Todas as Aulas Metódos Quantitativos para tomada de decisão

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MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA 
TOMADA DE DECISÃO
A PESQUISA OPERACIONAL E SUA 
EVOLUÇÃO
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Olá!
Ao final desta aula, você será capaz de:
- Identificar a aplicabilidade gerencial da Pesquisa Operacional;
- Mostrar que um processo de decisão pode ser representado por modelos matemáticos e estatísticos.
1 A origem da Pesquisa operacional
Observe as fotos. Esses fatos estão relacionados com o surgimento da Pesquisa Operacional. Você imagina como
e por que? Veja a resposta.
Pode-se dizer que o surgimento da Pesquisa Operacional (PO), deve-se à iniciativa dos serviços militares ingleses
no início da Segunda Guerra Mundial.
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Por causa dos esforços de guerra, cientistas e pesquisadores ingleses prestaram apoio ao seu governo na solução
de importantes problemas de natureza tática e estratégica, na tentativa de, em conjunto com os militares, usar
mais adequadamente os poucos meios disponíveis para fazer frente a um inimigo mais poderoso.
O trabalho desse grupo marcou a primeira atividade formal de Pesquisa Operacional.
Alguns dos problemas equacionados pela equipe de cientistas ingleses:
• Distribuição e localização dos meios de defesa antiaérea para determinadas cidades;
• A determinação do número mínimo de aviões ingleses a serem mantidos em condições de defesa frente 
a ataques alemães, visando, se possível, liberar outros aviões para realizar incursões às instalações e 
áreas inimigas no continente europeu.
As repercussões dos resultados obtidos pela equipe de Pesquisa Operacional inglesa, motivaram os Estados
Unidos a iniciarem atividades semelhantes.
Credita-se à Inglaterra a origem da Pesquisa Operacional, porém, a sua divulgação deve-se a uma equipe de
cientistas dos Estados Unidos.
Para saber como a Pesquisa Operacional foi divulgada.
Credit Ed Souza/Stanford News Service
A divulgação da Pesquisa Operacional deve-se à equipe de cientistas liderada por George Bemard Dantzig, dos
Estados Unidos, com o desenvolvimento do Método Simplex para a resolução de problemas de Programação
Linear, isto é, de problemas de planejamento nos quais são utilizados modelos de otimização lineares.
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Figura 1 - George Bomard Dantzig (1914 - 2005) Matemático norte-americano que introduziu o algoritmo 
simplex e é considerado "pai da programação linear”.
Após a guerra,...
...com o retorno destes cientistas às Universidades, centros de pesquisa e indústrias, inúmeras outras aplicações
foram desenvolvidas...
...e, com o surgimento do computador, problemas cada vez mais complexos e com grande número de variáveis e
equações puderam ser equacionados.
2 E por que o nome Pesquisa operacional?
U m a
explicação
Alguns autores creditam a origem do nome Pesquisa Operacional ao fato dos cientistas
terem sido chamados para fazer e seus esforços serempesquisa em operações militares
considerados decisivos em várias operações militares.
O u t r a
explicação
Os ingleses gostam de (Pesquisa Operacional), já os americanos usam operational research
 (Pesquisa de Operações) ou (Ciência daoperations research managment science
Administração).
Não existe uma definição padrão para Pesquisa Operacional. Veja as definições propostas por cinco autores.
Pierre Jacques Ehrlich
“Pesquisa Operacional é uma ferramenta, ou melhor, um conjunto de ferramentas. É uma fonte de modelos e de
métodos de como resolver os modelos. Também orienta sobre que dados coletar e como lidar com a imprecisão
dos dados”. (Pierre Jacques Ehrlich)
Harvey M. Wagner
“Pesquisa Operacional é uma abordagem científica à resolução de problemas para administração executiva”.
(Harvey M. Wagner)
Richard Bronson
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“A Pesquisa Operacional, que diz respeito à alocação eficiente de recursos escassos, é tanto uma arte como uma
ciência. A arte reside na habilidade de exprimir os conceitos de eficiente e de escasso por meio de um modelo
matemático bem definido para uma determinada situação; a ciência consiste na dedução de métodos
computacionais para solucionar tais modelos”. (Richard Bronson)
Ermes Medeiros da Silva
“Pesquisa Operacional é um método científico de tomada de decisões. Em linhas gerais, consiste na descrição de
um sistema organizado com o auxílio de um modelo e, através da experimentação com o modelo, na descoberta
da melhor maneira de operar o sistema”. (Ermes Medeiros da Silva)
GEN Renaud
“É a ciência que tem por finalidade fornecer uma base racional e, na medida do possível, numérica, às decisões
do comando, até então deixadas à mercê dos impulsos, instintos e emoções”. (GEN Renaud)
3 Principais Técnicas e Instrumentos da Pesquisa 
Operacional
A (PO) se aplica a uma série de situações e diversos métodos foram desenvolvidos, dePesquisa Operacional
acordo com o tipo de problema estudado.
Conheça alguns métodos usados em Pesquisa Operacional
Programação Linear
Os problemas de Programação Linear referem-se à distribuição eficiente de recursos limitados entre atividades
competitivas, com a finalidade de atender a um determinado objetivo, como, por exemplo, maximização de lucro
ou minimização de custo.
Teoria dos Jogos
Um dos campos mais complexos de investigação em PO, é o estudo da competição entre oponentes. Seus
fundamentos foram lançados por John Neumman que, em 1927, demonstrou o Teorema Minimax.
Teoria das Filas
A teoria das Filas estuda, do ponto de vista matemático, filas como sequência de espera. A formação de filas de
espera ocorre quando a solicitação por serviço supera a capacidade de efetuá-lo.
Programação Dinâmica
É um método matemático, desenvolvido há mais de 60 anos pelo americano Richard Bellman, que permite
determinar a solução ótima de um sistema que opera ou cujas decisões ocorrem em fase ou em consequência.
Teoria dos Grafos
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É a base para o estudo das redes. Ao contrário da maioria dos ramos da matemática originários de especulações
técnicas, nasceu do confronto de problemas práticos que tinham propriedades e estruturas semelhantes.
Modelos de Controle de Estoque
As empresas mantêm estoques de matérias-primas e produtos acabados. Os estoques de matérias-primas
servem como insumo para o processo de produção e os estoques de produtos acabados são usados para
satisfazer a demanda dos consumidores. Como estes estoques exigem muito investimento, são importantes as
decisões referentes a eles.
Teoria da Decisão
Permite, a partir de um número finito de linhas de ações possíveis, atingir um determinado resultado. Decidir
consiste em escolher uma destas linhas de ação que possibilite o resultado esperado.
Pesquisa Operacional
Quando a Pesquisa Operacional é aplicada num contexto de planejamento, a solução consiste, normalmente, num
conjunto de valores os mais favoráveis para as variáveis de decisão, com alguma informação quanto ao custo de
se afastar destes valores.
Porém, quando a Pesquisa Operacional é usada para desenvolver um sistema operacional, tal como um meio
para controlar estoques, então, a solução consiste em um conjunto de regras de decisão.
O conjunto de regras de decisão passa pela definição do problema e dos fatores que o influenciam, estabelecendo
critérios e objetivos, formulando um modelo ou relações entre as variáveis, a fim de identificar e selecionar a
melhor alternativa e implementar a decisão.
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CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• Descobriu que a Pesquisa Operacional surgiu da ação de militares ingleses durante a 2ª Guerra Mundial;
• Aprendeu que a divulgação da PO se deve à equipe de cientistas americanos chefiada por George 
Bernard Dantzig, criador do método Simplex para solução de problemas de Programação Linear;
• Conheceu seis diferentes definições para Pesquisa Operacional;
• Descobriu que a Pesquisa Operacional não soluciona problemas, mas ajuda a equacioná-los fornecendo 
elementos quantitativos para as opções de solução;
• Conheceu as principais técnicas e instrumentos da Pesquisa Operacional: Programação Linear; Teoria 
dos Jogos; Teoria das Filas; Programação Dinâmica; Teoriados Grafos; Modelos de Controle de Estoque e 
Teoria da Decisão;
• Compreendeu os diferentes enfoques de solução quando a Pesquisa Operacional é aplicada em um 
contexto de planejamento ou de desenvolvimento de sistemas operacionais;
• Conheceu a visão geral do processo de decisão.
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA 
TOMADA DE DECISÃO
FASES DE UM ESTUDO DE PESQUISA 
OPERACIONAL
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Olá!
Ao final desta aula, você será capaz de:
- Utilizar os Métodos Quantitativos no processo de tomada de decisão;
- Construir modelos matemáticos para representar um sistema real.
1 MÉTODOS QUANTITATIVOS
Uma das principais atividades de um administrador é tomar decisões.
Porém, se ele for inexperiente no tipo de problema considerado ou se este for complexo bastante para que
intuição e experiência não sejam suficientes, o que fazer para fundamentar as decisões?
Resposta: Recomenda-se a adoção de Métodos Quantitativos, o que pode ser importante para se chegar a uma
decisão final.
Os Métodos Quantitativos se apoiam em quatro ciências fundamentais: Matemática, Estatística, Economia e
Informática.
Esses métodos são especialmente úteis quando o problema:
• É complexo e não se consegue chegar a uma solução adequada sem emprego de análise quantitativa;
• É importante – envolve questões de segurança;
• É novo e não se dispõe de experiência prévia que permite antecipar o tipo de decisão a ser tomada;
• É repetitivo e a decisão pode ser tomada de forma automática, economizando tempo e recursos.
As decisões baseadas em Métodos Quantitativos requerem:
• Uma estruturação do problema,
• Seguida de sua representação matemática
• E da utilização de métodos de análise apropriados.
Comentário muito importante: É fundamental ressaltar que a experiência do tomador de decisão é importante
para guiar a escolha e a utilização de Métodos Quantitativos, enquanto que a análise das decisões decorrentes do
emprego de métodos quantitativos ajuda o tomador de decisão a aumentar sua intuição e conhecimento sobre o
problema.
2 O PROCESSO DE MODELAGEM
Um administrador, diante de uma situação na qual uma decisão deve ser tomada entre várias alternativas
conflitantes e concorrentes, fica no seguinte dilema:
• Usar a sua intuição gerencial acumulada no decorrer de sua experiência profissional ou
• Realizar um processo de modelagem da situação e realizar diversas simulações dos mais diversos 
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• Realizar um processo de modelagem da situação e realizar diversas simulações dos mais diversos 
cenários de maneira a estudar o problema.
• O que é um modelo?
Um modelo é uma representação de um sistema real, que pode já existir ou ser um projeto aguardando
execução.
• Que modelo usar para um problema simples?
