FisicaExperimental1

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FACULDADE ÚNICA 
DE IPATINGA 
FÍSICA EXPERIMENTAL 1 
 
Cleison Adriano de Lima 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
Menu de Ícones 
Com o intuito de facilitar o seu estudo e uma melhor compreensão do conteúdo 
aplicado ao longo do livro didático, você irá encontrar ícones ao lado dos textos. Eles 
são para chamar a sua atenção para determinado trecho do conteúdo, cada um 
com uma função específica, mostradas a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São sugestões de links para vídeos, documentos cientí-
fico (artigos, monografias, dissertações e teses), sites ou 
links das Bibliotecas Virtuais (Minha Biblioteca e Biblio-
teca Pearson) relacionados com o conteúdo abor-
dado. 
 
Trata-se dos conceitos, definições ou afirmações im-
portantes nas quais você deve ter um maior grau de 
atenção! 
 
São exercícios de fixação do conteúdo abordado em 
cada unidade do livro. 
 
São para o esclarecimento do significado de determi-
nados termos/palavras mostradas ao longo do livro. 
 
Este espaço é destinado para a reflexão sobre ques-
tões citadas em cada unidade, associando-o a suas 
ações, seja no ambiente profissional ou em seu cotidi-
ano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CONFIRA NO LIVRO 
 
 As unidades de grandezas físicas 
 Sistema Internacional de Medidas (SI) 
 Incerteza e algarismo significativos 
 Operações com algarismos significativos 
 Classificação de erros de medida 
 Precisão e exatidão 
 Media e desvio padrão 
 Propagação de erro 
 
 
 Tabelas e quadros 
 Gráficos 
 Construção de gráficos 
 Análise gráfica 
 Classificação de erros de medidas 
 Instrumentos de medida de extensão 
 Diferença entre massa e peso 
 Instrumentos de medida de massa e 
peso 
 
 
 Condições de equilíbrio 
 Centro de massa 
 Centro de gravidade 
 Estática 
 Introdução a força e torque 
 Tipos de alavancas 
 Condições de equilíbrio 
 Cálculo das reações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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INTRODUÇÃO 
Caro aluno, o conteúdo deste material didático segue a bibliografia básica 
do curso de Física. O livro texto “Física I, Sears e Zemansky: mecânica” é adotado 
com principal referencial teórico. Aconselha-se a sempre relacionar o conteúdo 
deste livro com o estudado nas Físicas básicas. Além do livro texto outras referências 
usadas serão listadas ao fim do livro para possíveis consultas. Esteja sempre atento! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SUMÁRIO 
UNIDADE DE MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS........................ 7 
1.1 INTRODUÇÃO.......................................................................................................... 7 
1.2 UNIDADES DE MEDIDA E O SISTEMA INTERNACIONAL (SI) .................................. 7 
1.3 INCERTEZA E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS ........................................................ 9 
1.4 CRITÉRIOS DE ARREDONDAMENTO ..................................................................... 10 
1.5 OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS............................................ 11 
1.6 ATIVIDADE PRÁTICA ............................................................................................. 12 
 FIXANDO O CONTEÚDO ....................................................................................... 13 
TEORIA DOS ERROS ................................................................................. 16 
2.1 INTRODUÇÃO........................................................................................................ 16 
2.2 CLASSIFICAÇÃO DE ERROS DE MEDIDAS............................................................ 16 
2.3 PRECISÃO E EXATIDÃO ........................................................................................ 17 
2.4 MÉDIA E DESVIO PADRÃO ................................................................................... 18 
2.5 EXEMPLO PRÁTICO ............................................................................................... 20 
2.6 PROPAGAÇÃO DE ERRO ...................................................................................... 21 
 FIXANDO O CONTEÚDO ....................................................................................... 22 
CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS................................................................. 26 
3.1 INTRODUÇÃO........................................................................................................ 27 
3.2 TABELAS E QUADROS ............................................................................................ 27 
3.3 GRÁFICOS ............................................................................................................. 27 
3.4 CONSTRUÇÃO DE UM GRÁFICO ......................................................................... 28 
3.5 ANÁLISE GRÁFICA ................................................................................................ 28 
3.6 LINEARIZAÇÃO DE FUNÇÕES NÃO LINEARES ..................................................... 30 
3.7 CONSTRUÇÃO E ANÁLISE DE GRÁFICO USANDO UM SOFTWARE GRATUITO .. 33 
 FIXANDO O CONTEÚDO ...................................................................................... 39 
MEDIDAS DE EXTENSÃO, MASSA E PESO ............................................... 43 
4.1 INTRODUÇÃO........................................................................................................ 43 
4.2 MEDIDAS DE EXTENSÃO ....................................................................................... 44 
4.3 TRENA E RÉGUA MILIMETRADA ............................................................................ 45 
4.4 PAQUÍMETRO ........................................................................................................ 47 
4.5 MICRÔMETRO ....................................................................................................... 50 
4.6 MASSA E A UNIDADE QUILOGRAMA .................................................................. 53 
4.7 PESO ...................................................................................................................... 54 
4.8 MEDIDA DA MASSA E PESO ................................................................................. 55 
 FIXANDO O CONTEÚDO ....................................................................................... 58 
CENTRO DE GRAVIDADE ........................................................................ 63 
5.1 INTRODUÇÃO........................................................................................................ 63 
5.2 EQUILÍBRIO ESTÁVEL, INSTÁVEL E INDIFERENTE ................................................... 63 
5.3 CENTRO DE MASSA............................................................................................... 64 
5.4 CENTRO DE GRAVIDADE ...................................................................................... 66 
 FIXANDO O CONTEÚDO ....................................................................................... 73 
 
 
 
UNIDADE 
01 
UNIDADE 
02 
UNIDADE 
03 
UNIDADE 
04 
UNIDADE 
05 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
TORQUE, ESTÁTICA E CÁLCULO DAS REAÇÕES ..................................... 77 
6.1 INTRODUÇÃO........................................................................................................ 77 
6.2 INTRODUÇÃO A FORÇA E TORQUE ..................................................................... 77 
6.3 TIPOS DE ALAVANCAS ......................................................................................... 79 
6.4 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO ................................................................................ 80 
6.5 CÁLCULOS DAS REAÇÕES ................................................................................... 81 
6.6 ATIVIDADE COMPUTACIONAL PRÁTICA .............................................................83 
 Procedimentos .................................................................................................. 83 
 FIXANDO O CONTÉUDO ...................................................................................... 86 
RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO ........................................... 91 
REFERÊNCIAS ...................................................................................... 92 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE 
06 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
UNIDADE DE MEDIDAS E 
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
 
 
 
1.1 INTRODUÇÃO 
Pode-se dizer que a física é uma ciência experimental onde o físico observa 
fenômenos naturais e tenta encontrar os padrões e os princípios que relacionam esses 
fenômenos. Os experimentos exigem medidas, e normalmente usamos números para 
descrever os resultados dessas medidas. Qualquer número usado para descrever 
quantitativamente um fenômeno físico denomina-se grandeza física. 
 
 
 
 
1.2 UNIDADES DE MEDIDA E O SISTEMA INTERNACIONAL (SI) 
Para cada grandeza física se estabelece uma unidade, e o Sistema Internaci-
onal (SI) é o sistema mais difundindo no mundo. 
 
Para calcular medidas confiáveis e precisas, necessitamos de medidas 
que não variem e que possam ser reproduzidas por observadores em 
diversos locais. O sistema de unidades usado por cientistas e 
engenheiros em todas as partes do é conhecido oficialmente como 
Sistema Internacional ou SI (das iniciais do nome francês Système 
International) (YOUNG; FREEDMAN, 2016, p. 04). 
 
Adotaremos o SI como padrão para nossas atividades experimentais e 
exercícios, já que esse sistema abrange todas as situações práticas e teóricas. As 
unidades básicas do SI são destacadas no Quadro 1. Unidades derivadas são 
compostas a partir dessas básicas. Como exemplo a unidade de força é o Newton 
(N), onde um 1N equivale a 1 kg ∙ m/s , ou seja, o newton é a força que fornece para 
Os objetivos de aprendizagem da Unidade 1 são: 
 As unidades de grandezas físicas de acordo com o Sistema Internacional de Medidas 
(SI); 
 Incerteza e algarismo significativos; 
 Operações com algarismos significativos. 
UNIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
uma massa de 1 quilograma uma aceleração de um metro por segundo por 
segundo. O Quadro 1 mostra algumas unidades básicas do SI. 
 
Quadro 1: Unidades básicas do SI 
Grandeza Unidade Símbolo 
Comprimento metro m 
Massa quilograma kg 
Tempo segundo s 
Corrente elétrica ampère A 
Temperatura kelvin K 
Quantidade de substância mol Mol 
intensidade luminosa candela cd 
Fonte: Adaptado de Halliday, Resnick e Walker (2018) 
 
Unidades maiores e menores podem ser representadas usando notação cien-
tífica, ou seja, potências de 10. Toda quantidade deve ser expressa por um número 
entre 1 e 10, seguido da multiplicação pela potência de 10 apropriada. Para facilitar 
ainda mais a notação são introduzidas os múltiplos e submúltiplos e um prefixo é adi-
cionado ao nome da unidade fundamental de interesse. A Tabela 1 representa al-
guns prefixos usados no cotidiano da física. 
 
Tabela 1: Alguns prefixos e suas representações 
Nome Símbolo Potencia Numericamente 
giga 𝐺 109 1 000 000 000 
mega 𝑀 106 1 000 000 
quilo 𝑘 103 1 000 
hecto ℎ 102 100 
deca 𝑑𝑎 101 10 
 1 
deci 𝑑 10−1 0,1 
centi 𝑐 10−2 0,01 
mili 𝑚 10−3 0,001 
micro µ 10−6 0,000 001 
nano 𝑛 10−9 0,000 000 001 
Fonte: Adaptado de Halliday, Resnick e Walker (2018) 
 
Para usar os prefixos basta juntar o símbolo do prefixo com o símbolo da uni-
dade. Como exemplo 1ns (nanossegundo) equivale a 0,000000001s ou 10 s. 
 
