1 - Matemática Financeira

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FACULDADE CAPIXABA DA SERRA/EAD
Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017
MateMática Financeira
SUMÁRIO
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
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FACULDADE CAPIXABA DA SERRA/EAD
Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017SUMÁRIO
A Faculdade Multivix está presente de norte a sul 
do Estado do Espírito Santo, com unidades em 
Cachoeiro de Itapemirim, Cariacica, Castelo, Nova 
Venécia, São Mateus, Serra, Vila Velha e Vitória. 
Desde 1999 atua no mercado capixaba, des-
tacando-se pela oferta de cursos de gradua-
ção, técnico, pós-graduação e extensão, com 
qualidade nas quatro áreas do conhecimen-
to: Agrárias, Exatas, Humanas e Saúde, sem-
pre primando pela qualidade de seu ensino 
e pela formação de profissionais com cons-
ciência cidadã para o mercado de trabalho.
Atualmente, a Multivix está entre o seleto 
grupo de Instituições de Ensino Superior que 
possuem conceito de excelência junto ao 
Ministério da Educação (MEC). Das 2109 institui-
ções avaliadas no Brasil, apenas 15% conquistaram 
notas 4 e 5, que são consideradas conceitos 
de excelência em ensino.
Estes resultados acadêmicos colocam 
todas as unidades da Multivix entre as 
melhores do Estado do Espírito Santo e 
entre as 50 melhores do país.
 
MiSSÃO
Formar profissionais com consciência cida-
dã para o mercado de trabalho, com ele-
vado padrão de qualidade, sempre mantendo a 
credibilidade, segurança e modernidade, visando 
à satisfação dos clientes e colaboradores.
 
ViSÃO
Ser uma Instituição de Ensino Superior reconheci-
da nacionalmente como referência em qualidade 
educacional.
GRUPO
MULTIVIX
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SUMÁRIO
BiBLiOteca MULtiViX (Dados de publicação na fonte)
As imagens e ilustrações utilizadas nesta apostila foram obtidas no site: http://br.freepik.com
Oliveira, Janaina Giovani Noronha de.
Matemática Financeira / Janaina Giovani Noronha de Oliveira. – Serra: Multivix, 2018.
eDitOriaL
Catalogação: Biblioteca Central Anisio Teixeira – Multivix Serra
2018 • Proibida a reprodução total ou parcial. Os infratores serão processados na forma da lei.
FacULDaDe caPiXaBa Da Serra • MULtiViX
Diretor Executivo
Tadeu Antônio de Oliveira Penina
Diretora Acadêmica
Eliene Maria Gava Ferrão Penina
Diretor Administrativo Financeiro
Fernando Bom Costalonga
Diretor Geral
Helber Barcellos da Costa
Diretor da Educação a Distância
Pedro Cunha
Conselho Editorial
Eliene Maria Gava Ferrão Penina (presidente 
do Conselho Editorial)
Kessya Penitente Fabiano Costalonga
Carina Sabadim Veloso
Patrícia de Oliveira Penina
Roberta Caldas Simões
Revisão de Língua Portuguesa
Leandro Siqueira Lima
Revisão Técnica
Alexandra Oliveira
Alessandro Ventorin
Graziela Vieira Carneiro
Design Editorial e Controle de Produção de Conteúdo
Carina Sabadim Veloso
Maico Pagani Roncatto
Ednilson José Roncatto
Aline Ximenes Fragoso
Genivaldo Félix Soares
Multivix Educação a Distância
Gestão Acadêmica - Coord. Didático Pedagógico
Gestão Acadêmica - Coord. Didático Semipresencial
Gestão de Materiais Pedagógicos e Metodologia
Direção EaD
Coordenação Acadêmica EaD
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Aluno (a) Multivix,
Estamos muito felizes por você agora fazer parte 
do maior grupo educacional de Ensino Superior do 
Espírito Santo e principalmente por ter escolhido a 
Multivix para fazer parte da sua trajetória profissional.
A Faculdade Multivix possui unidades em Cachoei-
ro de Itapemirim, Cariacica, Castelo, Nova Venécia, 
São Mateus, Serra, Vila Velha e Vitória. Desde 1999, 
no mercado capixaba, destaca-se pela oferta de 
cursos de graduação, pós-graduação e extensão 
de qualidade nas quatro áreas do conhecimento: 
Agrárias, Exatas, Humanas e Saúde, tanto na mo-
dalidade presencial quanto a distância.
Além da qualidade de ensino já comprova-
da pelo MEC, que coloca todas as unidades do 
Grupo Multivix como parte do seleto grupo das 
Instituições de Ensino Superior de excelência no 
Brasil, contando com sete unidades do Grupo en-
tre as 100 melhores do País, a Multivix preocupa-
-se bastante com o contexto da realidade local e 
com o desenvolvimento do país. E para isso, pro-
cura fazer a sua parte, investindo em projetos so-
ciais, ambientais e na promoção de oportunida-
des para os que sonham em fazer uma faculdade 
de qualidade mas que precisam superar alguns 
obstáculos. 
Buscamos a cada dia cumprir nossa missão que é: 
“Formar profissionais com consciência cidadã para o 
mercado de trabalho, com elevado padrão de quali-
dade, sempre mantendo a credibilidade, segurança 
e modernidade, visando à satisfação dos clientes e 
colaboradores.”
