AOL 2 Cálculo integral

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Nota finalEnviado: 15/11/21 11:24 (BRT) 
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Conteúdo do exercício 
Conteúdo do exercício 
1. Pergunta 1 
/1 
Do círculo trigonométrico de raio 1 extrai-se muitas relações importantes para a matemática, sem usar uma 
ideia mais rebuscada, como a de limite. Porém, também é possível extrair novas relações quando se alia o 
estudo de limites à trigonometria. Um exemplo disso é o limite fundamental trigonométrico. 
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre o tópico, pode-se afirmar que o limite 
fundamental trigonométrico é relevante para o cálculo porque: 
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1. 
torna dispensável a utilização do círculo trigonométrico. 
2. 
relaciona a tg(x) com a cossec (x), de tal forma que sua razão valha 1. 
3. 
as relações trigonométricas deixam de valer quando se aplica o limite. 
4. 
relaciona um sen(x) com um arco x, obtendo um valor 1 da razão entre esses dois elementos. 
Resposta correta 
5. 
torna dispensável a utilização de qualquer outro limite. 
2. Pergunta 2 
/1 
Quando derivamos diversas vezes uma função circular como seno e cosseno, vimos que as derivadas 
alternam entre senos e cossenos, seguindo um padrão interminável. Um exemplo disso é derivar uma função 
cosseno duas vezes, onde na primeira vez ela se torna uma função seno e, na segunda, novamente uma 
função cosseno. Entender esse padrão permite o cálculo das derivadas de maneira mais rápida e simples. 
Considerando as funções f(x) = sen(x), g(x) = cos(2x), h(x) = sen(3x), e com base nos seus conhecimentos 
acerca da regra da cadeia e da interpretação geométrica dos conceitos estudados em cálculo diferencial e 
integral, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A derivada de h(x) é h’(x) = cos(3x)/3. 
II. ( ) A tangente do ângulo de inclinação da reta tangente a f(x,) no ponto onde x = 0, é igual a 0. 
III. ( ) f(g(h(x))) tem derivada igual a −6sen(2sen(3x))cos(3x)* cos(cos(2sen(3x))). 
IV. ( ) f’’(x) = -f(x). 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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1. 
V, V, F, V. 
2. 
F, F, V, F. 
3. 
V, F, V, V. 
4. 
F, F, V, V. 
Resposta correta 
5. 
V, V, F, F. 
3. Pergunta 3 
/1 
O estudo do Cálculo fornece ferramentas matemáticas importantes para inúmeras áreas do conhecimento, 
principalmente a Física. Ele auxilia no estudo das leis horárias que descrevem movimentos de partículas e 
corpos, possibilitado a integração e derivação de algumas funções, de modo a propiciar o descobrimento de 
uma nova informação. 
Considere que a derivada da equação horária do movimento S’(t) é igual à equação horária da velocidade 
v(t), e a derivada segunda da equação horária do movimento S’’(t) é a equação horária da aceleração a(t). De 
acordo com essas informações e com seus conhecimentos sobre derivação, analise as afirmativas a seguir: 
I. A derivada de f(x)*g(x) é igual a 2sen(2x) − cos(x). 
II. A derivada de h(x) é h’(x) = sen(2x). 
III. f’(x) = −cos(x), pois a derivada de cos(x) é −sen(x). 
IV. A derivada de i(x) é i’(x) = 3x² + 2sen(2x) + 9sen(3x). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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1. 
II e IV. 
2. 
I, II, III. 
3. 
III e IV. 
4. 
I, III e IV. 
Resposta correta 
5. 
I, II, III. 
4. Pergunta 4 
/1 
De acordo com Teorema Fundamental do Cálculo, sabemos que a integral e a derivada são operações 
contrárias. As integrais indefinidas são extremamente importantes para a determinação da função primitiva 
F(x), que é obtida realizando a integração da função de interesse f(x), sendo que, da mesma forma, 
derivando-se a primitiva F(x), obtemos novamente a f(x). 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de integrais definidas, analise as afirmativas 
a seguir. 
I. A propriedade define uma regra para integração de polinômios. 
II. As integrais indefinidas podem delimitar várias famílias de respostas para o problema de função 
primitiva. 
III. Uma integral indefinida é delimitada a partir de uma função primitiva. 
IV. é um exemplo de integral definida. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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1. 
I, III e IV. 
2. 
I, II e III. 
Resposta correta 
3. 
I e IV. 
4. 
II e III. 
5. 
II, III e IV. 
5. Pergunta 5 
/1 
Saber calcular o valor de uma derivada é fundamental para o estudo de cálculo integral, já que este valor 
possui um significado prático para análise da curva do gráfico de uma determinada função que indica uma 
taxa de variação instantânea. Isso pode significar encontrar uma taxa de variação referente a outra função ou 
algo similar, o que implica na possibilidade de se aplicar a operação reversa à derivada. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integral indefinida, pode-se afirmar que 
aplicar a operação inversa à derivada é relevante porque: 
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1. 
tem uma interpretação geométrica diferente da derivada. 
2. 
vale para qualquer tipo de função e intervalo. 
3. 
elimina indeterminações em que a regra de L’Hospital falha. 
4. 
passa a ser possível derivar outros tipos de funções. 
5. 
permite determinar a função primitiva de uma derivada, ou seja, a função que a gerou. 