Podemos descrever, por exemplo, o comprimento de uma avenida como 𝟏 𝐤𝐦 (quilôme-
tro) ao invés de 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝐦 (metros), ou seja: 𝟏 𝐤𝐦 = 𝟏𝟎𝟑𝐦 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝐦. O mesmo vale para uni-
dade de massa, onde 𝟏 𝐤𝐠 (quilograma) equivale a 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝐠 (gramas), sendo assim: 𝟏 𝐊𝐠 =
𝟏𝟎𝟑 𝐠 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝐠.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
Algumas unidades não pertencentes ao Sistema Internacional são aceitas de-
vido as suas utilizações no quotidiano. Vale ressaltar a unidade Tonelada (T) (1T equi-
vale a 1000 Kg), e algumas unidades de tempo como o minuto, a hora e o dia por 
exemplo. 
 
minuto (min) → 𝟏 𝐦𝐢𝐧 = 𝟔𝟎 𝐬 
hora (h) → 1 h = 60 min = 3600 s 
dia (d) → 1 d = 24 h = 86 400 s 
 
Os americanos adotam a polegada (inch) milesimal, cujo valor foi fixado em 
25,4mm a temperatura de 20ºC. É importante ressaltar a polegada em virtude do 
grande número de máquinas, aparelhos e ferramentas utilizando esse sistema 
americano. O símbolo da polegada é o IN ou a dupla plica (″) 
 
1 IN=1''=25,4 mm 
 
 
 
1.3 INCERTEZA E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
O mensurando é a grandeza a ser determinada num processo de medição. 
Ao medir a espessura de um objeto com uma régua, por exemplo, sua medida será 
confiável até o milímetro mais próximo devido as limitações da régua. Portanto as 
medidas sempre envolvem incertezas que são parâmetros associados ao resultado 
de uma medição. A incerteza caracteriza a dispersão dos valores que podem ser 
razoavelmente atribuídos ao mensurando, indicando o desconhecimento do valor 
exato do mesmo. É importante ressaltar que a incerteza depende da técnica usada 
na medida. Para indicar a exatidão de uma medida, se escreve primeiro o valor da 
medida seguido do sinal ± e um segundo valor indicando a incerteza atribuída a essa 
medição. A unidade de medida deve ser representada após os parênteses. 
 
Grandeza = (medida ± incerteza) 
 
Em um exercício é sempre aconselhável fazer uma análise dimensional de suas respostas. 
Se você notar alguma inconsistência de unidades, certamente você cometeu um erro em 
alguma etapa da resolução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
 
 
Em muitos casos, a incerteza de um número não é apresentada 
explicitamente. Em vez disso, ela é indicada pelo número de dígitos confiáveis, ou 
algarismos significativos, do valor da medida. A medida deverá conter os algarismos 
exatos, que são os valores certos da medida, mais o primeiro algarismo duvidoso ou 
algarismo incerto. O comprimento 𝟑, 𝟒𝟓 𝐦, por exemplo, contém 3 algarismos 
significativos que são os números 3, 4 e 5 sendo o número 5 o algarismo duvidoso. O 
zero à esquerda da vírgula decimal não é contado. Zeros à direita são algarismos 
significativos. 
Para números muito grandes ou muito pequenos, pode-se representar os 
algarismos significativos mais facilmente usando notação científica. Na notação 
cientifica os zeros após a virgula e antes da potência de 10 devem ser contados, 
sendo assim 𝟕 ∙ 𝟏𝟎𝟗 tem um algarismo significativo, 𝟕, 𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟗 tem dois algarismos 
significativos e 𝟕, 𝟎𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟗 tem três algarismos significativos. A notação científica 
geralmente facilita na hora de fazer exercícios e cálculos, além de ser muito útil para 
fazer comparações de ordem de grandezas. 
 
 
 
1.4 CRITÉRIOS DE ARREDONDAMENTO 
Ao se realizar operações matemáticas os resultados geralmente apresentam 
uma quantidade de algarismos que não estão de acordo com a precisão da 
medida. Para isso foram convencionados os critérios de arredondamento. 
Para casos onde o ultimo algarismo é menor que 5, abandona-se o algarismo 
final. Por exemplo: 12,23 é arredondado para 12,2. 
Para casos onde o ultimo algarismo é maior que 5, abandona-se o algarismo 
Sabe-se que entre a Terra e a Lua, a distância é aproximadamente igual a 𝟑𝟖𝟒. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝐦. 
Este é um número muito grande, logo sua representação é mais adequada em notação 
cientifica: 𝟑, 𝟖𝟒 ∙ 𝟏𝟎𝟖𝐦. Com a representação em notação cientifica conclui-se que esse 
número possui três algarismos significativos.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
final e soma-se ao algarismo anterior uma unidade. Por exemplo: 12,27 é 
arredondado para 12,3. 
Por fim, para casos onde o ultimo algarismo é exatamente 5 e, além disso, seu 
precedente for um número par, apenas abandona-seo 5. Agora, se seu precedente 
for um número ímpar, soma uma unidade a ele e o 5 é abandonado. Por exemplo: 
12,45 é arredondado para 12,4 e 12,35 é arredondado para 12,4. 
 
1.5 OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
Ao se realizar operações levando em conta os algarismos significativos 
algumas regras devem ser seguidas e a resposta final deve ser dada levando em 
conta o critério de arredondamento. 
Adição ou subtração: se determina o número de algarismos significativos pelo 
termo com menos algarismos à direita da vírgula decimal, oucom a maior incerteza. 
Exemplo: 
 
27,153 + 138,2 − 11,74 = 153,613 = 153,6 
 
Multiplicação ou divisão: analisa-se o fator que tem o menor número de 
algarismos significativos. O resultado não pode ter mais algarismos significativos que 
esse fator.Exemplo: 
 
0,745 ∙ 𝟐, 𝟐
3,885
= 0,421879021879022 = 0, 𝟒𝟐 = 𝟒, 𝟐 ∙ 𝟏𝟎𝟏 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
1.6 ATIVIDADE PRÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabe-se que a constante π é a razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo, 
sendo, portanto, de fácil obtenção experimentalmente. Segundo a literatura, o verdadeiro 
valor dessa grandeza com dez dígitos é 𝟑, 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐𝟔𝟓𝟒. 
Objetivo: Verificar experimentalmente e de forma simples o valor da constante π, com os 
materiais: barbante, régua e calculadora. 
Procedimentos: 
Pegue um pedaço de barbante e meça o seu comprimento (C) ao milímetro mais próximo 
com uma régua. Anote: C = _______________. 
Modele esse pedaço de barbante em um formato circular, unindo as suas extremidades, 
e meça seu diâmetro também ao milímetro mais próximo, significativos devido ao 
milímetro mais próximo da régua, portanto, sua medida final só pode ter três algarismos 
significativos. Sendo assim, represente sua resposta adequadamente: π = _________. 
Respeitando-se o limite de três algarismos significativos, seu resultado deverá estar de 
acordo com o valor real 𝟑, 𝟏𝟒. 
Como exemplo se você obter os valores 𝟒𝟐𝟒𝐦𝐦 e 𝟏𝟑𝟓𝐦𝐦. Usando a calculadora, você 
chega ao quociente (𝟒𝟐𝟒𝐦𝐦)/(𝟏𝟑𝟓𝐦𝐦) = 𝟑, 𝟏𝟒𝟎𝟕𝟒𝟎𝟕𝟒𝟏. Respeitando-se o limite de três 
algarismos significativos e os critérios de arredondamento, o resultado deve ser 
simplesmente 𝟑, 𝟏𝟒. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
1. Ao se realizar operações levando em conta os algarismos significativos a resposta 
final deve ser dada de acordo com os critérios de arredondamento. Considerando 
𝐀 = 𝟏𝟐, 𝟖 e 𝐁 = 𝟏, 𝟎𝟕; podemos afirmar que a soma A+B equivale a: 
 
a) 13,87 
b) 13,8 
c) 13,7 
d) 13,9 
e) 13 
 
2. Quantos algarismo significativo deve ter a resposta da soma de 6,5 com 3,145? 
 
a) 3 
b) 5 
c) 2 
d) 1 
e) 4 
 
3. Quantos algarismo significativo deve ter a resposta da multiplicação de 3,05 por 
12,45? 
 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 2 
e) 1 
 
4. Uma pessoa deseja calcular o volume de sua piscina circular. Em suas medidas ele 
chega que a área da piscina equivale a 132,665 m e que a profundidade e exa-
tamente 5,0 m. Considerando a teoria dos algarismos significativos e as regras de 
arredondamento, qual é o valor adequado para o volume desta piscina? 
 
a) 663,325 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
b) 6,7 ∙ 102 m 
c) 6,6 ∙ 102 m 
d) 6,64 ∙ 102 m 
e) 6 ∙ 102 m 
 
5. (CESGRANRIO) um estudante, tendo medido o corredor de sua casa, encontrou 
os seguintes valores: Comprimento: 5,7m e Largura: 1,25m. Desejando determinar 
a área deste corredor com a maior precisão possível, o estudante multiplica os dois 
valores anteriores e registra o resultado com o número correto de algarismos. Assim 
fazendo, ele deve escrever: 
 
a) 7,12 m 
b) 7,13 m 
c) 7,1 m 
d) 7 m 
e) 7,2 m 
 
6. (FÍSICA I, SEARS E ZEMANSKY) A densidade de um material é igual à divisão de sua 
massa pelo seu volume. Qual é a densidade (em kg/m ) de uma rocha com massa 
de 1,80 kg e volume de 6,0 ∙ 10 m ? Expresse sua resposta com o número correto 
de algarismos significativos. 
 
a) 3 ∙ 10 kg/m 
b) 3,0 ∙ 10 kg/m 
c) 3,00 ∙ 10 kg/m 
d) 3,000 ∙ 10 kg/m 
e) 3,0000 ∙ 10 kg/m 
 
7. (UPE – Adaptada) um lápis teve seu comprimento medido com uma régua milime-
trada (17,25 cm) e o seu diâmetro com um paquímetro (0,750 cm). Utilizando a teoria 
dos algarismos e as regras de arredondamento, marque a alternativa que repre-
senta a área lateral do lápis, considerando-o como um cilindro. A área lateral de 
um cilindro é dada por: A = 2πrL. Considere π = 3,14. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
a) 40,62375 cm 
b) 40,6 cm 
c) 40,7 cm 
d) 40,62 cm 
e) 40 cm 
 
8. (FÍSICA I, SEARS E ZEMANSKY) A energia de repouso E de um corpo em repouso de 
massa m é dada pela famosa equação de Einstein E = mc , onde c é a veloci-
dade da luz no vácuo e seu valor exato é c = 2,99792458 x 10 m/s. Determine E 
(até três algoritmos significativos) para um elétron para o qual a massa m =
 9,11x10 kg. 
 
a) 8,18 x 10 J 
b) 8,18 x 10 J 
c) 8,19 x 10 J 
d) 8,00 x 10 J 
e) 8,19 x 10 J 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 
TEORIA DOS ERROS 
 
 
 
2.1 INTRODUÇÃO 
Na física experimental, determina-se uma grandeza a partir de várias medi-
ções. O resultado será sempre uma aproximação para o valor verdadeiro dessa gran-
deza. “Os objetivos da teoria de erros consistem em determinar o melhor valor possível 
para a grandeza a partir das medições e determinar quanto o melhor valor obtido 
pode ser diferente do valor verdadeiro” (VUOLO, 1996, p. 53) 
Para casos de medidas indiretas, obtido com o auxílio de uma equação, a 
propagação de incerteza ou propagação de erro é uma forma de verificar a confi-
abilidade dos dados de uma certa amostra ou medida, quando esta é submetida a 
diferentes operações matemáticas. 
 