Entendemos que a educação de qualidade sempre 
foi a melhor resposta para um país crescer. Para a 
Multivix, educar é mais que ensinar. É transformar o 
mundo à sua volta.
Seja bem-vindo!
APRESENTAÇÃO 
DA DIREÇÃO 
EXECUTIVA
Prof. Tadeu Antônio de Oliveira Penina 
Diretor executivo do Grupo Multivix
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SUMÁRIO
LiSta De QUaDrOS
 > QUADRO 1 - Fluxo de caixa 38
 > QUADRO 2 - Investimento 41
 > QUADRO 3 - Projeto de investimento 43
 > QUADRO 4 - Fluxo de Caixa 60
 > QUADRO 5 - Demonstrativo do sistema de amortização bullet 67
 > QUADRO 6 - Demonstrativo do financiamento 69
 > QUADRO 7 - Demonstrativo do sistema de amortização Price 71
 > QUADRO 8 - Cálculo do sistema Price na HP-12c 73
 > QUADRO 9 - Demonstrativo do financiamento pelo sistema Price 74
 > QUADRO 10 - Demonstrativo do sistema de 
amortização constante (SAC) 75
 > QUADRO 11 - Demonstrativo do financiamento pelo 
sistema de amortização constante 76
 > QUADRO 12 - Demonstrativo do sistema de 
amortização misto (SAM) 77
 > QUADRO 13 - Demonstrativo do financiamento pelo 
sistema de amortização misto 79
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LiSta De FiGUraS
 > FIGURA 1 - Calculadora 12c 15
 > FIGURA 2 - Tributação 56
 > FIGURA 3 - Imposto de Renda 57
 > FIGURA 4 - Tributação pessoa Física 58
 > FIGURA 5 - Depreciação 59
 > FIGURA 6 - Controle Financeiro 62
 > FIGURA 7 - Amortização 65
 > FIGURA 8 - Amortização no Banco 67
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SUMÁRIO
SUMáriO
1UNIDADE
2UNIDADE
3UNIDADE
1 nOÇÕeS De MateMática Financeira 14
1.1 PORCENTAGEM 14
1.2 PROGRESSÃO 17
1.2.1 PROGRESSÃO ARITMÉTICA 17
1.2.2 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 19
1.3 HP 12C 21
cOncLUSÃO 22
2 JUrOS SiMPLeS e cOMPOStO. DeScOntOS e taXaS 24
2.1 JUROS 24
2.2 JUROS COMPOSTO 27
2.3 DESCONTOS 28
2.4 TAXAS 29
cOncLUSÃO 32
3 MÉtODOS De anáLiSe De inVeStiMentOS. 34
3.1 ANÁLISES DE INVESTIMENTOS 34
3.2 MÉTODOS DE ANÁLISES DE INVESTIMENTOS 34
3.2.1 TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE - TMA 35
3.2.2 PAYBACK 36
3.2.3 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) 37
3.2.4 TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) 39
3.2.5 VALOR PRESENTE LÍQUIDO ANUALIZADO (VPLA) 42
cOncLUSÃO 45
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SUMáriO
4UNIDADE
5UNIDADE
6UNIDADE
4 eQUiVaLÊncia De caPitaiS 47
4.1 FLUXO DE CAIXA 47
4.2 INVESTIMENTO INICIAL 48
4.3 CAPITAL DE GIRO 49
4.4 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 50
cOncLUSÃO 53
5 eFeitOS Da DePreciaÇÃO SOBre renDaS triBUtáVeiS 55
5.1 RENDAS TRIBUTÁVEIS 55
5.1.1 RENDA TRIBUTÁVEIS PESSOA FÍSICA 56
5.1.2 RENDA TRIBUTÁVEIS PESSOA JURÍDICA 58
5.1.3 DEPRECIAÇÃO 59
cOncLUSÃO62
6 SiSteMaS De aMOrtiZaÇÃO 64
6.1 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO 64
6.1.1 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO BULLET OU DO MONTANTE 66
6.1.2 SISTEMA PRICE OU FRANCÊS 70
6.1.3 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) 74
6.1.4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) 77
cOncLUSÃO 79
GLOSSáriO 80
reFerÊnciaS 81
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SUMÁRIO
icOnOGraFia
ATENÇÃO 
PARA SABER
SAIBA MAIS
ONDE PESQUISAR
DICAS
LEITURA COMPLEMENTAR
GLOSSÁRIO
ATIVIDADES DE
APRENDIZAGEM
CURIOSIDADES
QUESTÕES
ÁUDIOSMÍDIAS
INTEGRADAS
ANOTAÇÕES
EXEMPLOS
CITAÇÕES
DOWNLOADS
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APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
Caro(a) Aluno(a), a matemática financeira está presente no nosso dia a dia nas mais 
diversas situações, permitindo que fundamentos básicos sejam amplamente utiliza-
dos mesmo sem o seu profundo conhecimento. Nesta disciplina, almejamos fornecer 
fundamentos que o permita estimar os descontos na hora de uma compra, ou mes-
mo os juros cobrados pelo pagamento da tarifa mínima em um cartão de crédito. 
