Matematica_Resumo

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Matemática 
 
Resumo 
 
 
 
 
 1 
 
ASSUNTOS BÁSICOS 
PRODUTOS NOTÁVEIS 
 
1 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 
3 (a + b)(a – b) = a2 – b2 
4 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
5 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 
6 (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3 
7 (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3 
 
MÓDULO 
Define-se o módulo (ou valor absoluto) de um 
número real x, e indica-se por ⏐ x ⏐, como: 
 x, se x ³ 0 
 x =
-x, se x < 0
⎧
⎨
⎩
 
 
PROPRIEDADES 
Sendo x e y números reais, tem-se que: 
• ⏐ x ⏐ ≥ 0 
• ⏐ x ⏐ = ⏐ –x ⏐ 
• –⏐ x ⏐ ≤ x ≤ ⏐ x ⏐ 
• 2x = ⏐ x ⏐ 
• Se a ≥ 0, então ⏐ x ⏐ = a ⇔ x = ± a 
• Se a > 0, então ⏐ x ⏐ < a ⇔ –a < x < a 
Se a > 0, então ⏐ x ⏐ > a ⇔ x < –a ou x > 
a 
• ⏐x.y⏐ = ⏐ x ⏐.⏐ y ⏐ 
• 0b 
 b 
 a 
 
b
a ≠= 
• ⏐x + y⏐ ≤ ⏐ x ⏐ + ⏐ y ⏐ 
• ⏐x – y⏐ ≥ ⏐ x ⏐ – ⏐ y ⏐ 
 
PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES 
 
a c a d b c
b d
= ⇔ ⋅ = ⋅ 
 
 
a c a ± b c ± d= =
b d b d
⇔ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a c m a + c +...+ m= = ... = =
b d n b + d +...+ n
 
 
 
MÉDIAS 
 
Média aritmética simples 
 
1 2 n
A
a + a +...+ a
M =
n
 
 
 
 
Média aritmética ponderada 
 
1 1 2 2 n n
P
1 2 n
P ×a +P ×a +...+P ×a
M =
P +P +...+P
 
 
 
 
em que P1, P2, ..., Pn são os respectivos pesos dos 
valores a1, a2, ..., an. 
Média harmônica 
 
H
1 2 n
nM =
1 1 1+ +...+
a a a
 
 
 
MH é o inverso da MA dos inversos. 
Três números a, b e c formam uma proporção 
harmônica quando se tem: 
 
a - b a=
b - c c
 
 
 
Média geométrica 
 
 
n
G 1 2 nM = a ×a ×...×a 
 
 
 
A média geométrica de dois números distintos 
é sempre menor que a média aritmética desses 
mesmos dois números. 
 
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
Duas grandezas a e b são proporcionais se: 
 
a = k
b
, se b ≠ 0 
e 
a = 0, se b = 0 
em que k é uma constante não nula chamada 
constante de proporcionalidade. 
Matemática 
 
 
 
 2 
 
GRÁFICO 
 
A cada par de grandezas x e y podemos asso-
ciar um ponto (x, y) do plano cartesiano. 
Se x e y são diretamente proporcionais, então 
vale a relação y = kx, e os pontos (x, y) pertencem 
a uma reta que passa pela origem do sistema. 
 
 
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Duas grandezas a e b são inversamente pro-
porcionais se: 
 
a ⋅ b = k 
 
em que k é uma constante não nula chamada 
constante de proporcionalidade. 
 
GRÁFICO 
 
A cada par de grandezas x e y podemos asso-
ciar um ponto (x, y) do plano cartesiano. 
Se x e y são inversamente proporcionais, então 
vale a relação 
x
ky = , e os pontos (x, y) pertencem 
a uma hipérbole eqüilátera. 
 
O gráfico a seguir representa um ramo de hi-
pérbole. 
 
JUROS 
O juro simples pode ser calculado por: 
 
 j = C .i . t 
 
 
Em que j é o juro, C é o capital inicial, i é a taxa 
unitária e t o tempo de aplicação. 
JURO COMPOSTO 
O montante em regime de juros compostos po-
de ser obtido por: 
 
 
 Mn = C(1 + i)n 
 
 
O fator (1 + i)n é denominado fator de capitali-
zação ou fator de acumulação de capital. 
 
CONJUNTOS 
PERTINÊNCIA 
Ax∈ significa: “x é elemento de A”. 
Ax∉ significa: “x não é elemento de A”. 
INCLUSÃO 
• BA ⊂ significa: “todo elemento que perten-
ce a A também pertence a B” ou “A é sub-
conjunto de B”. 
• BA ⊄ significa: “existe pelo menos um elemen-
to de A que não pertence a B” ou “A não é sub-
conjunto de B”. 
• ABBA ⊃⇔⊂ 
• }Ax|x{)A(P ⊂= 
• )A(PxAx ∈⇔⊂ 
• Se pn A = , então A possui 2
p subconjun-
tos. 
• p)A(PA 2npn =⇒= 
 
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
União ou reunião 
A B x ∪ = ∈ ∈{ | x A ou x B} 
Intersecção 
A B x ∩ = ∈ ∈{ | x A e x B} 
Diferença 
B}x e Ax | x{BA ∉∈=− 
Complementar 
 
 
 
Com B ⊂ A 
Matemática 
 
 
 
 3 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (IN) 
IN = {0, 1, 2, 3, . . .} 
IN* = {1, 2, 3, 4, . . .} 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z) 
Z = {. . . , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, . . .} 
Z + = {0, 1, 2, 3, . . .} (inteiros não-negativos) 
Z∗+ = {1, 2, 3, . . .} (inteiros positivos) 
Z – = {. . . , –3, –2, –1, 0}(inteiros não-positivos) 
Z ∗− = {. . . , –3, –2, –1} (inteiros negativos) 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q) 
Q = {x | x = 
q
p , com p ∈ Z e q ∈ Z*} 
Os números reais que não podem ser escritos 
na forma de fração com numerador e denominador 
inteiros formam o conjunto dos números irracionais 
(IR – Q). 
Exemplos: 
 . . . 732,13 = 
π = 3,14159265 . . . 
e = 2,71828 . . . 
0,14144144414444 . . . 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (IR) 
IR = Q ∪ {números irracionais} 
CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS (C) 
C = {x | x = a + bi, com a e b reais e i = 1− } 
 
Os conjuntos numéricos podem ser 
relacionados como no diagrama seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÃO DO 2º. GRAU 
 
É toda equação redutível à forma ax2 + bx + c = 
0, com a, b e c ∈ IR e a ≠ 0. 
 
 
a2
bx ∆±−= (∆ = b2 – 4ac) 
∆ > 0 ⇔ a equação possui duas raízes reais e dis-
tintas; 
∆ = 0 ⇔ a equação possui duas raízes reais e i-
guais; 
∆ < 0 ⇔ a equação possui duas raízes imaginárias. 
 
 
S b
a
c
a
= x x e P = x x ' " ' . "+ = − = 
 
 
FUNÇÕES – DEFINIÇÃO 
 
Dados dois conjuntos A e B, não vazios, cha-
mamos de função de A em B toda relação y = f(x), 
de A em B, em que cada elemento de A está asso-
ciado a um único elemento de B. 
Chamamos de conjunto imagem, indicando 
por Im ao conjunto: 
 
Im = {y ∈ B | ∃x, x ∈ A e y = f(x)} 
 
Numa função, quando não são fornecidos o do-
mínio e o contradomínio, subentende-se que o con-
tradomínio é o conjunto IR e o domínio é o mais am-
plo subconjunto real, em que todos os valores de x 
são tais que f(x) também é real. 
Dado o gráfico de uma relação, o mesmo re-
presentará uma função se toda paralela ao eixo y, 
traçada pelos valores do domínio, interceptar o 
gráfico em um único ponto. 
O domínio de uma função pode ser obtido pro-
jetando-se todos os pontos de seu gráfico sobre o 
eixo x. 
O conjunto imagem de uma função pode ser ob-
tido projetando-se todos os pontos de seu gráfico 
sobre o eixo y. 
FUNÇÃO SOBREJETORA 
 
Uma função f é dita sobrejetora quando possui 
conjunto imagem igual ao contradomínio. 
No gráfico de uma função sobrejetora, toda re-
ta paralela ao eixo x, traçada por qualquer elemen-
to do contradomínio, interceptará a curva em, pelo 
menos, um ponto. 
FUNÇÃO INJETORA 
 
Uma função f, de A em B, é dita injetora quan-
do a quaisquer dois elementos distintos de A cor-
respondem dois elementos distintos de B. 
No gráfico de uma função injetora, toda reta 
paralela ao eixo x interceptará a curva em, no má-
ximo, um ponto. 
IR – Q 
IN Z Q IR C 
Matemática 
 
 
 
 4 
 
FUNÇÃO COMPOSTA 
Sejam f: A → B e g: B → C duas funções. 
Chama-se função composta de f com g a função 
h: A → C, tal que h(x) = g(f(x)), ∀ x ∈ A. 
 
FUNÇÃO INVERSA 
Sendo f: A → B uma função bijetora, diremos 
que a função g: B → A é a inversa de f se, e so-
mente se: 
Bb eA a , ∈∀∈∀=⇔= ag(b)bf(a) 
Indica-se a inversa de uma função f por f– 1. 
A função inversa f– 1 “faz o caminho de volta” da 
função f portanto: 
 
f1f
f1f
DIm
ImD
=
=
−
−
 
Observação: 
 f – 1 (f (x)) = f (f – 1 (x)) = x 
 
OBTENÇÃO DA INVERSA 
Para obter a lei que define a inversa de uma 
função 
y = f(x), devemos: 
• trocar y por x e x por y; 
• isolar y, obtendo a lei que define a inversa f 
– 1 (x). 
GRÁFICOS DE DUAS INVERSAS 
Se o ponto (a, b) pertence ao gráfico de uma 
função f, então o ponto (b, a) pertence ao gráfico 
de f – 1. Como conseqüência, os gráficos de f(x) e f 
– 1 (x) são simétricos em relação à bissetriz ímpar 
(bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes). 
 
FUNÇÃO DO 1O. GRAU 
 
É toda função redutível à forma f(x) = ax + b, 
com a e b reais e a ≠ 0. A função do 1o. grau é 
também chamada de função afim. 
– Se b = 0, a função do 1o. grau é chamada de 
linear. Seu gráfico passa sempre pela ori-
gem. 
– Se a = 0, a função não é do 1o. grau. É uma 
função constante da forma f(x) = b. Seu 
gráfico é uma reta paralela ao eixo x, pas-
sando por todos os pontos de ordenada b. 
 
 
GRÁFICO 
 
• O gráfico deuma função do 1o. grau é sem-
pre uma reta. 
• Dependendo do sinal de a, a função afim 
pode ser crescente ou decrescente. 
• Se a > 0, a função é crescente. O seu grá-
fico é do tipo: 
 
 
 
• Se a < 0, a função é decrescente. O seu 
gráfico é do tipo: 
 
 
θ < 90º 
Matemática 
 
 
 
 5 
 
FUNÇÃO DO 2O. GRAU OU QUADRÁTICA 
É toda função redutível à forma f(x) = ax2 + bx + 
c, com a, b e c reais e a ≠ 0. 
 
GRÁFICO 
O gráfico de uma função quadrática é uma pa-
rábola. 
Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada 
para cima: 
 
Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada 
para baixo: 
 
PONTO DE CORTE NO EIXO Y 
 
A parábola sempre intercepta o eixo y no 
ponto P(0, c). 
 