 
 
2.2 CLASSIFICAÇÃO DE ERROS DE MEDIDAS 
Cada medida tem-se um erro associado. Geralmente, esse erro pode ser as-
sociado ao próprio experimentador, e um erros grave se deve a escolha de instru-
mentos de medidas incorretos para o experimento. Os chamados erros grosseiros são 
associados a falta de prática do experimentador, também são associados a erros de 
leitura nos instrumentos de medição, e como já comentamos a instrumentos incorre-
tos ou imprecisos para o experimento. Já os erros sistemáticos ocorrem repetida-
mente, sempre de uma mesma maneira. Como exemplos temos: possíveis defeitos 
no instrumento de medida; o acionamento do cronômetro com atraso ou antecipa-
ção; o erro de paralaxe quando se está fazendo uma medida; o erro de calibração; 
Os objetivos de aprendizagem da Unidade 2 são: 
 Classificação de erros de medida; 
 Precisão e exatidão; 
 Média e desvio padrão; 
 Propagação de erro. 
UNI-
DADE
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 
o erro conceitual do experimentador. Temos também os erros acidentais, aos quais o 
experimentador não tem controle, portanto são imprevisíveis. Esses erros podem ser 
devidos as variações de temperatura ambiente e vibrações, por exemplo. 
 
 
 
O erro pode e deve ser corrigido, já a incerteza é uma zona de confiança 
dessas medidas. Os erros grosseiros e sistemáticos devem sempre ser eliminados. A 
atenção e o preparo do experimentador são os quesitos fundamentais para elimina-
ção desses erros. Os erros acidentais sempre devem ser minimizados, para isso deve 
se levar em conta o grau de precisão da medida experimental. 
 
 
 
Após eliminar ou reduzir os erros, as flutuações devem ser estudadas pela teoria 
dos erros ou erros estatísticos, as quais daremos atenção nos tópicos a seguir. 
 
2.3 PRECISÃO E EXATIDÃO 
As medidas podem ser classificadas em diretas e indiretas. A medida ou leitura 
obtida diretamente do instrumento de medida é chamada medida direta. Agora, se 
o resultado da medida é obtido com equação matemáticas, envolvendo resultadosde medidas diretas, damos o nome de medida indireta. 
Acurácia ou exatidão é definido como o grau de concordância entre um valor 
verdadeiro e um valor medido. Precisão seria a proximidade entre resultados de vá-
rias medições quando se utiliza os mesmos procedimentos. É bom deixar claro, que 
O erro de paralaxe é devido ao ângulo de visão entre o observador e o instrumento de 
medição analógico, resultando numa medida errada. O correto é sempre visualizar a 
escala de medida perpendicularmente, ou seja, de frente, e não muito distante. Este erro 
não ocorre em instrumentos digitais. 
Quando se realiza uma medida, os valores podem mudar de acordo com a temperatura 
do laboratório devido ao fato dos instrumentos de medida e os próprios objetos a serem 
medidos dilatarem ou diminuírem. Erros devidos as variações de temperatura em um 
ambiente, podem ser eliminados usando um laboratório climatizado, por exemplo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
sempre temos uma incerteza associada a medição. A Figura 1 retrata a diferença 
desses dois conceitos. 
 
Figura 1: Diferença entre precisão e exatidão 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2019) 
 
2.4 MÉDIA E DESVIO PADRÃO 
Podemos medir uma grandeza apenas uma vez ou várias vezes sob mesmas 
condições físicas. Quando se mede apenas uma vez, a estimativa do erro se deve a 
precisão do equipamento utilizado. Já quando se trabalham com várias medidas e 
necessário procedimentos matemáticos para análise dos dados obtidos. 
 
 
 
Para um conjunto de medidas calcula-se a média, ou seja, a melhor estimativa 
do valor mais provável de um conjunto de medidas. Matematicamente a média arit-
mética é o quociente entre a soma dos valores observados e o número de observa-
ções, dado pela equação (1) Para as equações a seguir 𝑛 será o número de medidas 
obtidas ou valor amostral. 
 
 
x =
1
n
x (1) 
 
A diferença entre o valor obtido (x) em uma medida e o valor médio (x) obtido 
de diversas medidas, é denominado desvio. Matematicamente, temos a equação 
(2): 
 δ = x − x (2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
O desvio médio absoluto, δ, representa a média aritmética dos valores absolu-
tos dos desvios δ: 
 
 
δ =
1
n
|x − x| =
1
n
|δ | (3) 
 
As medidas em geral são diferentes entre si, sendo assim sua variabilidade ou 
dispersão, é calculada estimando o desvio padrão, que nada mais é que o desvio 
médio quadrático das medidas, dado pela equação (4). O desvio padrão pode ser 
considerado uma média das diferenças quadráticas para cada medida até a mé-
dia. Sendo assim mais homogênea será o conjunto de medidas quando se tem um 
menor desvio padrão. 
 
 
σ =
1
n − 1
(x − x) (4) 
 
Podemos definir também o erro padrão, que seria a medida de variação para 
uma média amostral em relação à média. O erro padrão é uma medida que nos 
auxilia quanto a confiabilidade da média amostral. O erro padrão é calculado pela 
razão do desvio padrão pela raiz quadrada do valor amostral (equação (5)), logo o 
valor obtido terá a unidade de medida igual ao do valor amostral. 
 
 σ =
σ
√n
 (5) 
 
Sempre que formos representar o valor de uma grandeza, devemos utilizara a 
seguinte representação: 
 
 x = (x ± ∆x ) (6) 
 
Onde ∆x′ representa o desvio, podendo ser o erro padrão (σ ) ou a incerteza 
do equipamento de medidas. O escolhido será sempre o de maior valor entre os dois. 
Esse desvio deve ser escrito apenas com um único algarismo significativo, sendo que 
o valor médio da grandeza medida deve ter a mesma precisão do desvio. Os critérios 
adequados de arredondamento devem ser seguidos. A Tabela 2 exemplifica a apre-
sentação de forma correta e errada dos valores de algumas grandezas físicas e seus 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
desvios. Sempre apresente seus dados da maneira correta. 
 
Tabela 2: Apresentação errada e correta dos valores de algumas grandezas físicas com seus 
respectivos desvios 
Grandeza Física Errada Correta 
Comprimento (3,4563 ± 0,0037) m (3,456 ± 0,004) m 
Área (54,3524 ± 1,884) m (5,4 ± 0,2) ∙ 10 m 
Volume (346,43 ± 13,2) m (3,5 ± 0,1) ∙ 10 m 
Intervalo de Tempo (345765,31546 ± 205,440) s (3,458 ± 0,002) ∙ 10 s 
Carga Elétrica (0,03464 ± 0,000489) C (3,46 ± 0,05) ∙ 10 C 
Fonte: Nagashima (2011) 
 
Por fim, podemos calcular o erro percentual (E%) entre o valor teórico e o ob-
tido experimentalmente pela equação (7). Essa expressão é utilizada quando se com-
para uma medida experimental com um valor teórico. O resultado mostra ao experi-
mentador o quanto o valor experimentalmente difere de valor conhecido. 
 
 
E% =
|valor teórico − valor experimental|
valor teórico
∙ 100 (7) 
 
2.5 EXEMPLO PRÁTICO 
Um experimentador usando um cronometro digital realiza um conjunto de 10 
medidas do tempo que um corpo leva para atingir o solo. Na Tabela 3 estão os resul-
tados das medidas. Considere que a incerteza do cronômetro digital seja de 0,05 ms. 
 
Tabela 3: Dez medidas do tempo de queda de um corpo em 𝐦𝐬. 
Tempo de queda de um corpo (𝐦𝐬) 
4,93 0,77 7,01 3,83 5,40 
2,21 6,00 5,17 4,12 2,56 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2019) 
 
Com os dados da Tabela 3, pode-se calcular: 
 
 A média dos tempos de queda utilizando a equação (1): 
 
t̅ =
1
n
t = 4,20 ms 
 
 O desvio padrão utilizando a equação (4): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
 
 
σ =
1
n − 1
(t − t̅) = 1,9 ms 
 
 O erro padrão pela equação (5): 
 
σ =
σ
√n
 =
1,9
√10
= 0,6 ms 
 
Portanto, o tempo de queda médio para 10 medições pode ser escrito como: 
 
𝐭 = (𝟒, 𝟐 ± 𝟎, 𝟔) 𝐦𝐬. 
 
Analise a tabela e perceba que as flutuações do tempo de queda foram 
muito grandes, de onde conclui-se que o erro da medida é grande e provavelmente 
o experimentador não teve o devido cuidado ao acionar o cronometro, por exem-
plo. 
Pela análise estatística, perceba que o erro padrão teve um valor bem maior 
que a incerteza do cronômetro digital, por isso foi escolhido para representação final 
da medida. Note também que tanto a incerteza quanto tempo de queda médio 
foram escritos com uma casa decimal. Por fim, perceba que tanto o desvio padrão 
e o erro padrão foram escritos com a mesma dimensão física da média, nesse caso 
em milissegundo. 
 