Um modelo é uma representação de um sistema real, que pode já existir ou ser um projeto aguardando
execução.
• Que modelo usar para um problema complexo?
No caso de um problema complexo original, recomenda-se a construção de um , que representemodelo
da melhor maneira possível a situação em estudo.
Conheça as vantagens de se descrever um sistema por um.
A descrição de um sistema por um modelo torna possível analisá-lo e testar várias alternativas, sem interromper
o seu funcionamento.
O modelo torna, normalmente, o problema mais inteligível e pode esclarecer importantes relações entre as
variáveis.
O uso de modelos elimina os erros?
Resposta: As soluções de um modelo não são infalíveis, quando aplicadas ao sistema real. Sempre poderá haver 
erros.
O objetivo é tornar erros tão pequenos quanto possíveis, com a experiência e aptidão adquiridas pelo
administrador, tendo em vista que a modelagem é a parte mais complexa da análise.
Na modelagem de um problema, recomenda-se a adoção do seguinte roteiro:
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Definição do problema
Definição do problema, baseando-se nos seguintes aspectos:
- Descrição dos objetivos do estudo;
- Identificação das alternativas de decisão existentes;
- Reconhecimento das limitações, restrições e exigências do sistema.
Construção do modelo
Construção do modelo, utilizando alguma técnica matemática para a solução do problema: a escolha certa do
modelo é fundamental para a qualidade da solução fornecida.
Solução do modelo
O objetivo desta fase é encontrar uma solução para o modelo proposto.
Validação do modelo
Nesta fase, é necessário verificar a validade do modelo. Utilizando os dados existentes, compara-se a
performance do sistema e a indicada pelo modelo. Verifica-se, também, quais faixas de valores das variáveis para
as quais a solução sugerida é válida.
Implementação da solução
A implementação de uma solução no sistema real pode implicar em mudanças de rotinas e necessita de grande
empenho por parte de quem decide.
Veja as vantagens que Lachtermacher (2007) destaca na utilização de um processo de modelagem para a tomada
de decisão:
• Os modelos obrigam os tomadores de decisão a tornarem explícitos seus objetivos;
• Os modelos forçam a identificação e o armazenamento das diferentes decisões que influenciam os 
objetivos;
• Os modelos forçam a identificação e o armazenamento dos relacionamentos entre as decisões;
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• Os modelos forçam a identificação e o armazenamento dos relacionamentos entre as decisões;
• Os modelos forçam a identificação das variáveis a serem incluídas e em que termos elas serão 
quantificáveis;
• Os modelos forçam o reconhecimento de limitações;
• Os modelos permitem a comunicação de suas ideias e seu entendimento para facilitar o trabalho de 
grupo.
3 ESTRUTURA DE MODELOS MATEMÁTICOS
Em um modelo matemático, segundo Lisboa (2003), são incluídos três conjuntos de elementos:
Variáveis de decisão e parâmetros
As variáveis de decisão são as incógnitas a serem determinadas pela solução do modelo; parâmetros são valores
fixos no problema.
Restrições
De modo a levar em conta as limitações físicas do sistema, o modelo deve incluir restrições que limitam as
variáveis de decisão e seus valores possíveis (ou variáveis).
Função Objetivo
É uma função matemática que define a qualidade da solução em função das variáveis de decisão.
Exemplo desse modelo:
Para ilustrar o modelo que acabamos de citar, observe o seguinte exemplo:
“Uma indústria fabrica dois tipos de liga, a partir da combinação das seguintes matérias-primas: cobre, zinco e
chumbo.
• A liga tipo A utiliza 2 kg de cobre, 1 kg de zinco e 1 kg de chumbo.
• A liga tipo B utiliza 1 kg de cobre, 2 kg de zinco e 3 kg de chumbo.
• A fábrica tem disponibilidade de 16 kg de cobre, 11 kg de zinco e 15kg de chumbo.
O lucro na venda de uma unidade da liga tipo A é de R$ 300,00 e na liga tipo B R$ 500,00.
Deseja-se saber as quantidades de liga tipo A e B, que deverão ser produzidas, para que a indústria tenha um
lucro máximo”.
CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• Compreendeu que uma das principais atividades de um administrador é tomar decisões;
• Descobriu que é recomendável a adoção de Métodos Quantitativos quando o administrador é 
inexperiente ou o problema a ser resolvido é complexo;
• Aprendeu que os Métodos Quantitativos se apoiam em quatro ciências fundamentais: Matemática, 
Estatística, Economia e Informática;
• Descobriu que os Métodos Quantitativos são muito úteis quando o problema é complexo, novo, 
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Estatística, Economia e Informática;
• Descobriu que os Métodos Quantitativos são muito úteis quando o problema é complexo, novo, 
importante e repetitivo;
• Compreendeu que as decisões baseadas em Métodos Quantitativos requerem a estruturação do 
problema, sua representação matemática e a utilização de métodos de análise apropriados;
• Aprendeu o conceito de modelo, uma representação de um sistema real;
• Identificou duas vantagens do uso de modelos para descrever um sistema: possibilitar a análise e a 
testagem do modelo e tornar mais inteligível o problema;
• Aprendeu o roteiro usada na modelagem de um problema: definição do problema, construção domodelo, solução do modelo, validação do modelo e implementação da solução;
• Conheceu as seis vantagens do uso de um processo de modelagem na tomada de decisões destacadas 
por Lachtermacher;
• Identificou os três conjuntos de elementos incluídos em um modelo matemático, segundo Lisboa: 
variáveis de decisão e parâmetros; restrições e função objetivo.
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA 
TOMADA DE DECISÃO
PROGRAMAÇÃO LINEAR: CONCEITOS 
BÁSICOS
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Olá!
Ao final desta aula, você será capaz de:
Saber utilizar o modelo matemático de Programação Linear;
Construir modelo matemático primal dos problemas de Programação Linear.
1 MODELO EM PROGRAMAÇÃO LINEAR
Uma das técnicas mais utilizadas na abordagem de problemas em Pesquisa Operacional é a Programação Linear.
Você sabe o que é Programação Linear?
A Programação Linear é um meio matemático de indicar um montante fixo de recursos (sacrifício) satisfazendo
certa demanda, de tal modo que alguma função objetivo (que satisfaça um objetivo) seja otimizada e ainda sejam
satisfeitas as outras condições predefinidas (restrições).
Quais os limites de aplicação da Programação Linear?
A Programação Linear, como o próprio nome indica, está limitada a situações nas quais as relações que
descrevem os fluxos de entrada e saída considerados são lineares e onde as restrições, às quais estão
submetidas, são do mesmo modo inequações lineares.
E o que isso significa, na prática?
Significa que os vários sistemas produtivos são independentes e que os componentes ou elementos do processo
obedecem a leis de estrita proporcionalidade. Todavia, para utilizarmos a Programação Linear devemos
representar a condição real (não linear) por uma aproximação linear adequada.
• TAREFA PRIMORDIAL
A tarefa primordial, ao utilizar a Programação Linear, é o reconhecimento e a formulação do problema
de forma tal que ele possa ser trabalhado e, assim, fornecer um objetivo desejável a ser otimizado.
• PASSO INICIAL
Inicialmente, dentro da Programação Linear estipula-se o objetivo e, com isto, tornam-se evidentes as
condições.
• COMPOSIÇÃO DO MODELO
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O modelo matemático de Programação Linear é composto de uma função objetiva linear e de restrições
técnicas, representadas por um grupo de inequações também lineares.
Veja um exemplo.
Função Obejtivo a ser maximizada: Z = 300 X + 500 X
Máx. 1 2
Restrições técnicas:
2 X + X 
1 2
≤ 16
X
1
 + 2X
2
 ≤ 11
X
1
 + 3X
2
 ≤ 15
Restrições de não negatividade: X 
1
≥ 0 e X ≥ 0
2
Explicação detalhada sobre este exemplo:
As variáveis controladas ou variáveis de decisão são e .X1 X2
A mede o desempenho do sistema, no caso a capacidade de gerar lucro, para cada soluçãofunção objetivo
apresentada. O objetivo é maximizar o lucro, neste exemplo. Também existe função objetivo, cuja finalidade é
minimizar os custos.
As garantem que essas soluções estão de acordo com as limitações técnicas impostas pelo sistema.restrições 
As duas últimas restrições exigem a não negatividade das variáveis de decisão, o que deverá acontecer sempre
que a técnica de abordagem for a de Programação Linear.
Dentre as diversas áreas de aplicação da Programação Linear, destacamos algumas delas. Veja quais são.
Áreas de aplicação da Programação Linear:
• Administração da Produção
• Análise de Investimentos
• Alocação de recursos limitados
• Planejamento regional
• Logística
• Custo de transporte
• Localização da rede de distribuição
• Alocação de recursos em marketing entre diversos meios de comunicação
O exemplo mostra como situações podem ser descritas com o auxílio de um modelo linear. Observe.
“Uma indústria fabrica dois tipos de liga, a partir da combinação das matérias-primas - cobre, zinco e chumbo, da
seguinte forma:
• A liga tipo A utiliza 2 kg de cobre, 1 kg de zinco e 1 kg de chumbo;
• A liga tipo B utiliza 1 kg de cobre, 2 kg de zinco e 3 kg de chumbo.
A fábrica tem disponibilidade de 16 kg de cobre, 11 kg de zinco e 15kg de chumbo.
O lucro na venda de uma unidade da liga tipo A é de R$ 300,00 e na liga tipo B, R$ 500,00.
