Relatorio Fenotran Exp2 (2)

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DETERMINAÇÃO DA VARIAÇÃO DA TEMPERATURA COM O TEMPO NO CENTRO DE DIFERENTES FORMAS SÓLIDAS IMERSAS EM FLUIDO A TEMPERATURA CONSTANTE
Disciplina: Fenômeno de Transporte Experimental
Professor: Sérgio Montoro
Turma de 6ª feira - Grupo 1
Ana Laura Ciconi Zuliani
Elias Sant'Ana Ramos 
João Carlos da Silva
Luiz Henrique S. Leite
Renata Jesuina Takahashi
Outubro de 2012
INTRODUÇÃO
Os fenômenos que regem a transferência de calor de um meio para um sólido ou vice-versa podem ser equacionados de diferentes formas, levando em consideração as condições de contorno, se estamos analisando o regime estacionário ou transiente, e também a energia interna acumulada pelo corpo em virtude de sua capacidade calorífica.
Para isto, usamos a equação geral da condução de calor:
 	
Analisando um corpo de geometria simples, ilustrado a seguir temos:
Figura 01: Amostra ilustrada.
Onde a placa infinita de espessura 2L esta inicialmente a uma temperatura Ti. Para tornar a equação mais conveniente, introduzimos a variável 
Com isto temos as condições de contorno:
 				(a)
 			 	(b)
 				 (c)
Admitindo que a solução desta equação tenha a forma , temos duas equações:
Onde é a constante de separação. Para que as condições de contorno sejam satisfeitas é necessário que e a solução tem a forma:
Da condição de contorno (b), . Como não pode ser igual a zero, da condição de contorno (c). Concluímos que 2L.h=0, ou seja:
Esta equação pode ser reconhecida como uma expansão em série de senos Fourier com a constante determinada na condição inicial (a): 
A solução final é, então:
Análise do regime transiente pelo método dos parâmetros concentrados:
Se considerarmos um corpo suficientemente pequeno, para que a variação de temperatura ao longo de sua estrutura seja quase nula, então a análise do perfil de temperatura do corpo será facilitada.
Isto ocorre devido a menor resistência promovida pela condução interna do corpo, em relação à convecção do fluido em que o sólido esta imerso.
Para que um corpo possa ser analisado desta forma, o fluxo de calor por condução deve ser menor que 10% do fluxo de calor por convecção. Esta análise é feita através do numero de Biot, que é representado por:
Onde: “h” é o valor da convecção do meio, “s” é o valor do volume dividido pela área de contato do sólido com o meio, também chamado de comprimento característico, e “k” é o valor do coeficiente de condução do sólido.
Este número deve ser menor que 0,1 para usar este tipo de análise.
MATERIAS E MÉTODOS
Os materiais utilizados no experimento foram
- Sólidos: Cilindros, Esferas e Placas de Cobre e Alumínio;
- Reservatório preenchido com água aquecida e a temperatura constante;
- Termopar, cronômetro e paquímetro.
As etapas cumpridas no experimento foram:
1º - Mediu-se as dimensões do sólido com o paquímetro; 
2º - Colocou-se o sólido no reservatório com água a temperatura constante;
3º - Foi acoplado o termopar no local adequado do sólido;
4º - Foram efetuadas as leituras de tempo em temperaturas pré-determinadas, registrando o aquecimento do sólido;
5º - A peça foi retirada do fluido e imergida em água gelada para resfriá-la;
6º - Outra peça foi selecionada e repetiu-se o procedimento citado;
7º - Terminados todos os sólidos, repetiu-se o procedimento de aquecimento com todos os sólidos, porém ao fim das medições de tempo as peças foram mantidas no reservatório;
8º - Após as leituras de aquecimento, as peças, que estavam no reservatório, foram colocadas no ambiente para serem resfriadas e foram feitas as leituras da temperatura em intervalos tempo pré-determinados.
RESULTADOS E DISCUSSÂO
Seguem nas tabelas abaixo os valores das dimensões dos sólidos utilizados no experimento, assim como outros parâmetros necessários para a realização dos cálculos. A seguir também estão algumas equações necessárias para o cálculo de certos parâmetros:
Tabela 01: Parâmetros dos corpos de prova de Alumínio.