 
2.6 PROPAGAÇÃO DE ERRO 
 O site “O Império dos Números” disponibiliza poderosas ferramentas matemáticas 
gratuitamente. No link abaixo refaça o exemplo prático 2.5 conferindo as respostas. 
Link: https://bit.ly/3jzE5gf. Acesso em: 29 out. 2019 
 Confira mais sobre erros no capítulo 2 do livro “Mecânica Física: Abordagem 
Experimental e Teórica” de Tavares e Oliveira (2014) disponível na “Minha Biblioteca 
Única” em: https://bit.ly/3jyHBaK. Acesso em: 29 out. 2019 
 Como complemento de leitura, acesse os capítulos 6, 7 e 8 do livro “Fundamentos da 
teoria de erros” de Vuolo (1996) disponível na Biblioteca Virtual em: 
https://bit.ly/3lADE7r. Acesso em: 29 out. 2019 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
Quando o resultado da medida de uma grandeza é obtido com o auxílio de 
uma equação, dizemos que temos uma medida indireta, com base em dados de 
medidas diretas. Para esses casos são necessárias operações matemáticas. A propa-
gação de erro ou propagação de incerteza é uma forma de verificar a confiabilidade 
dos dados de uma certa amostra ou medida, quando esta é submetida a diferentes 
operações matemáticas. A propagação de erro fornece a melhor estimativa para 
um conjunto de dados. Após feita as operações, os critérios adequados de arredon-
damento devem ser seguidos, apresentando os resultados de forma correta como 
exemplificado na Tabela 2. Algumas operações básicas são descritas abaixo. 
Seja 𝑎 = (�̅� ± ∆𝑥) e 𝑏 = (𝑦 ± ∆𝑦) e 𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, temos: 
 
 
 Adição: a + b = (x ± ∆x) + (y ± ∆y) = (x + y) ± (∆x + ∆y) 
 Subtração: a − b = (x ± ∆x) − (y ± ∆y) = (x − y) ± (∆x + ∆y) 
 Multiplicação por uma constante: c ∙ a = c ∙ (x ± ∆x) = c ∙ x ± c ∙ ∆x 
 Multiplicação:a ∙ b = (x ± ∆x) ∙ (y ± ∆y) = (x ∙ y) ± (x ∙ ∆y + y ∙ ∆x) 
 
 Divisão: =
( ±∆ )
( ±∆ )
= ±
( ∙∆ ∙∆ ) 
 Cosseno: cos(a) = cos(x ± ∆x) = cos(x) ± ∆x ∙ sen(x) 
 Seno: sen(b) = sen(y ± ∆y) = sen(y) ± ∆y ∙ cos(y) 
 Logaritmo: log(a) = log(x ± ∆x) = log(x) ± (∆x/x ) 
 Exponencial:c = c ±∆ = c ± (c ∙ ln (c)) ∙ ∆x 
 Raiz quadrada: √b = (y ± ∆y) = y ±
∆
∙
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
 
1. A figura abaixo ilustra a disposição da jogada de dardos de 4 distintos jogadores. 
Identifique o(s) jogador(es) com baixa exatidão e alta precisão: 
 
 
a) Somente 1 
b) Somente 2 
c) Somente 3 
d) Somente 4 
e) Somente 2 e 4 
 
2. A velocidade do vento (em km/h) prevista para a cidade de Viçosa-MG das 15 
horas da tarde às 3 horas da manhã de uma terça feira é ilustrada na figura abaixo: 
 
 
Fonte: https://weather.com/ ; Cidade Viçosa-MG; 
Acesso em 12/11/2019. 
 
Determine a velocidade média do vento para esse conjunto de dados: 
 
a) 18,6 km/h 
b) 17,6 km/h 
c) 22,0 km/h 
d) 16,4 km/h 
e) 23,0 km/h 
3. Suponha que um experimentador realize 7 vezes a medida do comprimento 𝐿 de 
um lápis. Essas medidas foram realizadas com uma régua cuja menor divisão é 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
mm. A tabela abaixo mostra os valores obtidos nessas medidas realizadas, e o cál-
culo dos desvios de algumas medidas. 
 
Medidas 𝐋 𝛅 = 𝐋 − �̅� 
1 5,37 +0,01 
2 5,39 - 
3 5,34 -0,02 
4 5,36 0,00 
5 5,31 - 
6 5,37 +0,01 
7 5,38 +0,02 
 
Assinale a alternativa que preencha as lacunas da tabela 
 
a) −0,03 ; −0,05 
b) −0,02 ; +0,03 
c) +0,03 ; −0,05 
d) −0,02 ; +0,03 
e) +0,03 ; +0,02 
 
4. (Enem 2015 - adaptado) Em uma seletiva para a final dos 100 metros livres de na-
tação, numa olimpíada, os atletas, em suas respectivas raias, obtiveram os seguin-
tes tempos: 
 
Raia 1 2 3 4 5 6 7 8 
Tempo 
(segundo) 
20,90 20,90 20,50 20,80 20,60 20,60 20,90 20,96 
 
Sabendo que a incerteza nominal do cronômetro vale 0,05 s, assinale a alternativa 
que representa a forma correta de representar o valor da média dos tempos: 
 
a) (20,8 ± 0,06) s 
b) (20,77 ± 0,06) s 
c) (20,77 ± 0,05) s 
d) (20,8 ± 0,05) s 
e) (20,7 ± 0,05) s 
 
5. Um restaurante vende sucos de laranja caseiros em garrafas com capacidade de 
500 mililitros (ml). Alguns clientes estão alegando que a garrafa de suco consumida 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
tinha menos líquido que o informado. Com isso o dono do restaurante faz um con-
junto de 10 amostras, medindo o volume exato de suco em ml, e constrói o quadro 
abaixo. 
 
455 450 552 557 486 
498 440 560 451 551 
 
Com base nos dados obtidos pelo dono do restaurante, assinale a alternativa que 
representa a forma correta de representar o valor da média do volume do suco 
mais o respectivo erro padrão. 
 
a) (500 ± 16) ml 
b) (5,0 ± 0,2) ∙ 10 ml 
c) (500 ± 47) ml 
d) (5,0 ± 0,5) ∙ 10 ml 
e) (500 ± 0,2) ml 
 
6. Considere as medidas A = (231,03 ± 0,02) mm e B = (12,8 ± 0,5)mm. De acordo 
com os estudos de propagação de erro, assinale a alternativa que representa a 
forma correta de representar o valor da soma A + B. 
 
a) (243,8 ± 0,5) mm 
b) (243,83 ± 0,52) mm 
c) (243,9 ± 0,5) mm 
d) (243,8 ± 0,52) mm 
e) (243 ± 0,5) mm 
 
7. (MARQUES; Física mecânica) O comprimento 𝑙 e a largura 𝑑 de um retângulo foram 
medidos e obtiveram-se os valores de 20,3 𝑚 e 10,6 𝑚, respectivamente, com um 
erro de 1%. Qual é o valor da área do retângulo? 
 
a) (215, 18 ± 4, 15) m 
b) (215, 2 ± 4, 2) m 
c) (215 ± 4, 15) m 
d) (215, 2 ± 4) m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
 
e) (215 ± 4) m 
 
8. Considere as medidas de massa e volume de um certo objeto como sendo respec-
tivamente: m = (2,14 ± 0,03) kg e V = (1,4 ± 0,1)m . De acordo com os estudos de 
propagação de erro, assinale a alternativa que representa a forma correta de re-
presentar a densidade desse objeto. 
 
a) (1,52 ± 0,13) kg/m 
b) (1,5 ± 0,2) kg/m 
c) (1,5 ± 0,1) kg/m 
d) (1,52 ± 0,25) kg/m 
e) (1,50 ± 0,13) kg/m3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS 
 
UNIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
 
 
 
3.1 INTRODUÇÃO 
Em experiências de física, frequentemente medimos os valores de uma gran-
deza em função da variação de outra grandeza. Como resultado, temos uma cole-
ção de medidas relacionando ambas as grandezas. Veremos nesta unidade as van-
tagens de se utilizar o método gráfico para análise de conjuntos de dados coletados. 
 
 
 
3.2 TABELAS E QUADROS 
Apesar de formatos parecidos, tabelas e quadros tem função diferentes em 
um texto acadêmico. Tabelas são em geral mais utilizadas para mostrar dados quan-
titativos. Devem ser o mais simples possível, com as bordas laterais abertas e o mínimo 
de linhas verticais e horizontais. A tabela deve ser completa para que o leitor não 
precise voltar ao texto para ter o entendimento da tabela. Já os Quadros apresentam 
todas as bordas fechadas e são utilizados para expressar dados em formato de texto, 
ou seja, dados qualitativos. Este presente livro segue a formatação sugerida acima. 
 
3.3 GRÁFICOS 
Como ressaltado na introdução, frequentemente medimos os valores de uma 
dada grandeza em função da variação nos valores de outra grandeza. Como resul-
tado, temos uma coleção de medidas relacionando ambas as grandezas, o que 
gera uma tabela de dados. Para conhecer o comportamento de variáveis que não 
aparecem na tabela de dados, apresenta-se os dados da tabela na forma de um 
gráfico. Um gráfico tem a grande vantagem de tornar visível como a variação de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 
uma grandeza afeta a outra, nos permitindo determinar a dependência funcional 
entre essas variáveis. 
 
3.4 CONSTRUÇÃO DE UM GRÁFICO 
Para a construção manual de um gráfico as seguintes etapas devem ser se-
guidas: 
 
I. Os eixos devem ser identificados. No eixo horizontal, chamado abscissa, são lan-
çados os valores numéricos da variável independente. No eixo vertical, chamado 
ordenada, são lançados os valores numéricos da variável dependente. Nesses 
eixos as variáveis ou grandezas devem ser indicadas com suas respectivas unida-
des, que podem ser indicadas por vírgula ou parênteses; 
II. Escalas apropriadas devem ser escolhidas e marcadas em intervalos iguais para 
cada eixo, permitindo que todos os pontos experimentais fiquem contidos na re-
gião delimitada pelos dois eixos; 
III. Após escolhidas as escalas, os pares de valores contidos na tabela de dados de-
vem ser lançados no gráfico. Cada par de valores da tabela gera um ponto no 
gráfico; 
IV. Deve-se colocar barras de erro no gráfico quando as medidas experimentais são 
acompanhadas dos respectivos erros. Isso é importante para que se tenha uma 
noção clara do quão preciso são os resultados; 
V. A última e mais importante das etapas compreende a análise gráfica, ao qual 
vamos dá uma especial atenção no tópico abaixo; 
 
3.5 ANÁLISE GRÁFICA 
A análise gráfica consiste basicamente em descobrir a dependência funcional 
entre as variáveis, ou seja, achar uma formulação matemática adequada que des-
creva a sua inter-relação. Por meio dessa analise pretende-se descobrir a lei que 
rege um determinado fenômeno físico. A relação linear é a dependência mais sim-
ples entre duas variáveis. Uma relação linear entre as variáveis x e y, considerando 𝑎 
e 𝑏 como constantes, obedece à seguinte equação: 
 
 y = 𝑎x + 𝑏 (8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
 
 
O gráfico resultante é uma reta, onde a constante 𝑏 é o coeficiente linear da 
reta, e seu valor e obtido na interseção da reta com o eixo y, pois quando x = 0, y =
 B. Já a constante 𝑎 é o coeficiente angular, que exprime a taxa de variação da 
variável dependente y em relação à variável independente x. 
 
 Δy
Δx
 (9) 
 
 
No exemplo da Figura 2, o coeficiente angular da reta écalculado a partir da 
equação (9). Para este caso em particular, o coeficiente angular corresponde ao 
valor da densidade do material, já que a densidade é o quociente entre a massa e 
o volume. Portanto 𝑎 = 1 g/cm , o que nos permite intuir que o material em questão e 
a água a temperatura ambiente. Não se deve confundir o coeficiente angular com 
a tangente do ângulo formado pela reta com o eixo horizontal. Quando se muda as 
escalas, também é alterado o ângulo, entretanto o coeficiente angular continua o 
mesmo. 
 