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Deseja-se saber as quantidades de ligas tipo A e B que deverão ser produzidas para que a indústria tenha um
lucro máximo”.
a) Variáveis de Decisão são X1 e X2 - 
X1 -> quantidade da liga tipo A
X2 -> quantidade da liga tipo B
b) Função Objetivo — o objetivo é maximizar o lucro, que pode ser calculado:
Z = 300 X + 500 X
Máx. 1 2
c) Restrições impostas pelo sistema:
• Disponibilidade de cobre - no máximo 16 kg (≤)
- quantidade necessária para produção de uma unidade da liga tipo A: 2 kg
- quantidade necessária para produção de uma unidade da liga tipo B: 1 kg Restrição descrita da situação: 2 X +
1
X 
2
≤ 16
• Disponibilidade de zinco - no máximo 11 kg (≤)
- quantidade necessária para produção de uma unidade da liga tipo A: 1 kg
- quantidade necessária para produção de uma unidade da liga tipo B: 2 kg Restrição descrita da situação: X + 2X
1
 
2
≤ 11
• Disponibilidade de chumbo - no máximo 15 kg (≤)
- quantidade necessária para produção de uma unidade da liga tipo A: 1 kg
- quantidade necessária para produção de uma unidade da liga tipo B: 3 kg
Restrição descrita da situação: X + 3X 
1 2
≤ 15
Transformando os dados em expressões matemáticas, temos o resumo do modelo:
2 X + X 1 2 ≤ 16
X1 + 2X2 ≤ 11
X1 + 3X2 ≤ 15
Z = 300 X + 500 XMáx. 1 2
CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• Viu que a Programação Linear é uma das técnicas mais utilizadas na abordagem de problemas em 
Pesquisa Operacional;
• Aprendeu que Programação Linear é um meio matemático de indicar um montante fixo de recursos 
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• Aprendeu que Programação Linear é um meio matemático de indicar um montante fixo de recursos 
(sacrifício) satisfazendo certa demanda, de tal modo que alguma função objetivo (que satisfaça um 
objetivo) seja otimizada e ainda sejam satisfeitas as outras condições predefinidas (restrições);
• Compreendeu que Programação Linear está limitada a situações em que as relações que descrevem os 
fluxos de entrada e saída são lineares e as restrições são inequações lineares;
• Descobriu que a tarefa primordial ao utilizar a Programação Linear é o reconhecimento e a formulação 
do problema de forma tal que ele possa ser trabalhado e fornecer um objetivo desejável a ser otimizado;
• Aprendeu que o modelo matemático de Programação Linear é composto de uma função objetiva linear e 
de restrições técnicas representadas por um grupo de inequações lineares;
• Identificou diversas áreas de aplicação da programação linear - Administração da Produção; Análise de 
Investimentos; Alocação de recursos limitados; Planejamento regional; Logística; Custo de transporte; 
Localização da rede de distribuição; Alocação de recursos em marketing entre diversos meios de 
comunicação.
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA 
TOMADA DE DECISÃO
PROGRAMAÇÃO LINEAR: MÉTODO 
GRÁFICO
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Olá!
Ao final desta aula, você será capaz de:
- Utilizar o método gráfico para resolver problemas de Programação Linear.
1 MÉTODO GRÁFICO: CONCEITO
O que é Método Gráfico?
O método gráfico consiste em um sistema de coordenadas ortogonais, onde se mostra um polígono convexo que
contém os pontos representativos das possibilidades.
Essas possibilidades são determinadas a partir do sistema de coordenadas ortogonais das inequações que
representam as restrições, de maneira que a sua solução venha a dar o conjunto convexo que é a solução do
sistema de inequações.
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Analisando a Representação Gráfica, podemos calcular a função que queremos otimizar, pela intersecção dessa
função com pontos extremos. Teremos, então, o Ponto-solução.
Para saber mais sobre o Método Gráfico
Esse método é bastante útil, simples e de fácil entendimento (leitura do gráfico), quando se tem duas variáveis
decisórias. Quando o número de variáveis decisórias for três, já é necessário um bom conhecimento em desenho,
pois fica relativamentedifícil o seu uso.
Quando se tem mais de três variáveis decisórias, não se tem nenhuma forma gráfica de representação, uma vez
que a representação de 4 variáveis já ficaria graficamente muito abstrata.
2 MÉTODO GRÁFICO: APLICAÇÃO DE MAXIMIZAÇÃO
Para facilitar o entendimento do método gráfico, vamos utilizar um exemplo. Leia com atenção.
“Uma indústria fabrica dois tipos de liga, a partir da combinação das seguintes matérias-primas - cobre, zinco e
chumbo:
• a liga tipo A utiliza 2 kg de cobre, 1 kg de zinco e 1 kg de chumbo;
• a liga tipo B utiliza 1 kg de cobre, 2 kg de zinco e 3 kg de chumbo.
A fábrica tem disponibilidade de 16 kg de cobre, 11 kg de zinco e 15kg de chumbo.
O lucro na venda de uma unidade da liga tipo A é de R$ 300,00 e na liga tipo B, R$ 500,00.
Deseja-se saber as quantidades de liga tipo A e B que deverão ser produzidas, para que a indústria tenha um
lucro máximo”.
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Acompanhe, nas próximas telas, a solução do problema pelo Método Gráfico.
SOLUÇÃO DO PROBLEMA
Inicialmente, recomenda-se a construção de um quadro resumo com as informações do problema, a partir do
qual será construído o modelo matemático primai. Observe.
Com base nesse quadro, é possível construir o modelo matemático primal:
Cobre -> 2 X + X 1 2 ≤ 16
Zinco -> X1 + 2X2 ≤ 11
Chumbo -> X1 + 3X2 ≤ 15
Z = 300 X + 500 XMáx. 1 2
Como o objetivo é maximizar o lucro, vamos considerar a variável como a quantidade de e aX1 liga tipo A 
variável a quantidade de . Os valores de e são os valores que vãoX 2 liga tipo B X 1 X 2 maximizar a função
, e serão obtidos através da .objetivo solução gráfica
Cada inequação será representada no gráfico (recomenda-se o uso de papel milimetrado) por uma reta.
Portanto, teremos três retas, cada uma representando um item (cobre, zinco e chumbo).
Para conhecer detalhes importantes sobre a construção do gráfico:
Ao traçarmos cada uma das retas, é importante identificar no gráfico o campo solução limitado pela reta.
O sinal da restrição ≤ indica que a reta limitou a solução para baixo, ou seja, voltada para a origem do gráfico;
porém, se a restrição for do tipo ≥, indica que a reta limitou a solução para cima, ou seja, afastada da origem da
reta.
Para plotarmos cada uma das inequações, é preciso identificar o par ordenado de cada reta, que é obtido
dividindo cada restrição pelo coeficiente das variáveis X e .
1
X2
Na primeira inequação, basta dividir 16 por 2 e 16 por 1. As inequações teriam os seguintes pares ordenados.
2 X + X 1 2 ≤ 16 (8; 16)
X1 + 2X2 ≤ 11 (11; 5,5)
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X1 + 3X2 ≤ 15 (15; 5)
Primeiro, precisamos saber, dadas as restrições, quais as possíveis combinações dos tipos de liga que se podem
fabricar. Isto é, precisamos verificar qual ou quais as áreas que satisfazem as restrições, pois a empresa tem, em
seu estoque de matérias-primas disponíveis, somente 16 kg de cobre, 11 kg de zinco e 15 kg de chumbo.
Área solução indicada pelo Método Gráfico
A área solução indicada pelo método gráfico, destacada em amarelo, é a área comum a todas as inequações.
Os do problema, correspondem aos pontos onde as retas se cruzam entre si e com as retas depontos solução X1
e .X2
No problema, temos quatro possíveis pontos solução: .A (O; 5), B (3; 4), C (7; 2) e D (8; 0)
Para sabermos qual dos quatro pontos ( ) irá maximizar a função objetivo, basta substituir os valoresA – B – C – D
de cada ponto na função objetivo. Veja.
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A (0; 5) -> Z = 300 (0) + 500 (5) = 2.500Máx. 
Esta solução indica que a indústria não produziria nenhuma unidade da liga tipo A, produziria 5 unidades da liga
tipo B, e teria um lucro de R$ 2.500,00.
B (3; 4) -> Z = 300 (3) + 500 (4) = 2.900Máx. 
Esta solução indica que a indústria produziria 3 unidades da liga tipo A e 4 unidades da liga tipo B, e teria um
lucro de R$ 2.900,00.
C (7; 2) -> Z = 300 (7) + 500 (2) = 3.100Máx. 
Esta solução indica que a indústria produziria 7 unidades da liga tipo A e 2 unidades da liga tipo B, e teria um
lucro de R$ 3.100,00.
D (8; 0) -> Z = 300 (8) + 500 (0) = 2.400Máx. 
Esta solução indica que a indústria produziria 8 unidades da liga tipo A e nenhuma unidade da liga tipo B, e teria
um lucro de R$ 2.400,00.
A solução do problema é o ponto , com X = 7 e X = 2 e o lucro máximo de RS 3.100.00.C
1 2
A solução proposta viola as restrições impostas ao modelo?
Precisamos nos certificar disso fazendo a verificação.
Para saber como realizar essa verificação.
Com a solução identificada, podemos substituir X = 7 e X = 2 para verificarmos se houve violação de alguma
1 2
das restrições impostas ao modelo:
2 X + X 1 2 ≤ 16
X1 + 2X2 ≤ 11
X1 + 3X2 ≤ 15
Substituindo, temos:
(2 x 7) + 2 = 16
7 + (2 x 2) = 11
7 + (3 x 2) = 13
Constata-se que não houve violação das restrições impostas ao modelo, com a produção e venda de 7 unidades
da liga tipo A, e a produção e venda de 2 unidades da liga tipo B.
3 MÉTODO GRÁFICO: APLICAÇÃO DE MINIMIZAÇÃO
SOLUÇÃO PROBLEMA
Para ilustrarmos esta situação, vejamos um outro exemplo.
- -7
"Uma companhia fabrica um produto a partir de dois ingredientes, e .A B
Cada de contém , , equilo A 7 unidades de produto P1 4 unidades de produto P2 2 unidades de produto P3 
custa $100.
Cada de contém , equilo B 3 unidades de produto P
1, 
4 unidades de produto P2 7 unidades de produto P3 
custa .$150
A mistura deve conter pelo menos , e 21 unidades de P1 20 unidades de P2 14 unidades de P3.
Formule este problema de para que o do produto seja o ”. Programação Linear custo menor possível
Veja o quadro resumo com as informações do problema.
Com base no quadro, é possível construir . Lembramos que o sentido daso modelo matemático primal
restrições será ≥, pois cada mistura deve conter pelo menos 21 unidades de P , 20 unidades de P e 14 unidades
1 2
de P .
3
Para ver como fica o do problema:modelo matemático primal 
Produto P -> 7 X + 3X 1 1 2 ≥ 21
Produto P 2 -> 4X1 + 5X2 ≥ 20
Produto P 3 -> 2X1 + 7X2 ≥ 14
Z = 100x + 150xMin. 1 2
O objetivo, neste caso, é minimizar o custo, e, portanto, vamos considerar a variável X como a quantidade do
1 
ingrediente A e a variável X , a quantidade do ingrediente B.
2
O procedimento a ser utilizado, neste exemplo, é o mesmo utilizado no anterior.
Vamos, inicialmente, encontrar o par ordenado das variáveis X e X de cada inequação dividindo as restrição de
1 2
cada inequação pelo coeficiente de cada variável X e X . Observe.
1 2
7x + 3x 1 2 ≥ 21 (3; 7)
- -8
4x1 + 5x2 ≥ 20 (5; 4)
2x1 + 7x2 ≥ 14 (7; 2)
Primeiro, precisamos saber, dado as restrições, quais as possíveis combinações dos tipos de ingredientes A e B.