RAÍZES OU ZEROS DA FUNÇÃO 
 
São obtidas igualando-se a função a zero e re-
solvendo-se a equação do 2o. grau resultante. 
Se ∆ > 0, a função apresenta duas raízes reais e 
distintas. A parábola corta o eixo x em dois pontos. 
 
Se ∆ = 0, a função apresenta duas raízes reais e 
iguais. A parábola tangencia o eixo x. 
 
Se ∆ < 0, a função apresenta duas raízes não-
reais. A parábola não corta, nem tangencia o eixo 
x. 
 
 
 
VÉRTICE 
É o ponto de coordenadas: 
 
{{
)
a4
,
a2
b(V
vyvx
∆
−− 
Se a > 0, o vértice é ponto de mínimo. 
Se a < 0, o vértice é ponto de máximo. 
 
CONJUNTO IMAGEM 
 
• a > 0 ⇒ Im = {y ∈IR | y ≥ yv} 
• a > 0 ⇒ Im = {y ∈IR | y ≤ yv} 
 
EIXO DE SIMETRIA 
 
É a reta de equação x = xv. 
 
 
FUNÇÃO MODULAR 
 
É a função de IR em IR, definida por f(x) =⏐ x ⏐, 
ou seja: 
 
f (x) = 
⎩
⎨
⎧
<−
≥
=
0 x se ,x
 0 x se ,x 
x 
Matemática 
 
 
 
 6 
 
GRÁFICO 
O gráfico da função modular é a reunião das 
bissetrizes do 1o. e 2o. quadrantes. 
 
 
LOGARITMOS 
DEFINIÇÃO 
 
Sejam a, b e c números reais, tais que a > 0 e 
1 ≠ b > 0. 
log b a = c ⇔ bc = a 
 
onde a é o logaritmando ou antilogaritmo; b é a 
base; c é o logaritmo. 
Observação: Há dois sistemas especiais de loga-
ritmos: o sistema de logaritmos decimais (base 
10) e o sistema de logaritmos neperianos ou natu-
rais (base e). As suas representações são: 
x logxlog10 = e x nxlog e l= 
CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO 
• 1alog a = (∀ a > 0 e a ≠ 1) 
• 01log a = (∀ a > 0 e a ≠ 1) 
• nalog na = (∀ a > 0 e a ≠ 1) 
• bablogalog cc =⇔= (a > 0, b > 0 e 1 ≠ c > 0) 
• ba balog = (b > 0 e 1 ≠ a > 0) 
COLOGARITMO 
)(logalogalogco a
1
bbb =−= 
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS 
• blogalog)b.a(log ccc += 
• blogalog)(log ccb
a
c −= 
• alog.nalog cnc = 
• 
n
alog
alog
n
1alog cc
n
c == 
• Mudança de base: 
blog
alog
alog
c
c
b = 
CONSEQÜÊNCIAS DAS PROPRIEDADES 
 
• 
blog
1alog
a
b = 
• alogalog bnnb = 
• alog
n
1alog bnb = 
• alog.nalog bn b = 
 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
É toda função da forma f(x) = ax, sendo a > 0 e a 
≠ 1. 
GRÁFICO 
Se a > 1, a função exponencial é crescente. 
Se 0 < a < 1, a função exponencial é decres-
cente. 
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
São equações cuja incógnita aparece no expo-
ente. 
Para resolver uma equação exponencial deve-
mos, basicamente: 
• reduzir os dois membros da equação à 
mesma base; 
• igualar os expoentes e resolver a equação 
resultante. 
INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
São inequações cuja incógnita aparece no ex-
poente. 
Para resolver uma inequação exponencial de-
vemos, basicamente: 
• reduzir os dois membros da inequação à 
mesma base; 
comparar os expoentes usando: 
• mesmo sinal da inequação, se a base é maior 
que um; 
• sinal contrário ao sinal da inequação, se a 
base é entre zero e um. 
 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.) 
 
DEFINIÇÃO 
 
É toda sucessão em que um termo, a partir do 
segundo, é igual ao termo anterior somado a uma 
constante, denominada razão (r). 
Matemática 
 
 
 
 7 
 
A razão de uma P.A. pode ser obtida fazendo-
se 
r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ... 
• r > 0 ⇔ P.A. crescente. 
• r = 0 ⇔ P.A. constante. 
• r < 0 ⇔ P.A. decrescente. 
 
TERMO GERAL DA P.A. 
 
 an = ap + (n – p) . r 
 
REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS 
 
• com 3 termos: (x – r), x e (x + r) 
• com 5 termos: (x – 2r), (x – r), x, (x + r) e (x + 
2r) 
• com 4 termos: (x – 3y), (x – y), (x + y) e (x + 
3y) 
• com 6 termos: (x – 5y), (x – 3y), (x – y), (x + 
y), (x + 3y) e (x + 5y) 
Note que, nos casos 3 e 4, r = 2y. 
PROPRIEDADES 
• Eqüidistância dos extremos: Em toda P.A., a 
soma de dois termos eqüidistantes dos extre-
mos é igual à soma dos extremos. 
• Se i + j = p + q, então ai e aj são eqüidistantes 
de ap e aq e, portanto, ai + aj = ap + aq. 
• Média aritmética: Em toda P.A., qualquer ter-
mo, a partir do segundo, é média aritmética de 
dois termos dele eqüidistantes, ou seja: 
p-k p+k
p
a + a
a =
2
 
 
SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A. 
 
1 n
n
(a + a ) . n
S =
2
 
 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.) 
DEFINIÇÃO 
É toda sucessão em que um termo, a partir do 
segundo, é igual ao termo anterior multiplicado por 
uma constante, denominada razão (q). 
A razão de uma P.G. pode ser obtida fazendo-
se 
q = 2
1
a
a
 = 3
2
a
a
 = 4
3
a
a
 = ... 
TERMO GERAL DA P.G. 
 
an = ap . qn − p 
 
 
REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS 
• com 3 termos: 
q
x , x e x.q 
• com 5 termos: 
2q
x , 
q
x , x, x.q e x.q2 
• com 4 termos: 3y
x , 
y
x , x.y e x.y3 
• com 6 termos: 
5y
x , 3y
x , 
y
x , x.y, x.y3 e x.y5 
Note que nos casos 3 e 4, q = y2. 
 
PROPRIEDADES 
• Eqüidistância dos extremos: Em toda P.G., o 
produto de dois termos eqüidistantes dos ex-
tremos é igual ao produto dos extremos. 
• Se i + j = p + q, então ai e aj são eqüidistantes 
de ap e aq e, portanto . ai . aj = ap . aq. 
• Média geométrica: Em toda P.G., qualquer 
termo, a partir do segundo, é média geométrica 
de dois termos dele eqüidistantes, ou seja: 
p p-k p+ka = a .a 
 
PRODUTO DOS TERMOS DE UMA P.G. 
 
n(n-1)
n 2
n 1P = a .q 
 
SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA 
n
1
n
a (q -1)
S =
q -1
 
 
n 1
n
a .q - a
S =
q -1
 
SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA OU 
LIMITE DA SOMA 
q1
a
S 1
−
=∞ com ⏐q⏐ < 1 
Matemática 
 
 
 
 8 
 
MATRIZES 
Matrizes são tabelas retangulares cujos ele-
mentos estão dispostos em linhas e colunas. 
Uma matriz é do tipo m por n (indica-se m × n), 
quando possui m linhas e n colunas. 
Um elemento é o elemento aij, quando ocupa a 
linha i e a coluna j. 
Sendo assim, a representação genérica de uma 
matriz 
A = (aij) m × n é: 
 
11 12 1n 11 12 1n
21 22 21 22
m1 m2 mn m1 m2 mn
a a … a a a … a
a a … a a …
A = = =
… … … … … … … …
a a … a a a … a
⎡ ⎤ ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎢ ⎥
⎜ ⎟⎢ ⎥
⎜ ⎟⎢ ⎥
⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠
=
11 12 1n
21 22
m1 m2 mn
a a … a
a a …
… … … …
a a … a
 
 
IGUALDADE DE MATRIZES 
 
Duas matrizes são iguais quando são do mesmo 
tipo e apresentam todos os elementos corresponden-
tes iguais. 
MATRIZ OPOSTA 
Chama-se oposta de uma matriz A a matriz –A, 
na qual cada elemento é o oposto do corresponden-
te em A. 
 
MATRIZ TRANSPOSTA 
 
Chama-se transposta de uma matriz A a ma-
triz At, obtida trocando-se, ordenadamente, na 
matriz A, as linhas por colunas ou as colunas por 
linhas. 
• Se uma matriz quadrada A é tal que At = A, 
então A é uma matriz simétrica. 
• Se uma matriz quadrada A é tal que At = –
A, então A é uma matriz anti-simétrica. 
 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES 
 
A soma de duas matrizes A e B, ambas do tipo 
m × n é uma matriz desse mesmo tipo em que cada 
elemento é a soma dos elementos correspondentes 
em A e B. 
PRODUTO DE NÚMERO POR MATRIZ 
 
Multiplicar uma matriz A por um número k é 
construir uma matriz B formada pelos elementos de 
A todos multiplicados por k. 
 
PRODUTO DE MATRIZES 
Sejam as matrizes A = [aij]m×n e B = [bjk]n×p. O 
produto AB é a matriz C = [cik]m×p, para a qual o 
elemento cik, que se encontra em sua i-ésima linha 
e em sua k-ésima coluna, é obtido multiplicando-se 
os elementos da i-ésima linha de A pelos “corres-
pondentes” elementos da k-ésima coluna de B e 
somando-se os “produtos parciais” assim encon-
trados, ou seja: 
∑
=
=++++= ⋅
n
1j
jkijnkink11ik22ik11iik baba...bababac
 
 
∀ i ∈ {1, 2, 3, ..., m} e ∀ k ∈ {1, 2, 3,..., p}. 
Observações: 
• A definição dada garante a existência do 
produto AB somente se o número de colu-
nas de A for igual ao número de linhas de 
B. 
• Sendo possível, o produto AB é uma matriz 
que tem o mesmo número de linhas de A e 
de colunas de B. 
• O produto de matrizes não é uma operação 
comutativa, pois em geral AB ≠ BA. 
• É possível AB = 0 com A ≠ 0 e B ≠ 0. 
• É possível AB = AC com B ≠ C e A ≠ 0. 
• (AB)t = BtAt 
• Sendo A = [aij]m×n, então A.In = Im.A = A. 
MATRIZ INVERSA 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Cha-
ma-se inversa da matriz A a matriz A-1 (que é única) 
tal que 
AA-1 = A-1A = In 
 Se uma matriz não é inversível, dizemos que é 
uma matriz singular. 
 