Figura 2: Exemplificação da determinação do coeficiente angular em um gráfico linear 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2019) 
Podemos esperar, para os dados experimentais, uma pequena dispersão em 
torno de uma reta representativa. Neste caso, o objetivo principal da análise gráfica 
é determinar a chamada equação da reta média. As dispersões são representadas 
por barras de incertezas e refletem o grau de incerteza associado a cada ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
Para se calcular os parâmetros a e b através da melhor reta visual, basta traçar 
manualmente uma reta. Essa reta deve se ajustar visualmente melhor aos pontos do 
gráfico. Assim feito, se analisa o ponto que a reta intercepta o eixo vertical, esse será 
valor do coeficiente linear. Depois basta calcular a inclinação desta reta utilizando a 
expressão (9). Os pontos experimentais não precisam necessariamente estarem sobre 
a reta traçada. 
Um método mais preciso para o estudo das relações entre as grandezas defi-
nidas é o Método da Regressão Linear. Esse método consiste em minimizar os desvios 
ou dispersões em torno da reta média. A partir desse método calculamos o valor de 
coeficiente linear 𝑏, o coeficiente angular 𝑎 e também o coeficiente de correlação 
linear 𝑟. Esse último mede o grau do relacionamento linear entre as variáveis y e x. 
Sendo n é o número de medidas obtidas, as equações para cálculo desses coefici-
entes são: 
 
 
𝑎 = 
n ∑ x y − (∑ x )(∑ y )
n ∑ x − (∑ x )²
 (10)
 
 
𝑏 = 
(∑ y )(∑ x ²) − (∑ x y )(∑ x )
n ∑ x ² − (∑ x )²
 (11)
 
 
𝑟 = 
n ∑(x y ) − (∑ x )(∑ y )
[ n ∑ x ² − (∑ x )² ][ n ∑ y ² − (∑ y )² ]
 (12)
 
Para o caso de 𝑟 = 1 as variáveis são diretamente proporcionais. Caso 𝑟 = −1 
as variáveis são inversamente proporcionais. E se 𝑟 = 0 as variáveis não dependem 
linearmente uma da outra. 
Alguns programas gratuitos de análise e visualização de dados nos possibilita 
encontrar os coeficientes 𝑎, 𝑏 e 𝑟 através da regressão linear de forma rápida e fácil, 
como ilustraremos no tópico 3.7. 
 
 
 
3.6 LINEARIZAÇÃO DE FUNÇÕES NÃO LINEARES 
Nem sempre vamos encontrar funções lineares na física. Porém em casos que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 
o gráfico obtido não é uma reta, podemos linearizá-lo através da chamada mu-
dança de variáveis. Denomina-se linearização, o processo de transformar um gráfico 
curvo em uma reta. Suponha que ao se fazer uma medida de duas grandezas, ob-
serva-se a relação do tipo potência entre elas: 
 
 y = kx (13)
 
A linearização para esse caso consiste em aplicar o logaritmo em ambos lados 
da equação e usar as propriedades de logaritmo log(𝑎𝑏) = log(𝑎) + log(𝑏) e log(𝑎 ) =
nlog(𝑎): 
 
 log(y) = log(k) + nlog(x) (14)
 
Fazendo a mudança de variável log log (y) = y′, log (k) = 𝑏, 𝑎 = n e log (x) =
 x ′, obteremos: 
 
 y ′ = 𝑎 x ′ + 𝑏 (15)
 
Para esse caso o gráfico y ′ versus x ′ gerará uma reta (Figura 3). Após a lineari-
zação, deve se calcular os valores dos coeficientes linear e angular da reta utilizando 
a melhor reta visual ou o método de regressão linear como já mencionado. Vale lem-
bra que agora considerando as novas variáveis log(y) e log(x). Para esse caso, o co-
eficiente linear equivale a 𝑏 = log(k), portanto, usando a propriedade logarítmica, 
encontramos o valor de que k = 10 da equação (13). Finalmente, o expoente n da 
equação (13) fica sendo o coeficiente angular a encontrado. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3: Exemplificação de linearização de uma função potência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2019) 
 
Suponha agora que fazendo uma medida de duas grandezas, observamos 
que a relação entre as duas é dada por uma equação do exponencial. 
 
 y(x) = ke (16)
 
Nesse caso podemos aplicar o logaritmo na relação acima: 
 
 log (y) = n log(e) x + log (k)) (17)
 
Fazendo: log (y) = y ′ , log (k) = 𝑏, 𝑎 = nlog(e), obteremos: 
 
 y ′ = 𝑎 x + 𝑏 (18)
 
 
Em consequência o gráfico 𝐲′ versus 𝐱 gerará uma reta (Figura 4). Como 
log(e) = 0,4343 (constante), temos que a = 0,4343n. Podemos então encontrar o n 
da equação 16 através do coeficiente angular da reta. Já a constante k da equação 
16 é calculada pelo coeficiente linear. Sendo b = log(k), usando a propriedade loga-
rítmica encontramos que k = 10 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
 
 
Figura 4: Exemplificação de linearização de uma função exponencial. 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2019) 
 
 
 
3.7 CONSTRUÇÃO E ANÁLISE DE GRÁFICO USANDO UM SOFTWARE GRATUITO 
Vamos agora elaborar um gráfico a partir de uma tabela com dados experi-
mentais. Para isso vamos usar o SciDAVis (Figura 5) que é um software gratuito de 
análise e visualização de dados. Esse programa é voltado principalmente para a plo-
tagem de dados científicos de alta qualidade. 
 
 
 
 
 
Figura 5: SciDAVis, software de análise e visualização de dados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
 
 
Fonte: Standish (2017, online) 
 
PROCEDIMENTOS: 
 
1) Baixe o programa SciDAVis gratuitamente no link: 
https://sourceforge.net/projects/scidavis/files/latest/download; 
2) Após feito o download, execute o instalador e inicie o programa. Caso a lingua-
gem do programa não esteja em Português, Clique na aba “Edit/Editar” depois 
em “Preferences/Preferências” e altere o item “language/idioma” para “Português 
Brasileiro”; 
3) Estamos prontos para começar. Os dados experimentais que serão utilizados são 
descritos na Tabela 4, que mostra a relação da posição de um determinado objeto 
em função do tempo. 
 
Tabela 4: Posição em função do tempo para um objeto 
Tempo (s) Posição (m) 
1,2 4,2 
5,6 17,5 
9,9 33,1 
16,1 42,0 
20,1 53,3 
25,6 65,6 
30,2 78,2 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2019) 
 
4) Copie os dados da primeira coluna da Tabela 4 para a primeira coluna do SciDA-
Vis. Faça o mesmo para a segunda coluna. Selecione a primeira coluna com um 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
duplo-clique e a renomeie como “Tempo (s)” e clique em aplicar. Renomeie tam-
bém a segunda coluna como “Posição (m)” e clique em aplicar. A área de traba-
lho do programa deve ficar como na Figura 6 a seguir: 
 
Figura 6: A área de trabalho do programa após adicionadas as colunas da Tabela 4 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2019) 
 
5) Para plotar o gráfico mantenha a tecla CTRL pressionada e clique nos títulos das 
colunas X e Y. Com isso, as colunas selecionadas mudarão para a cor azul. Após 
selecionadas, clique com o botão direito do mouse sobre o título da coluna Y se-
lecionada e escolha a opção “Gráfico” e depois “Dispersão” (Figura 7) 
 
Figura 7: A área de trabalho do programa para a elaboração do gráfico dos dados 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2019) 
 
 
6) No gráfico que se abre, dê um duplo clique sobre o campo “Título”, e o renomeie 
para “Posição vs Tempo”. Do mesmo modo, renomeie o título do eixo X para 
“Tempo (s)” e o título do eixo Y para “Posição (m)”. Por fim dê um duplo clique 
sobre o campo legenda e renomeie para “\c{1} Tabela 4” . Na área de trabalho 
do programa, o gráfico deve ficar como na Figura 8 a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
 
 
Figura 8: Gráfico gerado pelo programa após os procedimentos descritos 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2019) 
 
7) Podemos perceber pelo gráfico, para esses dados, um comportamento linear en-
tre a posição e o tempo. Para obtero coeficiente angular (𝐚) e o coeficiente linear 
(𝐛) clique em “Análise” depois em “Ajuste rápido” e na nova aba clique em “Re-
gressão Linear”, como ilustra a Figura 9 a seguir: 
 
Figura 9: A área de trabalho do programa para a realização da regressão linear 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2019) 
 
8) Feito isso, irá abrir uma aba “Registros de resultados”, como a da Figura 11, e no 
gráfico aparecera uma reta vermelha. Observe que o coeficiente angular, dado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
 
pela interceptação da reta no eixo Y, obtido para esse caso vale aproximada-
mente 𝑏 = 3,80. Já o coeficiente angular encontrado vale aproximadamente 𝑎 =
 2,46. Ainda tempos o coeficiente de correlação linear 𝑟 = 0,99, que confirma o 
caráter linear dos dados experimentais, ou seja a posição e diretamente proporci-
onal ao tempo. 
 
Figura 10: Aba “Registros de resultados” obtidos via regressão linear 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2019) 
 
9) Vamos agora analisar e atribuir sentido físico aos valores dos coeficientes obtidos 
pela regressão linear. Para isso devemos substituindo os coeficientes na equação 
(8): 
 
y = ax + b 
y = 2,46x + 3,80 
 
10) Além disso vamos substituir o y por s, onde s representa a posição e vamos tam-
bém substituir o x por t, onde t representa o tempo. Reorganizando a equação 
obtemos: 
 
s = 3,80 + 2,46t 
 
11) Essa equação obtida é famosa equação horaria da posição estudada na cine-
mática: 
 
s = s + v⃗t, 
 
de onde concluímos, comparando essa equação com a análise gráfica, que a 
velocidade do objeto vale v⃗ = 2,46 m/s e a posição inicial vale s = 3,80 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
 
12) Para finalizar, vamos expor nossos resultados no gráfico final. Para inserir os dados 
da regressão em uma área do gráfico crie uma caixa de texto indo na barra de 
ferramentas e clicando sobre o ícone “Gráfico” e depois no item “Adicionar 
texto” (ou pressione ALT+T). Na janela que se abre, selecione a opção “Na ca-
mada ativa” e clique em uma região próxima ao gráfico. A Figura 11 representa 
o gráfico final para esses dados. 
 
