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Conservação de energia mecânica APRESENTAÇÃO É possível solucionar vários problemas mecânicos a partir do conhecimento dos princípios de conservação de energia. Ao analisar um determinado sistema, avalia-se sobretudo a forma em que a sua energia se comporta à medida em que evolui. A energia mecânica reúne todas as possíveis energias que atuam em um sistema, nesta Unidade de Aprendizagem estudaremos a conservação da energia mecânica. Bons estudos. Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados: Definir o que é energia cinética e potencial em um sistema conservativo.• Calcular as variações da energia em um sistema mecânico.• Resolver problemas mecânicos a partir da conservação de energia mecânica.• DESAFIO Uma pedra com massa de 15 kg se desloca com velocidade constante de 10m/s. Ao encontrar uma mola constante elástica 1000 N/m, começa a perder velocidade até atingir o repouso absoluto. Diante deste contexto, você pode encontrar o valor da compressão sofrida pela mola neste momento? INFOGRÁFICO Em um sistema isolado nenhuma energia é transferida para fora ou para dentro desse mesmo sistema. Veja um exemplo no infográfico: CONTEÚDO DO LIVRO Para compreender melhor a conservação de energia mecânica e suas aplicações, acompanhe o capítulo Conservação de Energia Mecânica do livro Dinâmica. Boa leitura. DINÂMICA Ricardo Lauxen Conservação da energia mecânica Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados: Definir o que é energia cinética e potencial em um sistema conservativo. Calcular as variações da energia em um sistema mecânico. Resolver problemas mecânicos a partir da conservação de energia mecânica. Introdução No cotidiano, energia é um conceito associado ao consumo de alimentos, à eletricidade, etc. Entretanto, se você realizar uma análise cuidadosa, descobrirá que esse conceito diz respeito à matéria-prima necessária para executar alguma tarefa e não define o que é energia. A energia está presente em nosso cotidiano de diversas formas, como energia mecânica, química, térmica, eletromagnética, nuclear, etc. Um bom exemplo é a bateria de um carro, cuja energia química deve ser convertida em energia elétrica para abastecer os sistemas eletrônicos do veículo. De fato, todos os processos que ocorrem no universo envolvem energia e a sua transferência ou transformação. Por isso, é fundamental compreender o conceito de energia, que em física é entendido como a capacidade de o sistema de realizar trabalho. Nesse ponto é importante ressaltar que estamos considerando apenas trabalho realizado por forças conservativas, ou seja, que o trabalho realizado pela força é independe da trajetória descrita pelo corpo. Neste capítulo, você verá o que é energia mecânica, que é determi- nada pela soma das energias cinética e potencial de um sistema, bem como a sua conservação. BOOK_Dinamica.indb 119 03/04/2018 17:23:02 Energias cinética e potencial O conceito de conservação da energia pode ser aplicado a sistemas dinâmicos sem recorrermos às leis de Newton. Porém, para que seja possível aplicar essas técnicas de resolução de problemas, primeiramente é necessário compreender o conceito e a calcular a energia mecânica do sistema, que depende das suas energias cinética e potencial. Energias cinética e potencial A energia cinética é a energia associada ao movimento de uma partícula e é matematicamente determinada por: onde m é a massa e v a velocidade da partícula. Essa expressão ainda pode ser colocada em termos do momento linear p = mv da partícula: As unidades de energia cinética são: Note que a unidade de energia cinética é o Joule, a mesma unidade da variável trabalho. Não se trata de uma coincidência, uma vez que podemos utilizar a variação da energia cinética para determinar o trabalho realizado por uma força. Isso é conhecido como princípio de trabalho e energia: Lembrando que o trabalho de uma força correspondente ao deslocamento é dado por: O princípio de energia e trabalho, representado na equação (4), ilustra a relação entre os dois conceitos que foram utilizados para definir o que era energia no início do capítulo. Conservação da energia mecânica120 BOOK_Dinamica.indb 120 03/04/2018 17:23:02 A energia potencial U, por sua vez, está associada à configuração do sistema e apresenta-se em diversas formas, como a energia potencial gravitacional e a potencial elástica. Para que você possa compreender o conceito de energia potencial gravi- tacional, imagine que uma bola seja abandonada de uma determinada altura y em relação ao solo. Ao ser abandonada, por influência da força da gravidade, ela ganha velocidade (consequentemente energia cinética) e cai em direção ao solo. Isso significa que, ao ser levantada a uma determinada distância do solo, o sistema bola–terra acumulou energia capaz de ser convertida em energia cinética quando esta é abandonada. A essa energia dá-se o nome de energia potencial gravitacional, estando matematicamente relacionada com a magnitude da força que a Terra exerce no objeto e a altura em que este se encontra do solo da seguinte maneira: em que m é a massa do objeto, g = 9,81 m/s2 é a magnitude da aceleração da gravidade e y é a posição vertical do objeto em relação ao solo. Figura 1. A figura mostra uma bola sendo abandonada de altura y em relação ao solo e movimentando-se por influência da força da gravidade. 