Resposta correta 
6. Pergunta 6 
/1 
A regra de L’Hospital é muito utilizada para tratar de alguns limites específicos. Ela auxilia no entendimento 
de algumas funções e na eliminação de inconsistências, que ocorrem em casos onde, ao substituir os valores 
de x de uma função pelo valor ao qual x tende no cálculo do limite, encontramos expressões da forma 0/0, 
por exemplo. 
Considerando essas informações e os estudos acerca da definição da regra de L’Hospital e suas propriedades, 
analise as afirmações a seguir: 
I. Ela pode ser aplicada inúmeras vezes sobre uma razão se a indeterminação 0/0 ou infinito/infinito ainda 
estiver valendo. 
II. Existem funções que têm a indeterminação, mas o L’Hospital não as resolve. 
III. A regra é aplicada por um processo de derivação. 
IV. L’Hospital elimina quaisquer indeterminações. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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1. 
I e II. 
2. 
I, II e III. 
Resposta correta 
3. 
II e III. 
4. 
I, II e IV. 
5. 
III e IV. 
7. Pergunta 7 
/1 
O estudo do cálculo diferencial e integral é repleto de interpretações geométricas acerca das curvas de 
funções. A inclinação da reta tangente à curva é definida pela derivada da função, e a integral da função 
mensura a área abaixo da curva que a descreve. 
Considerando as funções f(x) = 2x + 2, g(x) = x²−2x+1, h(x) = sen(x), e com base nos seus conhecimentos 
acerca de funções e interpretação geométrica dos conceitos estudados em cálculo diferencial e integral, 
analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A inclinação da reta tangente à curva do gráfico de f(x) em qualquer ponto é igual a 2. 
II. ( ) A integral de g(x) no intervalo de 0 a 2 equivale à área definida pelo eixo Ox, pelas retas y = 0, y = 2 e 
pelo gráfico de g(x). 
III. ( ) h(x) é uma função. 
IV. ( ) Adotando z(x) = g(x) + h(x), z(x), ainda seria integrável. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
F, F, V, V. 
2. 
V, V, V, F. 
3. 
V, V, F, F. 
4. 
V, F, V, V. 
Resposta correta 
5. 
V, F, V, F. 
8. Pergunta 8 
/1 
A Regra de L’Hospital contribui para a solução de algumas categorias de indeterminações. Com essa regra 
tenta-se resolver o que não é solucionável apenas com a aplicação de um limite. Ela pode ser aplicada, 
também, inúmeras vezes, caso as indeterminações se mantenham, até o momento em que cessam. 
Considerando essas informações e com base em seus conhecimentos sobre a regra de L’Hospital, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s): 
I. ( ) Indeterminações do tipo 1/0 podem ser resolvidas por essa regra. 
II. ( ) Em determinaçõesdo tipo 0/0, pode-se utilizar a regra de L’Hospital. 
III. ( ) Em determinações do tipo infinito/infinito, pode-se utilizar a regra de L’Hospital. 
IV. ( ) A sua aplicação envolve um processo de integralização. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
F, V, V, F. 
Resposta correta 
2. 
V, V, F, V. 
3. 
V, V, V, F. 
4. 
F, F, V, V. 
5. 
F, F, F, V. 
9. Pergunta 9Crédito total dado 
/1 
Ter pleno conhecimento do limite fundamental trigonométrico e de como aplicá-lo através de manipulações 
das expressões matemáticas pode salvar muito tempo durante a resolução de exercícios, já que nem sempre 
é prático deduzir todos os resultados decorrentes da manipulação de funções trigonométricas, de forma que 
este limite e a regra de L’Hospital servem como importantes ferramentas para resolver limites que recorrem 
em indeterminações do tipo 0/0 ou infinito/infinito em poucos passos. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o limite fundamental trigonométrico e a regra 
de L’Hospital, analise as afirmativas a seguir. 
I. O limite de tg(x²)/x, quando x tende a zero, é igual a zero. 
II. A derivada de sen(5x)cos(3x) é 5cos(3x)cos(5x) − 3sen(3x)sen(5x). 
III. O limite de sen(mx)/nx, quando x tende a zero, é igual a m/n. 
IV. A derivada de cos(5x)sen(3x) é 3cos(3x)cos(5x) − 5sen(3x)sen(5x). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I e IV. 
2. 
I, II e III. 
Resposta correta 
3. 
II, III e IV. 
4. 
II e III. 
5. 
I, II e IV. 
10. Pergunta 10 
/1 
O conhecimento acerca dos métodos de derivação é muito útil para encontrar retas tangentes e taxas de 
variações. Derivar funções trigonométricas é fundamental para o prosseguimento dos estudos no Cálculo, já 
que existem diversas aplicações reais dos conceitos aprendidos nesta disciplina, como na modelagem de 
sistemas harmônicos simples e de correntes alternadas, por exemplo. 
Considerando essas informações e com base nos seus conhecimentos acerca das derivadas trigonométricas, 
associe as funções a seguir com suas respectivas características: 
1) f(x) = sen(x). 
2) f(x) = cos(x). 
3) f(x) = tg(x). 
4) f(x) = sec(x). 
( ) Sua derivada segunda é f(x)*(-1). 
( ) Sua derivada é 
( ) Sua derivada terceira é sen(x). 
( ) Sua derivada é sec²(x). 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
4, 2, 1, 3. 
2. 
4, 1, 2, 3. 
3. 
2, 1, 3, 4. 
4. 
1, 3, 2, 4. 
5. 
1, 4, 2, 3. 
Resposta correta