficos na planilha eletrônica
O gráfico anterior foi feito usando uma planilha eletrônica. Vamos detalhar, a seguir, o procedimento 
para construir esse tipo de gráfico.
A planilha eletrônica do Excel dispõe de várias ferramentas gráficas, incluindo diversos tipos de gráficos 
padronizados e personalizados. A confecção de gráficos usando Excel é simples, pois há um “assistente de 
gráfico” situado na barra de ferramentas. A primeira etapa, após inserir uma tabela com dados da função a 
partir da qual será feito o gráfico, é selecionar esses dados na planilha e escolher, na aba Inserir, o tipo de 
gráfico apropriado (figura a seguir). Usamos um gráfico linear, logo escolhemos o gráfico do tipo dispersão.
Figura 42 – Procedimento inicial para gerar gráfico no Excel. O gráfico tipo dispersão está marcado em verde claro. Ao colocar o 
ponteiro sobre o tipo de gráfico, temos um resumo do tipo escolhido
Após essa etapa, escolhemos o subtipo de gráfico dentro de dispersão. Optamos pelo tipo Dispersão 
com Linhas Suaves. Mesmo antes de clicar no subtipo, o programa mostra uma versão preliminar do 
gráfico. Basta clicar no subtipo para termos o gráfico da função.
34
Unidade I
Figura 43 – Escolha do subtipo do gráfico, marcado em verde claro
Figura 44 – Gráfico inserido no centro da tela do Excel
Com um primeiro exemplo, vamos elaborar o gráfico da função y(x)=x2. O conjunto domínio é 
composto por qualquer número real, ou seja, podemos usar qualquer valor de x para o cálculo da função 
e teremos valores de y positivos como resposta, logo, o conjunto imagem são os números reais maiores 
35
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
ou iguais a zero. O primeiro passo para a construção do gráfico é montar uma tabela na planilha, 
escolhendo alguns valores do domínio de y(x)=x2, por exemplo, valores de -5 a 5, e usando a planilha 
para calcular as respectivas imagens (figura a seguir). Isso pode ser feito atribuindo valores nas células 
da coluna A, desde a linha 2 até a linha 12, inserindo a fórmula =A2^2 na célula B2 e copiando a fórmula 
até a célula B12, segundo indicado na figura 4.5. “Automaticamente”, a fórmula será atualizada ao 
longo da coluna, ou seja, na célula B3 a fórmula será =A3^2 e assim por diante.
Figura 45 – Tabela associada com a função y(x)=x2 com o cálculo do valor de imagem do primeiro ponto do domínio
O conjunto de valores de “y” são iguais aos respectivos valores de “x” elevados ao quadrado:
Figura 46 – Pares (x,y) da função y(x)=x2
Selecione então a parte da planilha com os dados, incluindo a primeira linha, clique na aba Inserir, 
escolha o gráfico do tipo Dispersão e subtipo Dispersão com linhas suaves (figura 47). Note que surge 
uma caixa com detalhes do subtipo de gráfico e que é mostrada uma prévia do gráfico.
36
Unidade I
Sempre que elaboramos um gráfico, é fundamental que identifiquemos os eixos e adicionemos 
um título para esse gráfico. Nessa versão de Excel, isso é feito selecionando-se o gráfico, clicando na 
aba Design que surge à esquerda, em seguida clica-se em Adicionar Elemento Gráfico (figura 48). 
Escolhemos, então, Títulos dos Eixos, selecionando Horizontal Principal para adicionar um título ao 
eixo x e, em seguida, Vertical Principal para adicionar um título ao eixo y. Em seguida, selecionamos 
Título do Gráfico para adicionar um título para o gráfico.
Figura 47 – Construção do gráfico da função y(x)=x2, escolha do tipo e subtipo de gráfico, marcados em verde claro
37
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
Figura 48 – Adicionando título para os eixos e para o gráfico
O gráfico resultante está ilustrado na figura a seguir. Note que o gráfico inclui apenas os pontos 
incluídos inicialmente na planilha. Sabemos que a função estende-se para valores de x além de -5 e 5. 
A parábola em si estende-se por todo o eixo x, tanto para o lado negativo quanto para o lado positivo.
 Saiba mais
Uma função f(x) é dita função par se f(x)=f(-x) para qualquer x 
pertencente ao domínio da função. Se a função é par, ela é simétrica em 
relação ao eixo y.
Vemos, do gráfico de x2, que essa função é par.
Para mais detalhes, consulte:
DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de Matemática Elementar: 
conjuntos e funções. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013. v. 1.