121Conservação da energia mecânica BOOK_Dinamica.indb 121 03/04/2018 17:23:02 Outra forma de energia potencial é a energia potencial elástica Ue, que pode ser acumulada em um sistema bloco–mola. Analogamente ao sistema bola–terra, que acumula energia quando a bola é levantada a uma certa altura em relação ao solo, o sistema bloco–mola acumula energia ao ser comprimida, ou esticada, a partir da posição de relaxamento da mola, isto é, a sua posição natural, sem deformações. Após a compressão da mola, ao ser abandonada, a mola retornará à sua posição natural e a energia potencial acumulada na mola se transformará em energia cinética, de modo que o bloco vai adquirir uma velocidade na direção e no sentido do movimento da mola, como mostrado na Figura 2. O cálculo da energia potencial elástica está relacionado à constante elástica da mola k e à sua deformação x da seguinte maneira: Em ambas as situações (a queda da bola e a compressão da mola), devido à ação de uma força (gravitacional e elástica, respectivamente) ocorreu o deslocamento do objeto, de modo que trabalho foi realizado. Desse modo, assim como no caso da energia cinética, pode-se determinar o trabalho utilizando o princípio de trabalho e energia, calculando a variação da energia potencial: Em que W pode ser determinado por (5). A unidade de medida de energia potencial também é o Joule. Conservação da energia mecânica122 BOOK_Dinamica.indb 122 03/04/2018 17:23:03 Figura 2. A figura mostra três situações: (a) a mola sem defor- mação, (b) a mola sendo comprimida e (c) a mola retornando à sua posição de natural, e o bloco adquirindo velocidade. Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2016). 123Conservação da energia mecânica BOOK_Dinamica.indb 123 03/04/2018 17:23:03 Conservação da energia mecânica O que é a conservação da energia mecânica, afinal, e como pode ser útil na resolução de problemas? Você pode compreendê-la da seguinte maneira: existe uma quantidade, chamada de energia mecânica, cujo valor não muda independentemente do que esteja ocorrendo no sistema. Ou seja, você pode calcular a energia mecânica no início e no final do processo, e o valor numérico que você obterá será o mesmo. Esse fato pode ser utilizado para a solução de problemas que, na prática, seriam complicados de resolver utilizando as leis de Newton. Na seção anterior, você viu que, a partir do princípio de trabalho e energia, podemos determinar o trabalho realizado calculando a variação da energiacinética ou da energia potencial. Como, em ambos os casos, o resultado é o trabalho, pode-se igualar as equações (4) e (8), de modo a obter: A quantidade K + U que aparece dos dois lados da igualdade é a energia mecânica E do sistema: Como é possível ter mais de um tipo de energia potencial ou mais de um objeto envolvido, na equação (10), K e U devem ser entendidos como a soma de todas as energias cinéticas e potenciais do sistema — situação ilustrada segundo exemplo deste capítulo. Desse modo, utilizando (10), a equação (9) pode ser reescrita como: ou, então: Conservação da energia mecânica124 BOOK_Dinamica.indb 124 03/04/2018 17:23:03 As equações (11) e (12) expressam a conservação da energia mecânica do sistema. Elas estabelecem que, de alguma forma, a energia mecânica medida no momento inicial tem exatamente o mesmo valor se medida em qualquer outro momento (que foi definido como final), independentemente das mudanças que o sistema tenha sofrido ao longo do processo. Para que isso seja possível, as perdas em energia potencial devem ser compensadas com o aumento da energia cinética, do mesmo modo como as perdas de energia cinética devem ser compensadas com o aumento da energia potencial. A Figura 3 ilustra com detalhes essa situação utilizando um skatista em uma rampa. Note que, embora ocorram mudanças nas energias cinética e potencial gravitacional nas diferentes situações ilustradas, a energia mecânica sempre se mantém constante. Figura 3. A Figura (a) ilustra o início do movimento. Nesse instante, o skatista não está em movimento, mas a uma determinada altura em relação ao solo. Nessa situação, a energia cinética é zero, de modo que a energia mecânica do sistema é determinada somente pela energia potencial gravitacional. Na figura (b), o skatista já está em movimento, mas a uma altura menor em relação ao solo. Desse modo, a sua energia potencial gravitacional diminuiu e, na mesma proporção, aumentou a sua energia cinética, mantendo constante a energia mecânica. Na figura (c), o skatista está passando pelo ponto mais baixo da sua trajetória, onde ele tem energia potencial gravitacional zero e a sua energia cinética é máxima. Nesse caso, a energia mecânica é determinada pela energia cinética do sistema. Fonte: PhET (c2018b). 