Isto é, precisamos verificar qual ou quais as áreas que satisfazem as restrições, pois cada mistura deve conter
pelo menos 21 unidades de P , 20 unidades de P e 14 unidades de P .
1 2 3
Para identificar os pontos de solução do problema indicados pelo Método Gráfico:
Os pontos solução do problema correspondem aos pontos onde as retas se cruzam entre si e com as retas de X e
1
X .
2
- -9
No problema, temos quatro possíveis pontos solução .: A (0; 7), B (2; 2,4), C (3,8; 1,9) e D (7; 0)
Veja as soluções possíveis.
A (0; 7) -> Z = 100 (0) + 150 (7) = 1.050Min. 
Esta solução indica que a indústria não produziria nenhuma mistura tipo A, produziria 7 unidades da mistura
tipo B, e teria um custo de R$ 1.050,00.
B (2; 2,4) -> Z = 100 (2) + 150 (2,4) = 560Min. 
Esta solução indica que a indústria produziria 2 unidades da mistura tipo A e 2,4 unidades da mistura tipo B, e
teria um custo de R$ 560,00.
C (3,8; 1,9) -> Z = 100 (3,8) + 150 (1,9) = 665Min. 
Esta solução indica que a indústria produziria 3,8 unidades da mistura tipo A e 1,9 unidades da mistura tipo B, e
teria um custo de R$ 665,00.
D (7; 0) -> Z = 100 (7) + 150 (0) = 700Min. 
Esta solução indica que a indústria produziria 7 unidades da mistura tipo A e nenhuma unidade da mistura tipo
B, e teria um custo de R$ 700,00.
A solução do problema é o ponto , com e o custo deRS 560,00.B X = 2 e X = 2,41 2
A solução proposta viola as restrições impostas ao modelo?
Precisamos nos certificar disso fazendo a verificação.
Com a solução apresentada, podemos substituir X = 2 e X = 2,4 para verificarmos se houve violação de alguma
1 2
das restrições impostas ao modelo:
7 X + 3 X 1 2 ≤ 16
- -10
4 X1 + 5 X2 ≤ 11
2 X1 + 7 X2 ≤ 15
Substituindo, temos:
(7 x 2) + (3 x 2,4) = 21,20
(4 x 2) + (5 x 2,4) = 20
(2 x 2) + (7 x 2,4) = 20,80
Constata-se que não houve violação das restrições impostas ao modelo.
CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• Aprendeu que o método gráfico consiste em um sistema de coordenadas ortogonais, onde se mostra um 
polígono convexo que contém os pontos representativos das possibilidades;
• Compreendeu que as possibilidades são determinadas a partir do sistema de coordenadas ortogonais 
das inequações que representam as restrições, de maneira que a sua solução venha a dar o conjunto 
convexo que é a solução do sistema de inequações;
• Aprendeu a analisar a Representação Gráfica para identificar o ponto-solução;
• Descobriu que o Método Gráfico é útil, simples e de fácil entendimento quando se tem apenas duas 
variáveis decisórias;
• Aprendeu que é recomendável iniciar o Método Gráfico construindo um quadro resumo com as 
informações do problema, a partir do qual será construído o modelo matemático primal;
• Compreendeu que cada inequação será representada no gráfico por uma reta;
• Aprendeu que para plotarmos cada inequação, é preciso identificar o par ordenado de cada reta obtido, 
dividindo cada restrição pelo coeficiente das variáveis;
• Reconheceu a necessidade de verificar se as restrições impostas ao modelo foram violadas.
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- -1
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA 
TOMADA DE DECISÃO
PROGRAMAÇÃO LINEAR: MÉTODO 
SIMPLEX
- -2
Olá!
Ao final desta aula, você será capaz de:
- Utilizar o Método Simplex para resolver problemas de Programação Linear.
1 REGRAS DO ALGORITMO DO SIMPLEX
O Algoritmo dos Simplex os usa os conceitos básicos da álgebra matricial para a obtenção da solução viável ou
ótima e que satisfaz a todas as restrições.
É, portanto, uma ferramenta eficiente, eficaz e rápida na localização de pontos ótimos que melhoram fortemente
a função que queremos otimizar e indica quando a solução ótima foi atingida.
A utilização das 12 regras que você estudará a seguir facilita o entendimento do uso desse algoritmo.
Regra nº 1
O primeiro passo é transformar as inequações em equações. Isto é feito utilizando-se das chamadas variáveis de
folga.
As variáveis de folga assumirão o sinal positivo (+), se o sentido da restrição for do tipo menor e igual (≤); se o
sentido da restrição for do tipo maior e igual (≥), assumirão o sinal negativo (-).
Regra nº 2
No caso das restrições do tipo maior e igual (≥), cuja variável de folga assume o sinal negativo (-), é necessária,
também, a utilização das chamadas variáveis artificiais.
- -3
Regra nº 3
As variáveis de folga assumirão os valores crescentes, após as variáveis originais do problema.
Em um problema com três inequações e duas variáveis (X1 e X2), as variáveis de folga serão: X3 para a primeira
inequação, X4 para a segunda inequação e X5 para a terceira inequação.
Regra nº 4
A função objetiva deverá ser multiplicada por (-1), para que o valor final do quadro do simplex seja positivo.
Regra nº 5
O passo seguinte é a construção do quadro do simplex, que tem a seguinte estrutura:
Regra nº 6
DETERMINAÇÃO DA VARIÁVEL QUE ENTRARÁ NA BASE - escolhe-se na linha de , dentre as variáveis que–Z
tenham sinal negativo, a mais negativa de todas.
Regra nº 7
DETERMINAÇÃO DA VARIÁVEL QUE SAIRÁ DA BASE - dividem-se os valores da coluna b pelos valores da coluna
que entrará na base. Escolhe-se o menor valor da divisão.
Regra nº 8
Em caso de empate na escolha da variável que entrará na base ou que sairá da base, a escolha deverá ser feita de
forma arbitrária.
Essa escolha tanto poderá levar a um caminho mais curto, como a um caminho mais longo.
Regra nº 9
O valor correspondente à variável que entrará na base, com o que sairá da base (o encontro da linha e coluna),
deverá ser igual a 1.
Quando isso não ocorrer, é necessário dividir a linha pelo seu próprio valor.
Regra nº 10
- -4
Os demais valores da coluna que entrará na base deverão ser iguais a zero. Para zerar esses valores, deve-se
utilizar a linha que “entrou na base", com as demais linhas.
Regra nº 11
Só chegaremos ao final do problema quando toda a linha de Z for positiva.
Regra nº 12
A resposta do problema encontra-se na coluna b. Portanto, temos que fazer a relação das variáveis da coluna
BASE com a coluna b.
2 APLICAÇÃO DO ALGORITMO DO SIMPLEX
Vamos utilizar um exemplo para exemplificar o Método do Simplex, partindo do seu modelo matemático
primal.
2 X + X 1 2 ≤ 16
X1 + 2X2 ≤ 11
X1 + 3X2 ≤ 15
Z = 300 X + 500 XMáx. 1 2
Com base na e na do simplex, vamos transformar as inequações em equações, utilizando asRegra 1* Regra 3* 
variáveis de folga.
*Regra 1: O primeiro passo é transformar as inequações em equações. Isto é feito, utilizando-se as chamadas
variáveis de folga.
As variáveis de folga assumirão o sinal positivo (+), se o sentido da restrição for do tipo menor e igual (≤): se o
sentido da restrição for do tipo maior e igual (≥), assumirão o sinal negativo (-).
*Regra 3: As variáveis de folga assumirão os valores crescentes, após as variáveis originais do problema. Em um
problema com três inequações e duas variáveis (X1 e X2), as variáveis de folga serão: X3 para a primeira
inequação, X4 para a segunda inequação e X5 para a terceira inequação.
2 X + X + X = 161 2 3
X1 + 2X2 + X = 114
X1 + 3X2 + X = 155
A manda multiplicar a função objetivo por –1.Regra 4*
*Regra 4: A função objetiva deverá ser multiplicada por (-1), para que o valor final do quadro do simplex seja
positivo.
- Z = - 300 X - 500 XMáx. 1 2
- -5
O passo 5 (Regra 5) é a construção do quadro do simplex.
O quadro montado:
No quadro do simplex, quando uma variável está na base, o encontro da linha com a coluna é e os demais1
valores da coluna são . No quadro, verificamos que isso acontece com as variáveis , que estão nazero X3, X4 e X5
base.
O passo seguinte (Regra 6) é a determinação da variável que vai entrar na base. O objetivo do método simplex é
colocar na base as variáveis originais do problema (X1 e X2). A regra diz que deve-se escolher na linha de –Z, o
valor mais negativo.
Observe o quadro e clique sobre o valor mais negativo da linha -Z.
- -6
No exemplo, o valor mais negativo é que corresponde à variável .–500, X2
A Regra 7 aborda a determinação da variável que sairá da base, para dar lugar à variável que entrará na base. A
escolha sempre deverá ser feita nas variáveis de folga que estão na base.
O menor valor da divisão foi (15 ÷ 3), que corresponde à variável . Portanto, a variável X5 sairá da base para5 X5
dar lugar à variável .X2
Clique aqui para ver como ficará a nova base.
- -7
Como está na base, o encontro da linha com a coluna , tem que ser igual a .X2 X2 X2 1
Para tornar esse valor igual a , teremos que dividir a linha por .1 X2 3
Os demais valores da coluna de terão que ser iguais a zero. Veja como fazê-lo na próxima tela.X2 
Para zerar os demais valores da coluna de , vamos utilizar a linha (já dividida por 3), da maneira explicadaX2 X2
a seguir.
 Etapa 1: Para zerar o valor da linha de , vamos multiplicar a linha por .X3 X2 –1
- -8
Etapa 2: Em seguida, somamos a linha com a linha . X2 X3
Etapa 3:
- -9
Veja como zerar o valor da linha de .X4
Etapa1: Multiplique a linha X2 por –2. 
Etapa 2: Em seguida, some a linha com a linha .X2 X4
- -10
Etapa 3:
Clique aqui para saber como zerar o valor da linha –Z.
Para zerar o valor da linha de -Z, vamos multiplicar a linha X2 por +500 e somar à linha –Z.
Com base nas operações feitas até aqui, teremos este novo quadro do simplex. Observe.
- -11
Enquanto tivermosum valor negativo no quadro do simplex, teremos que construir um novo quadro.