RESOLUÇÃO de funções. Khan Academy, [s.d.]. Disponível em: 
<https://pt.khanacademy.org/math/algebra/algebra-functions/
evaluating-functions/v/what-is-a-function>. Acesso em: 27 dez. 2016.
38
Unidade I
Figura 49 – Gráfico da função y(x)=x2
Como outro exemplo, vamos elaborar o gráfico da função y(x)=x3. O conjunto domínio é composto 
por qualquer número real, bem como o conjunto imagem. O primeiro passo para a construção do gráfico 
é montar uma tabela na planilha, escolhendo alguns valores do domínio de y(x)=x3, por exemplo, valores 
de -5 a 5, e usar a planilha para calcular as respectivas imagens. Isso pode ser feito ao atribuir valores 
nas células da coluna A, desde a linha 2 até a linha 12, inserir a fórmula =A2^3 na célula B2 e copiar a 
fórmula até a célula B12. “Automaticamente”, a fórmula será atualizada ao longo da coluna, ou seja, na 
célula B3 a fórmula será =A3^3 e assim por diante.
Figura 50 – Tabela associada à função y(x)=x3 com o cálculo do valor de imagem do primeiro ponto do domínio
O conjunto de valores de “y” são iguais aos respectivos valores de “x” elevados ao cubo.
39
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
Figura 51 – Pares (x,y) da função y(x)=x3
Selecione, então, a parte da planilha com os dados, incluindo a primeira linha, clique na aba Inserir, 
escolha o gráfico do tipo Dispersão e subtipo Dispersão com linhas suaves.
Figura 52 – Construção do gráfico da função y(x)=x3, escolha do tipo e subtipo de gráfico, marcados em verde claro
40
Unidade I
Figura 53 – Adicione título para os eixos e para o gráfico
 Lembrete
Quando elaboramos um gráfico, é fundamental que identifiquemos os 
eixos e adicionemos um título. Nessa versão de Excel, isso é feito pela seleção 
do gráfico, pelo clique na aba Design, que surge à esquerda, e, em seguida, 
clique em Adicionar Elemento Gráfico (figura 53). Escolhemos, então, 
Títulos dos Eixos, selecionando Horizontal Principal para adicionar um 
título ao eixo x e, em seguida, Vertical Principal para adicionar um título 
ao eixo y. Em seguida, selecionamos Título do Gráfico para adicionar o 
título para o gráfico.
O gráfico resultante está ilustrado na figuraa seguir. Note que o gráfico inclui apenas os pontos 
incluídos inicialmente na planilha. Sabemos que a função estende-se para valores de x além de -5 e 5, 
embora, novamente, a função estenda-se para todos os valores de x.
41
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
y(x)=x3
Figura 54 – Gráfico da função y(x)=x3
 Observação
Uma função f(x) é dita função ímpar se f(x)=-f(-x) para qualquer x 
pertencente ao domínio da função. Se a função é par, ela é antissimétrica 
em relação ao eixo y.
Vemos, do gráfico de x3, que essa função é ímpar.
Como outro exemplo, considere a função y x
x
( ) = 1 . Seu domínio é composto pelos números reais, 
 
com exceção do número zero. A figura a seguir mostra uma planilha com alguns valores do domínio 
da função, além do zero, no intervalo de células de A2 até A16, e a fórmula, em B2, relacionada com a 
 
função y x
x
( ) = 1
Figura 55 – Tabela associada com a função y(x)=1/x
42
Unidade I
Copie a fórmula em B2 até B16, deixando a célula B9 em branco, e obtenha as imagens dos valores 
atribuídos à coluna A.
Figura 56 – Pares (x,y) da função y(x)=1/x
O procedimento a ser adotado para gerar o gráfico é similar ao realizado na construção do gráfico 
de y(x)=x3 e pode ser resumido em:
• Selecionar no intervalo das células A1 até B16.
• Acionar o ícone do “assistente de gráfico” na barra de ferramentas.
• Escolher o tipo e subtipo de gráfico.
• Digitar o título do gráfico e nomear os eixos de valores.
A figura a seguir exibe o gráfico oriundo da aplicação das etapas descritas.
Figura 57 – Gráfico da função y(x)=1/x
43
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
Sobre a função f(x)=1/x, vemos que se trata de uma função ímpar e que apresenta uma singularidade 
em x=0.