• (A-1)-1 = A 
• (AB)-1 = B-1A-1 
• (At)-1 = (A-1)t 
• (k.A)-1 = 1A.
k
1 − , ∀ k ∈ IR* 
• Se A-1 = At, A é dita ortogonal. 
• (An)-1 = (A-1)n, ∀ n ∈ IN* 
Matemática 
 
 
 
 9 
 
CÁLCULO DE DETERMINANTES 
• Matriz de ordem um: o determinante de 
uma matriz quadrada 1 × 1 é igual ao seu 
próprio elemento. 
• Matriz de ordem dois: o determinante de 
uma matriz quadrada 2 × 2 é igual ao pro-
duto dos elementos da diagonal principal 
menos o produto dos elementos da diago-
nal secundária. 
• Matriz de ordem três – Regra de Sarrus: 
o determinante de uma matriz quadrada 3 × 
3 pode ser obtido pela regra seguinte: 
1o.) repetem-se as duas primeiras colunas 
ao lado da terceira (ou as duas primei-
ras linhas abaixo da terceira); 
2o.) obtêm-se os produtos dos elementos da 
diagonal principal e das duas diagonais 
paralelas a ela, que possuem três ele-
mentos, conservando-se os sinais obti-
dos; 
3o.) repete-se o processo para a diagonal se-
cundária e suas paralelas, invertendo-se 
os sinais obtidos; 
4o.) a soma desses seis valores obtidos é o 
determinante da matriz. 
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES 
Algumas propriedades podem facilitar bastante 
o cálculo de determinantes. As principais são: 
• Se uma matriz quadrada possui uma fila de 
elementos nulos, seu determinante é zero. 
• Se uma matriz quadrada possui duas filas 
paralelas proporcionais, seu determinante é 
zero. 
• Se numa matriz quadrada uma fila é com-
binação linear das demais filas paralelas a 
ela, seu determinante é zero. 
• O determinante de uma matriz quadrada é 
igual ao determinante da sua transposta, ou 
seja: 
det A = det At 
• Se trocarmos entre si duas filas paralelas 
de uma matriz quadrada, seu determinante 
troca de sinal. 
• Se multiplicarmos uma fila de uma matriz 
quadrada por um número real qualquer, o 
determinante dessa matriz fica multiplicado 
por esse número. 
Conseqüências: 
 
1. Se multiplicarmos uma matriz quadra-
da de ordem n por um número real k, 
seu determinante fica multiplicado por 
kn, ou seja: 
 
 
det (k.An) = kn.det An 
2. Um fator comum aos elementos de uma 
fila de uma matriz quadrada pode ser co-
locado em evidência no cálculo do seu 
determinante. 
• Se forem nulos todos os elementos localiza-
dos acima ou abaixo da diagonal principal 
de uma matriz quadrada, o determinante 
dessa matriz é igual ao produto dos elemen-
tos da diagonal principal. 
• Se forem nulos todos os elementos locali-
zados acima ou abaixo da diagonal secun-
dária de uma matriz quadrada de ordem n, 
o determinante dessa matriz é igual ao pro-
duto de ( ) 2
)1n(n
1
−
− pelos elementos da dia-
gonal secundária. 
• Teorema de Binet: Sendo A e B matrizes 
quadradas de mesma ordem, então: 
det (A.B) = det A . det B 
 
• Teorema de Cauchy: A soma dos produ-
tos dos elementos de uma fila pelos cofato-
res correspondentes dos elementos de uma 
outra fila paralela é sempre igual a zero. 
• Soma de determinantes: Se duas matri-
zes quadradas de mesma ordem têm todos 
os elementos correspondentes iguais exce-
to os elementos de uma única fila, então a 
soma de seus determinantes é igual ao de-
terminante da matriz obtida conservando-se 
os elementos iguais e somando-se os ele-
mentos diferentes das duas matrizes. 
• Determinante da matriz de Vandermon-
de: Uma matriz quadrada de ordem n é dita 
matriz de Vandermonde, quando cada uma 
de suas colunas é composta por potências 
de zero a n – 1 de um mesmo elemento. 
Exemplo: 
A matriz A = 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
62512561681
125164827
2511649
51423
11111
 é uma 
Matriz de Vandermonde. A linha assinalada, 
formada pelas potências de expoente um, é 
chamada de fila dos elementos característicos. 
O determinante de uma matriz de Vander-
monde é igual ao produto de todas as diferen-
ças possíveis entre um elemento da fila de e-
lementos característicos e os elementos de 
índice menor que o dele. 
Para a matriz A dada, temos: 
Matemática 
 
 
 
 10 
 
det A = (–2 – 3)⋅(4 – 3)⋅(4 + 2)⋅(–1 – 3)⋅(–1 + 2) 
 ⋅(–1 – 4)⋅(5 – 3)⋅(5 + 2)⋅(5 – 4)⋅(5 + 1) 
det A = –5 . 1 . 6 . (–4) . 1 . (–5) . 2 . 7 . 1 . 6 = –50400 
• O determinante de uma matriz quadrada é 
igual ao inverso do determinante da sua in-
versa, ou seja: 
det A = 
1det A
1
−
 
• Teorema De Jacobi :Se a uma fila de uma 
matriz quadrada adicionarmos uma outra fi-
la paralela, previamente multiplicada por 
uma constante, o determinante da matriz 
não se altera. 
Observação: 
Note que o teorema de Jacobi permite trans-
formarmos a matriz em uma outra com mesmo 
determinante, mas que possui maior quantida-
de de “zeros”, o que facilita a aplicação do teo-
rema de Laplace. 
REGRA DE CHIÓ 
A regra de Chió permite o abaixamento da or-
dem de uma matriz, isto é, permite determinar uma 
outra matriz de ordem inferior, mas com o mesmo 
determinante. É uma conseqüência direta do teo-
rema de Jacobi. 
Seja A uma matriz de ordem n (n > 1), tal que 
um elemento aij = 1. 
Para reduzir a ordem da matriz A, devemos: 
• localizar um elemento aij = 1, suprimindo a 
linha i e a coluna j da matriz A; 
• substituir cada elemento restante pela dife-
rença entre ele e o produto dos dois ele-
mentos correspondentes na linha i e na co-
luna j suprimidas, obtendo-se assim uma 
matriz A’ de ordem n – 1; 
• o determinante da matriz A é igual ao de-
terminante da matriz de ordem n – 1 obtida 
multiplicado por (–1)i + j . 
Exemplo: 
 2011620 
 54311
 1010715 
 3213
 = (–1)1+2 
.
 3.6202.6113.620 
 3.352.343.311
 3.7102.7103.715
−−−
−−−
−−−
 = –1.
 212 
 422
 1146
−
−−
−−−
 = – 
(24 + 22 +32 – 44 + 24 + 16) = –74 
MATRIZES DE UM SISTEMA 
 
Em todo sistema linear, podemos destacar duas 
matrizes: 
Matriz incompleta ou principal (MI): é a matriz 
formada pelos coeficientes das incógnitas, quando 
o sistema está ordenado. 
Matriz completa(MC): é a matriz anterior acresci-
da da coluna de termos independentes. 
REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DE UM SISTEMA LI-
NEAR 
Todo sistema linear pode ser representado na 
forma matricial: 
 
 Matriz Matriz das Matriz dos termos
× =
incompleta incógnitas independentes
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA 
 
É toda ênupla ordenada que satisfaz a todas as 
equações do sistema. 
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA 
Um sistema linear pode ser classificado em: 
 
 apresenta solução)
 ou incompatível
(apresenta solução única)
(apresenta solução)
(apresenta infinitas soluções
(não
• determinado
 • possível ou compatível
• indeterminado
impossível
⎧ ⎧
⎪ ⎪⎪⎪ ⎨
⎪ ⎪⎪
⎪⎨ ⎩
⎪
⎪
⎪•⎪⎩
 
SISTEMA NORMAL 
 
É aquele cujo número de equações é igual ao 
número de incógnitas e o determinante da matriz 
incompleta é diferente de zero. 
 
REGRA DE CRAMER 
 
Todo sistema normal é possível e determina-
do. Sua solução é dada por: 
xDx =
D
, y
D
y =
D
, zDz =
D
, ... 
em que D é o determinante da matriz incompleta; Dn 
é o determinante da matriz obtida substituindo-se, 
na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes da 
incógnita n pela coluna de termos independentes. 
ESCALONAMENTO DE SISTEMAS 
Escalonar um sistema é obter um sistema equiva-
lente (mesmo conjunto solução) no qual cada equa-
ção possui ao menos uma incógnita a menos que a 
anterior, como o sistema: 
Matemática 
 
 
 
 113x + y - z + 2w = 5
2y - z + 3w = 1
4z + w = 2
4w = 4
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
, que está escalonado. 
Todo sistema linear pode ser escalonado, atra-
vés de transformações elementares (transforma-
ções que não alteram o conjunto solução do siste-
ma). 
São três as transformações elementares: 
• trocar de posição duas equações do siste-
ma; 
• multiplicar (ou dividir) uma equação por um 
número real diferente de zero; 
• somar duas equações do sistema pré-
multipli-cadas por um número real qual-
quer. 
Para escalonar um sistema, tomamos a sua 
matriz completa e: 
• obtemos o elemento a11 = 1; 
• substituímos cada linha seguinte da matriz 
completa pela soma dela com a primeira 
multiplicada convenientemente para que se 
obtenha todos os elementos abaixo do a11 
nulos; 
• “abandonamos” a primeira linha e a primei-
ra coluna da matriz e repetimos o processo 
acima para todas as linhas restantes. 
Observações: 
• Se, ao escalonar um sistema, obtivermos 
linha nula, a mesma deve ser desprezada. 
• Se obtivermos uma linha nula à exceção do 
último número (correspondente ao termo 
independente da equação) o sistema é im-
possível. 
• Se, num sistema escalonado, o número de 
equações é menor que o número de incóg-
nitas i, o sistema é possível e indetermina-
do. Seu grau de indeterminação é igual i – 
e. 
SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO (S.L.H.) 
Um sistema linear é dito homogêneo quando 
todos os termos independentes de suas equações 
são nulos. 
FATORIAL 
 0! = 1 
 1! = 1 
 n! = n . (n – 1) . (n – 2) . ... . 3 . 2 . 1, para n >1. 
 
 
O fatorial apresenta a seguinte propriedade, 
muito útil na simplificação de determinadas expres-
sões: 
 
n! = n . (n – 1)! (∀ n ≥ 1) 
 
NÚMEROS BINOMIAIS OU COMBINATÓRIOS 
 
p
n
n n!= = C
p p!(n - p)!
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
em que n ∈ IN, p ∈ IN e n ≥ p. 
 
Alguns números binomiais têm resultado imedi-
ato: 
 
n
= 1
0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
n
= n
1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
n
= 1
n
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
NÚMEROS BINOMIAIS COMPLEMENTARES 
n
p
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
 = 
n
q
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
 com p + q = n. 
RELAÇÃO DE STIFEL 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
p
n
 + ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ 1p
n
 = ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
1p
1n
 
 
TRIÂNGULO DE PASCAL 
 p 
n 
 
 
 
0 
 
 
 
 
1 
 
 
 
2 
 
 
 
3 
 
 
 
4 
 
 
 
5 
 
 
 
 
0 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
0
0 
 
 
 
 
1 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
0
1 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
1
1 
 
 
 
 
2 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
0
2 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
1
2 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
2
2 
 
 
 
 
3 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
0
3 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
1
3 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
2
3 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
3
3 
 
 
 
 
4 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
0
4 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
1
4 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
2
4 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
3
4 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
4
4 
 
 
 
 
5 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
0
5 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
1
5 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
2
5 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
3
5 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
4
5 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
5
5 
M M M M M M M 
 
Substituindo cada número binomial pelo seu 
valor, obteremos a tabela: 
 
0 
→ 
1 
1 
→ 
1 1 
2 
→ 
1 2 1 
3 
→ 
1 3 3 1 
4 
→ 
1 4 6 4 1 
5 
→ 
1 5 10 10 5 1 
M M M M M M M 
Matemática 
 
 
 
 12 
 
TEOREMA DAS LINHAS 
n2
n
n
 
2
n
1
n
0
n
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
L 
 
ou 
 
∑
=
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛n
0p
n2
p
n
 
 
TEOREMA DAS COLUNAS 
 1 
 1 1 
 1 2 1 
 1 3 3 1 
 1 4 6 4 1 
 1 5 10 10 5 1 
 1 6 15 20 15 6 1 
 1 7 21 35 35 21 7 1 
 
 
n n +1 n + 2 n + k n + k +1
+ + +...+ =
n n n n n +1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 
ou 
 
k
i=0
n + i n + k +1
=
n n +1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑ 
 
TEOREMA DAS DIAGONAIS 
 
 1 
 1 1 
 1 2 1 
 1 3 3 1 
 1 4 6 4 1 
 1 5 10 10 5 1 
 1 6 15 20 15 6 1 
 1 7 21 35 35 21 7 1 
 
 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ++
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
++⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
k
1kn
k
kn
...
2
2n
1
1n
0
n
 
 
ou 
 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ++
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +∑
= k
1kn
i
ink
0i
 
 
DESENVOLVIMENTO DE (x + a)n 
(x + a)n= ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
0
n
xna0 + ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
1
n
xn-1a1 + ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
2
n
xn-2a2 +...+ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
n
n
x0an 
ou 
 
∑
=
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=+
n
0p
ppnn ax
p
n
)ax( 
 
FÓRMULA DO TERMO GERAL DE (x + a)n 
No desenvolvimento de (x + a)n, todo termo é 
do tipo: 
 
ppn
1p axp
n
T −+ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
= 
 
SOMA DOS COEFICIENTES DO DESENVOLVIMENTO 
DE (ax + by)n 
A soma dos coeficientes do desenvolvimento 
de uma potência da forma (ax + by)n, onde a e b 
são coeficientes reais, é obtida fazendo-se x = y = 
1, ou seja: 
Soma dos Coeficientes = (a + b)n 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DE CONTAGEM 
Aditivo: Para a escolha de um dos m elemen-
tos de A ou um dos p elementos de B existem m+p 
possibilidades. 
Multiplicativo: Para a escolha de um elemento 
de A e um elemento de B existem m.p possibilida-
des. 
 