Figura 11: Gráfico em seu formato final 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2019) 
 
Como se percebe, a análise gráfica é uma poderosa ferramenta de análise 
de dados experimentais, sendo extremamente útil na comparação de dados teóri-
cos e experimentais. Os gráficos científicos devem seguir esse modelo, como descrito 
na seção 3.4, para uma exposição correta dos dados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
1. Considere o conjunto de dados explicitados na tabela abaixo: 
 
𝒙 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 𝟖 𝟗 𝟏𝟎 
𝒚 42 36 32 25 22 16 12 10 8 5 
 
O gráfico mais adequado para esse conjunto de dados é representado por: 
 
 
https://bit.ly/3hKeUHn. Acesso 
em: 28 nov. 2019 
https://bit.ly/3hSVrV8. Acesso em: 28 nov. 2019 
Acesso em: 28 nov. 2019 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
 
e) nenhuma das alternativas acima. 
 
2. (DPF-UFV - Adaptada) A partir da seguinte tabela de dados, obtenha y como uma 
função linear de x usando o método de regressão linear. Determine o valor dos 
coeficientes angular e linear da reta através das equações (10) e (11), com n =
 10: 
 
𝒙 𝟏, 𝟎 𝟏, 𝟔 𝟐, 𝟎 𝟑, 𝟎 𝟑, 𝟒 𝟒, 𝟎 𝟓, 𝟎 𝟓, 𝟓 𝟔, 𝟎 𝟕, 𝟎 
𝒚 1,4 1,6 2,0 2,3 2,6 3,1 3,4 3,8 4,1 4,6 
 
 
a) y = 0,54x + 0,82 
b) y = 0,82x + 0,54 
c) x = 0,54y + 0,82 
d) x = 0,82y + 0,54 
e) x = 0,82 + 0,54 
 
3. Considere 5 marcas diferentes de suco em pó concentrados. Cada marca possui 
uma quantidade de pó por pacote, e necessita de uma certa quantidade de 
água para fazer o suco. Os dados são ilustrados na tabela abaixo: 
 
 marca 1 marca 2 marca 3 marca 4 marca 5 
𝑿 (𝒎𝒈) 100 200 300 400 500 
𝒀 (𝒎𝒍) 50 80 100 120 150 
 
Considere a função Y = aX + b, onde Y e a quantidade de água (ml) e X é a quan-
tidade de pó (mg). Estime os parâmetros a e b da reta de regressão linear. 
 
a) a = 0,24 ml/mg ; b = 28 ml 
b) a = 0,28 ml/mg ; b = 24 ml 
c) a = 0,24 mg/ml ; b = 28 mg 
d) a = 0,28 mg/ml ; b = 24 mg 
e) a = 0,30 mg/ml ; b = 28 mg 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
 
4. (MORETTIN; 2017 - adaptado) A mensuração exata (Y) de uma substância do san-
gue, por meio de uma análise química, é muito cara. Um novo método mais ba-
rato resulta na medida X, que supostamente pode ser usada para prever o valor 
de Y. Nove amostras de sangue foram obtidas e avaliadas pelos dois métodos, 
obtendo-se as medidas abaixo. 
 
X 119 155 174 190 196 233 272 253 276 
Y 112 152 172 183 192 228 263 239 263 
 
Faça o gráfico dos pontos e estime via regressão linear o coeficiente angular da 
reta. O valor mais próximo do obtido é: 
 
a) a = 0,02 
b) a = 3,55 
c) a = 4,69 
d) a = 0,95 
e) a = 0,86 
 
5. (MORETTIN; 2017 - adaptado) Os dados abaixo referem-se a meses de experiência 
de dez digitadores e o número de erros cometidos na digitação de determinado 
texto. 
 
Meses x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Erro y 30 28 24 20 18 14 13 10 7 6 
 
Represente graficamente esse conjunto de dado e assumindo que um modelo de 
regressão linear é adequado e determine os coeficientes da equação da reta. 
 
a) y = + 2,8 x + 32 
b) y = – 2,8 x + 32 
c) y = – 32 x + 2,8 
d) y = + 32 x + 2,8 
e) y = + 2,8 + 32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
 
6. Considere a Tabela abaixo para resolver os exercícios 6) e 7): A tabela abaixo mos-
tra resultados experimentais obtidos em uma aula de laboratório, da posição de 
um determinado objeto (x) em função do tempo (t). 
 
Tempo (s) Posição (m) 
1,4 5,2 
4,9 16,5 
8,9 32,1 
14,1 45,0 
19,1 59,2 
22,6 65,9 
30,5 79,2 
 
A velocidade do objeto obtida via regressão linear equivale a: 
 
a) 5,82 m/s 
b) 2,89 m/s 
c) 2,58 m/s 
d) 3,71 m/s 
e) 5,2 m/s 
 
7. O valor da constante b, ou seja, o coeficiente linear obtido na interseção da reta 
com o eixo y, equivale a: 
 
a) 5,82 m 
b) 5,82 s 
c) 2,58 m/s 
d) 2,58 m 
e) 1,4 s 
 
8. (DPF UFV – adaptado) Em um laboratório de pesquisa avançada na área de novos 
materiais, e utilizando-se os equipamentos adequados, os cientistas verificaram 
como o comprimento (L) de uma barra cilíndrica, feita de uma superliga metálica 
recentemente descoberta, variava de uma forma inesperada em função da tem-
peratura (T). Foi obtida a seguinte tabela após as medidas. 
 
L (cm) 50,50 79,20 147,10 248,00 495,50 
T (°C) 2,0 23,0 42,0 60,0 90,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
 
 
Observando o comportamento do gráfico da tabela de dados, se espera uma rela-
ção de qual tipo para essas grandezas? 
a) Linear 
b) Polinomial de 2° grau 
c) Logarítmica 
d) Exponencial 
e) Polinomial de 3° grau 
 
 
 
 
MEDIDAS DE EXTENSÃO, MASSA 
E PESO 
 
 
4.1 INTRODUÇÃO 
Sempre teremos um erro associado a cada medida. Esse erro geralmente é 
devido ao próprio experimentador ou da escolha de instrumentos de medidas incor-
retos para o experimento. Devido a isso nesta unidade daremos atenção aos tipos 
de erros associados a uma medida. Além disso, no quotidiano experimental o expe-
rimentador se depara com várias medidas de extensão, sendo elas de grandes ou 
pequenas dimensões. Sendo assim é importante saber qual o instrumento de medida 
mais adequado. 
 
UNIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 
 
 
4.2 MEDIDAS DE EXTENSÃO 
No quotidiano experimental o experimentador se depara com várias medidas 
de extensão, sendo elas de grandes ou pequenas dimensões. 
 
 
 
Como discutido na Unidade 1, o metro é a unidade padrão de comprimento 
no Sistema Internacional e seus múltiplos ou submúltiplos são representados por po-
tencias de 10 ou por prefixos. A escala de extensão do universo observável, por 
exemplo, é da ordem de 10 metros. Já o comprimento do raio do núcleo atômico 
é da ordem de 10 metros. A Figura 12 ressalta essas dimensões de comprimento. 
 
Figura 12: Alguns comprimentostípicos no universo 
Os objetivos de aprendizagem da Unidade 4 são: 
 Classificação de erros de medidas; 
 Entender a diferença entre massa e peso; 
 Aprender sobre os instrumentos de medida: 
 Trena e régua 
 Paquímetro 
 Micrometro 
 Balança 
 Dinamômetro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
 
 
Fonte: Adaptado de Costa (2016) 
 
No contexto do laboratório de física os principais instrumentos de medida de 
comprimento são a trena ou fita métrica, a régua milimetrada, o paquímetro e o mi-
crômetro. A trena é adequada para medir comprimentos da ordem de metros ou 
dezenas de metros. Não faz sentido medir o comprimento de uma mesa com uma 
régua milimetrada. O erro associado a essa medida será grande. A medição do com-
primento de uma mesa ou da largura do laboratório são exemplos de aplicação da 
trena. Já para medir o comprimento de um lápis ou o diâmetro de um CD (Compact 
Disk) o instrumento mais adequado será uma régua milimetrada. 
Para medidas de comprimentos menores que os citados, é necessário um ins-
trumento mais preciso. Por exemplo, para medir a espessura de uma moeda a régua 
milimetrada não se aplica e é necessário o uso do paquímetro. Já para medidas 
muito precisas, da ordem de micrometros, que são a milionésima parte do metro, é 
usado o micrômetro. Nos próximos tópicos vamos detalhar o uso desses importantes 
instrumentos de medida de extensão assim como suas especificidades. 
 
4.3 TRENA E RÉGUA MILIMETRADA 
O método mais empregado para medição de comprimento de vários metros 
é o que utiliza trenas (Figura 13). As trenas são fitas de aço tratadas termicamente e 
temperadas, o que lhes assegura flexibilidade e estabilidade dimensional. O formato 
côncavo e o tipo de aço garantem a rigidez da fita ao ser estendida na posição 
vertical. Coma trena podemos medir o interior de caixas, distância entre paredes, 
comprimento de uma mesa, altura do teto ao piso, posicionamento de peças em 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
 
máquinas etc. Em todas as situações, a fita deve ficar apoiada, bem esticada e reti-
línea. Já as fitas métricas feitas de tecido como da Figura 13, por serem mais maleá-
veis e flexíveis são bastantes utilizadas para medidas curvas, como o diâmetro de 
uma peça ou a circunferência da cintura de uma pessoa por exemplo. A escala da 
trena ou fita métrica geralmente é dividida em metros, centímetros e milímetros. A 
precisão desses instrumentos, portanto, é da ordem dos milímetros. 
 
Figura 13: Trena (a) e fita métrica (b) 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2019) 
 
As réguas milimetrada, como o nome sugere, são aparelhos capazes de medir 
comprimentos com a precisão máxima de milímetros. A diferença básica para as tre-
nas ou fitas métricas e que uma régua e geralmente constituída de um material rígido 
e suas dimensões são menores que um metro. Em laboratórios e oficinas as réguas 
graduadas são constituídas de aço-carbono ou aço inoxidável, podendo ser flexíveis 
ou semiflexíveis, tendo sua graduação inicial situada na extremidade esquerda. A 
escala geralmente é dividida em centímetros e milímetros (algumas mais precisas são 
divididas em meio milímetro). Algumas réguas também trazem a escala de polega-
das. Cada polegada é dividida em seus submúltiplos fracionários como no esquema 
da Figura 14. Lembrando que uma polegada equivale a aproximadamente 25,4mm. 
Réguas feitas de plástico, madeira, bambu são muito utilizadas para fazer medidas e 
desenhos técnicos em escala, mas essas não são recomendadas para medidas pre-
cisas. 
 