Assim, esperamos auxiliá-lo no cálculo correto das taxas de juros, porcentagens, dife-
renciar juros simples de juros compostos, além de permitir a escolha entre as diversas 
ferramentas disponíveis na hora de uma tomada de decisão, ou seja, valor presente 
líquido (VPL), taxa interna de retorno (TIR) e payback. 
AO FINAL DESTA UNIDADE, ESPERAMOS QUE VOCÊ:
Aplique corretamente as principais ferramentas de análise financeira.
Identifique a necessidade da matemática financeira no cotidiano do aluno.
Diferencie os tipos de taxas e sua devida aplicação.
Compare dois ou mais projetos.
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SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO DA UNIDADE
Nesta unidade estão apresentados alguns conceitos que fundamentam a análise 
matemática e, principalmente, a análise financeira. Conceitos como razão, proporção, 
porcentagem e progressão são discutidos de forma a fundamentar toda a disciplina 
matemática financeira além de relacioná-los visando sua maior compreensão.
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INTRODUÇÃO DA UNIDADE
Você já se perguntou como são definidas as taxas envolvendo qualquer movimen-
tação financeira? Ou seja, como são definidas as parcelas na hora de financiar um 
veículo, quais são os juros do cartão de crédito, ou mesmo se é viável ou não a reali-
zação de um empréstimo? A matemática financeira vem sanar todas essas dúvidas 
e esclarecer como o cenário econômico utiliza as conjecturas matemáticas em suas 
finanças. Para a construção de conceitos extremamente importantes no âmbito da 
matemática financeira vamos abrir mão das simbologias complexas e fórmulas bem 
elaboradas para explorar o aspecto prático dos conteúdos aqui discutidos, além de 
relacioná-los às situações do cotidiano, portanto alguns conceitos serão abordados 
por meio de planilhas do Excel e resolvidos com o auxílio da calculadora financeira 
12c. Enfim, abra a sua mente e vamos viajar pela vasta matemática financeira, apren-
dendo e aplicando conceitos como razão, porcentagem e proporção. 
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SUMÁRIO
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos 
que possa:
> Reconhecer o que 
é razão, proporção, 
porcentagem e 
progressão.
> Aplicar corretamente 
as porcentagens 
na solução de 
problemas 
cotidianos.
UNIDADE 1
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1 NOÇÕES DE MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
Ao olhar ao seu redor, mesmo que sem nenhuma visão econômica, é possível perce-
ber facilmente que a matemática financeira está presente em diversas situações do 
seu cotidiano. No mais simples ato de ir à padaria e detectar o aumento do valor do 
pãozinho, realizar um empréstimo, analisar se é mais viável pagar um plano de saúde 
ou a consulta particular, verificar se o salário será suficiente para o mês, estamos rea-
lizando e inferindo matematicamente sobre finanças. Ainda que não sejamos bons 
investidores ou tenhamos a intenção de aplicar na bolsa de valores, ter noções de 
matemática financeira é essencial para a sobrevivência econômica de todo e qual-
quer cidadão.
Um dos primeiros conceitos a ser trabalhado no que tange a matemática financeira 
é a ideia de porcentagem.
1.1 PORCENTAGEM
Por ser amplamente utilizada em todas as áreas do conhecimento, a porcentagem 
é um dos conteúdos da matemática mais conhecido. Indicada por i %, ou seja, r por 
cento, ela representa a fração centesimal 
i
100
.
Para calcular uma determinada porcentagem de um valor específico sem o auxilio 
de uma boa calculadora, temos que multiplicar a fração 
i
100
 pelo valor específico.
Mariano (2015) define a porcentagem como “uma referência em que um valor nu-
mérico é dividido por 100.”
Na disciplina matemática financeira a porcentagem é utilizada na hora de estimar 
um desconto, ou mesmo na hora de calcular matematicamente o lucro na venda de 
um determinado produto.
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SUMÁRIO
Suponha que uma determinada pessoa deseja saber o valor correspondente 
a 16% de R$ 20,00. Multiplicamos a fração equivalente a 16% pelo valor 
almejado, ou seja, 
16
100
20 3 2. ,= , portanto 16% de R$ 20,00 corresponde a 
R$ 3,20.
Para realizar o cálculo de uma determinada porcentagem na calculadora 
12c basta entrar com o valor desejado, clicar na tecla (enter), digitar a 
porcentagem almejada e clicar na tecla (%). Portanto para resolver o exemplo 
anterior, ou seja, estimar 16% de R$ 20,00 basta:
20 (enter) 16 (%)
FIGURA 1 - CALCULADORA 12C
Fonte: SHUTTERSTOCK, 2014
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Sabendo que o valor da gasolina por litro era equivalente a R$ 4,20 e passou a 
custar R$ 4,75 na semana seguinte. Determine a porcentagem de aumento da 
gasolina neste período.
Para identificar o aumento, basta fazer a razão entre o valor final e o 
inicial, ou seja,
4 75
4 20
1 1310,
,
,=
e da resposta subtrair 1 (que corresponde a 100% do valor inicial), 
assim: 1,1310 − 1= 0,1310
que corresponde a 13,10% de aumento.