	Parâmetros
	Cilindro Alumínio
	Placa Alumínio
	Esfera Alumínio
	Diâmetro (m)
	0,048
	-
	0,048
	Altura (m)
	0,150
	0,0102
	-
	Comprimento (m)
	-
	0,150
	-
	Largura (m)
	-
	0,099
	-
	Volume
	0,000274913
	0,00015349
	5,78765E-05
	Área da superfície
	0,02652672
	0,0352164
	0,00723456
	Ls
	0,010363636
	0,004358469
	0,008
	Calor específico (cp)
	900
	900
	900
	Massa específica (ρ)
	2702
	2702
	2702
	K
	237
	237
	237
	h(água)
	1500
	1500
	1500
	Biot
	0,065592635
	0,027585249
	0,050632911
	λ
	0,059518399
	0,141523776
	0,07710338
Tabela 02: Parâmetros dos corpos de prova de Cobre.
	Parâmetros
	Cilindro Cobre
	Placa Cobre
	Esfera Cobre
	Diâmetro (m)
	0,0475
	-
	0,0485
	Altura (m)
	0,15
	0,01
	-
	Comprimento (m)
	-
	0,15
	-
	Largura (m)
	-
	0,099
	-
	Volume (m3)
	0,000266
	0,000149
	5,97E-05
	Área da superfície (m2)
	0,025915
	0,03468
	0,007386
	Ls
	0,010252
	0,004282
	0,008083
	Calor específico (cp)
	385
	385
	385
	Massa específica (ρ)
	8933
	8933
	8933
	K
	401
	401
	401
	h(água)
	1500
	1500
	1500
	Biot
	0,038348
	0,016017
	0,030237
	λ
	0,042543
	0,101856
	0,053956
AQUECIMENTO
Quando a peça é inserida no banho termostático, ela é gradualmente aquecida. Foram feitas medidas do tempo necessário para que as peças atingissem valores pré-determinados de temperatura, e as medidas de tempo foram comparadas com valores teóricos calculados pela equação abaixo:
θt = θ0.e-λ.t e θi = Ti-Tf
θt. [θ0]-1 = e-λ.t		(		-λ.t = ln(θt/θ0)
t = -λ-1.ln(Tt-Tf/T0-Tf)		(		T0 = 28 e Tf = 44
tt = -(λ-1).ln(44-Tt/16)
Os valores pré-determinados de temperatura podem ser vistos abaixo. Os tempos t1 e t2 são as medições feitas no experimento, tmédio é a média entre t1 e t2 e tteórico é o tempo calculado pela equação mostrada acima. O mesmo procedimento do cilindro foi usado nos demais sólidos.
Cilindro de Alumínio
Tabela 03: Tempo de aquecimento do cilindro de Alumínio.
	Temperatura (°C)
	t1(s)
	t2(s)
	tmédio(s)
	tteórico(s)
	%desvio
	28
	0
	0
	0
	0
	0
	29
	2,14
	2,17
	2,155
	1,084
	98,73
	30
	3,6
	4,01
	3,805
	2,244
	69,59
	31
	5,32
	5,71
	5,515
	3,488
	58,08
	32
	7,42
	7,48
	7,45
	4,833
	54,13
	33
	9,25
	9,56
	9,405
	6,295
	49,39
	34
	11,66
	11,72
	11,69
	7,897
	48,03
	35
	13,81
	14,19
	14
	9,667
	44,82
	36
	15,94
	15,93
	15,935
	11,646
	36,82
Placa de Alumínio
Tabela 04: Tempo de aquecimento da placa de Alumínio.
	Temperatura
	t1(s)
	t2(s)
	tmédio(s)
	tteórico(s)
	%desvio
	28
	0
	0
	0
	0
	0,00
	29
	0,39
	1,12
	0,755
	0,456
	65,56
	30
	0,78
	2,17
	1,475
	0,944
	56,33
	31
	1,21
	3,3
	2,255
	1,467
	53,70
	32
	2,56
	4,29
	3,425
	2,033
	68,49
	33
	5,73
	5,36
	5,545
	2,647
	109,44
	34
	8,21
	6,78
	7,495
	3,321
	125,68
	35
	12,1
	7,79
	9,945
	4,065
	144,62
	36
	15,1
	8,84
	11,97
	4,898
	144,40
Esfera de Alumínio
Tabela 05: Tempo de aquecimento da esfera de Alumínio.
