AOL 2 - Cálculo diferencial

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1. Pergunta 1 
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Saber calcular o valor de uma derivada é fundamental para o estudo de 
cálculo integral, já que este valor possui um significado prático para análise 
da curva do gráfico de uma determinada função que indica uma taxa de 
variação instantânea. Isso pode significar encontrar uma taxa de variação 
referente a outra função ou algo similar, o que implica na possibilidade de 
se aplicar a operação reversa à derivada. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integral 
indefinida, pode-se afirmar que aplicar a operação inversa à derivada é 
relevante porque: 
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1. 
elimina indeterminações em que a regra de L’Hospital falha. 
2. 
passa a ser possível derivar outros tipos de funções. 
3. 
tem uma interpretação geométrica diferente da derivada. 
4. 
vale para qualquer tipo de função e intervalo. 
5. 
permite determinar a função primitiva de uma derivada, ou 
seja, a função que a gerou. 
Resposta correta 
2. Pergunta 2 
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O estudo do Cálculo fornece ferramentas matemáticas importantes para 
inúmeras áreas do conhecimento, principalmente a Física. Ele auxilia no 
estudo das leis horárias que descrevem movimentos de partículas e corpos, 
possibilitado a integração e derivação de algumas funções, de modo a 
propiciar o descobrimento de uma nova informação. 
Considere que a derivada da equação horária do movimento S’(t) é igual à 
equação horária da velocidade v(t), e a derivada segunda da equação 
horária do movimento S’’(t) é a equação horária da aceleração a(t). De 
acordo com essas informações e com seus conhecimentos sobre derivação, 
analise as afirmativas a seguir: 
I. A derivada de f(x)*g(x) é igual a 2sen(2x) − cos(x). 
II. A derivada de h(x) é h’(x) = sen(2x). 
III. f’(x) = −cos(x), pois a derivada de cos(x) é −sen(x). 
IV. A derivada de i(x) é i’(x) = 3x² + 2sen(2x) + 9sen(3x). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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1. 
I, II, III. 
2. 
I, II, III. 
3. 
III e IV. 
4. 
I, III e IV. 
Resposta correta 
5. 
II e IV. 
3. Pergunta 3 
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O conhecimento acerca dos métodos de derivação é muito útil para 
encontrar retas tangentes e taxas de variações. Derivar funções 
trigonométricas é fundamental para o prosseguimento dos estudos no 
Cálculo, já que existem diversas aplicações reais dos conceitos aprendidos 
nesta disciplina, como na modelagem de sistemas harmônicos simples e de 
correntes alternadas, por exemplo. 
Considerando essas informações e com base nos seus conhecimentos acerca 
das derivadas trigonométricas, associe as funções a seguir com suas 
respectivas características: 
1) f(x) = sen(x). 
2) f(x) = cos(x). 
3) f(x) = tg(x). 
4) f(x) = sec(x). 
( ) Sua derivada segunda é f(x)*(-1). 
( ) Sua derivada é 
( ) Sua derivada terceira é sen(x). 
( ) Sua derivada é sec²(x). 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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1. 
2, 1, 3, 4. 
2. 
4, 2, 1, 3. 
3. 
1, 3, 2, 4. 
4. 
1, 4, 2, 3. 
Resposta correta 
5. 
4, 1, 2, 3. 
4. Pergunta 4 
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O estudo das derivadas permitiu a compreensão de como se dá a inclinação 
de uma reta tangente a uma curva em um determinado ponto e qual a taxa 
de variação instantânea referente a ele. Somado a isso, em algumas 
situações é preferível que, ao se saber a derivada de uma função 
desconhecida, realize-se a operação inversa a ela, para se descobrir a função 
que a gerou, chamada função primitiva ou antiderivada. 
Considerando essas informações e tendo em vista o conteúdo estudado 
sobre integrais indefinidas e antiderivadas, analise as afirmativas a seguir. 
I. Se uma função F’(x) = f(x), diz-se que F(x) é uma antiderivada de f(x). 
II. Tomando determinada função, pressupõe-se que esta função tem uma 
antiderivada. 
III. é uma representação notacional de uma integral indefinida. 
IV. é uma propriedade de uma integral definida. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I e III. 
Resposta correta 
2. 
II e III. 
3. 
I e IV. 
4. 
I, III e IV. 
5. 
II, III e IV. 
5. Pergunta 5 
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O estudo do cálculo é importante em diversas áreas do conhecimento. Por 
exemplo, em física, é utilizado para descrever as equações horárias de 
movimento, que são funções polinomiais. Essas funções polinomiais podem 
ser integradas e derivadas conforme o estudo de cálculo integral para, a 
partir daí, obter outros conhecimentos. 
Considere que a integral da equação horária da aceleração a(t) é igual à 
equação horária da velocidade v(t), e a integral desta é igual à equação 
horária do movimento S(t). Considerando essas informações e o conteúdo 
estudado sobre derivação, analise as afirmativas a seguir. 
I. Em movimentos em que a(t) é uma função constante e não nula, S(t) é 
uma função do primeiro grau. 
II. Para a função horária S(t) = cos(x), a aceleração a(t) também é a(t) = 
cos(x). 
III. Se a velocidade de um corpo é de 4 m/s e constante, pode-se afirmar que 
S(t) é uma função do primeiro grau. 
IV. Dada a equação horária da posição S(t) = x² + 2x − 3, tem-se que v(2) = 
6m/s e que a aceleração é constante e vale 2m/s². 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I, II e IV. 
2. 
II e IV. 
3. Incorreta: 
II, III. 
4. 
I, II, III. 
5. 
III e IV. 