*Base: O procedimento para saber qual a variável que sairá da base está na Regra 7. Dividindo 11 por 5/3,
encontramos 6,6 e dividindo 1 por 1/3, encontramos 3. Portanto, a variável que sairá da base é , para darX4
lugar à variável .X1
*-400/3: Como o valor da coluna de é negativo , a variável deverá entrar na base no lugar de X1 (- 400/3) X1 X3
ou .X4
Como está na base, o encontro da linha com a coluna tem que ser igual a . Para tanto, teremos queX1 X1 X1 1
multiplicar a linha por . Os demais valores da coluna de terão que ser iguais a zero. Para zerar os demaisX1 3 X1 
valores da coluna de , vamos utilizar a linha (que já foi multiplicada por 3), da maneira descrita a seguir.X1 X1 
Veja.
- -12
*X : Para zerar o valor da linha de , vamos multiplicar a linha por e somar à linha .
1
X3 X1 - 5/3 X3
*X : Para zerar o valor da linha de , vamos multiplicar a linha por e somar à linha .
2
X2 X1 - 1/3 X2
*-Z: Para zerar o valor da linha de , vamos multiplicar a linha por e somar à linha .-Z X1 + 400/3 - Z
Como o valor da coluna de na linha de é negativa , a variável vai entrar na base no lugar de , poisX5 - Z (-1) X5 X3
é a única variável de folga na base. Como está na base, o encontro da linha com a coluna , tem que serX5 X5 X5
igual a 1, para tanto, teremos que dividir a linha por . Os demais valores da coluna de terão que ser iguaisX5 3 X5 
a zero. Para zerar os demais valores da coluna de , vamos utilizar a linha (que já foi dividida por 3), daX5 X5 
maneira descrita a seguir. Veja.
- -13
*X1: Para zerar o valor da linha de X1, vamos multiplicar a linha X5 por 2 e somar a linha X1.
*X2: Para zerar o valor da linha de X2, vamos multiplicar a linha X5 por -1 e somar à linha X2.
*-Z: Para zerar o valor da linha de -Z, vamos somar a linha X5 à linha -Z.
Clique aqui para ver como fica o quadro Simplex.
Com base nas operações realizadas até aqui, temos o novo quadro do simplex.
A Regra 12 diz que a resposta do problema encontra-se na . Portanto, temos que fazer a relação dascoluna b
variáveis da coluna , com a .BASE coluna b
Neste caso, a resposta do problema é:
- -14
X1 = 7, X2 = 2, e . X3 e X4 = 0 X5 = 2
* X3 e X4 = 0: Toda a variável que não está na base é zero.
* X5 = 2: Isto significa que haverá uma sobra de 2 kg do recurso chumbo, conforme demonstrado na aula 04, em
que a restrição era ≤ 15 kg e o resultado final foi igual a 13 kg de chumbo.
O lucro máximo será de R$ 3.100,00.
CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• O Algoritmo dos Simplexos usa os conceitos básicos da álgebra matricial para a obtenção da solução 
viável ou ótima e que satisfaz a todas as restrições;
• O primeiro passo é transformar as inequações em equações;
• As variáveis de folga assumirão os valores crescentes, após as variáveis originais do problema;
• A função objetiva deverá ser multiplicada por (-1), para que o valor final do quadro do simplex seja 
positivo;
• Na coluna base do primeiro quadro do simplex, ficam as variáveis de folga, na coluna b, o valor das 
restrições de cada inequação e, nas demais colunas, os coeficientes das variáveis de cada inequação;
• Para determinação da variável que entrará na base, escolhe-se na linha de –Z, dentre as variáveis que 
tenham sinal negativo, a mais negativa de todas;
• Para determinação da variável que sairá da base, dividem-se os valores da coluna b pelos valores da 
coluna que entrará na base e escolhe-se o menor valor da divisão; a escolha sempre deverá ser feita nas 
variáveis de folga que estão na base;
• Em caso de empate na escolha da variável que entrará na base ou que sairá da base, a escolha deverá ser 
feita de forma arbitrária;
• O valor correspondente à variável que entrará na base com o que sairá da base, deverá ser igual a 1; 
quando isso não ocorrer, é necessário dividir a linha pelo seu próprio valor;
• Os demais valores da coluna que entrará na base, com o que sairá da base, deverão ser iguais a zero; 
para zerar esses valores, deve-se utilizar a linha que “entrou na base", com as demais linhas;
• Só chegaremos ao final do problema quando toda a linha de Z for positiva;
• A resposta do problema encontra-se na coluna b, portanto, temos que fazer a relação das variáveis da 
coluna BASE com a coluna b.
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA 
TOMADA DE DECISÃO
PROGRAMAÇÃO LINEAR: UTILIZAÇÃO DO 
SOLVER
- -2
Olá!
Ao final desta aula, você será capaz de:
- Utilizar a ferramenta Solver para resolver problemas de Programação Linear.
1 UTILIZAÇÃO DO SOLVER (Excel)
- -3
O Solver trabalha com um grupo de células relacionadas direta ou indiretamente com a fórmula na célula
destino. Ele ajusta os valores nas células variáveis especificadas (chamadas de células ajustáveis) pra produzir o
resultado especificado na fórmula da célula destino.
É importante também aplicar restrições para restringir os valores que o Solver poderá usar no modelo. As
restrições podem se referir a outras células que afetem a fórmula da célula destino.
Para que possamos resolver o nosso problema de Programação Linear é preciso acessar o Solver.
Na versão 2003 do Office Excel, clique no menu Ferramentas e logo em seguida em Solver.
Na versão 2007 do programa, o Solver está disponível no grupo Análise, na guia Dados.
Caso a ferramenta Solver não esteja disponível na versão 2003 do Excel, clique no menu Ferramentas e depois
em Suplementos e marque a opção Solver. O Excel instalará a mesma, disponibilizando-a para uso.
Veja como instalar o Solver na versão 2007 do Excel.
Instalando o Solver
- -4
2 APLICAÇÃO DO SOLVER
Para verificarmos a aplicação do , vamos utilizar um exemplo.Solver
“Uma indústria fabrica dois tipos de liga, a partir da combinação das seguintes matérias primas - cobre, zinco e
chumbo:
A utiliza e liga tipo A 2 kg de cobre, 1 kg de zinco 1 kg de chumbo;
A utiliza e liga tipo B 1 kg de cobre, 2 kg de zinco 3 kg de chumbo.
A fábrica tem disponibilidade de , e .16 kg de cobre 11 kg de zinco 15kg de chumbo
O lucro na venda de uma unidade da é de eliga tipo A R$ 300,00 na liga tipo B, R$ 500,00.
Deseja-se saber as , que deverão ser produzidas, para que a indústria tenha um quantidades de liga tipo A e B
”.lucro máximo
A solução do problema que você acabou de analisar tem o modelo matemático primal mostrado a seguir.
2 X + X 1 2 ≤ 16
X1 + 2X2 ≤ 11
- -5
X1 + 3X2 ≤ 15
Z = 300 X + 500 XMáx. 1 2
SAIBA MAIS
Conheça a tela do Excel onde o problema será solucionado.
Observe um modelo de máscara do Solver no Excel.
Figura 1 - Tela do Excel, onde serão calculadas a quantidade produzida de cada produto (Coluna E Linhas 5 e 6), 
o lucro máximo (Coluna B Linha 7) e as restrições (Colunas B, D e F Linha 16).
Para abrir a janela , basta clicar em na tela inicial do Excel.Parâmetros do Solver Solver
- -6
O primeiro quadro do Solver corresponde aos valores da função objetivo, que pode ser de maximização ou de
minimização.
O segundo quadro é destinado à resposta das variáveis do problema, que no exemplo são apenas duas: X1 e X2.
O terceiro quadro é destinado às inequações do problema.
DEFINIÇÃO DA CÉLULA DESTINO
Especifica a célula de destino que você deseja definir para um determinado valor ou maximizar/minimizar.
Max. z = 300x + 500x (Função objetivo)
1 2
Maximizar o lucro = Coluna B Linha 7
- -7
DEFINIÇÃO DAS CÉLULAS VARIÁVEIS
Especifica as células que podem ser ajustadas até que as restrições no problema sejam atendidas e a célula
especificada na caixa atinja seu alvo.Definir Célula de Destino
Intervalo entre:
Coluna E Linha 5Quantidade do Produto A = 
 Coluna E Linha 6Quantidade do Produto B =
SUBMETER AS RESTRIÇÕES
Listar as restrições atuais para o problema.
2 X + X 1 2 ≤ 16
X1 + 2X2 ≤ 11
- -8
X1 + 3X2 ≤ 15
X 1 ≥ 0
X ≥ 02
Para inserir as restrições, dique no botão para exibir a janela .Adicionar Adicionar restrição
Na janela incluaa 1ª Condição 2x + 1x Adicionar restrição
1 2
≤ 16 (Coluna linha B 16 ≤ Coluna Linha ) eB 12
clique em .Adicionar
Repita o processo para incluir a 2ª condição (Coluna Linha ≤ Coluna Linha ) e a 3ªX + 2X ≤ 111 2 D 16 D 12
condição (Coluna Linha ≤ Coluna Linha ).X + ≤ 151 3X2 F 16 F 12
- -9
Ao inserir a última condição clique em na janela . Será novamente exibida a janela OK Adicionar restrição
 com as restrições incluídas. Observe.Parâmetros do Solver
Clique no botão da janela para exibir a janela Opções do . Veja.Opções Parâmetros do Solver Solver
- -10
X 1 ≥ 0
X ≥ 02
Como e não podem ser números negativos, marque a opção . Clique em ,X 1 X 2 Presumir não negativos OK
voltando à janela anterior, onde você deverá clivar em .Resolver
Ao clicar no botão da janela aparecerá a tela final .Resolver Parâmetros do Solver, Resultados do Solver
- -11
Ao clicar em , aparecerá o resultado na planilha.OK
Veja os resultados apresentados na planilha.
1. O apurado no valor de R$ 3.100,00 (Coluna B linha 7).lucro máximo
2. :Quantidades a serem produzidas
Liga A unidades (Coluna linha ) = 7 E 5
Liga B unidades (Coluna linha ) = 2 E 6
3. Restrições
- -12
Cobre≤ 16 Resultado = kg (Coluna Linha ) 16 B 16
Restrições
Zinco≤ Resultado = kg (Coluna Linha )11 11 D 16
Restrições
Chumbo≤ 15 Resultado = kg (Coluna Linha ) 13 F 16
3 SOFTWARES DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
Além do Solver, existem outros específicos para resolver problemas de Programação Linear. Dentre ossoftwares 
existentes, o mais popular é o ( ), que pode ser utilizado paraLindo Linear, Interative, Discrete, Optimizer
resolução de problemas de Programação Linear, Quadrática ou Inteira. O Lindo oferece uma solução superior ao
Solver.
