REGRA DE CADEIA

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Regra da cadeia
APRESENTAÇÃO
As funções podem ser usadas para representar fenômenos observáveis, como, por exemplo, 
funções que descrevem movimentações de objetos. As variáveis usadas nessas funções podem 
ser dependentes de outras variáveis, como, por exemplo, o cálculo de forças que dependem do 
atrito, em que o atrito depende da velocidade do sistema em questão. Nesses casos, têm-se as 
chamadas funções compostas. Essas funções podem ser deriváveis, e, para encontrar suas 
derivadas, é preciso usar uma regra especial: a regra da cadeia.
Para que você possa acompanhar adequadamente esta unidade, é necessário estar familiarizado 
com funções, funções compostas e derivada.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você aprenderá a identificar fenômenos que podem ser 
modelados por funções compostas e a encontrar as suas derivadas a partir da regra da cadeia e 
de suas aplicações.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Identificar fenômenos naturais que envolvam funções compostas.•
Descrever o fenômeno natural como composta de funções.•
Aplicar a regra da cadeia na derivação de compostas de funções.•
DESAFIO
As funções compostas estão presentes em todos os lugares. Afinal, tudo se interconecta e se 
relaciona entre si, como o preço no taxímetro, que depende da quilometragem rodada, que 
depende do tempo do trajeto, ou como em calorimetria, em que a quantidade de calor recebida 
depende da capacidade térmica da substância, que depende da massa da substância; e assim por 
diante. 
Na completude do entendimento de funções, estão as suas derivadas, e, no caso das funções 
compostas, é preciso usar um método conhecido como regra da cadeia para encontrar suas 
derivadas.
Suponha que você seja um artista plástico e esteja construindo uma escultura. Para decidir os 
melhores tamanhos esteticamente, você precisará realizar alguns cálculos:
Com base nessas informações, responda:
A) Qual é a área da base superior?
B) Escreva a área da base inferior em função de suas laterais b, ou seja, AB(b).
C) Qual é a variação do volume em relação à área da base, ou seja, ?
D) Escreva a função composta do volume em relação às laterais b, ou seja, V(AB(b)).
E) Qual é a variação de V por b, ou seja, ? Use a definição de regra da cadeia e, depois, 
derive diretamente da função encontrada no item D. 
INFOGRÁFICO
As derivadas de funções compostas são geralmente utilizadas em estudos de funções, e 
a metodologia usada é a conhecida regra da cadeia. Embora muito utilizada, há maneiras 
diferentes de representá-la, o que facilita seu uso.
Veja, no Infográfico, as diferentes formas de utilizar a regra da cadeia.
CONTEÚDO DO LIVRO
A regra da cadeia é a metodologia usada para se encontrar a derivada de funções compostas. Ela 
é muito importante, pois existe grande diversidade de funções compostas com aplicações 
práticas, como, por exemplo, para modelar fenômenos observáveis. 
No capítulo Regra da cadeia, do livro Cálculo: limites de funções de uma variável e derivadas, 
você verá a relação entre funções compostas e fenômenos modeláveis e como usar a regra da 
cadeia para a derivação dessas funções. 
Boa leitura.
CÁLCULO: LIMITES 
DE FUNÇÕES DE 
UMA VARIÁVEL E 
DERIVADAS
Mariana Sacrini Ayres Ferraz
Regra da cadeia
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Identificar fenômenos naturais que envolvam funções compostas.
 � Descrever o fenômeno natural como função composta.
 � Aplicar a regra da cadeia na derivação de funções compostas.
Introdução
Muitas das funções que utilizamos para resolver problemas são com-
postas. Afinal, muitas variáveis dependem de outras em problemas reais. 
Assim, para entendermos essas funções mais profundamente, é necessário 
compreender suas derivadas. Para tal, deve-se utilizar a regra da cadeia. 
Neste capítulo, você verá como aplicar as funções compostas em 
problemas reais, descrever um fenômeno natural como função composta, 
além de aplicar a regra da cadeia na derivação desse tipo de funções. 
Fenômenos naturais e funções compostas
Funções compostas estão presentes em diversas modelagens de fenômenos que 
observamos, como em equações que descrevem a movimentação de um projétil 
ou a energia cinética de um automóvel. Coloquialmente, podemos dizer que 
uma função composta é aquela em que a variável independente é substituída 
por alguma função. Veja o seguinte exemplo, supondo as duas funções:
f(x) = x3 e g(x) = x + 10.
Agora, vamos substituir o x de f(x) por g(x). A nova função obtida é a 
função composta:
f(g(x)) = (x + 10)3
A definição formal para função composta está apresentada na Figura 1, 
a seguir (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014).