ARRANJOS SIMPLES 
 
)!pn(
!nAA p,n
p
n −
== 
 
em que: n ∈ IN, p ∈ IN e n ≥ p. 
 
PERMUTAÇÕES SIMPLES 
 
Pn = n! 
 
PERMUTAÇÕES SIMPLES COM ELEMEN-TOS REPE-
TIDOS 
 
!!...!
!nP ),...,,(n γβα
=γβα 
Matemática 
 
 
 
 13 
 
PERMUTAÇÕES CIRCULARES 
 
PCn = (n – 1)! 
 
COMBINAÇÕES SIMPLES 
 
p
n n,p
n!C C
p!(n p)!
= =
−
 
 
Em que: n ∈ IN, p ∈ IN e n ≥ p. 
ESTUDO DE PROBABILIDADES 
ESPAÇO AMOSTRAL 
Dado um fenômeno aleatório, isto é, sujeito às 
leis do acaso, chamamos de espaço amostral ao 
conjunto formado por todos os resultados possíveis 
de ocorrer. 
EVENTO 
Chama-se evento a qualquer subconjunto do 
espaço amostral. 
Observações: 
Se A = ∅, A é um evento impossível. 
Se A = E, A é um evento certo. 
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS 
Dois eventos são mutuamente exclusivos 
quando não possuem elemento comum. 
EVENTOS COMPLEMENTARES 
A ∩ A = ∅ 
A ∪ A = E 
PROBABILIDADE 
Sendo n(A) o número de elementos de um e-
vento A e n(E) o número de elementos do espaço 
amostral E, (E ≠ ∅ e A ⊂ E), a probabilidade do 
evento A, que se indica por P(A), é o número: 
)E(n
)A(n)A(P = 
onde n(A) é o número de casos favoráveis ao e-
vento A e n(E) o número de casos possíveis, desde 
que sejam igualmente prováveis (equiprováveis). 
 
Observações: 
• P(E) = 1 
• P(∅) = 0 
• 0 ≤ P(A) ≤ 1 
• P(A) + P( A ) = 1 
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL DE PROBABILIDADES 
Consideremos uma seqüência de n experimentos 
tais que: 
cada e experimento apresente sempre dois re-
sultados possíveis, que chamaremos de sucesso 
(S) ou fracasso (F); 
em qualquer um dos experimentos, a probabili-
dade de S seja a constante q e, consequentemen-
te, a probabilidade de F seja 1 – q. 
Nessas condições, a probabilidade P de ocorre-
rem k (k ≤ n) sucessos (que será igual à probabili-
dade de ocorrerem n – k fracassos) é: 
 
knk
k )q1(qk
n
P −−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
= 
 
ESTATÍSTICA 
 
POPULAÇÃO OU UNIVERSO 
É o conjunto de elementos que servem de refe-
rência para um estudo estatístico. 
AMOSTRA 
É qualquer subconjunto do universo estatístico. 
A amostra é utilizada quando o universo esta-
tístico é muito vasto ou impossível de pesquisar 
todos os seus 
elementos. 
A seleção de uma amostra é feita por amostra-
gem, que é uma técnica que garante o acaso na 
escolha e assegura que a amostra seja representati-
va da população estatística. 
VARIÁVEL 
Variável estatística é qualquer característica da 
população. 
Variáveis que apresentam como resultado um 
atributo (qualidade) ou preferência são denomina-
das variáveis qualitativas. 
Variáveis que apresentam como resultado um 
número real são denominadas variáveis quantita-
tivas. 
ROL 
É um conjunto ordenado (em ordem crescente 
ou decrescente) de dados estatísticos numéricos. 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA 
Freqüência absoluta (n i) de um dado: é o 
número de vezes que esse dado aparece. 
Freqüência relativa (f i): é o quociente entre a 
freqüência absoluta e o número total de dados (n), 
ou seja: 
n
n
f ii = 
Matemática 
 
 
 
 14 
 
Observação: 
 
Asfreqüências relativas geralmente são apre-
sentadas em porcentagens, e portanto, também 
chamadas de freqüências relativas percentuais 
(f i%). 
A distribuição de freqüência pode ser apresen-
tada sob a forma de tabela: 
 
ESTATURA n i f i f i% 
150 
160 
8 0,16 16 
160 
170 
10 0,2 20 
170 
180 
18 0,36 36 
180 
190 
12 0,24 24 
190 
200 
2 0,04 4 
Total 50 1,00 100 
Os símbolos 150 160, 160 170, 170 
 180, 180 190 e 190 200, representam 
intervalos reais fechados à esquerda e abertos à 
direita, e são chamados de intervalos de classes. A 
diferença entre os valores extremos dos intervalos de 
classe é chamada amplitude da classe. 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
 
As distribuições de freqüência podem ser também 
apresentadas por meio de gráficos, que constituem 
poderosa ferramenta de análise e interpretação de 
um conjunto de dados. 
As principais representações gráficas são: 
 
Gráfico de Colunas e de Barras 
Exemplo: 
 
(Fonte: Veja, nº 1576, p. 100) 
Histograma 
 
Classe 
(notas) ƒi 
0 2 4 
2 4 5 
4 6 12 
6 8 8 
8 10 1 
 n = 30 
 
 
Gráfico de Setores 
 
 
(Fonte: Veja, nº 1575, p. 37) 
 
Matemática 
 
 
 
 15 
 
Pictograma 
Exemplo: 
 
(Fonte: Veja, nº 1575, p. 120) 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
Média aritmética simples 
 
n
a ... aa
x n21
+++
= 
 
Média aritmética ponderada 
 
n21
nn2211
P P ... PP
aP ... aPaP
M
+++
⋅++⋅+⋅
= 
 
em que P1, P2, ... , Pn são os respectivos 
pesos dos valores a1, a2, ... , an. 
 
Média geométrica 
 
 a ... a aM n n11G ⋅⋅⋅= 
 
 Mediana (Me) 
 
É o valor que ocupa a posição central de um 
rol, quando este apresenta um número ímpar de 
valores. Quando a quantidade de valores de um rol 
é par, a mediana é a média aritmética dos dois 
valores centrais. 
 Moda 
 
É o valor que ocorre com maior freqüência. Não 
necessariamente a moda existe, e mesmo existin-
do pode não ser única. 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
Desvio (d i) 
É a diferença entre cada valor (x i) e o valor da 
média ( x ). 
 Variância ( 2σ ) 
É a média aritmética dos quadrados dos desvi-
os, ou seja: 
 
 
n
)xx( 2
n
1i
i
2
∑ −
=σ = 
isto é: 
 
n
)xx(...)xx()xx()xx( 2n
2
3
2
2
2
12 −++−+−+−=σ 
 
Observação: 
 
A variância de uma distribuição de freqüência é 
dada por 
n
2
i i
2 i=1
(d × f )
σ =
n
∑
 
Desvio padrão (σ ) 
 
É a raiz quadrada da variância. 
NÚMEROS COMPLEXOS 
 
DEFINIÇÃO 
Número complexo é todo número que pode ser 
escrito na forma z = a + bi, sendo a e b ∈ IR e i = 
1− . Essa forma é chamada de forma algébrica 
do complexo z. 
O número a é chamado parte real de z e o 
número b é chamado parte imaginária de z. 
O número complexo i é chamado de unidade 
imaginária, e sua propriedade básica é: 
i2 = –1 
 
POTÊNCIAS DE i 
 
Para calcularmos uma potência inteira de i, di-
vidimos o expoente por 4 e tomamos o resto da 
divisão como novo expoente de i. 
Matemática 
 
 
 
 16 
 
IGUALDADE DE COMPLEXOS 
 
a + bi = c + di ⇔ a = c e b = d 
 
SOMA DE COMPLEXOS 
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i 
 
MULTIPLICAÇÃO DE COMPLEXOS 
 (a + bi).(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = 
= ac + adi + bci – bd = (ac – bd) + (ad + 
bc)i 
 
 
COMPLEXO CONJUGADO 
 
Seja o número complexo z = a + bi. Definimos 
como complexo conjugado de z o complexo 
 
z = a – bi 
 
Propriedades: 
 
• IRzzz ∈⇔= 
• z + z = 2⋅Re(z) 
• z – z = 2⋅Im(z)⋅i 
• 2121 zzzz +=+ 
• 2121 zzzz −=− 
• 2121 zzzz ⋅=⋅ 
• ,
z
z
z
z
2
1
2
1 =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
 (z2 ≠ 0) 
• nn z)z( = 
 
 
 
DIVISÃO DE COMPLEXOS 
2
2
2
1
2
1
z
z
z
z
z
z
⋅= 
NORMA E MÓDULO 
Chama-se norma de um número complexo z = 
a + bi ao número real não-negativo N, tal que: 
 
N(z) = a2 + b2 
 
 
Chama-se módulo ou valor absoluto de um 
número complexo z = a + bi ao número real não-
negativo ρ, tal que: 
 
ρ = ⏐z⏐= 22 ba)z(N += 
Propriedades: 
• ⏐z⏐ ≥ 0 
• ⏐z1 + z2⏐ ≤ ⏐z1⏐ + ⏐z2⏐ 
• ⏐z1⋅z2⏐=⏐z1⏐⋅⏐z2⏐ 
• 
2
1
2
1
z
z
z
z
= 
• ⏐z⏐ = ⏐ z ⏐ 
• ⏐z⏐2 = z⋅ z 
• ⏐z⏐n =⏐zn⏐, n ∈ IN 
 
ARGUMENTO 
Chama-se argumento do número complexo z = 
a + bi, não-nulo, ao ângulo θ tal que: 
0 ≤ θ < 2π 
cos θ = 
ρ
a e sen θ = 
ρ
b 
PLANO DE ARGAND-GAUSS 
 
FORMA TRIGONOMÉTRICA 
z = ρ⋅(cos θ + i⋅sen θ) 
 
OPERAÇÕES NA FORMA TRIGONOMÉTRICA 
z1 = ρ1 (cos θ1 + i⋅sen θ1) e z2 = ρ2 (cos θ2 + i⋅sen 
θ2). 
Matemática 
 
 
 
 17 
 
Multiplicação 
 
z1⋅z2 = ρ1⋅ρ2[cos (θ1 + θ2) + i⋅sen (θ1 + θ2)] 
 
 
z1⋅z2⋅...⋅zn = ρ1⋅ρ2⋅...⋅ρn[cos(θ1 + θ2 + ...+ θn) + i⋅sen(θ1 + θ2 + 
...+ θn)] 
 
Divisão 
2
1
z
z = 
2
1
ρ
ρ [cos (θ1 – θ2) + i⋅sen (θ1 – θ2)] 
Potenciação (1a. Fórmula de Moivre) 
 
zn = ρn(cos nθ + i⋅sen nθ) 
 
Radiciação (2a. Fórmula de Moivre) 
 
n z = n ρ (cos 
n
k2 π+θ + i⋅sen 
n
k2 π+θ ) 
 
Observamos que as raízes enésimas têm mó-
dulo igual a n ρ e seus argumentos são obtidos 
da expressão 
n
k2 π+θ , fazendo k = 0, 1, 2, ..., n 
– 1. 
Observações: 
• As raízes enésimas de z são tais que: 
• seus afixos são pontos de uma circunfe-
rência com centro na origem e raio n z ; 
• seus afixos são vértices de um polígono 
regular, para n > 2; 
• seus módulos são iguais; 
• seus argumentos formam uma P.A. de 1o. 
termo 
n
θ e razão 
n
2π . 
 
