Distribuição Normal Padronizada ou Reduzida

Prévia do material em texto

1 
 
Distribuição Normal Padronizada ou Reduzida 
 
Entre as distribuições teóricas de variável aleatória contínua, uma das mais 
empregadas é a distribuição normal ou gaussiana (em homenagem ao 
matemático alemão Carl Friedrich Gauss). Muitas variáveis analisadas em 
pesquisas sócio-econômicas correspondem à distribuição normal ou dela se 
aproximam. O aspecto gráfico da distribuição normal é o da figura abaixo, 
que apresenta uma curva simétrica e mesocúrtica (índice de assimetria 0 e 
curtose 0,263), com o formato característico que lembra o perfil de um sino. 
 
 
A curva acima recebe o nome de curva normal ou curva de Gauss. A curva 
é assintótica em relação ao eixo horizontal, isto é, aproxima-se 
indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo. Como a 
curva é simétrica em relação à média aritmética, a probabilidade de 
encontrarmos um valor menor que a média é de 50%, o mesmo para valores 
maiores que a média. Uma particular distribuição normal, conhecida por 
normal padronizada ou reduzida, que tem média 0 e desvio padrão 1, 
tem seus resultados integrais calculados tabelados. O texto abaixo 
apresenta essa tabela (Tabela-01). 
2 
 
A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, o que 
representa a probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor 
real. Quando temos uma variável aleatória em distribuição normal, nosso 
principal interesse é obter a probabilidade de essa variável aleatória assumir 
um valor dentro de um certo intervalo. 
 
Para calcular a probabilidade da variável aleatória X, que apresenta 
distribuição normal, assumir um valor no intervalo entre Xi e a média, 
definimos uma variável transformada Z, dada por: 
 
 
sendo  o desvio padrão da variável aleatória X e Xi representa um valor 
qualquer dessa variável. Essa variável transformada reduz a distribuição ao 
modelo padrão com média 0 e desvio padrão 1. As probabilidades 
associadas à essa distribuição normal padronizada são encontradas em 
tabelas, não havendo a necessidade de serem calculadas. Na prática, 
estamos interessados em saber a área sob a curva normal entre os valores 
Xi e a média. 
Veja no gráfico abaixo a representação dessa área: 
3 
 
 
 
Como a área sob a curva é igual a 1, isso indica que a probabilidade da 
variável aleatória X assumir um valor entre infinito negativo e infinito positivo 
é igual a 1 ou 100%. No exemplo demonstrado no gráfico acima, queremos 
calcular a área pintada, entre Xi e a média. Essa área corresponderá à 
probabilidade da variável assumir um valor nesse intervalo. Para obter essa 
área, primeiro calculamos a variável transformada Z, conforme a fórmula 
apresentada acima. Depois, entramos com esse valor na tabela da curva 
normal e obtemos o valor da área, ou seja, a probabilidade procurada. 
 
A tabela da curva normal é mostrada abaixo, conforme se encontra nos 
livros de Estatística. Na primeira coluna e na primeira linha, temos o valor 
da variável transformada Z, da seguinte maneira: 1ª coluna: parte inteira e 
decimal de Z; 1ª linha: parte centesimal de Z. Assim, para encontrarmos na 
tabela o valor de Z = 1,36 devemos procurar o cruzamento da linha 1,3 com 
a coluna 6, que fornece o valor 0,4131, que indica que a área procurada é 
igual a 0,4131, o que corresponde à probabilidade 41,31%. 
 
 
 
4 
 
Observe que, se Xi for menor que a média, o valor da variável transformada 
Z será negativo. Nesse caso, o sinal negativo deve ser ignorado, pois ele 
indica apenas que a área em questão está à esquerda da média, o que não 
interfere no cálculo da probabilidade, pois esta corresponde à área sob a 
curva no intervalo entre Xi e a média e não faz sentido pensarmos em uma 
área negativa. Observa também que a tabela abaixo apresenta valores de 
área até 0,5000. Isso se justifica porque a curva é simétrica e, sendo assim, 
as duas metades, à esquerda e à direita da média, tem áreas iguais. Assim, 
indicamos as áreas para uma das metades e a outra metade segue os 
mesmos valores, que são referentes ao Z com sinal trocado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
TABELA-01 - Área subentendida pela curva normal reduzida de 0 a z 
 
6 
 
Seja X a variável aleatória que representa os tamanhos das peças fabricadas por 
uma certa máquina, apresentando média de 4 cm e desvio padrão de 0,04 cm. 
Vamos determinar a probabilidade de um parafuso ter um diâmetro com valor 
entre 4,00 e 4,05 cm. Essa probabilidade é indicada por P (4,00 < X < 4,05) e 
corresponde à área pintada da figura seguinte. 
 
 
 
Vamos calcular a variável Z: Z = (4,05 – 4) / 0,04 = 1,25 Vamos agora 
procurar esse valor na tabela da curva normal. Na primeira coluna 
encontramos 1,2 e em seguida, na primeira linha, encontramos 5, que 
corresponde ao último algarismo de 1,25. Na interseção da linha e coluna 
correspondentes encontramos o valor 0,3944, o que nos permite escrever: 
P (4,00 < X < 4,05) = P (0 < Z < 1,25) = 0,3944 ou 39,44%. 
 
 
 
 
7 
 
RESUMINDO 
A distribuição de referência – chamada de distribuição padronizada ou 
variável normal padronizada ou variável normal reduzida ou escala ¨Z¨ ou 
escore ¨Z¨ - mede o afastamento das variáveis em relação à média, em 
número de desvios-padrões. É aquela na qual a média da distribuição é 
igual a 0 (zero) e o desvio-padrão-padrão é igual a 1 (um). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
OBSERVAÇÃO: Os problemas da vida real não se apresentam já na forma reduzida; 
ao contrário, são formulados em termos de variável normal original 
“X”, com média µ e desvio padrão . É preciso então, antes de 
passarmos à sua resolução, transformá-la na variável normal 
reduzida, que, é o Escore Padronizado “Z”, visto anteriormente. 
EXEMPLO: 
A taxa de hemoglobina no sangue de pessoas que gozam de boa saúde segue 
uma distribuição normal com média 12 e desvio padrão 1. 
Qual a probabilidade de se encontrar uma pessoa normal com taxa de 
hemoglobina: 
a) Superior a 15? 
b) Inferior a 10? 
c) Entre 10 e 13? 
d) Num grupo de 500 pessoas, em quantas devemos esperar as características 
acima? 
Solução: letra a) Padronizando X = 15  𝒁 =
𝟏𝟓−𝟏𝟐
𝟏
= 𝟑 
𝑃(𝑋 > 15) = 𝑃(𝑍 > 3) = 0,5000 − 𝑃(0 < 𝑍 < 3) 
= 0,5000 − 0,4987 = 0,0013 = 𝟎, 𝟏𝟑%