Figura 1. Definição de função composta.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 17).
Sejam f(x) = x3 + 2 e , encontre (fog)(x) e (gof )(x).
Para encontrarmos (fog)(x), escrevemos que:
Agora, para (gof )(x), escrevemos que:
Note que as funções compostas (fog)(x) e (gof )(x), em geral, não resultam em funções 
iguais. A ordem da composição gera resultados diferentes. No caso particular em que 
a função g for a inversa de f, temos que (fog) = (gof ).
Regra da cadeia2
Como comentado no início da seção, muitos fenômenos podem ser mode-
lados por meio do uso de funções compostas. Geralmente, esses fenômenos 
apresentam variáveis independentes para uma função que é dependente de 
outra variável. Por exemplo, no caso de associação de molas, a força elástica 
produzida por uma mola pode ser descrita como:
F = kx
onde x é o deslocamento, e k é a constante da mola. No caso da associação de 
molas, conforme Figura 2, a constante k é substituída por o que chamamos 
de constante efetiva da mola. Então, temos que: 
k = 2k'
A nova função composta passa a ser:
F = 2k'x
Figura 2. Associação de molas em paralelo.
Fonte: Adaptada de Bocafoli (2019).
A partir do exemplo anterior, você pode perceber que muitos outros fenô-
menos podem ser modelados como funções compostas. 
3Regra da cadeia
Fenômeno natural como função composta
Funções compostas, como vimos, são usadas para descrever diversos fenô-
menos naturais que podemos observar – não só as funções, como também as 
suas derivadas. Nesta seção, veremos um exemplo de modelagem usando as 
funções compostas e suas derivadas.
Suponha um veículo que faça 20 km por litro de combustível. Nesse caso, 
temos que a quilometragem alcançada é uma função da quantidade de litros 
que o tanque do carro contém. Digamos que a quilometragem seja y, e a 
quantidade de litros seja u, então y = f(u). Agora, suponha que cada litro de 
combustível custe 4 reais. A quantidade de litros de combustível é uma função 
do valor gasto para a sua compra. Digamos que o valor gasto em reais seja x, 
assim, temos que u = g(x). Portanto, a quantidade de quilômetros que o carro 
anda em relação ao valor gasto é uma função composta:
y = f(u) = f(g(x)).
Agora, pensemos em termos de taxas de variação: temos que 20 km por 
litro é a taxa de variação da quilometragem pela quantidade em litros de 
combustível. Ou seja:
Da mesma maneira, 4 reais por litro resultam em uma taxa de variação da 
quantidade de combustível em litros por preço do combustível de 1/4. Ou seja:
Suponha que você está interessado em saber a quilometragem rodada pelo 
carro por real pago. Essa taxa é equivalente à dy/dx. Intuitivamente, podemos 
escrever que:
Regra da cadeia4
ou seja:
A Figura 3, a seguir, mostra um resumo do problema, cujo procedimento 
é chamado de regra da cadeia.
Figura 3. Variação do custo do percurso de um veículo.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 174).
Nesta seção, você viu mais um exemplo de modelagem usando as funções 
compostas e suas derivadas. A generalização desse exemplo para qualquer 
função será apresentada a seguir.
5Regra da cadeia
Aplicação da regra da cadeia
A regra da cadeia é utilizada para derivarmos funções compostas, conforme 
Figura 4, aseguir.
Figura 4. Regra da cadeia.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 174).
Suponha que v = cos(x) e x = t2 + 3t – 4. Encontre dv/dt.
Segundo a definição da regra da cadeia, temos que:
Como queremos v em relação a t, substituímos a função em x. Assim:
Regra da cadeia6
Até agora, vimos exemplos cujas funções estavam definidas separadamente. 
Todavia, nem sempre os problemas serão apresentados dessa maneira. Veja 
o seguinte exemplo.
Dada a função y = cos(x4 + 2), encontre dy/dx.
Nesse caso, podemos considerar que u = x4 + 2, e y = cos(u). Assim, podemos escrever 
que:
Portanto:
Uma maneira alternativa de pensar a regra da cadeia é a seguinte:
7Regra da cadeia
Essa reformulação pode ser interpretada da seguinte maneira: a derivada 
da composta é a derivada da função “de fora” multiplicada pela função “de 
dentro”. No caso do último exemplo, a função “de fora” é o cosseno, enquanto 
a “de dentro” é x4 + 2. Assim, poderíamos escrever que:
Essa maneira de escrever a regra da cadeia facilita a resolução, principal-
mente se tivermos diversas variáveis ou funções compostas mais complexas. 
Dada a função , encontre .