Figura 14: régua graduada em milímetros e em polegadas 
(Zoom nas divisões das respectivas escalas. A graduação inferior divide 1 polegada em 8 partes iguais, portanto o 
valor de uma divisão é 1”/8 (um oitavo avos de polegada). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
 
 
Fonte: Adaptado pelo Autor (2019) de http://www.reguaonline.com 
 
A incerteza da escala da trena ou fita métrica e da régua milimetrada é me-
tade de sua precisão, como mostra a equação (19): 
 
 Incerteza = (1/2 ∙ precião) = 0,5 mm (19) 
 
No caso das réguas centimetrada e decimetrada, as incertezas de escalas são 
0,5 cm e 0,5 dm, respectivamente Observe, na Figura 15, o exemplo de medição de 
um lápis com uma régua milimetrada. O comprimento do lápis é de 5,85 cm ou 58,5 
mm, sendo que os algarismos 5 e 8 são exatos e o 5 é o algarismo duvidoso. Portanto, 
a medida final em milímetros é: L = (58,5 ± 0,5) mm. 
 
 
 
 
Figura 15: Exemplo de medição usando uma escala milimetrada 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2019) 
 
4.4 PAQUÍMETRO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
 
O paquímetro é um instrumento de precisão que é utilizado para medir vários 
tipos de dimensões. Entre essas medidas temos as lineares internas, externas e tam-
bém de profundidade de um objeto, como ilustra a Figura 16. O paquímetro deve 
ser finamente acabado, e suas superfícies devem ser planas e polidas. O cursor deve 
ter livre movimentação, para isso é ajustado à régua com um mínimo de folga. A 
escala pode ser graduada em milímetro, em polegadas ou em ambas. A escala do 
cursor é chamada de nônio ou vernier e permite fazer uma medida com precisão de 
1/10 a 1/50 de milímetro. 
 
Figura 16: Exemplos de medição usando o paquímetro 
 
Fonte: Ferramentas Kennedy (2019, online) 
 
 
A divisão do vernier define a resolução do paquímetro. A resolução é obtida 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
 
ao dividir o valor do menor traço gravado na escala principal (geralmente 1 mm) 
pelo número de traços gravados no vernier. Para paquímetros em que o vernier está 
dividido em 20 traços e o menor traço na escala principal é 1 mm, a resolução deste 
será 1/20 ou 0,05 mm. Para paquímetros em que o vernier está dividido em 50 traços 
e o menor traço na escala principal é 1 mm, a resolução deste será 1/50 ou 0,02 mm. 
A medida utilizando um paquímetro e feita seguindo os seguintes passos: 
 
1) Na escala fixa, anote o valor inteiro que fica à esquerda da marcação de zero 
do nônio. 
2) Verifique qual a resolução do instrumento, dividindo 1 mm pelo número de divi-
sões do nônio. 
3) Verifique a graduação do nônio e encontre aquela que coincide com uma mar-
cação qualquer na escala fixa. 
4) Adicione as duas leituras obtidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 17: Exemplo de medida usando paquímetro 
 
Fonte: Adaptado de Stefanelli (2016b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
 
 
 
 
 
4.5 MICRÔMETRO 
Quando a medição exige uma precisão maior do que a de paquímetro, se 
usa o micrômetro. As medidas são muito precisas, da ordem de micrometros, que são 
a milionésima parte do metro. O funcionamento do micrômetro é baseado no des-
locamento axial de um parafuso micrométrico cujo passo é de alta precisão dentro 
de uma rosca ajustável. A circunferência de rosca, também chamada de tambor é 
dividida em 50 partes iguais, o que possibilita leituras de 0,01mm até 0,001mm. Na 
Figura 18 é mostrada as principais partes do micrômetro. 
 
Figura 18: Partes de um micrômetro 
 Como leitura complementar, acesse o capítulo 5 do livro 
 disponível na “Minha Biblioteca Única” em: https://bit.ly/36grgUz. 
Acesso em: 30 nov. 2019; 
 Acesse o link https://bit.ly/3jaqr3y para um Simulador com nônio em milímetro 
0,05 mm como o exemplo da Figura 17. Acesse e faça algumas medições para 
treinar sua leitura do paquímetro. Acesso em 30 nov. 2019; 
 Assista um treinamento disponibilizado pela Starrett sobre as partes de um pa-
químetro, cuidados e medidas. Disponível em: https://bit.ly/3cDF24Y. Acesso em 
30 nov. 2019. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
 
 
Fonte: Fiorio e Henrique (2013, online) 
 
O objeto ao qual se queira fazer uma medição deve ser colocado entre as 
faces de medição. Com o objeto entre as faces, deve-se adicionar a trava e realizar 
a leitura da medida. 
A leitura é realizada com na Figura 19. Primeiramente deve se observar quan-
tos traços de1mm o tambor ultrapassou. Por exemplo: o tambor ultrapassou o traço 
de 5mm. Este valor será somado com a medida do tambor que estiver em con-
tato com a linha da bainha. Por exemplo: observe que a medida do tambor que 
melhor coincide com a linha zero da bainha é 0,45mm. Somamos essa medida aos 
5mm e temos como resultado 5,45mm. Se o micrometro tiver uma precisão de 0,001 
mm, falta analisar a melhor coincidência do tambor com o nônio da bainha para 
chegarmos a medida final. Por exemplo se coincidir com o primeiro traço do nônio 
da bainha teremos 5,451mm como ilustrado na Figura 19 abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 19: Exemplo de medida usando micrômetro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
 
 
Fonte: Stefanelli (2016a, online) 
 
 
 
 
https://bit.ly/36grgUz. Acesso em: 30 nov. 
2019;
Acesso em: 30 nov. 2019;
Assista ao vídeo disponível em https://bit.ly/2S8QHiE e você terá acesso a um 
treinamento disponibilizado pela Starrett sobre as partes de um micrometro, cui-
dados e medidas. Acesso em: 30 nov. 2019;
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
 
4.6 MASSA E A UNIDADE QUILOGRAMA 
A massa é uma das grandezas fundamentais na física. A massa é comumente 
entendida como a quantidade de matéria existente em um corpo, porém abordare-
mos seu conceito com base na dinâmica de Newton. Segundo a dinâmica newtoni-
ana a massa de um corpo pode ser definida como a expressão de sua inércia. A 
massa mede quantitativamente a inércia, quanto maior a massa, mais um corpo “re-
siste” a ser acelerado (YOUNG; FREEDMAN, 2016). 
 Quando você segura uma fruta e a joga levemente para cima e para baixo, 
você está aplicando uma força e observando quanto a fruta acelera para cima e 
para baixo em resposta. Se uma força produz uma aceleração grande, a massa da 
fruta é pequena; se a mesma força produz uma aceleração pequena, a massa da 
fruta é grande. De modo semelhante, se você aplicar a mesma força em uma bola 
de tênis de mesa e depois em uma bola de basquete, vai notar que a bola de bas-
quete possui uma aceleração muito menor porque sua massa é muito maior. 
A unidade SI de massa é o quilograma (abreviado como kg), e, até o ano de 
2019, era definida como a massa de um cilindro específico feito com uma liga de 90% 
de platina e 10% de irídio (Figura 20). Esse cilindro é mantido e guardado em um cofre 
sobre redomas de vidro na Agência Internacional de Pesos e Medidas em Sèvres, 
próximo de Paris. 
 
Figura 20: Réplica do Protótipo Internacional do quilograma mantido na Agência Internacio-
nal de Pesos e Medidas em Sèvres, próximo de Paris 
 
Fonte: Elena (2017, online) 
 
Após a 26.ª Conferência Geral dos Pesos e Medidas (CGPM), em Versailles, foi 
atingido um marco histórico na revisão do Sistema Internacional de Unidades (SI). A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
 
partir de 20 de maio de 2019 (data em que se comemora o Dia Mundial da Metrolo-
gia) o quilograma passou a ser definido com base na constante de Planck. O quilo-
grama poderá ser definido através de qualquer método apropriado, não sendo ne-
cessário o cilindro padrão. 
 
 
 
4.7 PESO 
Como vimos, a massa caracteriza a propriedade da inércia de um corpo, e a 
unidade no SI da massa é o quilograma (kg). No nosso quotidiano os termos massa e 
peso, em geral, são mal-empregados e considerados sinônimos, porém e extrema-
mente importante saber a diferença entre essas duas grandezas físicas. 
 
𝐌𝐀𝐒𝐒𝐀 ≠ 𝐏𝐄𝐒𝐎 
 
O peso, de um corpo, dado pela equação (20), é a força de atração gravita-
cional exercida pela Terra sobre o corpo. Logo, o peso de um corpo é diretamente 
proporcional à sua massa. Em modulo, sendo a g⃗ a gravidade local, temos: 
 P⃗ = m ∙ g⃗ (20) 
 
A massa e peso estão relacionados: se um corpo possui massa grande tam-
bém possuirá um peso grande. A unidade de medida do peso é o Newton 
(N = kg ∙ m/s ). O peso e uma grandeza vetorial, ou seja, tem modulo, direção e sen-
tido. Na apostila de Física Experimental 2 abordaremos melhor os princípios da dinâ-
mica, por agora focaremos apenas na definição de massa e peso, e como podemos 
fazer medidas dessas duas grandezas. 
A charge abaixo do Garfield (Jin Davis), mostrada na Figura 21, satiriza o em-
prego incorreto da palavra peso ao invés de massa. Como se observa na equação 
(20), em um planeta em que a aceleração da gravidade seja menor que a da Terra, 
o gato Garfield apresentará um peso menor, porém sua massa continuará a mesma, 
não emagrecendo como Jon, seu dono, tentou sugerir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
 
Figura 21: Charge Garfield (Jin Davis) 
 
Fonte: Palma (2015, online) 
 
 
 
4.8 MEDIDA DA MASSA E PESO 
Podemos comparar as massas de objetos de modo muito preciso com uma 
balança de braços iguais (Figura 22), visto que, quando dois corpos possuem o 
mesmo peso, eles possuem a mesma massa considerando a gravidade local cons-
tante. Uma balança de braços iguais determina a massa de um corpo (como uma 
maçã) comparando seu peso com um peso conhecido. 
 