Resposta correta 
6. Pergunta 6 
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O estudo do cálculo diferencial e integral é repleto de interpretações 
geométricas acerca das curvas de funções. A inclinação da reta tangente à 
curva é definida pela derivada da função, e a integral da função mensura a 
área abaixo da curva que a descreve. 
Considerando as funções f(x) = 2x + 2, g(x) = x²−2x+1, h(x) = sen(x), e com 
base nos seus conhecimentos acerca de funções e interpretação geométrica 
dos conceitos estudados em cálculo diferencial e integral, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) 
falsa(s). 
I. ( ) A inclinação da reta tangente à curva do gráfico de f(x) em qualquer 
ponto é igual a 2. 
II. ( ) A integral de g(x) no intervalo de 0 a 2 equivale à área definida pelo 
eixo Ox, pelas retas y = 0, y = 2 e pelo gráfico de g(x). 
III. ( ) h(x) é uma função. 
IV. ( ) Adotando z(x) = g(x) + h(x), z(x), ainda seria integrável. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, V, V, F. 
2. 
V, F, V, F. 
3. 
F, F, V, V. 
4. 
V, F, V, V. 
Resposta correta 
5. 
V, V, F, F. 
7. Pergunta 7 
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A Regra de L’Hospital contribui para a solução de algumas categorias de 
indeterminações. Com essa regra tenta-se resolver o que não é solucionável 
apenas com a aplicação de um limite. Ela pode ser aplicada, também, 
inúmeras vezes, caso as indeterminações se mantenham, até o momento em 
que cessam. 
Considerando essas informações e com base em seus conhecimentos sobre 
a regra de L’Hospital, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s): 
I. ( ) Indeterminações do tipo 1/0 podem ser resolvidas por essa regra. 
II. ( ) Em determinações do tipo 0/0, pode-se utilizar a regra de L’Hospital. 
III. ( ) Em determinações do tipo infinito/infinito, pode-se utilizar a regra de 
L’Hospital. 
IV. ( ) A sua aplicação envolve um processo de integralização. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, V, F, V. 
2. 
F, F, V, V. 
3. 
V, V, V, F. 
4. 
F, F, F, V. 
5. 
F, V, V, F. 
Resposta correta 
8. Pergunta 8 
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De acordo com Teorema Fundamental do Cálculo, sabemos que a integral e 
a derivada são operações contrárias. As integrais indefinidas são 
extremamente importantes para a determinação da função primitiva F(x), 
que é obtida realizando a integração da função de interesse f(x), sendo que, 
da mesma forma, derivando-se a primitiva F(x), obtemos novamente a f(x). 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de integrais 
definidas, analiseas afirmativas a seguir. 
I. A propriedade define uma regra para integração de polinômios. 
II. As integrais indefinidas podem delimitar várias famílias de respostas 
para o problema de função primitiva. 
III. Uma integral indefinida é delimitada a partir de uma função primitiva. 
IV. é um exemplo de integral definida. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
II e III. 
2. 
I, II e III. 
Resposta correta 
3. 
I, III e IV. 
4. 
II, III e IV. 
5. 
I e IV. 
9. Pergunta 9Crédito total dado 
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No estudo de funções compostas, percebemos que é possível a imagem de 
uma função ser o domínio de outra, e a notação que temos para descrever 
esse tipo de funções é H(x) = f(g(x)). Vimos ao longo do curso que existe 
uma regra para derivar esse tipo de função, chamada regra da cadeia, em 
que derivamos f(g(x)), considerando o argumento g(x) constante, e 
multiplicamos pela derivada de g(x), isto é, H’(x) = f’(g(x))*g’(x). 
Dadas as funções f(x) = sen(5x+2) e g(x) = 3cos(2x+5) e utilizando seus 
conhecimentos sobre derivadas de funções circulares, analise as afirmativas 
a seguir: 
I. A derivada de g(x) é igual a 6sen(2x+5). 
II. A função H(x) = z(w(x)), onde z(x) = sen(x) e w(x) = cos(2x), tem 
derivada H’(x) = −sen(2x)*cos(cos(2x)). 
III. A derivada de f(x) é igual a 5sen(5x+2)*cos(x). 
IV. A derivada de f(f(x)) é igual a −6sen(2x)*cos(3cos(2x) + 5). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
II e IV 
2. 
II, III e IV. 
3. 
I e IV. 
Resposta correta 
4. 
I e III. 
5. 
II e III. 
10. Pergunta 10 
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Ao estudar cálculo diferencial e integral, vemos que essas duas operações 
são inversas. Ou seja, tendo uma função f(x), a integral de sua derivada f’(x) 
é a própria f(x). A esta constatação damos o nome de Teorema Fundamental 
do Cálculo. Já fisicamente, a derivada significa uma taxa de variação, ou seja, 
um coeficiente angular de uma reta tangente à curva em um dado ponto da 
função, enquanto a integral representa a área sob a curva do gráfico da 
função em um intervalo definido. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o Teorema 
Fundamental do Cálculo e as propriedades de derivação e integração, 
analise as afirmativas a seguir. 
I. A integral da terceira derivada de i(x) = e^(2x) + 3x² + sen(x) é igual a 
4e^(2x) + 6 − sen(x). 
II. Ao integrarmos oito vezes a função g(x) = x³ + 2 e, após isso, derivarmos 
a expressão obtida por 9 vezes, obtemos uma nova função que intercepta o 
gráfico na origem. 
III. A derivada de h(x) = cos(2x) é igual a −4sen(x)cos(x). 
IV. A integral da função f(x) = x² + 2x + 1 é igual a x³ + 2x² + x. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. Incorreta: 
I e II. 
2. 
I e III. 
3. 
II e IV. 
4. 
I, II e III. 
Resposta correta 
5. 
II e III.