 Saiba mais
Singularidade, em matemática, é como denominamos o ponto em que 
a função não está definida. Veja, no gráfico da figura 57, que, conforme nos 
aproximamos de x=0, partindo de valores positivos, a função 1/x adquire 
valores cada vez maiores. Quando nos aproximamos de zero pelo outro lado, 
partindo de valores negativos para x, a função 1/x apresenta valores cada 
vez mais negativos. Exatamente em x=0, a função 1/x não está definida: 
temos um “buraco” nos valores obtidos do cálculo da função. Como 1/x 
não está definida para x=0, o domínio dessa função é representado pela 
exclusão desse valor, ou seja, para f=1/x, D={x∈IR|x≠0}.
Para mais detalhes, consulte:
BURDEN, R. L.; FAIRES, D. J.; BURDEN, A. M. Análise numérica. 3. ed. São 
Paulo: Cengage Learning, 2016.
Nos exemplos mostrados até aqui, fizemos gráficos de funções matemáticas: a partir da função, 
calculamos pontos e elaboramos gráficos a partir desses pontos. Podemos também fazer gráficos de 
pontos discretos, obtidos, por exemplo, como resultados de experimentos.
Suponha que, em uma experiência no laboratório de física, mediu-se a velocidade de um corpo em 
queda livre em função da altura, obtendo os dados da planilha a seguir.
Figura 58 – Velocidade em função da altura para um corpo em queda livre
44
Unidade I
Usando o mesmo procedimento descrito anteriormente, construímos o gráfico com esses dados, 
porém, escolhemos o subtipo Dispersão, sem incluir linhas que ligam os pontos. O gráfico está na 
figura a seguir.
Figura 59 – Gráfico da velocidade em função da altura para queda livre
Para verificar se o gráfico corresponde ao comportamento de um corpo em queda livre, precisamos 
analisar a física do fenômeno. A relação entre a velocidade e a distância percorrida por um corpo em 
queda livre é v= g h. (partindo de v2=v0
2+2.a.∆s, fazendo v0=0, a=g e ∆s=h, em que g é a aceleração da 
gravidade). Vemos que o gráfico não é linear, já que a dependência é com a raiz quadrada de h. Além disso, 
como estamos tratando com dados experimentais, cada medida é sujeita a uma variação estatística, além 
de outras fontes de incerteza, o que causa a flutuação dos pontos verificada no gráfico. Por isso, quando 
traçamos gráficos de pontos discretos e não funções matemáticas, não devemos “ligar” os pontos.
 Resumo
Para usarmos planilhas eletrônicas na realização de cálculos, 
devemos traduzir expressões matemáticas convencionais para expressões 
matemáticas adequadas à planilha eletrônica. A expressão deve sempre 
se iniciar com o sinal de igual (=). Os operadores algébricos de adição, 
subtração e divisão são os mesmos usados em matemática, mas, para a 
multiplicação e para a exponenciação, devemos usar, respectivamente, os 
símbolos * e ^.
A ordem de execução do cálculo é a mesma da matemática, em que 
calculamos primeiramente potências, em seguida multiplicações e divisões, 
para finalmente calcularmos somas e subtrações. A ordem de cálculo pode 
ser alterada usando-se parênteses.
Nesta unidade, vimos diversos exemplos do uso de planilha eletrônica 
para a resolução de problemas. Vimos também a estrutura condicional SE(). 
A função SE() apresenta a seguinte sintaxe:
45
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
SE(teste; executo se teste verdadeiro; executo se teste falso)
Se o teste retornar verdadeiro, executa-se a segunda instrução ou o 
cálculo da função. Se o teste retornar falso, executa-se a última instrução 
ou o cálculo da função.
Além disso, usamos planilhas eletrônicas para realizar operações de 
matrizes. A soma de matrizes ocorre somando-se elemento a elemento. Logo, 
só é possível se somamos duas matrizes de mesma dimensão. No caso de 
soma de matrizes, basta preencher a fórmula para cálculo em uma das células 
da planilha e copiar a fórmula para as demais. Nesse processo, o programa 
de planilha atualiza as referências da fórmula. Se não desejamos que isso 
aconteça, é necessário usar a referência absoluta nas fórmulas.
A referência absoluta é feita colocando-se o símbolo $ antes da coluna 
e/ou da linha na fórmula digitada na planilha. A referência absoluta faz 
com que os endereços de linha e/ou coluna não se atualizem ao se copiar 
uma fórmula na planilha.