125Conservação da energia mecânica BOOK_Dinamica.indb 125 03/04/2018 17:23:03 Se, na Figura 3, estivesse sendo considerado o atrito do skate com a rampa de skate, o que aconteceria? Nesse caso, conforme o skatista subisse e descesse a rampa, parte da energia seria convertida em energia térmica. De qualquer forma, a energia total se conservaria. Você pode compreender melhor essa situação acessando o link abaixo (PHET, c2018a) ou código QR ao lado: https://goo.gl/DBAJYv Exemplo 1 Um colar de 2 kg está ligado a uma mola de constante elástica de 400 N/m e pode deslizar sem atrito sobre uma haste horizontal, como mostrado na Figura 4. Se o colar é movido 90 mm para a esquerda a partir da sua posição de equilíbrio e libertado, determine a sua velocidade máxima durante o mo- vimento resultante. Figura 4. Sistema colar–mola. Fonte: Sartori (2018). Para resolver esse problema, vamos utilizar a conservação da energia mecânica. No instante inicial, o colar está parado e a mola de K = 400 N/m está comprimida em 90 mm = 90 × 10−3 m. Assim, a energia mecânica no momento inicial é: Conservação da energia mecânica126 BOOK_Dinamica.indb 126 03/04/2018 17:23:04 No momento final, o colar adquire a sua velocidade e a mola está na sua posição de relaxamento, sem deformação. Portanto: Pela conservação da energia (11), temos: Exemplo 2 Um colar de 2,5 kg está ligado a uma mola de constante elástica 4,0 N/m e ajusta-se a uma haste vertical como mostrado na Figura 5. Se, no ponto A, a mola não está deformada, determine a velocidade do colar para y = 1,0 m se o colar é solto com velocidade inicial de 1,5 m/s. Figura 5. Sistema haste–mola. Fonte: Hibbeler (2005). 127Conservação da energia mecânica BOOK_Dinamica.indb 127 03/04/2018 17:23:04 Assim como no exercício anterior, você deve utilizar a conservação da energia para resolver este problema. Entretanto este problema possui tem alguns detalhes a mais na sua resolução. Primeiramente, neste sistema, temos dois tipos de energia potencial, a gravitacional e a elástica. Deste modo, a energia potencial do sistema será: U = Ug + Ue O ponto A é o ponto de referência, no qual não há deformação da mola onde será considerado como altura 0. Assim, no início do movimento, temos Uei = 0 e Ugi = 0. A velocidade inicial do colar é 1,5 m/s, resultando que a sua energia cinética inicial é: Portanto, a energia mecânica inicial é: No ponto C, o momento final, a mola vai estar esticada. Para determinar a deformação x da mola, você precisa encontrar o comprimento da mola quando esticada e descontar esse valor do comprimento da mola quando relaxada. O comprimento da mola esticada é dado pela hipotenusa do triângulo retângulo mostrado na Figura 5 e vale 1,25 m. Assim, a deformação da mola é: Agora é possível calcular as energias potenciais no ponto C. A energia potencial gravitacional é: em que o sinal negativo aparece porque estamos abaixo do ponto que foi tomado como altura zero. Para energia potencial elástica, temos: Conservação da energia mecânica128 BOOK_Dinamica.indb 128 03/04/2018 17:23:05 Assim, a energia mecânica no ponto final é: Pela conservação da energia mecânica (11), obtém-se: Em que, no final, arredondamos para uma casa depois da vírgula o resultado devido à precisão das medidas apresentadas no problema. 129Conservação da energia mecânica BOOK_Dinamica.indb 129 03/04/2018 17:23:06 HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: mecânica. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. v. 1. HIBBELER, R. C. Dinâmica: mecânica para engenharia. 10. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2005. PHET. Energia na pista de skate. Boulder: University of Colorado, c2018a. Disponível em: <https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/energy-skate-park-basics>. Acesso em: 05 mar. 2018. PHET. Energia na pista de skate: intro, atrito, parque. Boulder: University of Colorado, c2018b. Disponível em: <https://phet.colorado.edu/sims/html/energy-skate-park- -basics/latest/energy-skate-park-basics_pt_BR.html>. Acesso em: 05 mar. 2018. SARTORI, C. S. MA: mecânica aplicada. [S.l.]: Centro de Estudos Espaço, 2018. Disponível em: <http://www.claudio.sartori.nom.br/mecanicaaplicada_lista2bim.pdf>. Acesso em: 05 mar. 2018. Conservação da energia mecânica130 BOOK_Dinamica.indb 130 03/04/2018 17:23:08 Leituras recomendadas BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R.; CORNWELL, P. J. Mecânica vetorial para engenheiros: dinâmica. 9. ed. Porto Alegre: AMGH, 2012. CHAVES, A.; SAMPAIO, J. F. Física básica: mecânica. Rio de Janeiro: LTC, 2011. NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física básica 1: mecânica. 