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Regra da cadeia APRESENTAÇÃO As funções podem ser usadas para representar fenômenos observáveis, como, por exemplo, funções que descrevem movimentações de objetos. As variáveis usadas nessas funções podem ser dependentes de outras variáveis, como, por exemplo, o cálculo de forças que dependem do atrito, em que o atrito depende da velocidade do sistema em questão. Nesses casos, têm-se as chamadas funções compostas. Essas funções podem ser deriváveis, e, para encontrar suas derivadas, é preciso usar uma regra especial: a regra da cadeia. Para que você possa acompanhar adequadamente esta unidade, é necessário estar familiarizado com funções, funções compostas e derivada. Nesta Unidade de Aprendizagem, você aprenderá a identificar fenômenos que podem ser modelados por funções compostas e a encontrar as suas derivadas a partir da regra da cadeia e de suas aplicações. Bons estudos. Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados: Identificar fenômenos naturais que envolvam funções compostas.• Descrever o fenômeno natural como composta de funções.• Aplicar a regra da cadeia na derivação de compostas de funções.• DESAFIO As funções compostas estão presentes em todos os lugares. Afinal, tudo se interconecta e se relaciona entre si, como o preço no taxímetro, que depende da quilometragem rodada, que depende do tempo do trajeto, ou como em calorimetria, em que a quantidade de calor recebida depende da capacidade térmica da substância, que depende da massa da substância; e assim por diante. Na completude do entendimento de funções, estão as suas derivadas, e, no caso das funções compostas, é preciso usar um método conhecido como regra da cadeia para encontrar suas derivadas. Suponha que você seja um artista plástico e esteja construindo uma escultura. Para decidir os melhores tamanhos esteticamente, você precisará realizar alguns cálculos: Com base nessas informações, responda: A) Qual é a área da base superior? B) Escreva a área da base inferior em função de suas laterais b, ou seja, AB(b). C) Qual é a variação do volume em relação à área da base, ou seja, ? D) Escreva a função composta do volume em relação às laterais b, ou seja, V(AB(b)). E) Qual é a variação de V por b, ou seja, ? Use a definição de regra da cadeia e, depois, derive diretamente da função encontrada no item D. INFOGRÁFICO As derivadas de funções compostas são geralmente utilizadas em estudos de funções, e a metodologia usada é a conhecida regra da cadeia. Embora muito utilizada, há maneiras diferentes de representá-la, o que facilita seu uso. Veja, no Infográfico, as diferentes formas de utilizar a regra da cadeia. CONTEÚDO DO LIVRO A regra da cadeia é a metodologia usada para se encontrar a derivada de funções compostas. Ela é muito importante, pois existe grande diversidade de funções compostas com aplicações práticas, como, por exemplo, para modelar fenômenos observáveis. No capítulo Regra da cadeia, do livro Cálculo: limites de funções de uma variável e derivadas, você verá a relação entre funções compostas e fenômenos modeláveis e como usar a regra da cadeia para a derivação dessas funções. Boa leitura. CÁLCULO: LIMITES DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL E DERIVADAS Mariana Sacrini Ayres Ferraz Regra da cadeia Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados: � Identificar fenômenos naturais que envolvam funções compostas. � Descrever o fenômeno natural como função composta. � Aplicar a regra da cadeia na derivação de funções compostas. Introdução Muitas das funções que utilizamos para resolver problemas são com- postas. Afinal, muitas variáveis dependem de outras em problemas reais. Assim, para entendermos essas funções mais profundamente, é necessário compreender suas derivadas. Para tal, deve-se utilizar a regra da cadeia. Neste capítulo, você verá como aplicar as funções compostas em problemas reais, descrever um fenômeno natural como função composta, além de aplicar a regra da cadeia na derivação desse tipo de funções. Fenômenos naturais e funções compostas Funções compostas estão presentes em diversas modelagens de fenômenos que observamos, como em equações que descrevem a movimentação de um projétil ou a energia cinética de um automóvel. Coloquialmente, podemos dizer que uma função composta é aquela em que a variável independente é substituída por alguma função. Veja o seguinte exemplo, supondo as duas funções: f(x) = x3 e g(x) = x + 10. Agora, vamos substituir o x de f(x) por g(x). A nova função obtida é a função composta: f(g(x)) = (x + 10)3 A definição formal para função composta está apresentada na Figura 1, a seguir (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014). Figura 1. Definição de função composta. Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 17). Sejam f(x) = x3 + 2 e , encontre (fog)(x) e (gof )(x). Para encontrarmos (fog)(x), escrevemos que: Agora, para (gof )(x), escrevemos que: Note que as funções compostas (fog)(x) e (gof )(x), em geral, não resultam em funções iguais. A ordem da composição gera resultados diferentes. No caso particular em que a função g for a inversa de f, temos que (fog) = (gof ). Regra da cadeia2 Como comentado no início da seção, muitos fenômenos podem ser mode- lados por meio do uso de funções compostas. Geralmente, esses fenômenos apresentam variáveis independentes para uma função que é dependente de outra variável. Por exemplo, no caso de associação de molas, a força elástica produzida por uma mola pode ser descrita como: F = kx onde x é o deslocamento, e k é a constante da mola. No caso da associação de molas, conforme Figura 2, a constante k é substituída por o que chamamos de constante efetiva da mola. Então, temos que: k = 2k' A nova função composta passa a ser: F = 2k'x Figura 2. Associação de molas em paralelo. Fonte: Adaptada de Bocafoli (2019). A partir do exemplo anterior, você pode perceber que muitos outros fenô- menos podem ser modelados como funções compostas. 3Regra da cadeia Fenômeno natural como função composta Funções compostas, como vimos, são usadas para descrever diversos fenô- menos naturais que podemos observar – não só as funções, como também as suas derivadas. Nesta seção, veremos um exemplo de modelagem usando as funções compostas e suas derivadas. Suponha um veículo que faça 20 km por litro de combustível. Nesse caso, temos que a quilometragem alcançada é uma função da quantidade de litros que o tanque do carro contém. Digamos que a quilometragem seja y, e a quantidade de litros seja u, então y = f(u). Agora, suponha que cada litro de combustível custe 4 reais. A quantidade de litros de combustível é uma função do valor gasto para a sua compra. Digamos que o valor gasto em reais seja x, assim, temos que u = g(x). Portanto, a quantidade de quilômetros que o carro anda em relação ao valor gasto é uma função composta: y = f(u) = f(g(x)). Agora, pensemos em termos de taxas de variação: temos que 20 km por litro é a taxa de variação da quilometragem pela quantidade em litros de combustível. Ou seja: Da mesma maneira, 4 reais por litro resultam em uma taxa de variação da quantidade de combustível em litros por preço do combustível de 1/4. Ou seja: Suponha que você está interessado em saber a quilometragem rodada pelo carro por real pago. Essa taxa é equivalente à dy/dx. Intuitivamente, podemos escrever que: Regra da cadeia4 ou seja: A Figura 3, a seguir, mostra um resumo do problema, cujo procedimento é chamado de regra da cadeia. Figura 3. Variação do custo do percurso de um veículo. Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 174). Nesta seção, você viu mais um exemplo de modelagem usando as funções compostas e suas derivadas. A generalização desse exemplo para qualquer função será apresentada a seguir. 5Regra da cadeia Aplicação da regra da cadeia A regra da cadeia é utilizada para derivarmos funções compostas, conforme Figura 4, aseguir. Figura 4. Regra da cadeia. Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 174). Suponha que v = cos(x) e x = t2 + 3t – 4. Encontre dv/dt. Segundo a definição da regra da cadeia, temos que: Como queremos v em relação a t, substituímos a função em x. Assim: Regra da cadeia6 Até agora, vimos exemplos cujas funções estavam definidas separadamente. Todavia, nem sempre os problemas serão apresentados dessa maneira. Veja o seguinte exemplo. Dada a função y = cos(x4 + 2), encontre dy/dx. Nesse caso, podemos considerar que u = x4 + 2, e y = cos(u). Assim, podemos escrever que: Portanto: Uma maneira alternativa de pensar a regra da cadeia é a seguinte: 7Regra da cadeia Essa reformulação pode ser interpretada da seguinte maneira: a derivada da composta é a derivada da função “de fora” multiplicada pela função “de dentro”. No caso do último exemplo, a função “de fora” é o cosseno, enquanto a “de dentro” é x4 + 2. Assim, poderíamos escrever que: Essa maneira de escrever a regra da cadeia facilita a resolução, principal- mente se tivermos diversas variáveis ou funções compostas mais complexas. Dada a função , encontre . Usando a maneira alternativa de pensar a regra da cadeia, temos que: Portanto: Regra da cadeia8 Existe, ainda, uma terceira maneira de escrever a regra da cadeia. Usando u = g(x), a fórmula generalizada da derivada da função f é dada por: A Figura 5, a seguir, mostra alguns exemplos de derivadas generalizadas para a função potência e as trigonométricas. Figura 5. Fórmula generalizada da derivada de algumas f(u). Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 176). Encontre a derivada da função y = sen(2x). Usando as fórmulas generalizadas, encontramos que: 9Regra da cadeia Portanto: O nome “cadeia”, em regra da cadeia, refere-se à “corrente”, a qual mais links podem ser adicionados. Por exemplo, se tivermos y = f(u), u = g(x), e x = h(t), nas quais f, g e h são diferenciáveis, a derivada de y em relação a t é (STEWART, 2008): Ou seja, a cada nova função, um novo link é adicionado à derivada. Veja o exemplo a seguir: Note que, nesse exemplo, a regra da cadeia foi usada duas vezes. Regra da cadeia10 ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 2 v. 1352 p. BOCAFOLI, F. Associação de molas. Física e Vestibular: aulas grátis de física, [S. l.], 2019. Disponível em: http://fisicaevestibular.com.br/novo/mecanica/dinamica/mhs/asso- ciacao-de-molas/. Acesso em: 2 out. 2019. STEWART, J. Single variable calculus: early transcendentals. 6. ed. Belmont: Thomson Brooks/Cole, 2008. 912 p. 11Regra da cadeia DICA DO PROFESSOR A regra da cadeia é muito utilizada dentro da área de cálculo e é extremamente importante para encontrar taxas de variação de funções compostas. Veja, na Dica do Professor, uma aplicação da regra da cadeia. Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino! EXERCÍCIOS 1) As funções nem sempre são simples. Muitas vezes, as variáveis independentes de uma delas, na verdade, são dependentes de outra variável. Suponha as seguintes funções: y = x 2 e x = 2t+1 . Encontre: A) 8t + 4. B) 8t2 + 4. C) 2x. D) 2x +1. E) 4t + 2. 2) Nas funções compostas, as variáveis independentes são substituídas por alguma função. Encontre a derivada da seguinte função: y = tg (x 3 +20): A) (3x2 +20) sec2 (x3 +20). B) x2 sec2 (x3 +20). C) 3x2 sec2 (x3 +20). D) 3x2 sec2 (x3). E) 3x2 sec2 (x). 3) Para resolvermos a derivada de funções compostas, é necessária a utilização da regra da cadeia. Dada a função y = (1+x cos(x)) -5 , encontre: A) -5 (1+x cos(x)) -6 . B) 5 (1+x cos(x)) -6 (cos(x)). C) -5 (1+x cos(x)) -6 (-x cos(x)). D) -5 (1+x cos(x)) -5 (-x cos(x)). E) -5 (1+x cos(x)) -6 (-x sen(x)+cos(x)). Suponha que a aceleração de um objeto seja dada por em m/s2, onde v é a velocidade, a qual é dada por v = 50+2t2 m/s. 4) Qual a taxa de variação da aceleração pelo tempo em m/s3, conhecida como arranque? A) 100t + 4t 2 . B) 100t + 4t3. C) 200t + 8t3. D) 50t + 4t3. E) 50t + 8t3. 5) As funções trigonométricas também são utilizadas nas funções compostas. Encontre a derivada da seguinte função: . A) B) C) D) E) NA PRÁTICA As derivadas de funções compostas são encontradas usando-se a regra da cadeia, a qual permite visualizar as taxas de variação dessas funções. Dentro desse contexto, há muitas aplicações que podem se beneficiar desse cálculo, como, por exemplo, encontrar as relações entre taxas de variações entre diferentes variáveis dependentes. Acompanhe, Na Prática, Henrique, um taxista que pretende determinar quanto varia o taxímetro em função dos litros de combustível utilizados. SAIBA MAIS Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor: Funções compostas Neste link, você acessa o conteúdo de uma aula sobre como as funções compostas são uma maneira de se combinar funções. Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino! Regra da cadeia Neste vídeo, você assiste a uma explicação sobre a regra da cadeia, muito utilizada para encontrar a derivada de funções compostas. Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino! Regra da cadeia para derivar função composta Neste vídeo, você acompanha a resolução de um exercício utilizando a regra da cadeia. Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino! Lista de Exercícios Para aprender a regra da cadeia, é importante que você treine fazendo diversos exercícios. Para tanto, baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as questões. Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
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