No caso da multiplicação de matrizes, o cálculo não é direto, como na 
soma de matrizes. Cada elemento da matriz resultante da multiplicação é 
a soma dos produtos dos elementos da linha correspondente da primeira 
matriz pela coluna correspondente da segunda matriz do produto. Esse 
procedimento de cálculo dificulta o uso da cópia da fórmula de uma célula 
para a outra.
Por fim, exploramos a elaboração de gráficos de diversas funções 
usando planilhas. O procedimento para a elaboração desses gráficos é 
essencialmente o resumido a seguir.
Devemos elaborar uma tabela xy na planilha, escolhendo valores de x 
para a representação adequada do gráfico da função e usando a planilha 
para calcular os valores de y correspondentes, conforme a função desejada.
Em seguida, selecionamos os valores na planilha e acessamos a opção 
de inserir gráfico, escolhendo o tipo e formato de gráfico mais adequado. É 
importante sempre rotular os eixos do gráfico.
 Exercícios
Questão 1. Pedro tem em uma planilha no Microsoft Excel® uma célula com a fórmula: =SE(B6>=
C6;SE(B6>=D6;B6;D6);SE(C6>=D6;C6;D6)), qual vai ser o valor apresentado por essa célula se os valores 
presentes em B6, C6 e D6 são respectivamente: 3 (três), 5 (cinco) e 2 (dois):
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Unidade I
A) 3.
B) Falso.
C) 2.
D) Verdadeiro.
E) 5.
Resposta correta: alternativa E.
Análise das alternativas
A) Alternativa incorreta.
Justificativa: como B6 < C6 (3 é menor que 5), então, pela expressão apresentada, será feita a 
comparação SE(C6>=D6;C6;D6). Para que a resposta seja a indicada na alternativa, é necessário que a 
primeira comparação seja =SE(B6<=C6;SE(B6>=D6;B6;D6);SE(C6>=D6;C6;D6)). 
B) Alternativa incorreta.
Justificativa: não existe indicação na expressão para a indicação de falso ou verdadeiro.
C) Alternativa incorreta.
Justificativa: Como B6 < C6 (3 é menor que 5), então, pela expressão apresentada, será feita a 
comparação SE(C6>=D6;C6;D6). A comparação entre C6 e D6 (5 e 2, respectivamente), mostra C6>D6. 
Para que o resultado apresentado fosse o indicado na alternativa, a comparação a ser feita deveria ser 
SE(C6<=D6;C6;D6).D) Alternativa incorreta.
Justificativa: não existe indicação na expressão para a indicação de falso ou verdadeiro.
E) Alternativa correta.
Justificativa: como B6 < C6 (3 é menor que 5), então, pela expressão apresentada, será feita a 
comparação SE(C6>=D6;C6;D6). A comparação entre C6 e D6 (5 e 2, respectivamente), mostra C6>D6. 
Assim, como a condição é verdadeira, a célula deve apresentar o valor de C6, que é 5.
Questão 2. O estudo do equilíbrio das estruturas é de fundamental importância no projeto de uma 
edificação, seja ela mais simples ou mais complexa, como as apresentadas nas figuras a seguir, respectivamente.
47
TÓPICOS DE INFORMÁTICA
A) B) 
Figura – Estruturas na construção civil
Em uma viga de uma estrutura, como a mostrada na figura a seguir, as equações de equilíbrio são:
Ra Rb Rc Rd
q
L L L
Figura – Viga em equilíbrio
Ra + Rb + 2Rc = 5kN
3Ra + 2Rb + Rc = 12kN
Rc + Rd = 7kN
2Rc + 3Rd + Rb = 10kN
Para resolver o sistema por matriz, foram montadas a seguintes matrizes:
Ra
Rb
Rc
Rd
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
�
0 5 0 5 15 0 5
0 5 0 17 2 5 0 83
0 5 0 1
, , , ,
, , , ,
, , 77 0 5 0 17
0 5 0 17 0 5 0 17
5
12
7
10
, ,
, , , ,
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
kN
kN
kN
kN
��
�
�
�
�
�
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Unidade I
Para resolver o sistema, foram colocados os valores em uma planilha de Excel:
Figura – Dados colocados na planilha de Excel
Para se obter o valor de Rc, a fórmula a ser digitada na célula é:
A) =B3*G3+B4*G4+B5*G5+B6*G6.
B) =D3*G3+D4*G4+D5*G5+D6*G6.
C) =B5*G3+C5*G4+D5*G5+E5*G6.
D) =B5*G5+C5*G5+D5*G5+E5*G5.
E) =B5*G3+B5*G4+B5*G5+B5*G6.
Resolução desta questão na plataforma.