Leitura Complementar
Para aprofundar seus estudos em relação as porcentagens, pesquise no 
capítulo 2 do livro MARIANO, FABRICIO, Série Provas & Concursos - Matemática 
Financeira para Concurso: 4ª edição. Grupo GEN,2015.
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SUMÁRIO
1.2 PROGRESSÃO
Assim como muitos cálculos e fenômenos relacionados à matemática financeira, as 
progressões são de suma importância, pois possuem características bastante pecu-
liares que nos permitem executar uma operação financeira que cresça de forma li-
near ou mesmo aquelas que crescem de forma multiplicativa, mantendo a propor-
cionalidade. Nesta unidade você ainda verá que essas progressões serão relacionadas 
aos conceitos de juros simples e composto.
Saiba mais
Qualquer sequência numérica que tenha seus termos sucessivos adicionados 
ou multiplicados sempre por um mesmo valor pode ser considerada uma 
progressão. Como por exemplos:
2, 4, 6, 8, 10, 12 (somar 2 a cada elemento)
2, 4, 8, 16, 32, 64 (multiplicar por 2a cada elemento)
100, 50, 25, 12.5 (multiplica por 0,5 a cada elemento)
1.2.1 PROGRESSÃO ARITMÉTICA
A progressão aritmética é dada por uma sentença matemática que possui uma pro-
jeção contínua e linear, ou seja, os valores variam sempre na mesma razão, sendo a 
razão o valor equivalente à essa oscilação entre os termos.
Portanto, podemos definir uma progressão aritmética (PA) como uma sequência nu-
mérica na qual cada termo, a partir do segundo, equivale à soma entre o anterior e a 
constante (r).
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Para estimar os termos de interesse em uma PA utilizamos as equações:
a a n m r
s n a a
n m
n n
= + −
= +
( )
( )
2 1
Sendo:
a1 ⇒ o primeiro termo da PA
an ⇒ o n-ésimo termo da PA
r ⇒ é a razão entre os termos da PA
sn ⇒ a soma dos n-ésimos termos da PA
Saiba mais
São exemplos de PA o não pagamento de uma conta de água, luz ou telefone. 
Por exemplo, se uma determinada pessoa paga uma conta de luz que vence 
dia 10 apenas no dia 15 ela estará somando o valor referente aos ‘juros 
incidentes’ sobre a conta pelo período de 5 dias, portanto neste caso teríamos 
que calcular o a5.
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SUMÁRIO
SPara estimar a soma dos números ímpares de uma PA compreendidos entre 
50 e 100 temos que:
a1 51= (o primeiro termo da PA)
an = 99 (o n-ésimo termo da PA)
r = 2 (pois um número ímpar seguinte é o anterior mais 2)
Assim,
a a n m r
n
n
n
n
n m= + −
= + −
− =
−
= +
=
( )
( )
( )
99 51 1 2
1 99 51
2
24 1
25
Aplicando então a fórmula da soma dos termos da PA, temos que:
s =187525
s n a an n2 1
s = +25
2
51 9925 ( )
Portanto a soma dos números ímpares compreendidos entre 50 e 100 
corresponde a 1.875.
1.2.2 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
A progressão geométrica é dada por uma sentença matemática que possui uma 
projeção multiplicativa entre os termos, ou seja, os valores variam sempre na mesma 
razão, sendo a razão o valor equivalente ao quociente entre os termos.
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Portanto, podemos definir uma progressão geométrica (PG) como uma sequência 
numérica na qual cada termo, a partir do segundo, equivale ao produto entre o ante-
rior e a constante (q).
Para estimar os termos de interesse em uma PG utilizamos as equações:
a a q
s a q a
q
q b
a
n m
n m
n
n
k
= ×
=
−
−
=
−
+
1
1
1
Sendo:
a1 ⇒ o primeiro termo da PG
an ⇒ o n-ésimo termo da PG
q ⇒ é a razão entre os termos da PG
sn ⇒ a soma dos n-ésimos termos da PG
São exemplos de PG o não pagamento de um empréstimo ou financiamento 
realizado junto a um banco, ou mesmo o não pagamento integral de uma 
fatura de cartão de crédito. Por exemplo, se uma determinada pessoa paga a 
fatura de um cartão que vence dia 10 apenas no dia 15 ela estará somando 
o valor referente aos ‘juros incidentes’ sobre a fatura a cada dia até completar 
o período de 5 dias, ou seja, a cada dia será atribuído um novo valor pois o 
mesmo é calculado sob o dia anterior e não em relação ao valor inicial da 
fatura, portanto neste caso teríamos que calcular o a5.
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SUMÁRIO
1.3 HP 12C
Puccini (2017) apresenta em seus estudos que o uso da HP 12C não é apenas um 
facilitador da disciplina, como também uma ferramenta imprescindível para a reali-
zação dos cálculos que respaldam o processo de tomada de decisão.
A calculadora HP 12C apresenta mais de 120 funções financeiras disponíveis e utiliza 
a lógica da notação Polonesa inversa, ou seja, primeiro entra com os valores envolvi-
dos na operação para posteriormente entrar com a operação a ser feita.