A versão educacional para ambiente Windows do programa pode ser obtida gratuitamente, via download, no
seguinte endereço: www.lindo.com.
Um outro software disponível é o que pode ser acessado no seguinteLinear Programming – A 3D Model,
endereço:
.http://www.teacherlink.org/content/math/interactive/flash/linearprogramming/linearprogramming.html
- -13
CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• Aprendeu que para abrir a janela Parâmetros do Solver, basta clicar em Solver na tela inicial do Excel;
• Aprendeu que o Solver permite localizar um valor ideal para uma fórmula em uma célula (chamada de 
célula destino) em uma planilha do Excel;
• Compreendeu que o Solver trabalha com um grupo de células relacionadas direta ou indiretamente com 
a fórmula na célula destino, ajustando os valores nas células variáveis especificadas (chamadas de células 
ajustáveis) para produzir o resultado especificado na fórmula da célula destino;
• Descobriu que o primeiro quadro do Solver corresponde aos valores da função objetivo, que pode ser de 
maximização ou de minimização;
• Descobriu que o segundo quadro do Solver é destinado à resposta das variáveis do problema;
• Descobriu que o terceiro quadro do Solver é destinado às inequações do problema;
• Aprendeu que na definição da célula de destino você especifica a célula de destino que deseja definir 
para um determinado valor ou maximizar/minimizar;
• Aprendeu que na definição das células variáveis você especifica as células que podem ser ajustadas até 
que as restrições no problema sejam atendidas e a célula especificada na caixa Definir Célula de Destino 
atinja seu alvo;
• Aprendeu que para submeter às restrições você lista as restrições atuais para o problema;
• Aprendeu os procedimentos para definir a célula de destino, definir as células variáveis, submeter as 
restrições e resolver o problema.
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA 
TOMADA DE DECISÃO
TEORIA DA DUALIDADE
- -2
Olá!
Ao final desta aula, você será capaz de:
- Entender que todo problema de Programação Linear, chamado primal, tem associado a ele outro problema de
Programação Linear, chamado dual.
1 O PROBLEMA DUAL
Uma das mais importantes descobertas no início do desenvolvimento da foi o conceito de Programação Linear
e suas muitas ramificações importantes.dualidade 
Esta descoberta revelou que todo o problema de Programação Linear tem associado a ele outro problema de
Programação Linear chamado dual.
Problema de Programação Linear
Problema de Programação Linear Dual
As relações entre o problema dual e o problema original (chamado de primal) provam ser úteis de diversas
maneiras.
2 COMPARAÇÃO DA FORMA DOS PROBLEMAS PRIMAL E 
DUAL
A cada modelo de Programação Linear, corresponde um outro modelo, denominado dual, formado por esses
mesmos coeficientes, porém dispostos de maneira diferente, utilizando-se o conceito de matriz transposta.
Saiba mais
Problema dual - O problema dual é um modelo associado ao original, que traz a
interpretabilidade econômica para os valores de recursos e para os coeficientes da função
objetivo.
Esta interpretabilidade serve para amenizar as dúvidas impostas pela hipótese de certeza do
problema de Programação Linear.
- -3
SAIBA MAIS
Vamos entender melhor o conceito de Programação Dual?
Exemplo
Seja o assim definido:problema primal
a x + a X +...........+ a x 
11 11 12 2 1n n
≤ b
1
 (y )
1
a x + a X +...........+ a x 
21 11 22 2 2n n
≤ b
2
 (y )
1
..................................................................
Z = C x + C x +.........+ C x
Max 1 1 2 2 n n
Associando-se a cada i do primal uma conforme indicado acima, o é assimrestrição variável y ,1 problema dual
definido
a y + a y +...........+ a y 
11 11 21 2 m1 m
≥ c
1
a y + a X +...........+ a y 
12 11 22 2 m2 m
≥ c
2
................................................................
a y + a y +...........+ a x 
n1 1 n2 2 mn m
≥ c
n
Z = b y + b y +.........+ b y
Min 1 1 2 2 n m
Para ilustrar a teoria que você acabou de estudar, veja agora um exemplo numérico.
Modelo matemático primal
2 X + X 1 2 ≤ 16
X1 + 2X2 ≤ 11
X1 + 3X2 ≤ 15
Z = 300 X + 500 XMáx. 1 2
Modelo matemático dual associado ao primal
2Y + Y + Y 1 2 3 ≥ 300
Y + 2Y + 3Y 1 2 3 ≥ 500
Z = 16Y + 11Y + 15YMin 1 2 3
Observe atentamente os dois modelos e procure identificar as características de cada um.
SAIBA MAIS
Depois, leia um comentário sobre essa comparação.
Comentário
Comparando os modelos e , verificamos que:primal dual
As do dual são do tipo ≥ ao passo que as do são do tipo restrições , primal ≤;
- -4
O número de do (m valores de y ) é ao número de do ;incógnitas dual 
i
igual restrições primal
O número de do é ao número de do (n valores de x );restrições dual igual incógnitas primal 
j
A do é a da matriz dos coeficientes do ;matriz dos coeficientes dual transposta primal
A do é de , ao passo que a do é de ;função objetivo dual minimização primal maximização
As são ostermos constantes das restrições do dual coeficientes da função objetivo do primal;
Os são oscoeficientes da função objetivo do dual termos constantes das restrições do primal.
3 EXEMPLO DA SOLUÇÃO GRÁFICA DO PRIMAL E DUAL
Para facilitar o entendimento, vamos utilizar um exemplo de modelo matemático primal com duas variáveis
 com apenas .(X1 e X2), duas inequações
Primal
X + 2X 1 2 ≤ 3 (3; 1,5)
X1 + X2 ≤ 2 (2; 2)
Z = 5 X + 7 XMáx. 1 2
Dual
Y + Y 1 2 ≥ 5 (5; 5)
2Y + Y 1 2 ≥ 7 (3,5; 7)
Z = 3Y + 2YMin 1 2
Conheça os dados do problema que aparecem na solução gráfica.
Dados do problema
• Substituindo os pontos solução na função objetivo do primal:
A (0; 1,5) -> Z = 5 (0) + 7 (1,5) = 10,5
Máx
•
- -5
B (1: 1) -> Z = 5 (1) + 7 (1) = 12
Máx
C (2: 0) -> Z = 5 (2) + 7 (0) = 10
Máx
O ponto solução é X = 1 e X = 1, que maximiza o lucro em 12.1 2
• Substituindo os pontos solução na função objetivo do dual:
A (0; 7) -> Z = 3 (0) + 2 (7) = 14
Min
B (2: 3) -> Z = 3 (2) + 2 (3) = 12
Min
C (5: 0) -> Z = 3 (5) + 2 (0) = 15
Min
O ponto solução é Y = 2 e Y = 3, que minimiza o lucro em 12.1 2
4 MÉTODO DUAL-SIMPLEX
Você conhece as características do ?Método Dual-Simplex
O método Dual-Simplexlida com o quê?
O lida diretamente com soluções básicas incompatíveis, porém “melhores que a ótima”, emétodo Dual-Simplex
procura achar a compatibilidade do problema. Ele lida com o problema exatamente como se o método simplex
estivesse sendo simultaneamente aplicado ao seu problema dual.
 O método Dual-Simplex é empregado em quê?
O é bastante empregado em análise de sensibilidade, quando são feitas pequenasmétodo Dual-Simplex 
modificações no modelo. Além disso, algumas vezes é mais fácil começar com uma solução básica incompatível,
porém “melhor que a ótima”, e procurar a compatibilidade, do que obter uma solução compatível básica inicial e
depois otimizá-la, como se faz no método simplex.
Para facilitar o entendimento do método, vamos utilizar um exemplo.
X + 2X 1 2 ≤ 3
X1 + X2 ≤ 2
Z = 5 X + 7 XMáx o lucro. 1 2
Colocando as variáveis de folga nas inequações do modelo matemático primal e multiplicando a função objetivo
por (-1) temos:
X + 2X + X =1 2 3 3
X1 + X2 + X = 24
-Z = -5X – 7XMáx o lucro 1 2
•
- -6
Veja como ficou a construção do primeiro quadro do simplex.
1º Quadro do Simplex
Aplicando as regras do simplex, chegamos aos quadros do simplex.
2º Quadro do Simplex
3º Quadro do Simplex
O próximo passo é colocar as variáveis de folga nas inequações do modelo matemático dual e multiplicar a
função objetivo por (-1). Veja o resultado dessa operação.
Y + Y - Y =1 2 3 5
2Y1 + Y2 - Y = 74
- -7
-Z = -3Y – 2XMin o custo 1 2
Agora é possível identificar a solução do dual.
Veja como fazê-lo.
Solução dual
Para identificarmos a solução do dual, basta colocar no último quadro do simplex primal, onde temos as
variáveis originais do modelo primal, as variáveis de folga do dual e onde ficam as variáveis de folga do primal,
as variáveis originais do dual. Observe.
Veja como é feita a identificação da solução no quadro do simplex.
Primal: é a relação das variáveis da linha da base com os valores da coluna b, sendo portanto X = 1, X = 1, X = 
1 2 3
0 e X = 0, e o valor máximo de lucro igual a 12.
4
Dual: é a relação das variáveis que estão na primeira linha com os valores que estão na linha –Z, sendo portanto 
Y = 2, Y = 3, Y = 0 e Y = 0, e o valor mínimo de custo igual a 12.
1 2 3 4
Em resumo, quando trocamos a visão de maximização do lucro (diferença entre receita e custo) na fase primal,
pela minimização de custos na fase dual, estamos considerando o benefício da produção.
CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• Aprendeu que todo o problema de Programação Linear tem associado a ele outro problema de 
Programação Linear chamado dual;
• Compreendeu que o problema dual é um modelo associado ao original, que traz a interpretabilidade 
econômica para os valores de recursos e para os coeficientes da função objetivo;
• Descobriu que a interpretabilidade serve para amenizar as dúvidas impostas pela hipótese de certeza do 
problema de Programação Linear;
• Aprendeu que a cada modelo de Programação Linear, corresponde um outro modelo, denominado dual, 
•
•
•
•
- -8
• Aprendeu que a cada modelo de Programação Linear, corresponde um outro modelo, denominado dual, 
formado por esses mesmos coeficientes, porém dispostos de maneira diferente, utilizando-se o conceito 
de matriz transposta;
• Aprendeu que o método Dual-Simplex lida diretamente com soluções básicas incompatíveis, porém, 
“melhores que a ótima”, e procura achar a compatibilidade do problema, sendo bastante empregado em 
análise de sensibilidade, quando são feitas pequenas modificações no modelo;
• Aprendeu os procedimentos para aplicação do método Dual-simplex.