	Temperatura
	t1(s)
	t2(s)
	tmédio(s)
	tteórico(s)
	%desvio
	28
	0
	0
	0
	0
	0,00
	29
	4,31
	1,22
	2,765
	0,834
	230,33
	30
	6,15
	2,59
	4,37
	1,732
	152,33
	31
	7,72
	3,95
	5,835
	2,693
	116,67
	32
	9,47
	5,94
	7,705
	3,731
	106,51
	33
	10,87
	7,71
	9,29
	4,859
	91,17
	34
	12,66
	7,71
	10,185
	6,096
	67,08
	35
	14,41
	10,96
	12,685
	7,462
	69,99
	36
	16,21
	13,17
	14,69
	8,989
	63,41
Cilindro de Cobre
Tabela 06: Tempo de aquecimento do cilindro de Cobre.
	Temperatura
	t1(s)
	t2(s)
	tmédio(s)
	tteórico(s)
	%desvio
	28
	0
	0
	0
	0
	0,00
	29
	2,14
	2,62
	2,38
	1,517
	56,89
	30
	4,13
	4,38
	4,255
	3,139
	35,56
	31
	6,09
	6,31
	6,2
	4,88
	27,03
	32
	8,52
	8,79
	8,655
	6,762
	27,99
	33
	11,56
	11,28
	11,42
	8,807
	29,66
	34
	14,18
	14,15
	14,165
	11,048
	28,22
	35
	17,07
	17,14
	17,105
	13,523
	26,48
	36
	20,37
	20,35
	20,36
	16,292
	24,96
Placa de Cobre
Tabela 07: Tempo de aquecimento da placa de Cobre.
	Temperatura
	t1(s)
	t2(s)
	tmédio(s)
	tteórico(s)
	%desvio
	28
	0
	0
	0
	0
	
	29
	0,99
	0,81
	0,9
	0,633
	42,04
	30
	1,7
	1,85
	1,775
	1,31
	35,39
	312,73
	2,91
	2,82
	2,03
	38,33
	32
	3,6
	3,93
	3,765
	2,824
	33,30
	33
	4,47
	5,25
	4,86
	3,678
	32,11
	34
	5,71
	6,35
	6,03
	4,614
	30,68
	35
	7,08
	7,81
	7,445
	5,65
	31,80
	36
	8,76
	9,25
	9,005
	6,805
	32,33
Esfera de Cobre
Tabela 08: Tempo de aquecimento da esfera de Cobre.
	Temperatura
	t1(s)
	t2(s)
	tmédio(s)
	tteórico(s)
	%desvio
	28
	0
	0
	0
	0
	0,00
	29
	1,13
	1,53
	1,33
	1,196
	11,19
	30
	2,14
	2,89
	2,515
	2,474
	1,62
	31
	3,61
	4,33
	3,97
	3,848
	3,16
	32
	4,93
	6,06
	5,495
	5,331
	3,06
	33
	6,39
	8,26
	7,325
	6,944
	5,48
	34
	8
	10,05
	9,025
	8,71
	3,61
	35
	9,59
	12,39
	10,99
	10,66
	3,06
	36
	11,77
	12,47
	12,12
	12,84
	5,66
RESFRIAMENTO
No processo de resfriamento, as peças que estavam no banho foram colocadas ao ambiente para resfriarem-se, e em intervalos de tempo de 3 minutos a temperatura era registrada. Os valores de temperatura foram comparados a valores teóricos, obtidos pela equação abaixo:
θt = θ0.e-λ.t e θi = Ti-Tf
Tt-Tf = (T0-Tf). e-λ.t		(		 Tt = (T0-Tf). e-λ.t + Tf
Como: T0 = 43 e Tf = 28
Tt = 15. e-λ.t + 28
	
Seguem abaixo mais alguns parâmetros necessários para os cálculos:
Tabela 09: Parâmetros das amostras de Alumínio.
	Parâmetros
	Cilindro Alumínio
	Placa Alumínio
	Esfera Alumínio
	h(ar)
	11,16
	10,91
	13,19
	Biot
	0,000488
	0,000201
	0,000678
	λ
	0,000443
	0,001029
	0,000678
Tabela 10: Parâmetros das amostras de Cobre.