Para efetuar as operações a seguir o procedimento na HP 12C é:
4 + 3 = 7 ⇒ 4 (ENTER) 3 ( + )
10 − 2 = 8 ⇒ 10 ( ENTER) 2 ( − )
É possível encontrar no mercado, dois modelos de HP 12C, a Tradicional e a 
Platinum, que diferenciam apenas pelo fato de também poder usar a notação 
algébrica na Platinum (o que não é usual no que tange a aplicabilidade da 
matemática financeira).
A calculadora HP 12C permite que você a configure de acordo com o seu 
gosto, possibilitando que você altere ponto por virgula visando ajudar na 
compreensão dos dados. Para realizar esta troca basta segurar a tecla ( . ) e em 
seguida a tecla ( ON ). Esse procedimento altera ponto para virgula e vice-versa.
Também é possível definir o número de casas decimais que você quer 
visualizar na tela da sua HP 12C, basta clicar em (f) e o número que 
corresponde ao número de casas almejado. 
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Para visualizar 4 casas decimais na HP 12C basta clicar em (f) (4), para visualizar 
6 casas basta clicar em (f) (6) e assim por diante.
Dentre as funções financeiras disponíveis na calculadora HP 12C, Puccini 
(2017) apresenta como teclas principais:
• n – número de períodos de capitalização.
• i – taxa de juros em cada período de capitalização.
• PV – valor presente, capital inicial aplicado, principal.
• FV – valor futuro, montante no final de n períodos de capitalização.
• PMT – pagamentos periódicos de mesmo valor, que ocorrem no final de cada 
período (END) ou no início de cada período (BEGIN).
Sendo cada uma destas funções cuidadosamente trabalhada no decorrer 
desta disciplina.
CONCLUSÃO 
A matemática financeira está em tudo a nossa volta, em cada fatura que pagamos, 
em cada alimento que compramos. Ter conhecimento dos cálculos matemáticos en-
volvidos nas mais cotidianas atividades da humanidade ajuda a discernir sobre qual 
produto escolher, ou mesmo, abastecer um veículo flex com etanol ou gasolina. As 
porcentagens envolvidas na rotina de uma população ou mesmo as progressões aqui 
apresentadas são fundamentais para alicerçar os conceitos e as aplicações da mate-
mática financeira.
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SUMÁRIO
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos 
que possa:
> Aplicar corretamente 
as técnicas e 
ferramentas que 
fundamentam 
os juros simples, 
juros compostos, 
descontos e taxas.
> Relacionar o tipo 
de juros aplicado à 
transação monetária.
UNIDADE 2
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2 JUROS SIMPLES E 
COMPOSTO. DESCONTOS E 
TAXAS
A aplicação correta das porcentagens em conceitos como juros e tarifações é de suma 
importância no mercado atual no que tange à área de finanças. Alguns elementos 
bastante utilizados na matemática financeira são fundamentados pelos conceitos de 
juros simples e composto. Portanto, é essencial você tenha ciência do quanto a cla-
reza da aplicação destes conceitos pode auxiliá-lo na decisão de adquirir ou não um 
empréstimo, de comprar ou não um veículo financiado, ou mesmo, no simples ato 
de entrar ou não no cheque-especial do seu banco. Nesta unidade iremos abordar a 
aplicação e usabilidade dos juros simples e compostos, ressaltando a diferença entre 
eles, além de abordar temas como descontos e taxas.
2.1 JUROS
O conceito de juros surge no momento em que o homem começa a relacionar di-
nheiro e tempo, assim houve a necessidade de mensurar a desvalorização ou valori-
zação da moeda em um determinado intervalo de tempo.
A aplicação de juros é diretamente relacionada ao conceito de porcentagem no qual 
é aplicada uma taxa em um determinado valor, visando avaliar o seucomportamen-
to ao longo do tempo. Essa taxa pode ser inferida sob o valor inicial ou reavaliada 
de acordo com o instante anterior, sendo estes dois comportamentos classificados 
como juros simples e juros composto, respectivamente. 
Juros Simples
Os juros aplicados em qualquer transação são classificados como simples quando 
sua taxa é incidida sob o valor inicial, portanto o mesmo é constante em todo inter-
valo de tempo.
Puccini (2017) enfatiza que “o regime de juros simples é utilizado no mercado finan-
ceiro notadamente nas operações de curto prazo, em função da simplicidade de 
cálculo e também para evitar a prática do anatocismo.”.
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SUMÁRIO
É possível afirmar que os juros simples são o produto entre capital, taxa e tempo, 
ou seja, o rendimento de um capital aplicado a uma determinada taxa durante um 
período de tempo, e o montante é capital aplicado acrescido dos juros encontrado.
Portanto,
J PV i t= .
sendo:
J o juros simples.
PV o capital aplicado, ou seja, o valor sobre o qual os juros irão incidir. É o Valor Pre-
sente – em inglês Present Value.
i a taxa de juros aplicada.
t o tempo de aplicação, ou seja, está sempre fazendo referência a uma unidade tem-
poral, como dia, mês, ano etc.
e
V PV J= +
sendo:
FV o montante final, ou seja, a adição entre o capital aplicado e o juros incidido sobre 
o mesmo. O Valor Futuro – em inglês Future Value.