Figura 22: Balança de braços iguais com vários padrões de massa conhecida 
 
Fonte: Technologyuk (2019, online) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
 
Em laboratórios os equipamentos mais usados para mediar diretamente a 
massa são as balanças digitais. Elas são equipamentos específicos para medições 
precisas empregadas em análises, formulações e experimentos que, em geral, reque-
rem precisão. As balanças para laboratório são desenvolvidas segundo normas me-
trológicas e de qualidade internacionais e controladas pelo INMETRO. Geralmente 
uma balança digital possui uma precisão de 1 grama e um desvio (incerteza) de 0,1 
g. A Figura 23 ilustra alguns tipos de balanças digitais presentes no laboratório da 
Faculdade ÚNICA. No dia-a-dia as balanças digitais são usadas para medir a massa 
de alimentos nos supermercados, padarias e açougues por exemplo 
 
Figura 23: Balanças digitais disponíveis no Laboratório da Faculdade ÚNICA 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2019) 
 
Podemos medir o peso de um objeto indiretamente medindo a sua massa e 
multiplicando pela gravidade local. Porém, para medidas diretas do peso, temos um 
instrumento bastante utilizado nos laboratórios, chamado dinamômetro. O cientista 
inglês Robert Hooke (1635-1703) ao estudar as deformações elásticas e chegou à se-
guinte conclusão: em regime de deformação elástica, a intensidade da força é di-
retamente proporcional à deformação. Corpos colocados na extremidade de uma 
mola vertical iram provocar deformações. Com pesos de intensidades conhecidas, 
pode-se calibrar essas deformações da mola e construir um aparelho que pode me-
dir a intensidade de forças. Esse é o princípio básico de funcionamento de um dina-
mômetro. Sua escala é dividida em Newtons, unidade padrão para o peso, como 
ilustrado na Figura 24. Alguns aparelhos populares destacam a escala em quilogra-
mas, descontando o valor da gravidade, sendo uma aproximação para a medida 
da massa do corpo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
 
Figura 24: Dinamômetro com escala em Newtons 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2019) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
 
1. Considere as medidas abaixo: 
 
I. Comprimento de um lápis; 
II. Diâmetro de um lápis; 
III. Espessura de uma folha de papel; 
IV. Altura de uma pessoa. 
 
Assinale quais as respectivas ferramentas são mais adequadas para cada me-
dida: 
 
a) Paquímetro, micrômetro, régua, trena 
b) Trena; micrômetro, régua, paquímetro 
c) Régua, paquímetro, micrômetro, trena 
d) Régua, micrômetro, paquímetro, trena 
e) Micrômetro, paquímetro, trena, régua 
 
2. Um lápis foi apontado algumas vezes e um aluno curioso resolveu medir seu com-
primento, como mostra a figura abaixo. 
 
Considerando a incerteza da régua, qual a medida correta do novo compri-
mento do lápis? 
 
a) (41,0 ± 0, 5) mm 
b) (41,0 ± 1,0) mm 
c)(41, 5 ± 0,5)mm 
d) (42,0 ± 0, 5) mm 
e) (40,0 ± 0, 5) mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 
 
 
3. Um estudante deseja medir o diâmetro de um lápis em uma aula de física experi-
mental. Para isso ele usa um paquímetro como mostra a figura abaixo. 
 
 
 
Assinale a medida correta encontrada pelo estudante: 
 
a) 1,155 mm 
b) 1,133 mm 
c) 11,33 mm 
d) 11,55 mm 
e) 11,50 mm 
 
4. A profundidade de um ressalto em uma peça é medida com o auxílio de um paquí-
metro como ilustrado na figura a seguir. 
 
 
 
Assinale a medida correta encontrada no paquímetro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60 
 
 
a) 15,40 mm 
b) 14,65 mm 
c) 15,65 mm 
d) 14,40 mm 
e) 14,64 mm 
 
5. Deseja-se medir um ressalto interno de uma peça usando um paquímetro. A rea-
lização da medida é ilustrada na figura a seguir. 
 
 
Assinale a medida correta do paquímetro: 
 
a) 33,70 mm 
b) 33,95 mm 
c) 32,70 mm 
d) 32,97 mm 
e) 32,95 mm 
 
6. Um experimentador deseja medir a espessura exata de uma chapa metálica. Na 
especificação desse material é citado que a espessura da chapa equivale a 1,5 mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
 
 
Para conferir esse dado o experimentador usa um micrometro de precisão 0,001mm. 
A medida é ilustrada na figura abaixo. 
 
 
Assinale a medida correta encontrada pelo experimentador: 
 
a) 1,450 mm 
b) 1,414 mm 
c) 1,454 mm 
d) 1,404 mm 
e) 1,445 mm 
 
7. (TÓPICOS DA FÍSICA - modificada) Considere a charge abaixo: 
 
Fonte: https://garfield.com/comic/1994/05/24 
Autor: Jin Davis ©Paws, Inc. All Rights Reserved. Traduzido pelo autor 
 
Analise as proposições a seguir marcando V para as verdadeiras e F para as Falsas: 
(X) Num planeta em que a aceleração da gravidade for menor que a da Terra, o 
gato Garfield apresentará um peso menor. 
(X) Num planeta em que a aceleração da gravidade for menor que a da Terra, o 
gato Garfield apresentará uma massa menor. 
(X) Num planeta de gravidade duas vezes menor que a da Terra , o gato Garfield 
apresentará um peso equivalente à metade do apresentado na Terra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
 
(X) O peso do gato Garfield será o mesmo, independentemente do planeta para 
onde ele vá. 
 
Assinale a alternativa correta acerca das preposições: 
a) F, V, F, V 
b) F, F, V, F 
c) V, V, F, F 
d) V, F, V, F 
e) V, F, F, F 
 
8. (Mackenzie-SP) Quando o astronauta Neil Armstrong desceu do módulo lunar e pisou 
na Lua, em 20 de julho de 1969, a sua massa total, incluindo seu corpo, trajes especi-
ais e equipamento de sobrevivência, era de aproximadamente 300 kg. O campo 
gravitacional lunar é cerca de 1/6 do campo gravitacional terrestre. Se a aceleração 
da gravidade na Terra é aproximadamente 10 m/s2, podemos afirmar que: 
 
a) A massa total de Armstrong na Lua é de 300 kg e seu peso é 500 N. 
b) A massa total de Armstrong na Terra é de 50,0 kg e seu peso é 3000 N. 
c) A massa total de Armstrong na Terra é de 300 kg e seu peso é 500 N. 
d) A massa total de Armstrong na Lua é de 50,0 kg e seu peso é 3000 N. 
e) O peso de Armstrong na Lua e na Terra são iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
 
 
CENTRO DE GRAVIDADE 
 
 
 
5.1 INTRODUÇÃO 
Engenheiros e arquitetos se esforçam para alcançar equilíbrios extremamente 
estáveis para edifícios e outros sistemas que devem suportar vento, terremotos e ou-
tras forças da natureza. Além disso, quando se desenvolve qualquer tipo de máquina, 
como um automóvel ou avião, queremos que esta máquina seja estável e confiável. 
Para esses exemplos e tantos outros o estudo das condições de equilíbrio e o centro 
de gravidade são de suma importância e devem ser levados em conta. 
 
 
 
 
5.2 EQUILÍBRIO ESTÁVEL, INSTÁVEL E INDIFERENTE 
Diz-se que um sistema está em equilíbrio estável se, quando deslocado do 
equilíbrio, experimentar uma força restauradora que o move de volta à posição de 
equilíbrio. Uma bola em um vale seria um exemplo. Já um sistema está em equilíbrio 
instável se, quando deslocado, experimenta uma força líquida na mesma direção 
que o deslocamento do equilíbrio. Um sistema em equilíbrio instável acelera para 
longe de sua posição de equilíbrio. Um exemplo é uma bola apoiada no topo de 
uma colina que, uma vez deslocada, acelera para longe do topo. Um sistema está 
em equilíbrio neutro ou indiferente se o seu equilíbrio for independente dos desloca-
mentos da sua posição original. Um objeto em uma superfície horizontal plana é um 
exemplo. Na Figura 25 temos exemplos de equilíbrio estável e instável e indiferente. 
 
 
 
Figura 25: Bola em condições de equilíbrio estável, instável e indiferente 
UNIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64 
 
 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2019) 
 
5.3 CENTRO DE MASSA 
O centro de massas é definido como o ponto hipotético onde toda a massa 
de um corpo ou sistema está concentrada. O centro de massa se move como se 
todas as forças externas estivessem sendo aplicadas nesse ponto. Este conceito será 
de suma importância para os estudos da dinâmica Newtoniana, onde o uso do cen-
tro de massas simplifica movimentos compostos realizados por corpos rígidos. Esses 
movimentos complexos são transformados em movimentos simples, onde as Leis de 
Newton podem ser aplicadas para uma partícula. A Figura 26 ilustra o movimento de 
uma chave inglesa lançada ao ar. O movimento parece ser complicado, mas o cen-
tro de massa da chave, que está girando, seguirá a mesma trajetória que uma massa 
pontual seguiria após o lançamento (uma parábola). 
 
Figura 26: Movimento de uma chave inglesa lançada ao ar 
(Os pontos vermelhos representam o centro de massa que se desloca ao longo de uma parábola) 
 
Fonte: Adaptado de Nave (2016) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65 
 
 
Considere diversas partículas cujas massas são m , m e assim por diante. Su-
ponha que as coordenadas de m sejam (x , y , z ), as de m sejam (x , y , z ), e assim 
por diante. Definimos o centro de massa do sistema como o ponto cujas coordena-
das (x , y , z ) são dadas por: 
 
 x =
m x + m x + ⋯
m + m + ⋯
=
∑ m x
∑ m
 (21) 
 
 y =
m y + m y + ⋯
m + m + ⋯
=
∑ m y
∑ m
 (22) 
 
 z =
m z + m z + ⋯
m + m + ⋯
=
∑ m z
∑ m
 (23) 
 
 
 
Para objetos com forma regular e densidade homogênea, os centros de mas-
sas coincidiram com o centroide, ou seja, o centro geométrico do objeto (Figura 27). 
 
Figura 27: Localização do centro de massa de um objeto simétrico 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2019) 
 
Quando um corpo possui um eixo de simetria, como uma roda, uma polia ou 
um disco, o centro de massa está sempre situado sobre esse eixo. O centro de massa 
de um corpo não precisa estar necessariamente na parte maciça do corpo. Por 
exemplo, o centro de massa de um anel homogêneo está situado exatamente no 
centro do buraco, como ilustrado na Figura 28. 
 
Figura 28: Localização do centro de massa no eixo de simetria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66 
 
 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2019) 
 
Se um objeto homogêneo possui um centro geométrico, é aí que o 
centro de massa está localizado. Se um objeto possui um eixo de sime-
tria, o centro de massa se situa ao longo dele. Como no caso do anel, 
o centro de massa pode não estar no interior do objeto (YOUNG; 
FREEDMAN, 2016, p. 282). 
 
5.4 CENTRO DE GRAVIDADE 
A aceleração devida à gravidade diminui à medida que a altitude aumenta. 
Mas esse efeito não é observado para a maioria das construções humanas. Essa va-
riação pode ser desprezada ao longo da vertical do corpo, e o seu centro de gravi-
dade coincidirá com seu centro de massa. Essa aproximação é sempre válida para 
corpos de pequenas dimensões e próximos a superfície da terra. Se a gravidade pos-
sui um valor constante em todos os pontos de um corpo, seu centro de gravidade 
coincide com seu centro de massa (YOUNG; FREEDMAN, 2016). 
Quando a gravidade atua sobre um corpo suportado ou suspenso em um 
único ponto, o centro