	Parâmetros
	Cilindro Cobre
	Placa Cobre
	Esfera Cobre
	h(ar)
	11,16
	10,91
	13,19
	Biot
	0,000285
	0,000117
	0,000266
	λ
	0,000317
	0,000741
	0,000474
Cilindro de Alumínio
Tabela 11: Tempo de resfriamento do cilindro de Alumínio.
	t(s)
	Tmedido
	Tteórico
	%desvio
	0
	43
	43,00
	0,00
	180
	41
	41,85
	2,03
	360
	39
	40,79
	4,39
	540
	38
	39,81
	4,54
	720
	36
	38,90
	7,46
	900
	34
	38,07
	10,69
	1080
	33
	37,30
	11,52
	1260
	32
	36,58
	12,53
	1440
	31
	35,93
	13,71
Placa de Alumínio
Tabela 12: Tempo de refriamento da placa de Alumínio.
	t(s)
	Tmedido
	Tteórico
	%desvio
	0
	43
	43,00
	0,00
	180
	40
	40,46
	1,15
	360
	38
	38,36
	0,93
	540
	36
	36,61
	1,65
	720
	34
	35,15
	3,27
	900
	32
	33,94
	5,72
	1080
	31
	32,94
	5,88
	1260
	29
	32,10
	9,66
	1440
	29
	31,41
	7,67
Esfera de Alumínio
Tabela 13: Tempo de resfriamento da esfera de Alumínio.
	t(s)
	Tmedido
	Tteórico
	%desvio
	0
	43
	43,00
	0,00
	180
	39
	41,28
	5,52
	360
	37
	39,75
	6,92
	540
	35
	38,40
	8,86
	720
	34
	37,21
	8,62
	900
	32
	36,15
	11,48
	1080
	31
	35,21
	11,96
	1260
	30
	34,38
	12,75
	1440
	29
	33,65
	13,82
Cilindro de Cobre
Tabela 14: Tempo de resfriamento do cilindro de Cobre.
	t(s)
	Tmedido
	Tteórico
	%desvio
	0
	43
	43,00
	0,00
	180
	41
	42,17
	2,77
	360
	40
	41,38
	3,34
	540
	39
	40,64
	4,04
	720
	38
	39,94
	4,85
	900
	37
	39,28
	5,80
	1080
	36
	38,65
	6,86
	1260
	35
	38,06
	8,04
	1440
	34
	37,50
	9,34
Placa de Cobre
Tabela 15: Tempo de resfriamento da placa de Cobre.
	t(s)
	Tmedido
	Tteórico
	%desvio
	0
	43
	43,00
	0,00
	180
	40
	41,13
	2,74
	360
	38
	39,49
	3,77
	540
	36
	38,05
	5,40
	720
	34
	36,80
	7,60
	900
	32
	35,70
	10,36
	1080
	31
	34,74
	10,76
	1260
	29
	33,90
	14,45
	1440
	29
	33,16
	12,55
Esfera de Cobre
Tabela 16: Tempo de resfriamento da esfera de Cobre.
	t(s)
	Tmedido
	Tteórico
	%desvio
	0
	43
	43,00
	0,00
	180
	41
	41,77
	1,85
	360
	40
	40,65
	1,59
	540
	38
	39,61
	4,07
	720
	37
	38,66
	4,30
	900
	35
	37,79
	7,39
	1080
	34
	36,99
	8,08
	1260
	33
	36,25
	8,98
	1440
	32
	35,58
	10,06
CONCLUSÃO
A análise transiente de parâmetros concentrados é uma maneira bastante simplificada de se resolver alguns casos que envolvem troca de calor. Ela nos permite ignorar a variação de temperatura dentro das substâncias sobre determinadas circunstâncias, o que acaba simplificando bastante os cálculos de transferência de calor, e ainda obtém resultados satisfatórios. A circunstância exigida para este tipo de resolução é que o citado Número de Biot seja menor que 0,1. O número de Biot é a relação entre a taxa de calor por convecção de um fluido e o comprimento relativo de um material pela condutividade térmica desse material. Um valor menor que 0,1 significa que o calor que o fluido pode transmitir ou receber é dez vezes menor que a condutividade térmica do material, sendo assim qualquer calor transmitido pelo fluido se espalha muito rapidamente pelo material, e o gradiente de temperatura gerado é muito pequeno e pode ser desconsiderado.
Os objetos de cobre mostraram maior precisão, com destaque para o aquecimento da esfera de Cu, a explicação desta observação pode estar no fato de o cobre apresentar menores valores do numero de Biot do que o alumínio.
Embora os resultados tenham sido apenas parcialmente bons, o método se mostra uma boa opção, pois não é necessário trabalhar com as complexas equações matemáticas que envolvem o processo e obtêm um resultado relativamente preciso, com em geral 10% de erro.
Referências Bibliográficas:
INCROPERA, F. Fundamentos da Transferência de Calor e de Massa, São Paulo – LTC