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Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017SUMÁRIO
Aplicando R$ 1.000,00 em uma instituição bancária que paga juros simples de 
1,5% ao mês, o montante ao final de 10 meses será dado por:
J PV i t= .
sendo:
J os juros simples.
PV = 1000 (R$ 1.000,00).
i = 0,015 (1,5%).
t = 10 (10 meses).
portanto,
J
J
=
=
1000 0 015 10
150
então, 
FV PV J
FV
FV
= +
= +
=
1000 150
1150
Assim, o montante acumulado ao final dos 10 meses equivale a R$ 1150,00.
É comum no cotidiano da aplicação da matemática financeira que a taxa de juros 
aplicada esteja em uma unidade de tempo diferente da almejada. Assim é importan-
te fazer a conversão adequada para garantir a idoneidade dos cálculos, não gerando 
estimativas anuais com base em juros mensais. 
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SUMÁRIO
2.2 JUROS COMPOSTO
É comum a aplicação de juros composto em diversos setores do dia a dia, ou seja, 
situações nas quais os juros não incidem apenas sobre o valor inicial como também 
sobre os juros acumulados, comumente chamado de juros sobre juros.
Os juros compostos são calculados levando em conta a atualização do capital, por-
tanto, os valores agregados nos períodos anteriores são considerados na análise. 
Puccini (2017), afirma que “no regime de juros compostos, os juros de cada período 
são sempre calculados sobre o saldo devedor/credor do início dos respectivos perío-
dos, que inclui os juros vencidos e não pagos.” Assim, nesse regime de capitalização, o 
crescimento do capital se dá de maneira exponencial, uma vez que os juros incidem 
sobre os juros acumulados até o instante analisado.
É possível afirmar que o juros composto é o produto entre capital e a taxa no tempo, 
ou seja,
FV PV i t= +( )1
sendo:
PV o capital aplicado, ou seja, o valor sobre o qual os juros irão incidir. Valor Presente 
– em inglês Present Value.
i a taxa de juros aplicada.
t o tempo de aplicação, ou seja, está sempre fazendo referência a uma unidade tem-
poral, como dia, mês, ano etc.
FV o montante final, ou seja, a adição entre o capital aplicado e os juros incididos 
sobre o mesmo.
FV PV i t= +( )1
sendo:
PV = 1000 (R$ 1.000,00)
i = 1,5%
t = 10 (10 meses)
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portanto,
FV = +( )1000 1 0 015 10
FV =1160 54,
Assim, o montante acumulado ao final dos 10 meses equivale a R$ 1160,54.
Para determinar o montante acumulado na calculadora HP-12C basta:
entrar com PV (CHS)(PV)
t (n)
i (i)
e clicar em (FV)
ou seja, no exemplo anterior:
1000 (CHS)(PV)
10 (n)
1,5 (i)
(FV)
2.3 DESCONTOS
O desconto é oferecido como um abatimento no saldo devedor quando uma pessoa 
quita uma quantia antes do período acordado, sendo essa uma das mais comuns 
aplicações da regra de juros. Ele pode ser entendido como a diferença entre o valor 
devido e o valor atual, ou seja, sem a incidência dos juros no período antecipado.
Para determinar o valor do desconto (D) basta multiplicar o valor inicial pela diferença 
( )i −1 , portanto:
D P i= −.( )1
sendo P o preço sem o desconto.
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SUMÁRIO
Aplicando R$ 1.000,00 em uma instituição bancária que paga juros composto 
de 1,5% ao mês, o montante ao final de 10 meses será dado por:
D
D
= −
=
50 000 1 0 1
45 000 00
. .( , )
. ,
2.4 TAXAS
Taxas são a porcentagem incidida sobre uma operação monetária que pode alterar o 
seu valor, aumentando-o ou diminuindo-o. A aplicação da taxa pode variar de acordo 
com a natureza da aplicação, sendo de suma importância saber diferenciar o tipo de 
taxa adequada visando não comprometer a análise. As taxas podem ser de natureza 
proporcional ou equivalente.
Duas taxas são consideradas proporcionais quando seus valores formam uma rela-
ção matemática direta, ou seja, uma proporcionalidade. Como por exemplo a con-
versão apenas temporal da taxa incidida na análise. Para determinar a proporcionali-
dade basta fazer o quociente entre a taxa em análise ( )i e o período almejado ( )k , ou 
seja, a taxa proporcional ( )ik é dada por:
i i
kk
=
Sendo possível visualizar a partir desta equação que se o período da taxa almejada 
for menor que o período da taxa dada basta fazer o quociente entre a taxa dada e o 
tempo almejado, mas se o oposto for verificado basta multiplicar a taxa dada pelo 
tempo almejado.
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Uma pessoa que precisa de uma determinada quantia de dinheiro e tem duas 
opções de empréstimo com seus amigos. Ambos estão oferecendo a quantia 
a uma taxa de juros simples. O primeiro amigo oferece o empréstimo a taxa 
de 40% ao ano, sendo que o segundo oferece o mesmo valor a taxa de 9% ao 
trimestre. Qual é a escolha mais assertiva, ou seja, mais vantajosa para a pessoa 
que necessita do empréstimo?
Amigo 1 ⇒ 40% aa = 
0 4
4
0 1, ,= ao trimestre ( 1 ano = 4 trimestres).