Usando a maneira alternativa de pensar a regra da cadeia, temos que:
Portanto:
Regra da cadeia8
Existe, ainda, uma terceira maneira de escrever a regra da cadeia. Usando 
u = g(x), a fórmula generalizada da derivada da função f é dada por:
A Figura 5, a seguir, mostra alguns exemplos de derivadas generalizadas 
para a função potência e as trigonométricas.
Figura 5. Fórmula generalizada da derivada de algumas f(u).
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 176).
Encontre a derivada da função y = sen(2x).
Usando as fórmulas generalizadas, encontramos que:
9Regra da cadeia
Portanto:
O nome “cadeia”, em regra da cadeia, refere-se à “corrente”, a qual mais links podem 
ser adicionados.
Por exemplo, se tivermos y = f(u), u = g(x), e x = h(t), nas quais f, g e h são diferenciáveis, 
a derivada de y em relação a t é (STEWART, 2008):
Ou seja, a cada nova função, um novo link é adicionado à derivada. Veja o exemplo 
a seguir:
Note que, nesse exemplo, a regra da cadeia foi usada duas vezes.
Regra da cadeia10
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 2 v. 1352 p.
BOCAFOLI, F. Associação de molas. Física e Vestibular: aulas grátis de física, [S. l.], 2019. 
Disponível em: http://fisicaevestibular.com.br/novo/mecanica/dinamica/mhs/asso-
ciacao-de-molas/. Acesso em: 2 out. 2019. 
STEWART, J. Single variable calculus: early transcendentals. 6. ed. Belmont: Thomson 
Brooks/Cole, 2008. 912 p.
11Regra da cadeia
DICA DO PROFESSOR
A regra da cadeia é muito utilizada dentro da área de cálculo e é extremamente importante para 
encontrar taxas de variação de funções compostas.
Veja, na Dica do Professor, uma aplicação da regra da cadeia.
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EXERCÍCIOS
1) As funções nem sempre são simples. Muitas vezes, as variáveis independentes de uma 
delas, na verdade, são dependentes de outra variável.
Suponha as seguintes funções: y = x
2
 e x = 2t+1 . Encontre: 
A) 8t + 4.
B) 8t2 + 4.
C) 2x.
D) 2x +1.
E) 4t + 2.
2) Nas funções compostas, as variáveis independentes são substituídas por alguma 
função.
Encontre a derivada da seguinte função: y = tg (x
3
+20):
A) (3x2 +20) sec2 (x3 +20).
B) x2 sec2 (x3 +20).
C) 3x2 sec2 (x3 +20).
D) 3x2 sec2 (x3).
E) 3x2 sec2 (x).
3) Para resolvermos a derivada de funções compostas, é necessária a utilização da regra 
da cadeia. 
 Dada a função y = (1+x cos(x))
-5
, encontre:
A) -5 (1+x cos(x))
-6
.
B) 5 (1+x cos(x))
-6
(cos(x)).
C) -5 (1+x cos(x))
-6
(-x cos(x)).
D) -5 (1+x cos(x))
-5
(-x cos(x)).
E) -5 (1+x cos(x))
-6
(-x sen(x)+cos(x)).
Suponha que a aceleração de um objeto seja dada por em m/s2, onde v é 
a velocidade, a qual é dada por v = 50+2t2 m/s.
4) 
Qual a taxa de variação da aceleração pelo tempo em m/s3, conhecida como 
arranque?
A) 100t + 4t 2 . 
B) 100t + 4t3. 
C) 200t + 8t3. 
D) 50t + 4t3. 
E) 50t + 8t3. 
5) As funções trigonométricas também são utilizadas nas funções compostas. 
Encontre a derivada da seguinte função: .
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
NA PRÁTICA
As derivadas de funções compostas são encontradas usando-se a regra da cadeia, a qual permite 
visualizar as taxas de variação dessas funções. Dentro desse contexto, há muitas aplicações que 
podem se beneficiar desse cálculo, como, por exemplo, encontrar as relações entre taxas de 
variações entre diferentes variáveis dependentes.
Acompanhe, Na Prática, Henrique, um taxista que pretende determinar quanto varia o taxímetro 
em função dos litros de combustível utilizados.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Funções compostas
Neste link, você acessa o conteúdo de uma aula sobre como as funções compostas são uma 
maneira de se combinar funções.
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Regra da cadeia
Neste vídeo, você assiste a uma explicação sobre a regra da cadeia, muito utilizada para 
encontrar a derivada de funções compostas.
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Regra da cadeia para derivar função composta
Neste vídeo, você acompanha a resolução de um exercício utilizando a regra da cadeia.
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Lista de Exercícios
Para aprender a regra da cadeia, é importante que você treine fazendo diversos exercícios. Para 
tanto, baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as questões.
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