POLINÔMIOS 
DEFINIÇÃO 
Denomina-se função polinomial ou polinômio 
toda função definida por: 
 
 
 
P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ...+ a2x2 + a1x + a0 
 
Os números a0, a1, a2, ..., an são denominados 
coeficientes; n ∈ IN; x ∈ C é a variável. 
• Se P(a) = 0, o número a é denominado raiz 
ou zero de P(x). 
• P(0) = termo independente. 
• P(1) = soma dos coeficientes. 
• Num polinômio nulo, todos os coeficientes 
são iguais a zero. 
 
DIVISÃO DE POLINÔMIOS 
 
Dados dois polinômios P(x), dividendo, e D(x), 
divisor ≠ 0 existe um único par de polinômios Q(x), 
quociente, e R(x), resto, tais que: 
 
P(x) = D(x)⋅Q(x) + R(x) 
e 
R(x) ≡ 0 ou gr(R) < gr(D) 
 
Se R(x) ≡ 0, dizemos que P(x) é divisível por 
D(x). 
O grau do quociente é a diferença entre o grau 
do polinômio dividendo e o grau do polinômio divi-
sor, ou seja, gr(Q) = gr(P) – gr(D). 
TEOREMA DO RESTO 
 
“O resto da divisão de um polinômio P(x) por 
um polinômio da forma ax + b, a≠0, é o valor nu-
mérico de P(x) para x igual à raiz de ax + b, ou seja 
R(x)= P(
a
b
− )”. 
TEOREMA DE D’ALEMBERT 
 
“Um polinômio P(x) é divisível por ax + b se, e 
somente se P(
a
b
− ) = 0”. 
TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO 
“Se um polinômio P(x) é divisível separadamen-
te por (x – a) e por (x – b), com a ≠ b, então P(x) é 
divisível pelo produto (x – a)(x – b)”. 
TEOREMA DAS DIVISÕES SUCESSIVAS 
“Se o polinômio P(x) é divisível por (x – a) e o 
quociente desta divisão também é divisível por (x – 
a), então P(x) é divisível por (x – a)2”. 
Matemática 
 
 
 
 18 
 
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 
 
Denomina-se equação algébrica ou polinomial 
de grau n a toda equação da forma 
anxn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + ...+ a2x2 + a1x + a0 = 
onde os números a0, a1, a2, ..., an são coeficientes 
complexos; n ∈ IN e x ∈ C é a variável. 
 
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA 
 
“Toda equação algébrica de grau maior que ze-
ro admite pelo menos uma raiz complexa”. 
 
TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO 
 
“Todo polinômio P(x) = anxn + an–1xn–1 + ...+ a1x 
+ a0 de grau n (n > 0), pode ser decomposto em n 
fatores do primeiro grau multiplicado por an, ou 
seja: 
 
anxn + an–1xn–1 + ...+ a1x + a0 = an(x – x1)(x – x2) ... (x – xn) 
 
onde x1, x2, ..., xn são as raízes de P(x). 
Com exceção da ordem dos fatores, essa de-
composição é única. 
Conseqüências: 
Toda equação polinomial de grau n (n > 0) pos-
sui n e somente n raízes distintas ou iguais, reais 
não reais. 
MULTIPLICIDADE DE RAÍZES 
Diremos que α é raiz de multiplicidade m (m > 
0) da equação polinomial P(x) = 0 se, e somente se, 
 
P(x) = (x – α)m⋅Q(x) e Q(α) ≠ 0 
 
ou seja, P(x) é divisível por (x – α)m e não é divisível 
por 
(x – α)m + 1. 
RELAÇÕES DE GIRARD 
 
São relações entre os coeficientes de uma e-
quação polinomial e suasrespectivas raízes. 
Dada a equação anxn + an–1xn–1 + ...+ a1x + a0 = 
0 
(an ≠ 0), de raízes r1, r2, r3, ..., rn, temos: 
S1 = r1 + r2 + r3 + ... + rn = 
n
1n
a
a −− 
S2 = r1r2 + r1r3 + r1r4 + ... + rn– 1rn = 
n
2n
a
a − 
S3 = r1r2r3 + r1r2r4 + r1r2r5 + ... + rn– 2rn– 1rn = 
n
3n
a
a −− 
..............................................................................
...... 
Sp = 
n
pnp
p
n
a
a
)1(
polinômio do raízes p"" de
 produtos C os todos de soma −−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
 
..............................................................................
...... 
Sn = r1r2r3 ... rn = 
n
0n
a
a
)1(− 
 
TEOREMA DAS RAÍZES COMPLEXAS 
 
Se uma equação algébrica de coeficientes reais 
apresenta como raiz o complexo z = a + bi (b ≠ 0), 
então o conjugado z = a – bi também é raiz dessa 
equação. 
• O número de raízes não reais de uma e-
quação polinomial de coeficientes reais é 
par. 
• Se uma equação polinomial de coeficientes 
reais e grau ímpar apresenta um número 
ímpar de raízes reais. Possui, portanto, pe-
lo menos uma raiz real. 
• Se uma equação polinomial de coeficientes 
reais admite a raiz z = a + bi (b ≠ 0) com 
multiplicidade m, então essa equação ad-
mite a raiz z = a – bi também com multipli-
cidade m. 
RAÍZES REAIS – TEOREMA DE BOLZANO 
Sejam P(x) = 0 uma equação polinomial com 
coeficientes reais e ]a, b[ um intervalo real aberto. 
• Se P(a) e P(b) têm mesmo sinal, então é par 
o número de raízes reais da equação P(x) = 
0 em ]a, b[. 
• Se P(a) e P(b) têm sinais contrários, então é 
ímpar o número de raízes reais da equação 
P(x) = 0 em ]a, b[. 
Conseqüências: 
• Se o gráfico de um polinômio P(x) inter-
cepta o eixo das abscissas em x = α, então 
α é uma raiz de multiplicidade ímpar de 
P(x). 
Matemática 
 
 
 
 19 
 
• Se o gráfico de um polinômio P(x) tangen-
cia o eixo das abscissas em x = α, então α 
é uma raiz de multiplicidade par de P(x). 
• Se os “ramos” do gráfico de um polinômio 
estão voltados para um mesmo lado, esse 
polinômio é de grau par; se estão voltados 
para lados opostos, é de grau ímpar. 
TEOREMA DAS RAÍZES RACIONAIS 
“Dada a equação polinomial 
P(x) = anxn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + ...+ a2x2 + a1x + a0 = 0 
 
de coeficientes inteiros, se o número racional 
q
p 
(p ∈ Z, q ∈ Z* e p e q primos entre si) for raiz de 
P(x) = 0, então p é divisor de a0 e q é divisor de 
an”. 
Conseqüências: 
• Se P(x) = 0 admite uma raiz inteira k (k ≠ 
0), então k deve ser divisor do termo inde-
pendente a0. 
• Se an = 1, então se P(x) = 0 admitir raízes 
racionais, estas serão necessariamente in-
teiras. 
Propriedades: 
Consideremos um polinômio P(x) não nulo e de 
coeficientes racionais. Sejam ainda os números racio-
nais a, m e n tais que m e n são irracionais. Po-
de-se demonstrar que: 
• se a + m é raiz de P(x), a – m também 
é; 
• se m + n é raiz de P(x), os números 
m – n , – m + n e – m – n também 
são. 
GEOMETRIA PLANA 
ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS PARALE-
LAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL 
 
• Ângulos alternos internos (ALIN) ou alter-
nos externos (ALEX) são congruentes. 
• Ângulos colaterais internos (COLIN) ou co-
laterais externos (COLEX) são suplementa-
res. 
• Ângulos correspondentes são congruentes. 
PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO 
Baricentro: é o ponto de encontro das medianas 
do triângulo. O baricentro é sempre um ponto inter-
no. É o centro de gravidade do triângulo. 
 
 
Propriedade: O baricentro divide cada mediana 
na razão 2:1. 
 
 
1GM.2AG = , 2GM.2BG = , 3GM.2CG = 
 
Incentro: é o ponto de encontro das bissetrizes 
internas do triângulo. O incentro é sempre um pon-
to interno. É o centro da circunferência inscrita no 
triângulo. 
 
Propriedade: O incentro é eqüidistante dos la-
dos do triângulo. 
Circuncentro: é o ponto de encontro das mediatri-
zes dos lados do triângulo. O circuncentro é interno 
nos triângulos acutângulos; é o ponto médio da 
hipotenusa nos triângulos retângulos; é externo nos 
triângulos obtusângulos. É o centro da circunferên-
cia circunscrita ao triângulo. 
 
 
 
Matemática 
 
 
 
 20 
 
Propriedade: O circuncentro é eqüidistante dos 
vértices do triângulo. 
 
Ortocentro: é o ponto de encontro das retas su-
portes das alturas do triângulo. É interno nos triân-
gulos acutângulos; é o vértice do ângulo reto nos 
triângulos retângulos; é externo nos triângulos ob-
tusângulos. 
 
 
 
Em todo triângulo isósceles, esses quatro pontos 
notáveis são colineares. 
Em todo triângulo eqüilátero, esses quatro pontos 
notáveis são coincidentes. 
ÂNGULOS NO TRIÂNGULO 
 
 
α + β + γ = 180º 
 
 
 
 
θ = α + β 
 
TEOREMA LINEAR DE TALES 
 
 
'D'C
'B'A
CD
AB
= 
 
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
 
 
 
 
∆ABC ∼ ∆A’B’C’ ⇔ k
c'
c
b'
b
a'
a e 
'ĈĈ
'B̂B̂
'ÂÂ
===
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≡
≡
≡
 
 
Sendo k a razão de semelhança de dois triân-
gulos, então: 
a razão entre lados homólogos é k; 
a razão entre os perímetros é k; 
a razão entre as alturas homólogas é k; 
a razão entre as medianas homólogas é k; 
� � � � � 
a razão entre dois elementos lineares homólogos 
é k. 
RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA 
 
 
PA × PB = PC × PD 
 
 
 
PA × PB = PC × PD 
 
 
 
PT2 = PA × PB 
 
Matemática 
 
 
 
 21 
 
TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
 
 
BC = a (medida da hipotenusa BC ). 
AC = b (medida do cateto AC ). 
AB = c (medida do cateto AB ). 
BD = m (medida da projeção do cateto AB 
sobre a hipotenusa). 
CD = n (medida da projeção do cateto AC 
sobre a hipotenusa). 
AD = h (medida da altura relativa à hipote-
nusa). 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS 
 
b2 = an 
c2 = am 
bc = ah 
 
 
 
a2 = b2 + c2 
 
 
LEI DOS COSSENOS 
 
Demonstração: 
Seja o triângulo ABC de lados com medidas a, 
b e c. Consideremos ainda a altura h e a projeção 
x do lado AB sobre o lado AC . 
 