Amigo 2 ⇒ 9% ao trimestre = 0,09 ao trimestre.
Portanto, o segundo amigo está oferecendo uma taxa de juros menor, ou seja, 
ele seria a escolha mais assertiva.
Duas taxas são equivalentes quando aplicadas ao mesmo capital no mesmo 
período de tempo, produzindo o mesmo total de juros. No juros composto, em 
tempos iguais, a taxa proporcional não é equivalente, como acontece no juros 
simples. Aplicada em juros composto taxas equivalentes, no mesmo período 
de tempo, produzem montantes distintos. É possível obter taxas equivalentes 
a partir da equação:
1 1+( ) = +( )i iA
t
B
tA B
podendo essa equação ser utilizada apenas quando há prazos em ambos os 
lados da igualdade no mesmo espaço de tempo, como por exemplo, 1 ano e 
12 meses.
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SUMÁRIO
Se os amigos do exemplo anterior oferecessem as taxas de 40% aa e o 
segundo a taxa de 10% ao trimestre, essas duas taxas seriam equivalentes, 
ou seja, ambas fornecem os mesmos juros peranteo capital, sendo ambas 
aplicadas à juros simples.
Caso esses amigos oferecessem as mesmas taxas, mas aplicando o conceito de 
juros composto, pegar o empréstimo com o primeiro amigo será mais viável 
do que realizar junto ao segundo. Observe que a taxa de 10% ao trimestre 
convertida para anual teremos:
1 0 1 1
1 4641 1
1 0 4641
4 1
1
+( ) = +( )
= +( )
+ =
i
i
i
B
B
B
Portanto, o segundo amigo oferece o empréstimo a taxa de 46,41% aa.
Para determinar a taxa na HP-12C é necessário arbitrar um valor para PV e FV, 
normalmente adotada a unidade (R$ 1,00), posteriormente,
entrar com 1 (CHS)(PV)
i (i)
t (n)
e clicar em (FV)
observe que a taxa almejada é a variação entre o PV e o FV, portanto,
1 ( - )
fornece a taxa, ou seja, no exemplo anterior:
1 (CHS)(PV)
10 (i)
4 (n)
(FV)
1 ( - )
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CONCLUSÃO 
Saber aplicar corretamente a taxa de juros é essencial para obter boas estimativas 
e realizar as mais simples transações monetárias. A taxa de juros simples é aplicada 
quando a porcentagem acrescida é sempre estimada a partir do valor inicial. Já a taxa 
de juros composto cresce de forma exponencial, ou seja, o valor adicionado é sempre 
estimado do valor imediatamente anterior, portanto, acrescido de juros sobre juros. 
Entretanto, é importante ressaltar que o regime de juros composto é o mais utiliza-
do no sistema financeiro, portanto o mais útil como base de cálculos em situações 
cotidianas.
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SUMÁRIO
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos 
que possa:
> Definir os 
fundamentos 
da análise de 
investimento 
relacionando seus 
métodos.
> Fundamentar 
conjecturas 
anteriormente 
abordadas.
UNIDADE 3
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3 MÉTODOS DE ANÁLISE DE 
INVESTIMENTOS.
Nesta unidade, serão abordados conceitos clássicos da matemática financeira encon-
trados no cotidiano do cenário econômico. Conceitos utilizados em toda a descrição 
da disciplina, como a ideia de capital inicial, serão formalmente definidos visando 
sanar qualquer dúvida que tenha ficado em relação à sua aplicação. Também serão 
alicerçados os conceitos de análise de investimentos e fluxo de caixa.
3.1 ANÁLISES DE INVESTIMENTOS
Ao se tomar uma decisão de investimento pessoal ou profissional, é imprescindível 
que o investidor tenha em mente questões básicas, como se o investimento se paga, 
se vai aumentar o capital aplicado e se esta é a melhor alternativa de investimen-
to. Portanto, um estudo prévio das condições que antecedem o investimento, assim 
como os possíveis resultados, são vitais na escolha de como e aonde investir.
Diante disso, é possível definir a análise de investimentos com o emprego de técnicas 
e métodos visando identificar a melhor opção para alocar um investimento dentre as 
diversas alternativas existentes no mercado atual.
3.2 MÉTODOS DE ANÁLISES DE INVESTIMENTOS
Amplamente utilizadas como ferramentas de auxílio no processo de tomada de de-
cisão ao se considerar ou não a realização de um investimento, as técnicas e métodos 
de análises de investimentos possibilitam o processamento de dados, aplicações de 
equações e uso real de cálculos relativos ao ativo. Sendo assim, torna-se possível infe-
rir sobre os riscos que envolvem um determinado investimento.
Os métodos de análises de investimentos podem considerar ou não o valor do di-
nheiro no tempo, sendo os mais comuns o payback, o Valor Presente Líquido (VPL) e 
a Taxa Interna de Retorno (TIR).
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SUMÁRIO
Antes de optar por qualquer um dos métodos de análises de 
investimentos, é necessário se ter em mente que o investimento 
deve se pagar, se ele vai aumentar ou diminuir o capital inicial e 
se existem propostas melhores para se investir.