4. ed. São Paulo: Blucher, 2002. v. 1. TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros: mecânica, oscilações e ondas, termodinâmica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. DICA DO PROFESSOR A energia mecânica é determinada pela soma das energias cinética e potencial, sendo que a potencial pode ser energia potencial gravitacional e potencial elástica. Acompanhe a resolução de exercício nesta dica do professor e compreenda como a energia potencial gravitacional e a energia cinética influenciam no sistema conservativo. Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino! EXERCÍCIOS 1) Seria difícil imaginar o progresso da ciência e da indústria sem o conceito de energia. Em vista disto, podemos dizer que o princípio da Conservação da Energia Mecânica diz que: A) A energia cinética de um corpo está relacionada com a força da gravidade. B) Nada se perde, nada se cria, tudo se transforma. C) Que a energia pode ser gastada e perdida. D) A energia total de um sistema isolado é constante. E) Que a energia jamais podeser transferida de um corpo o outro. 2) Uma montanha-russa é um típico sistema mecânico que utiliza a conservação da energia. Nota-se neste sistema constante mudança de velocidade e de altura ao longo do percurso. Sobre o funcionamento da montanha russa, podemos dizer que: A altura não tem muita importância, pois o que conta é a força atuante dada pela massa A) vezes a aceleração. B) No momento em que o carrinho está subindo lentamente para ganhar altura, está acumulando energia potencial. C) Quando o carrinho chega ao vale da montanha-russa em alta velocidade, está com sua energia cinética mínima. D) Neste sistema mecânico, a energia cinética sempre será maior que a energia potencial. E) Neste sistema mecânico, a energia potencial sempre será maior que a energia cinética. 3) Uma pessoa abandona um objeto com massa m de uma altura de 35,5 metros. Encontre sua velocidade ao tocar o solo. Considere a aceleração da gravidade valendo 10 m/s2: A) V= 26,6 m/s. B) V= 36,6 m/s. C) V= 16,7 m/s. D) V= 9,81 m/s. E) V= 43,1 m/s. 4) Um carro encontra-se parado no alto de uma montanha. Analisando essa situação a partir dos conceitos de energia cinética e potencial, é correto afirmar que: A energia cinética neste carro existe e pode ser medida, já que podemos encontrar a massa A) e a força resultante neste carro. B) A energia potencial não pode ser medida, pois não possuímos neste caso o componente velocidade. C) A energia potencial depende da altura desta montanha em relação ao solo e não irá perder esta energia caso o carro desça a montanha. D) A energia potencial e a energia potencial gravitacional não têm qualquer relação neste caso. E) Caso este carro queira descer esta montanha, no caminho irá converter energia potencial em energia cinética. 5) Se um carrinho de montanha-russa estiver parado e medirmos sua altura em relação ao solo e ela valer 20 metros, calcule a velocidade do carrinho ao passar pelo ponto mais baixo da montanha-russa. Despreze as resistências e adote a massa do carrinho igual a 300 kg e a aceleração da gravidade como 10m/s2. A) V = 10 m/s. B) V = 20 m/s. C) V = 30 m/s. D) V = 40 m/s. E) V = 50 m/s. NA PRÁTICA Conservação da Energia e o Universo. Lavoisier descobriu que a massa dos reagentes era igual à massa dos produtos de reação, em reações químicas que se dão em sistema fechado. Já Huygens, ao estudar colisões entre esferas, constatou que o produto da massa pelo quadrado do valor da velocidade, se conservava em algumas colisões. Essa característica definiu um tipo de colisão: colisões elásticas. Julius Robert Mayer observou: "Quando uma quantidade de energia de qualquer natureza desaparece numa transformação, então produz-se uma quantidade igual em grandeza de uma energia de outra natureza". Max Planck, o pai da mecânica quântica, enunciou: "A energia total (mecânica e não mecânica) de um sistema isolado, um sistema que não troca matéria e/ou energia com o exterior, mantém-se constante." Todo esse interesse em descrever o conceito de energia está em sua importância no dia a dia. Um mundo movido a combustível, a economia de energia é essencial, por isso a importância do estudo de sistemas conservativos de energia. Devemos olhar o Universo como um sistema e isolado porque para além dele não há nada sem levarmos em consideração as atuais teorias do Multiverso e estamos considerando a impossibilidade de trocas de matéria e energia com outros possíveis Universos. Somente assim podemos chancelar esta como a lei fundamental do Cosmos. SAIBA MAIS Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor: Conservação de Energia - Exemplo Veja um exemplo para o cálculo da conservação da energia mecânica. Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino! Conservação da Energia Mecânica - Física Geral Saiba mais neste vídeo que analisa os componentes da energia mecânica de forma aplicada. Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino! Física I - Aula 25 - Energia Mecânica Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
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