•
•
•
- -1
MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA 
TOMADA DE DECISÃO
TEORIA DOS JOGOS: CONCEITOS BÁSICOS
- -2
Olá!
Ao final desta aula, você será capaz de:
- Entender que a Teoria dos Jogos é uma teoria matemática sobre conflito e colaboração de situações nas quais se
pode favorecer ou contrariar um ou outro ou ambos ao mesmo tempo;
- Compreender que a Teoria dos Jogos não pretende resolver todos os tipos de conflito, porém, nos dá uma
melhor compreensão em situações complicadas, por meio de suas diversas técnicas de como analisar estes
problemas.
1 INTRODUÇÃO
A Teoria dos Jogos é uma teoria matemática sobre conflito e colaboração de situações nas quais se pode
favorecer ou contrariar um ou outro ou ambos ao mesmo tempo.
Os homens algumas vezes lutam uns contra os outros e algumas vezes cooperam entre si, dispõem de diferentes
graus de informação acerca do próximo e suas aspirações os conduzem ao conflito ou à colaboração.
Para alguns jogos, a teoria pode indicar uma solução para o jogo, isto é, a melhor maneira a proceder para cada
pessoa envolvida.
Entre os anos de 1928 a 1942, John Von Newmann publicou em revistas especializadas em matemática a Teoria
dos Jogos Estratégicos.
Em 1944, Von Newmann e Oskar Morgenstern publicaram o livro Theory of Games and Economic Behavior
(Teoria dos Jogos e Desenvolvimento Econômico), que marca o início da Teoria dos Jogos que também teve a
contribuição de outros pesquisadores.
- -3
Em 1994, os pesquisadores John Nash, o alemão Reinhard Selten e o húngaro naturalizado americano John
Harsanyi, foram agraciados com o Nobel de Economia, em reconhecimento aos seus trabalhos no campo da
Teoria dos Jogos não cooperativos que é uma das ferramentas mais utilizadas na economia.
Saiba mais
Conheça mais sobre o conteúdo desse livro.
Conteúdo
No livro publicado por Von Newmann e Morgenstern são analisadas duas abordagens.
A primeira abordagem é a dos jogos cooperativos, que procura descrever o comportamento
ótimo em jogos que envolvem a participação muito grande de jogadores.
O objetivo desta classe de jogos é estabelecer os tipos de colisões possíveis que são
consistentes com o comportamento racional. Na segunda abordagem, é analisada a estratégia
de jogos não cooperativos.
- -4
- -5
2 A BATALHA DO MAR DE BISMARCK
Existem situações nas quais ocorrem interações estratégicas, que podem ser caracterizadas como “jogos”.
Portanto, é possível indagar-se se existe alguma maneira de analisar e conhecer melhor os possíveis
desdobramentos desse tipo de situação em que há interação estratégica.
Iremos utilizar a batalha do mar de Bismarck, da segunda guerra mundial, para ilustrar para que serve a Teoria
dos Jogos.
3 UM JOGO
Um jogo pode ser definido como uma representação formal que permite a análise das situações em que agentes
(jogadores) interagem entre si, agindo de forma racional. Vamos descrever cada um dos seus elementos.
Um jogo é um modelo formal
A Teoria dos Jogos envolve técnicas de descrição e análise, que exigem regras preestabelecidas para apresentar e
estudar um jogo.
Interações
As ações de cada agente devem ser consideradas individualmente, pois afetam os demais. Existe, porém, alguns
autores, que consideram que as ações de um agente não chegam a afetar os demais.
Agentes (jogadores)
Saiba mais
Conheça mais sobre a Teoria dos Jogos.
Teoria dos Jogos
A Teoria dos Jogos não é uma teoria única, mas um conjunto de teorias. Um jogo não passa de
um modelo da realidade, e esperar que um único modelo possa refletir com precisão tipos de
atividade tão diversas seria um exagero.
A Teoria dos Jogos não pretende resolver todos os tipos de conflito, porém dá uma melhor
compreensão em situações complicadas, através da sua coleção de técnicas para analisar estes
problemas.
A palavra “jogadores” não tem exatamente o sentido que se poderia esperar. O jogador pode
ser uma pessoa, pode ser uma equipe, uma empresa, um país.
- -6
É considerado qualquer indivíduo ou um grupo de indivíduos com capacidade de decisão para afetar os demais.
Agentes (jogadores) tanto podem ser indivíduos como empresas, governos, sindicatos ou partidos políticos.
Racionalidade
Considerar que os agentes (jogadores) são racionais significa supor que os indivíduos empregam os meios mais
adequados aos objetivos que almejam alcançar.
Comportamento Estratégico
Entende-seque cada jogador, ao tomar a sua decisão, leva em consideração o fato de que os jogadores interagem
entre si, pois sua decisão terá consequências sobre os demais jogadores, e que também as decisões dos outros
jogadores terão consequências sobre ele.
Um jogo envolve a interdependência mútua das ações de seus jogadores, e isso leva naturalmente os jogadores a
considerarem, em suas decisões, os efeitos sobre os demais jogadores, bem como as reações destes.
No contexto empresarial, a Teoria dos Jogos provê um conjunto de ferramentas para a análise de problemas de
decisão que uma empresa enfrenta quando o seu destino depende tanto de sua estratégia quanto da estratégia
de seus concorrentes.
Existem jogos que não envolvem decisões estratégicas, como, por exemplo, as loterias de prognósticos, que são
jogos de pura sorte, ou jogos que envolvem habilidades, como natação nas Olimpíadas. Jogos de habilidade e
pura sorte, que não envolvem decisões estratégicas, não serão considerados neste curso.
CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• Aprendeu que a Teoria dos Jogos é uma teoria matemática sobre conflito e colaboração, de situações nas 
quais se pode favorecer ou contrariar um ou outro ou ambos ao mesmo tempo;
• Descobriu que entre os anos de 1928 a 1942 John Von Newmann, publicou em revistas especializadas 
em matemática a Teoria dos Jogos Estratégicos;
• Aprendeu que, em 1944, Von Newmann e Oskar Morgenstern publicaram o livro Theory of Games and 
Economic Behavior (Teoria dos Jogos e Desenvolvimento Econômico), que marca o início da Teoria dos 
Jogos;
• Aprendeu as duas abordagens desse livro - a dos jogos cooperativos, que procura descrever o 
comportamento ótimo em jogos que envolvem a participação muito grande de jogadores, e a estratégica 
de jogos não cooperativos;
• Descobriu que, em 1994, os pesquisadores John Nash, Reinhard Selten e John Harsanyi, foram 
agraciados com o Nobel de Economia, em reconhecimento aos seus trabalhos no campo da Teoria dos 
Jogos não cooperativos, uma das ferramentas mais utilizadas na economia;
• Compreendeu que a Teoria dos Jogos não é uma teoria única, mas um conjunto de teorias e que um jogo 
não passa de um modelo da realidade;
• Aprendeu que a Teoria dos Jogos não pretende resolver todos os tipos de conflito, porém dá uma melhor 
•
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• Aprendeu que a Teoria dos Jogos não pretende resolver todos os tipos de conflito, porém dá uma melhor 
compreensão em situações complicadas, através da sua coleção de técnicas para analisar estes problemas;
• Percebeu que a palavra “jogadores” não tem exatamente o sentido que se poderia esperar; o jogador 
pode ser uma pessoa, pode ser uma equipe, uma empresa, um país;
• Descobriu que existem situações nas quais ocorrem interações estratégicas, que podem ser 
caracterizadas como “jogos”;
• Aprendeu que um jogo pode ser definido como uma representação formal que permite a análise das 
situações em que agentes (jogadores) interagem entre si de forma racional;
• Conheceu a definição de cada um dos elementos de um jogo;
• Descobriu que um jogo envolve a interdependência mútua das ações de seus jogadores e que, no 
contexto empresarial, a Teoria dos Jogos provê um conjunto de ferramentas para a análise de problemas 
de decisão que uma empresa enfrenta.
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA 
TOMADA DE DECISÃO
MODELO DE JOGOS
- -2
Olá!
Ao final desta aula, você será capaz de:
- Entender que jogos são modelos que tratam de interações estratégicas e que as interações estratégicas são o
resultado do reconhecimento, por parte de cada um dos jogadores, de que suas ações afetam os demais e vice-
versa.
1 INTRODUÇÃO
Em diversas circunstâncias, como na economia e no mundo dos negócios, empresas, governo e consumidores se
envolvem em processos de interação estratégica.
Portanto, é preciso saber como modelar esses processos e como analisá-los, procurando determinar as possíveis
consequências dessas interações, ou seja, utilizar a linguagem da Teoria dos Jogos, para identificar os possíveis
resultados do jogo.
2 EMPREGO DE ESTRATÉGIA EM JOGO SIMULTÂNEO
Para apresentar um jogo simultâneo, a forma mais adequada é por meio da forma estratégica ou normal.
- -3
3 EMPREGO DE ESTRATÉGIA EM JOGO SEQUENCIAL
Jogos simultâneos não nos fornecem informações sobre eventuais desdobramentos futuros das escolhas dos
jogadores.
Porém, muitas vezes, o processo de interação estratégica se desenvolve em etapas sucessivas.
- -4
Para melhor representar esse tipo de jogo, vamos utilizar o exemplo da 3M quanto ao lançamento das esponjas
de lã de aço.
Saiba mais
Para saber mais sobre estratégia em jogo sequencial:
Estratégia em jogo sequencial - Muitas vezes os jogadores fazem escolhas a partir do que os
outros jogadores decidiram no passado e, portanto, nem sempre as decisões são tomadas
ignorando as decisões dos demais jogadores.
A forma de representar e analisar um jogo sequencial é diferente dos jogos simultâneos. A
melhor forma de apresentar a noção de jogos sequenciais é utilizar a forma estendida (árvore
de decisão).
- -5
Na figura está a representação de um jogo entre a 3M e a Bombril em que a 3M decide antes se vai ou não lançar
uma esponja de lã de aço e, a partir daí, a Bombril toma a sua decisão, já conhecendo a escolha da 3M
Caso a 3M decida lançar sua própria esponja de lã de aço e a Bombril reduza o preço da sua, cada empresa obtém
um lucro na produção das esponjas de lã de aço de 2 milhões de reais.
Outra situação que pode ocorrer, é a Bombril decidir manter inalterado o preço do seu produto, suas vendas se
reduzem significativamente e seus lucros caem para 1 milhão, enquanto a 3M ocupa o mercado e vê seus lucros
chegarem a 4 milhões
A outra possibilidade é que a 3M decida não lançar a sua esponja de lã de aço. Nesse caso, a decisão da Bombril
de reduzir ou não o preço do seu produto, vai afetar apenas o seu lucro. O resultado seria 3 milhões e 4 milhões,
respectivamente.