Temos, então: 
 
∆BHC ⇒ a2 = h2 + (b – x)2 1 
∆BHA ⇒ h2 = c2 – x2 2 
2 em 1 ⇒ a2 = c2 – x2 + (b – x)2 ⇒ a2 = b2 + c2 – 
2bx 3 
 ∆BHC ⇒ cos  = 
c
x ⇒ x = c . cos  4 
 
4 em 3 ⇒ a2 = b2 + c2 – 2bc . cos 
 
De forma análoga: 
 
 b2 = a2 + c2 – 2ac . cos B̂ 
 c2 = a2 + b2 – 2ab . cos Ĉ 
 
Observação: 
A lei dos cossenos permite verificar que: 
 
a2 < b2 + c2 ⇔ Â < 90o 
a2 = b2 + c2 ⇔ Â = 90o 
a2 > b2 + c2 ⇔ Â > 90o 
 (SÍNTESE DE CLAIRAUT) 
LEI DOS SENOS (LAMY) 
Demonstração: 
Seja o triângulo ABC de lados com medidas a, 
b e c inscrito em uma circunferência de raio R e 
seja BJ um diâmetro dessa circunferência. 
 
Como o triângulo BJC é retângulo em C e como 
ÂĴ = , temos: 
.R2
 sen
a
2R
a sen =⇒= 
Procedendo analogamente para os outros dois 
ângulos, obteremos: 
 
 a b c= = = 2Rˆ ˆsen  sen B sen C
 
 
DIAGONAIS DE UM POLÍGONO 
 
d = n(n - 3)
2
 
 
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS 
 
Si = (n – 2) . 180o 
Matemática 
 
 
 
 22 
 
SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS 
 
Se = 360o 
 
POLÍGONO REGULAR 
 
n
180 . )2n(a 
n
S
a
o
i
i
i
−
=⇒= 
 
 
n
360a 
n
S
a
o
e
e
e =⇒= 
 
 
n
360a 
n
S
a
o
c
c
c =⇒= 
 
ac = ae 
ai + ae = 180o 
 
QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS 
 
Os quadriláteros notáveis são os trapézios, os 
paralelogramos, os retângulos, os losangos e os 
quadrados. 
• Trapézio é um quadrilátero plano convexo 
com dois lados paralelos. 
• Paralelogramo é um quadrilátero plano 
convexo com lados opostos paralelos. 
• Retângulo é um paralelogramo equiângulo, 
ou seja, que possui os quatro ângulos con-
gruentes (90o). 
• Losango ou rombo é um paralelogramo 
eqüilátero, ou seja, que possui os quatro la-
dos congruentes. 
• Quadrado é um paralelogramo que é re-
tângulo e losango, ou seja, é equiângulo e 
eqüilátero: é um quadrilátero regular. 
Propriedades dos trapézios: 
 
• Em todo trapézio, os ângulos formados por 
qualquer dos lados não-paralelos são su-
plementares; 
• O segmento que une os pontos médios dos 
lados não-paralelos de um trapézio é para-
lelo às duas bases e tem medida igual à 
semi-soma das mesmas. Esse segmento é 
chamado de base média. 
 
Propriedadesdos paralelogramos: 
 
1) Os lados opostos de um paralelogramo são 
congruentes; 
2) Os ângulos opostos de um paralelogramo 
são congruentes; 
3) As diagonais de um paralelogramo encon-
tram-se nos seus pontos médios; 
4) Todo quadrilátero plano convexo com lados 
opostos congruentes é paralelogramo. (Recí-
proca da propriedade 1); 
5) Todo quadrilátero plano convexo com ângu-
los opostos congruentes é paralelogramo. (Re-
cíproca da propriedade 2); 
6) Todo quadrilátero plano convexo cujas dia-
gonais se encontram em seus pontos médios é 
paralelogramo. (Recíproca da propriedade 3); 
7) Todo retângulo tem diagonais congruentes; 
8) Todo paralelogramo com diagonais congru-
entes é retângulo. (Recíproca da propriedade 
7); 
9) As diagonais de um losango são bissetrizes 
de seus ângulos internos; 
10) Todo quadrilátero plano convexo cujas dia-
gonais são bissetrizes de seus ângulos internos 
é losango; 
11) O losango tem diagonais perpendiculares; 
12) Todo paralelogramo com diagonais per-
pendi-culares é losango. 
CIRCUNFERÊNCIA 
 
COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA 
 
C = 2πr 
Matemática 
 
 
 
 23 
 
RETA TANGENTE 
Uma reta é tangente à circunferência se, e 
somente se, ela intercepta a circunferência em um 
único ponto. 
 
 
 
• Toda reta tangente a uma circunferência é 
perpendicular ao raio no ponto de tangên-
cia; 
• Os segmentos de tangentes traçados a 
partir de um mesmo ponto exterior à circun-
ferência são congruentes; 
• Se uma circunferência é tangente aos la-
dos de um ângulo, então o centro dessa 
circunferência está na bissetriz desse ângu-
lo; 
• Num quadrilátero convexo circunscrito a 
uma circunferência, as somas das medidas 
de seus lados opostos são iguais; 
• Se a soma das medidas dos lados opostos 
de um quadrilátero convexo são iguais, en-
tão o quadrilátero é circunscritível; 
 
ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA 
• Ângulo Central 
 
• Ângulo Inscrito 
 
 
Propriedade: A medida de um ângulo inscrito é igual 
à metade da medida do arco que ele determina na 
circunferência. 
 
Conseqüência: Todo ângulo inscrito numa semi-
circunferência é reto e, reciprocamente, todo ângu-
lo reto é inscritível numa semicircunferência. 
 
• Ângulo Excêntrico Interno 
 
• Ângulo Excêntrico Externo 
 
• Ângulo Semi-inscrito ou Ângulo de Seg-
mento 
 
PBPA ≡
m α = m 
m
n 2
nm +
=γ 
m 
n 
2
nm −
=θ 
m 2
m
=β 
2
m
=α 
Matemática 
 
 
 
 24 
 
ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS 
RETÂNGULO 
 
S = b . h 
QUADRADO 
 
S = a2 
 
PARALELOGRAMO 
 
S = b . h 
TRIÂNGULOS 
• Triângulo qualquer 
 
S = 
2
h . b 
• Triângulo eqüilátero 
 
S = 
2
ah . Como a altura de um triângulo e-
qüilátero é dada por 
2
3ah = , teremos que 
S = 
2
a .
2
3a 
 Logo: 
S = 
4
3 . a 2 
• Triângulo retângulo 
 
 
 
 
S = 
2
c . b 
• Triângulo qualquer em função dos lados 
 
 
 
S = )cp( )bp( )ap( p −−− 
 
 em que p é o semiperímetro, ou seja: p = 
2
cba ++ 
• Triângulo qualquer em função dos lados e 
do raio da circunferência inscrita 
 
 A área do triângulo ABC é igual à soma das 
áreas dos triângulos IBC, IAC e IAB, todos de altu-
ra r, ou seja: 
 S = 
2
cr
2
br
2
ar
++ 
b 
c 
a 
. 
a b 
c 
Matemática 
 
 
 
 25 
 
 Logo: 
S = p . r 
 
• Triângulo qualquer em função dos lados e 
do raio da circunferência circunscrita 
 
S = 
2
ah a . Para calcular ha, devemos obser-
var que ∆ADC ∼ ∆ABE ⇒ 
R2
b
c
h a = ⇒ 
R2
bch a = 
 Logo: 
S = 
4R
c . b . a 
• Triângulo qualquer em função de dois lados 
e do seno do ângulo compreendido 
 
S = 
2
bh . Mas no ∆ADB temos que h = c . sen Â. 
 Logo: 
S = 
2
 sen . bc 
 
 
Analogamente: 
S = 
2
B̂ sen . ac S = 
2
Ĉ sen . ab 
 
TRAPÉZIO 
S = 
2
h . )b(b 21 + 
 
LOSANGO 
 
 Na segunda figura, observamos que o re-
tângulo é formado de oito triângulos congruentes, 
quatro dos quais formam o losango. Logo, a área 
do losango é igual à metade da área do retângulo 
com lados d1 e d2, ou seja: 
 
S = 
2
d . d 21 
POLÍGONO REGULAR 
 
S = p . m 
 
SHEX = 4
3a6
2
× 
CÍRCULO 
 
 
 
S = 2r π 
 
Matemática 
 
 
 
 26 
 
SETOR CIRCULAR 
 
Setor circular de raio r e α radianos 
 
 S = 
2
r . 2α 
Setor circular de raio r e α graus 
 S = 
360
 .r . 2 απ 
 
Setor circular em função do raio r e do compri-
mento � do arco 
 
S = 
2
r . l 
SEGMENTO CIRCULAR 
 
S = ) sen(
2
r 2
α−α 
COROA CIRCULAR 
 
S = π(R2 – r2) 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
 
POLIEDROS 
 
Toda superfície fechada que consiste inteira-
mente de polígonos convexos é chamada superfí-
cie poliédrica e o sólido limitado por essa superfí-
cie chama-se poliedro. Os polígonos que formam 
a superfície poliédrica são as faces do poliedro. 
Para um poliedro convexo supõe-se que: 
• duas faces não estão num mesmo plano; 
cada lado de uma face é comum a duas, e 
somente duas faces; 
• o plano de cada face deixa as demais num 
mesmo semi-espaço. 
 
TEOREMA DE EULER 
 
V + F = A + 2 
 
SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES 
 
S = (V – 2).360o 
 
PRISMAS 
 
DEFINIÇÃO 
 
 
l α 
r
r
Matemática 
 
 
 
 27 
 
PRISMA RETO 
 
 
PRISMA REGULAR 
 
É o prisma reto cujas bases são polígonos re-
gulares. 
 
ÁREA LATERAL 
 
A área lateral de um prisma é a soma das á-
reas das suas faces laterais. 
ÁREA TOTAL 
At = A� + 2Β 
 
VOLUME 
 
V = Βh 
 
PRISMAS ESPECIAIS 
PARALELEPÍPEDO RETO-RETÂNGULO OU ORTOE-
DRO 
 
d = 222 cba ++ At = 2(ab + ac + bc) V = abc 
 
HEXAEDRO REGULAR OU CUBO 
 
d = 3a At = 6a2 V = a3 
. 
 