É importante lembrar, que a Bombril sempre decide depois de conhecer a decisão da 3M, o que é diferente da
situação do exemplo dos dois bancos
No exemplo utilizado, verificou-se que um jogo sequencial é aquele em que os jogadores realizam seus
movimentos em uma ordem predeterminada.
- -6
4 ÁRVORE DE DECISÃO
Uma árvore de decisão, também chamada de árvore de jogos, é composta de ramos e nós. Cada nó representa
uma etapa do jogo em que um dos jogadores tem de tomar uma decisão.
Já um ramo representa uma escolha possível para o jogador, a partir do seu nó, isto é, um ramo é uma ação do
conjunto de ações do jogador, em um determinado nó.
- -7
5 ESTRATÉGIAS E CONJUNTOS DE INFORMAÇÃO
Em função dos conceitos já apresentados, temos condições de discutir as escolhas que os jogadores podem fazer
em um jogo. A hipótese de que os jogadores são racionais, também deve ser levada em consideração.
Como se caracteriza a racionalidade dos jogadores?
Sendo racionais, os jogadores envolvidos no processo de interação estratégica não decidem considerando apenas
a etapa em que se encontram, mas também todo o desenvolvimento do processo de interação até ali e suas
consequências futuras.
Qual a exigência em relação à estratégia de cada jogador?
Como os jogadores podem, ou devem, interagir estrategicamente é exigida uma análise das estratégias de cada
jogador. O conjunto de estratégias de cada jogador é chamado de conjunto de estratégias ou espaço de
estratégias.
Em jogos sequenciais os jogadores são capazes de, em algum momento, fazer suas escolhas conhecendo as ações
dos demais em etapas anteriores.
No exemplo da 3M, com relação ao lançamento de esponjas de lã de aço, a Bombril decide o que fazer após a 3M
ter decidido se lança ou não a sua esponja de lã de aço.
Nesse caso, considerando a definição de estratégia, a Bombril teria várias estratégias que comporiam o seu
conjunto de estratégias.
Saiba mais
Para conhecer as regras para construir uma árvore de decisão:
Árvore de Decisão- A elaboração de uma árvore de decisão deve obedecer as seguintes
regras:
· Todo nó deve ser representado por, no máximo, um outro nó apenas;
· Nenhuma trajetória pode ligar um nó a ele mesmo;
· Todo nó na árvore de decisão deve ser sucessor de um único e mesmo nó inicial.
- -8
SAIBA MAIS
Para conhecer o conjunto de estratégias da Bombril:
Estratégias da Bombril
Reduz o preço se a 3M a esponja de lã de aço, se a 3M a esponja de lã de aço.lança mantém o preço não lança
Mantém o preço se a 3M a esponja de lã de aço, se a 3M a esponja de lã de aço.lança reduz o preço não lança
Mantém se a 3M lança a esponja de lã de aço, se a 3M a esponja de lã de o preço mantém o preço não lança
aço.
Reduz se a 3M lança a esponja de lã de aço, se a 3M a esponja de lã de aço. o preço reduz o preço não lança
Verifica-se que cada estratégia da Bombril define antecipadamente o que ela irá fazer de acordo com cada
possível escolha da 3M, uma vez que a Bombril decide depois da 3M.
No caso da 3M, como ela decide antes da Bombril, sem nenhuma decisão anterior para considerar, seu espaço de
estratégias coincide com o seu conjunto de ações.
Estratégias da 3M
Não lançar a esponja de lã de aço
Lançar a esponja de lã de aço
SAIBA MAIS
Para ler um importante comentário sobre a modelagem de jogos:
Modelagem de jogos
A diferença existente no espaço de estratégias da Bombril, quando comparado ao espaço de estratégias dos
jogadores na forma estratégica, pode ser vista como um resultado da diferença nas informações da Bombril.
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A diferença nas informações da Bombril é decorrente do fato de que, enquanto os jogadores em jogos
simultâneos decidem sem saber qual foi a decisão dos demais jogadores, no jogo sequencial a Bombril decide o
que fazer em relação ao preço de sua esponja de lã de aço sabendo o que a 3M decidiu.
Conclui-se, portanto, que ao se modelar um jogo, a opção entre um jogo simultâneo ou um jogo sequencial deve
estar baseada nas informações de que os jogadores dispõem sobre as decisões dos demais.
CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• Compreendeu que em diversas circunstâncias, como na economia e no mundo dos negócios, empresas, 
governo e consumidores se envolvem em processos de interação estratégica;
• Descobriu que é preciso saber como modelar esses processos e como analisá-los utilizando a linguagem 
da Teoria dos Jogos;
• Aprendeu que para apresentar um jogo simultâneo, a forma mais adequada é por meio da forma 
estratégica ou normal;
• Compreendeu que jogos simultâneos não nos fornecem informações sobre
• Eventuais desdobramentos futuros das escolhas dos jogadores, porém, muitas vezes, o processo de 
interação estratégica se desenvolve em etapas sucessivas;
• Percebeu que os jogadores fazem escolhas a partir do que os outros jogadores decidiram no passado;
• Aprendeu que a forma de representar e analisar um jogo sequencial é diferente dos jogos simultâneos;
• Descobriu que a melhor forma de apresentar a noção de jogos sequenciais é utilizar a forma estendida 
(árvore de decisão);
• Aprendeu que uma árvore de decisão, também chamada de árvore de jogos, é composta de ramos e nós e 
que cada nó representa uma etapa do jogo em
• Que um dos jogadores tem de tomar uma decisão;
• Aprendeu que um ramo representa uma escolha possível para o jogador, a partir do seu nó;
• Identificou as regras para elaboração de uma árvore de decisão;
• Compreendeu que os jogadores envolvidos no processo de interação estratégica não decidem 
considerando apenas a etapa em que se encontram, mas todo o processo e suas consequências futuras;
• Compreendeu que como os jogadores podem, ou devem, interagir estrategicamente é exigida uma 
análise das estratégias de cada jogador.
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MÉTODOS QUANTITATIVOS PARA 
TOMADA DE DECISÃO
JOGO SIMULTÂNEO: O EQUILÍBRIO DE 
NASH
- -2
Olá!
Ao final desta aula, você será capaz de:
- Entender que o equilíbrio de Nash diz que a combinação de estratégias constitui um equilíbrio quando cada
estratégia é a melhor resposta possível às estratégias dos demais jogadores;
- Compreender que, nesse contexto, os jogadores tomam suas decisões em situações de interação estratégicas,
isto é, como se deve jogar um jogo.
1 O EQUILÍBRIO DE NASH
O conceito de equilíbrio de Nash diz que a combinação de estratégias constitui um equilíbrio quando cada
estratégia é a melhor resposta possível às estratégias dos demais jogadores, e isso é verdade para todos os
jogadores.
Portanto, deve-se levar em consideração que os jogadores tomam suas decisões em situações de interação
estratégica, isto é, como se deve jogar um jogo. Precisamos determinar quais serão os resultados mais prováveis
do jogo caso os jogadores ajam racionalmente.
Na análise de um jogo, deve-se levar em consideração a hipótese de que os jogadores escolhem a estratégia que
produz os melhores resultados, dados os seus objetivos.
Para entendermos o conceito de equilíbrio de Nash, vamos utilizar o exemplo de interação estratégica do livro do
Ronaldo Fiani (2006). A empresa Entrante, tem que decidir se entra no mercado brasileiro de produtos
siderúrgicos, no qual a empresa nacional Dominante, já domina uma parcela significativa do comércio desses
produtos.
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Mesmo que não haja equilíbrio em estratégias estritamente dominantes, pode haver um equilíbrio de Nash no
jogo. Se houver um equilíbrio em estratégias estritamente dominantes, ele será também um equilíbrio de Nash?
Para tentar responder a pergunta acima, vejamos o jogo onde os países A e B exportam produtos agropecuários
um para o outro.
2 O EQUILÍBRIO DE NASH - DILEMA DOS PRISIONEIROS
O dilema dos prisioneiros é provavelmente o mais clássico problema da Teoria dos Jogos, que foi popularizado
pelo matemático Albert W. Tucker, que tem muitas aplicações no estudo da cooperação entre indivíduos.
• Dois suspeitos são presos e acusados de um roubo.
• A polícia acredita que ambos estão envolvidos, mas não dispõe de provas suficientes para condená-los a 
menos que um dos sujeitos opte por confessar sua parcela de culpa.
• A polícia coloca os suspeitos em celas separadas.
• E faz a seguinte proposta: se ele confessar o roubo e seu parceiro não confessar, ele será liberado em 
razão da cooperação com a polícia, enquanto que o seu parceiro que não confessou, irá amargar 4 anos de 
prisão.
• Porém, se ele não confessar, mas seu parceiro o fizer, ele irá amargar 4 anos de prisão, enquanto o seu 
•
•
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• Porém, se ele não confessar, mas seu parceiro o fizer, ele irá amargar 4 anos de prisão, enquanto o seu 
parceiro será liberado.
• Caso ambos confessem, a cooperação individual de um deles perde o valor como denúncia do comparsa 
e ambos enfrentam uma pena de 2 anos de prisão.
SAIBA MAIS
Veja um quadro que o ajudará a decidir.
Veja um quadro
Para determinar o resultado mais provável do jogo, considere a forma estratégica abaixo que descreve as
recompensas em anos a serem passados na prisão.
SAIBA MAIS
Para participar da solução do dilema:
Aplicando o conceito de equilíbrio de Nash para determinar o resultado mais provável do jogo do Dilema dos
Prisioneiros, podemos ver que a melhor resposta que qualquer um dos suspeitos pode adotar para a estratégia
{não confessa} do outro é {confessa}. Por outro lado, a melhor resposta à estratégia {confessa} é, também,
{confessa}, que produz 2 anos de cadeia, contra 4 anos no caso de {não confessa}.
Se os suspeitos agirem racionalmente, confessarão o roubo, pois se um deles escolhesse {não confessa}, seria
prejudicado pelo outro, que anularia sua pena confessando.
É bom lembrar que o resultado obtido no Dilema dos Prisioneiros é derivado da condição de que os suspeitos
não podem se comunicar.
Um jogo é dito não cooperativo quando os jogadores não podem estabelecer compromissos. Se os jogadores
puderam estabelecer compromissos, e esses compromissos possuem garantias efetivas, diz-se que o jogo é
cooperativo.
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CONCLUSÃO