PIRÂMIDES 
DEFINIÇÃO 
 
Matemática 
 
 
 
 28 
 
PIRÂMIDE REGULAR 
 
ÁREA LATERAL 
A superfície lateral de uma pirâmide é a soma 
das áreas das suas faces laterais. 
ÁREA TOTAL 
At = A� + Β 
VOLUME 
V = 
3
Bh 
 
TRONCO DE PIRÂMIDE 
 
2
d
h
b
B
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= 
3
2
1
d
h
V
V
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= 
 
)bBbB(
3
HVT ++= 
 
CILINDRO DE REVOLUÇÃO 
 
CILINDRO EQÜILÁTERO 
H = 2r 
 
ÁREA LATERAL 
 
 
A� = 2πrh 
 
ÁREA TOTAL 
 
At = 2πr(h + r) 
VOLUME 
V = B.h ⇒ V = πr2h 
a' = apótema da pirâ-
mide 
a = apótema da base 
h = altura da pirâmide 
 
222 ha)'a( += 
Matemática 
 
 
 
 29 
 
CONE DE REVOLUÇÃO 
 
 g2 = h2 + r2 
CONE EQÜILÁTERO 
g = 2r 
ÁREA LATERAL 
 
 
O ângulo θ do setor é dado por: 
 
rad
g
r2π
=θ ou graus
g
r360
=θ 
 
A área lateral é dada por: 
 
A� = πrg 
 
ÁREA TOTAL 
 
At = πr(g + r) 
VOLUME 
 V = 
3
hr 2π 
 
TRONCO DE CONE 
 
São válidas as seguintes relações: 
 
d
h
r
R
= 
2
d
h
b
B
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= 
3
2
1
d
h
V
V
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= 
 
)rRrR(
3
HV 22T ++
π
= 
 
ESFERA 
 
SUPERFÍCIE ESFÉRICA 
 
Se = 4π R2 
VOLUME 
3R
3
4V π= 
Matemática 
 
 
 
 30 
 
PARTES DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA 
Calota esférica: 
 
S = 2πRh 
Zona esférica: 
 
S = 2πRh 
 
 
Fuso esférico: 
 
 Sendo α em graus 
 
90
RS
2
fuso
απ
=⇒
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
→α
π→ 
S
R4360
fuso
o
2o
 
 Sendo α em radianos 
 α2fuso 2RS =⇒⎪⎭
⎪
⎬
⎫
→α
π→π 
S
R42
fuso
2
 
 
PARTES DA ESFERA 
Cunha esférica: 
 
 
 
 
 Sendo α em graus 
 
270
RV
3
cunha
απ
=⇒
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
→α
π→ 
V
R
3
4360
cunha
o
3o
 
 
Sendo α em radianos 
 
3
2RV
3
cunha
α
=⇒
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
→α
π→π 
V
R
3
42
cunha
3
 
 
Setor esférico: 
 
 
 
 
 
V = hR
3
2 2π 
 
R é a medida do raio do setor (é também o raio da 
esfera). 
h é a medida da altura do setor (projeção do arco 
sobre o eixo). 
Anel esférico: 
 
 
 
 
 
 
V = 2
6
h
l
π 
 
l é a medida da altura (projeção do arco sobre o 
eixo). 
h é a medida da corda (base do segmento circular). 
Matemática 
 
 
 
 31 
 
Segmento esférico: 
 
 
 
 
 
 
V = [ ]22221 h)r3(r 6
h
++
π 
 
 r1 é a medida do raio de uma base. 
 r2 é a medida do raio da outra base. 
 h é a medida da altura (projeção do arco 
sobre o eixo). 
 
GEOMETRIA ANALÍTICAPONTOS ESPECIAIS 
 
• Todo ponto do eixo das abscissas possui 
ordenada nula, ou seja, é do tipo (a, 0). 
• Todo ponto do eixo das ordenadas possui 
abscissa nula, ou seja, é do tipo (0, b). 
• Todo ponto da bissetriz dos quadrantes ím-
pares possui coordenadas iguais, ou seja, é 
do tipo (a, a). 
• Todo ponto da bissetriz dos quadrantes pares 
possui coordenadas simétricas, ou seja, é do 
tipo (a, –a). 
 
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS DO PLANO 
 
 
 
 
 
2
AB
2
AB )yy()xx(d −+−= 
PONTO MÉDIO 
 
 
A B A Bx + x y + yM ,
2 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
 ⇒ 
A B
M
A B
M
x + x
x =
2
y + y
y =
2
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎩
 
 
BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO 
 
Consideremos o triângulo ABC de vértices 
A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC). 
 
 
 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ++++
3
yyy
,
3
xxx
G CBACBA 
⇒ 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
++
=
++
=
3
yyy
y
3
xxx
x
CBA
M
CBA
M
 
 
 
ÁREA DE UM POLÍGONO 
 
Podemos obter 
diretamente a área de um 
polígono usando a regra 
prática seguinte. 
Sejam A, B, C, ... , M vérti-
ces consecutivos de um polí-
gono qualquer. Sua área S é 
dada por: 
 
S = 
2
1
| ∆ | 
 
em que ∆ = xAyB – yAxB + xByC – yBxC + . . .+ xMyA – 
yMxA 
 
Matemática 
 
 
 
 32 
 
Observamos que: 
 
1o.) Dispomos as coordenadas dos vértices 
em duas colunas, repetindo a primeira 
linha. 
 
2o.) Os vértices devem ser consecutivos, 
isto é, tomamos um vértice qualquer 
como ponto de partida e percorremos o 
polígono no sentido horário ou anti-
horário, até voltarmos ao vértice inicial. 
 
3o.) Efetuamos os produtos da todas as di-
agonais com dois elementos, conser-
vando-se ou trocando-se o sinal do 
mesmo, conforme o esquema anterior. 
 
4o.) A soma de todos esses produtos for-
necerá o valor de ∆. 
Observação: 
 
Quando o percurso é feito no sentido anti-horário, 
temos ∆ > 0; quando é feito no sentido horário, temos 
∆ < 0. 
 
CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO 
 
Três pontos são colineares, se a “área” do “tri-
ângulo” formado por eles é igual a zero, ou seja, 
três pontos estão alinhados, se ∆ = 0. 
ESTUDO DA RETA 
EQUAÇÃO GERAL 
 
“A toda reta r do plano cartesiano está associa-
da, ao menos, uma equação da forma ax + by + c 
= 0, em que a, b e c são números reais, a e b não 
simultaneamente nulos, e (x, y) representa um 
ponto genérico de r”. 
 
Lembrando que A, P e B estão alinhados, te-
remos: 
 
0
 1y x
 1y x
 1y x
BB
AA = 
 
do qual obteremos uma equação da forma 
ax + by + c = 0, chamada equação geral da reta. 
RETAS ESPECIAIS 
 
Dada a equação ax + by + c = 0 de uma reta, 
verificamos que: 
 
• Se c = 0, a equação fica ax + by = 0, e a 
reta passa pela origem (0, 0). 
• Se a = 0, a equação fica by + c = 0, e a re-
ta é horizontal. 
• Se b = 0, a equação fica ax + c = 0, e a re-
ta é vertical. 
• Se a = b e c = 0, a equação fica redutível à 
forma x + y = 0, que é a equação da bisse-
triz dos quadrantes pares. 
• Se a = – b e c = 0, a equação fica redutível 
à forma x – y = 0, que é a equação da bis-
setriz dos quadrantes ímpares. 
• A reta ax = 0 é a equação do eixo y. 
• A reta by = 0 é a equação do eixo x. 
 
EQUAÇÃO REDUZIDA 
 
É a equação da forma y = mx + p, obtida iso-
lando-se y na equação geral da reta. 
O coeficiente m é chamado de coeficiente angu-
lar e define a tangente do ângulo que a reta faz com 
o eixo x. 
O coeficiente p é chamado de coeficiente li-
near e define a ordenada do ponto onde essa reta 
intercepta o eixo y. 
 
a) A equação reduzida de uma reta é única. 
b) Retas verticais não possuem equação redu-
zida. 
 
CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR 
 
Com dois pontos distintos A(xA, yA) e B(xB, yB), 
com xA ≠ xB, 
 
 
B A
B A
y - y
m =
x - x
 ou m = 
x
y
∆
∆ 
 
Matemática 
 
 
 
 33 
 
EQUAÇÃO DE UMA RETA QUE PASSA POR UM PONTO 
DADO P(xo, yo) 
 
 
 
 
 y – yo = m(x – xo) 
 
ou 
 
 x = xo 
 
 
 y – yo = m(x – xo) ou x = xo 
 
 
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS 
 
Sejam as retas: 
⎩
⎨
⎧
=+
=+
c' y b'xa' )s(
c by ax )r(
 . 
 
Se ⇒≠ 
'b
b
'a
a r e s são concorrentes. 
 
Se ⇒≠= 
'c
c
'b
b
'a
a r e s são paralelas distin-
tas. 
 
Se ⇒== 
'c
c
'b
b
'a
a r e s são coincidentes. 
 
CONDIÇÃO DE PARALELISMO 
 
Se r // s, então αr = αs e, conseqüentemente: 
mr = ms ou r e s são ambas verticais. 
CONDIÇÃO DE PERPENDICULARIDADE 
 
Sejam as retas perpendiculares r e s (não-
paralelas aos eixos). 
 
 
 
s
r m
1m −= ou mr . ms = –1 
 
ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA 
EQUAÇÃO REDUZIDA 
dPC = r 
ou 
r)by()ax( 22 =−+− 
 
e, portanto: 
 
 
 
 (x – a)2 + (y – b)2 = r2 
 
 
EQUAÇÃO NORMAL 
 x2 + y2 – 2ax – 2by + (a2 + b2 – r2) = 0 
 
 
PROBLEMAS DE TANGÊNCIA 
 
1O. Caso: “Conduzir, por um ponto dado, as retas 
tangentes a uma circunferência dada.” 
• Dada uma circunferência (λ) (x – a)2 + (y – 
b)2 = r2 e o ponto P0 (x0, y0), desejamos ob-
ter t1 e t2, tangentes a λ, passando por P0. 
 
Devemos verificar inicialmente qual é a posição 
relativa de P0, em relação a λ. 
• Se o ponto P0 é interior à circunferência λ, 
o problema não tem solução. 
• Se o ponto P0 pertence à circunferência λ, 
o problema tem uma única solução. Portan-
to, t1 coincide com t2. 
Matemática 
 
 
 
 34 
 
Nesse caso, teremos: 
• Se x0 = a, a equação da tangente é y = y0 
 
 
Se y0 = b, a equação da tangente é x = x0 
 
 
Se x0 ≠ a e y0 ≠ b, a equação da tangente é do 
tipo y – y0 = m(x – x0), e m pode ser obtido impon-
do-se a condição: “o produto dos coeficientes an-
gulares da reta t1 e da reta que passa por C e P0 é 
–1”, pois o raio é sempre perpendicular à tangente, 
no ponto de tangência. 
 
 
Se o ponto P0 é exterior à circunferência λ, o 
problema tem duas soluções. 
Nesse caso, as equações das tangentes serão do 
tipo y – y0 = m(x – x0), e m pode ser obtido impon-
do-se a condição: “a distância do centro de uma 
circunferência às retas que lhe são tangentes é 
igual ao raio dessa circunferência”. 
 
2O. Caso: “Conduzir as retas tangentes a uma cir-
cunferência dada, paralelas a uma reta dada.” 
Dada uma circunferência (λ) (x – a)2 + (y – b)2 = 
r2 e a reta (s) Ax + By + C = 0, desejamos obter 
t1 e t2, tangentes a λ e paralelas a s. 
Como as tangentes são paralelas a s, suas e-
quações são da forma Ax + By + k = 0, e k po-
de ser obtido impondo-se a condição: “a distân-
cia do centro de uma circunferência às retas 
que lhe são tangentes é igual ao raio dessa cir-
cunferência”. 
ESTUDO DA ELIPSE 
É o conjunto de todos os pontos de um plano 
para os quais a soma das distâncias a dois pontos 
fixos, F1 e F2, deste plano, é constante e maior que 
F1 F2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O centro C de uma elipse é ponto médio do ei-
xo maior 21VV , do eixo menor AB e do segmento 
21FF . 
 
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo 
2ACF , temos: 
 
 
 
 
 
 
 
EXCENTRICIDADE 
a
ce = 
ÁREA DA ELIPSE 
 S = πab 
 
222 cba += 
C: centro 
F1 e F2 : focos 
2c: distância focal 
V1 e V2 : vértices 
V V1 2 : eixo maior 
2a: medida do eixo 
maior 
AB : eixo menor 
2b: medida do eixo 
menor
Matemática 
 
 
 
 35 
 
ESTUDO DA HIPÉRBOLE 
É o conjunto de todos os pontos do plano para 
os quais a diferença, em valor absoluto, das dis-
tâncias a dois pontos fixos, F1 e F2, deste plano, é 
constante e menor que F1F2. 
 
 
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ACV2, 
temos: 
 
 
 
 c2 = a2 + b2 
 
 
As retas que contêm as diagonais do retângulo 
de referência são chamadas de assíntotas. O 
ângulo θ assinalado é chamado de abertura da 
hipérbole. 
Se os eixos real e imaginário têm a mesma 
medida, ou seja, b = a, a hipérbole é eqüilátera. 
Neste caso o retângulo de referência é um 
quadrado e portanto as assíntotas são perpendicu-
lares. 
EXCENTRICIDADE 
A excentricidade e de uma hipérbole é dada 
por: 
 
ce =
a
 
ESTUDO DA PARÁBOLA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É o conjunto de todos os pontos do plano eqüi-
distantes de uma reta dada e de um ponto fixo (que 
não pertence à reta) deste plano. 
 
 
 
 
O eixo de simetria daparábola é a reta que 
passa pelo foco e é perpendicular à diretriz. 
O vértice V da parábola é o ponto de encontro 
do eixo de simetria com a parábola. 
Note que: dV,F = dV,r = a. 
Chamaremos o número 2a de parâmetro da pa-
rábola. 
EXCENTRICIDADE 
A excentricidade de qualquer parábola é e = 1 
TRAÇADO DAS CÔNICAS 
ELIPSE 
• Sobre uma prancha de madeira fixe uma 
folha de papel. 
 
 
 
 
• Nessa prancha, pregue duas tachinhas de 
sapateiro, separadas por uma distância 
qualquer. 
 
 
 
 
 
C: centro 
F1 e F2: focos 
2c: distância focal 
V1 e V2: vértices 
21VV : eixo real ou
transverso 
2a: medida do eixo real 
:AB eixo imaginário ou
conjugado 
2b: medida do eixo
conjugado 
 
r: diretriz 
F: foco 
s: eixo de simetria 
2a: distância do foco 
à diretriz 
Matemática 
 
 
 
 36 
 
• A seguir, tome um barbante com compri-
mento igual a 2a e amarre suas extremida-
des, uma em cada tachinha. O comprimen-
to do barbante deve ser maior que a dis-
tância entre as tachinhas. 
 
• Mantendo o barbante esticado com o 
auxílio de um lápis, trace uma elipse. 
 
 
• Chamamos de F1 e F2 os pontos em que as 
tachinhas foram pregadas. Assim, para 
qualquer ponto P da elipse temos: 
 
 
 
 
 
 
 
d(P,F1) + d(P,F2) = comprimento do barbante = 2a 
 
 
HIPÉRBOLE 
• Numa prancha, fixe num ponto F1 a extre-
midade de uma vareta de madeira de com-
primento �, maior que um número 2a (a > 
0) previamente escolhido. A vareta pode gi-
rar em torno de F1. 
 
• Na outra extremidade da vareta, fixe a extre-
midade de um pedaço de barbante de com-
primento � - 2a. A outra extremidade do bar-
bante deve ser fixada com uma tachinha num 
ponto F2. 
 
 
• Mantendo, com o auxílio de um lápis, o 
barbante esticado e encostado na vareta, 
trace um ramo de hipérbole. O outro ramo 
da hipérbole é desenhado, fixando-se a va-
reta em F2 e o barbante em F1. 
 
• Para qualquer ponto P da hipérbole, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
⏐d(P, F1) – d(P, F2)⏐ = 2a 
 
PARÁBOLA 
• Fixe uma régua com fita crepe numa 
prancha. 
 
• Pegue um pedaço de barbante com 
comprimento � igual a um dos catetos de 
um esquadro. Fixe uma das extremidades 
do barbante na extremidades do cateto 
correspondente ao ângulo agudo. 
 
 
 
 
• Coloque o esquadro sobre a prancha e 
encoste o outro cateto do esquadro na 
borda da régua. Fixe, com uma tachinha, a 
outra extremidade do barbante em um 
ponto F da prancha. 
 
 
 
Matemática 
 
 
 
 37 
 
• Com o auxílio de um lápis, mantenha o 
barbante esticado e encostado no 
esquadro. Deslizando o esquadro na borda 
da régua, como mostra a figura, você 
traçará uma parábola. 
 
 
 
 
• Se chamarmos de r a reta que coincide 
com a borda da régua, então para todo 
ponto P da parábola, vale a relação: 
 
 
 
 
 
Assim, podemos afirmar que todo ponto da 
parábola está igualmente distante da reta r e do ponto 
F. 
 
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
 
 
hipotenusa
 a oposto cateto sen α=α 
 
 
 
 
hipotenusa
 a adjacente cateto cos α=α 
 
 
 
 
α
α
=α
 a adjacente cateto
 a oposto cateto tg 
 
 
 
 
O seno de um ângulo é igual ao cosseno do 
seu complemento. 
A tangente de um ângulo é igual ao inverso da 
tangente de seu complemento. 
ÂNGULOS NOTÁVEIS 
 
 
 
Ângulo 
 
 
30o 
 
45o 
 
60o 
 seno 
2
1 
2
2 
2
3 
 
 cosseno 
2
3 
2
2 2
1 
 
 tangente
3
3 
 
1 
 
3 
 
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA 
 
Seno e cosseno não podem assumir qualquer 
valor real. Note que, para todo arco α: 
 
–1 ≤ sen α ≤ 1 
 e 
–1 ≤ cos α ≤ 1 
 
Os eixos x e y passam a ser eixo dos cosse-
nos e eixo dos senos. 
 
 sen 0 = 0 e cos 0 = 1 
 sen 
2
π = 1 e cos 
2
π = 0 
 sen π = 0 e cos π = –1 
 sen 
2
3π = –1 e cos 
2
3π = 0 
 
TANGENTE DE UM ARCO 
Na figura seguinte, o segmento orientado AT 
representa o valor da tangente do arco α. 
 
 
d(P,F) = d(P,r) 
Matemática 
 
 
 
 38 
 
REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE 
As funções trigonométricas de um arco qual-
quer do primeiro quadrante são repetidas, em mó-
dulo, nos demais quadrantes. 
Todo arco do segundo, terceiro ou quarto qua-
drantes possui um “correspondente” no primeiro 
quadrante, cujas funções trigonométricas são 
iguais em módulo. 
Reduzir um arco ao primeiro quadrante é obter 
seu “correspondente”, que possibilitará determinar 
suas funções trigonométricas. 
De um modo geral devemos: 
 
1o.) encontrar a primeira determinação 
positiva do arco; 
2o.) encontrar o “correspondente” de α, 
primeira determinação, no primeiro 
quadrante, lembrando-se de que: 
 o “correspondente” de α ∈ 2o. quadran-
te é 180o – α; 
 o “correspondente” de α ∈ 3o. quadran-
te é α – 180o; 
 o “correspondente” de α ∈ 4o. quadran-
te é 360o – α; 
3o.) identificar o sinal conforme o qua-
drante do arco. 
 
 
OUTRAS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
α
=α
 cos
1 sec 
 
 
 
α
=α
 sen
1 seccos 
 
 
α
=α
 tg
1 gcot 
 
RELAÇÃO TRIGONOMÉTRICA FUNDAMENTAL 
 
 
 
 sen2 α + cos2 α = 1 
 
Ainda no ∆OMN, observamos que 
α
α
=α
 cos
 sen tg 
 
xsec1xtg 22 =+ 
 
 
xseccos1xgcot 22 =+ 
 
TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
COSSENO DA SOMA 
 
 cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b 
 
 
 
COSSENO DA DIFERENÇA 
 
 cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b 
 
 
SENO DA SOMA 
 
 sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a 
 
SENO DA DIFERENÇA 
 
 sen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a 
 
 
TANGENTE DA SOMA E DA DIFERENÇA 
 
tg (a + b) = 
tgb . a tg1
b tg a tg
−
+ tg (a – b) = 
tgb . a tg1
b tg a tg
+
− 
 
 
ARCO DOBRO 
 
 
 cos 2a = cos2 a – sen2 a 
 
 
 
 cos 2a = 1 – 2 . sen2 a 
 
 
 
 cos 2a = 2 . cos2 a – 1 
 
 
 
 sen 2a = 2 . sen a . cos a 
 
 
 
 atg1
a tg . 2
 2a tg
2−
= 
 
Matemática 
 
 
 
 39 
 
TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO 
sen p + sen q = 
2
qpcos
2
qpsen2 −⋅+ 
sen p – sen q = 
2
qpcos
2
qpsen2 +⋅− 
cos p + cos q = 
2
qpcos
2
qpcos2 −⋅+ 
cos p – cos q = –
2
qpsen
2
qpsen2 −⋅+ 
 
que são as Fórmulas de Transformação em 
Produto, também conhecidas como Fórmulas 
de Prostaférese. 
ARCO METADE 
 cos 
2
a = 
2
a cos1+
± 
 
 
 
 sen 
2
a = 
2
a cos1−
± 
 
 
 tg 
2
a = 
a cos1
a cos1
+
−
± 
 
FUNÇÃO SENO 
 
 
 
• O domínio da função é IR. 
• O conjunto imagem da função é [–1, 1]. 
• A função seno é crescente para x ∈ IR e k 
∈ Z, tal que π+π<<π+π− k2
2
xk2
2
. 
• A função seno é decrescente para x ∈ IR e 
k ∈ Z, tal que π+π<<π+π k2
2
3xk2
2
. 
• A função seno é periódica de período 2π. 
FUNÇÃO COSSENO 
 
• O domínio da função é IR. 
• O conjunto imagem da função é [–1, 1]. 
• A função cosseno é crescente para x ∈ IR 
e 
k ∈ Z, tal que π+π<<π+π k22xk2 . 
• A função cosseno é decrescente para x ∈ 
IR e 
k ∈ Z, tal que π+π<<π k2xk2 . 
• A função cosseno é periódica de período 
2π. 
FUNÇÃO TANGENTE 
 
• O domínio da função é {x ∈ IR⏐ x ≠ 
π+
π k
2
}. 
• O conjunto imagem da função é IR. 
• A função tangente é sempre crescente, 
nos intervalos em que é definida. 
• A função tangente é periódica de período π. 
Matemática 
 
 
 
 40 
 
FUNÇÃO COTANGENTE 
 
• O domínio da função é {x ∈ IR⏐ x ≠ πk }. 
• O conjunto imagem da função é IR. 
• A função cotangente é sempre decrescen-
te, nos intervalos em que é definida. 
• A função cotangente é periódica de período 
π. 
FUNÇÃO SECANTE 
 
• O domínio da função é {x ∈ IR⏐ x ≠ 
π+
π k
2
}. 
• A imagem da função é ] –∞, –1] ∪ [1, +∞]. 
• A função secante é crescente, nos intervalos 
em que a função cosseno é decrescente e é 
decrescente nos intervalos em que a função 
cosseno é crescente. 
• A função secante é periódica de período 
2π. 
 
 
 
 
FUNÇÃO COSSECANTE 
 
• O domínio da função é {x ∈ IR⏐ x ≠ πk }. 
• A imagem da função é ] –∞, –1] ∪ [1, +∞]. 
• A função cossecante é crescente, nos in-
tervalos em que a função seno é decrescen-
te e é decrescente nos intervalos em que a 
função seno é crescente. 
• A função cossecante é periódica de perío-
do2π.