3.2.1 TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE - TMA
Para estimar a viabilidade econômico-financeira na implantação ou não de um proje-
to de investimento, é imprescindível estabelecer a taxa que o investidor ou a empresa 
almeja obter de rendimentos, ciente de que a mesma vai descapitalizar o fluxo de 
caixa do projeto. A denominamos Taxa Mínima de Atratividade (TMA), ou seja, taxa 
de desconto.
A definição dessa taxa é de extrema importância, pois, com ela, podemos avaliar a 
viabilidade ou não de um determinado projeto. Assim, comparando a TMA com a TIR 
(abordada no tópico 1.1.4), é possível estimar se um projeto é viável.
A TMA pode ser determinada baseada no custo de oportunidade ou no custo de ca-
pital da empresa. Portanto, se a TMA for baseada no custo de oportunidade de apli-
cações existentes no mercado, estima-se que o projeto deve proporcionar o rendi-
mento adicionado do percentual que cobre o risco do negócio. Todavia, se a mesma 
for baseada no custo de capital da empresa, estima-se que o projeto foi ponderado 
pelas fontes que o financiam.
Saiba mais
Para aprofundar seus estudos sobre a TMA, pesquise em Puccini (2017)..
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3.2.2 PAYBACK
O payback, ou momento de retorno, é o tempo necessário para que o projeto pague 
o investimento inicial, ou seja, o tempo que o investimento fornece lucro zero. Esse 
método deve sempre ser aplicado juntamente com outro método de avaliação de 
um investimento, sendo possível inferir se um projeto deve ou não ser rejeitado caso 
o payback seja ou não inferior ao prazo estipulado. 
Dal Zot (2015) afirma que o “payback, também conhecido como prazo de retorno do 
capital investido, é o período de tempo necessário para que os fluxos de caixa positi-
vos sejam suficientes para igualar o valor do investimento”.
Existem três variações quanto à classificação do payback em função de como ele 
é calculado: efetivo, médio ou descontado. O médio só é recomendado quando há 
fluxos de caixa uniformes. O efetivo e o médio só levam em conta o payback descon-
tado.
Quando os valores de entrada de caixa são somados até que se igualem ao investi-
mento inicial, em função do tempo gasto, denominamos Payback Efetivo (PE), dado 
por:
PE t valores entradas decaixa investimentoinicial= ( ) =∑
Quando os valores de entrada média de caixa são somados até que se igualem ao 
investimento inicial, em função do tempo gasto, denominamos Payback Médio (PM), 
dado por:
PM t
valores entradas decaixa
n
investimentoi=





 =
∑
nnicial
sendo n o tempo gasto.
Tanto o payback efetivo quanto o payback médio não levam em conta o valor do di-
nheiro no tempo, ou seja, a taxa de juros. Para resolver esse fator, é utilizado o payback 
descontado.
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SUMÁRIO
Quando os valores de entrada média de caixa descontados são somados até que se 
igualem ao investimento inicial, em função do tempo gasto, denominamos Payback 
Descontado (PD), dado por:
PD t
valores entradas decaixa
i
investimt= +( )








=∑
1
eentoinicial
Portanto, o payback descontado nada mais é do que uma técnica mais sofisticada de 
considerar o valor do dinheiro no tempo.
Independentemente do tipo de payback adotado, é imprescindível avaliá-lo em re-
lação a outros métodos de avaliação de um negócio. Um dos critérios de decisão no 
que tange a utilização do payback é que o projeto deve ser rejeitado se o seu valor for 
superior ao prazo estipulado. Já se o valor for inferior a esseprazo, o projeto não deve 
ser rejeitado
3.2.3 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL)
Hoji (2014) afirma que os “Cálculos de Valor Presente Líquido (VPL) nada mais são do 
que a soma de valores correntes de diversas datas futuras do fluxo de caixa descon-
tados para o valor presente”. O autor entende que os valores correntes de uma data 
e de outra são diferentes na data de hoje, em função das diferentes taxas de juros 
efetivos de cada uma.
Quando o objetivo é comparar diferentes projetos, o VPL é considerado uma das me-
lhores metodologias. Sua estruturação pode ser considerada isenta de falhas e mais 
robusta.
O VPL é obtido pela diferença entre o valor presente das Entradas de Caixa (EC) pre-
vistas para cada período de intervalo de duração do projeto e o valor presente do 
investimento inicial, ou seja:
VPL I I SC
i
FC
i
t
t
t
t=− − +( )
+
+( )∑ ∑1 1
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sendo:
I I. .⇒ investimento realizado no momento zero;
SCt ⇒ saída de caixa no momento t;
FCt ⇒ entrada em cada período t;
i ⇒ taxa utilizada para descontar os fluxos de caixa.
Matematicamente é possível afirmar que o VPL não passa de uma comparação entre 
novos investimentos e os fluxos de caixa trazidos a valor presente no tempo zero. To-
davia sua aplicação é essencial na comparação de projetos por permitir comparar o 
investimento inicial com os valores futuros.
Determine o VPL de um investimento que possua o fluxo de caixa anual, de 
acordo com a tabela a seguir, considerando a taxa utilizada para descontar os 
fluxos de caixa exigida pelo investidor equivalente a 12,5% ao ano.
QUADRO 1 - FLUXO DE CAIXA
I.I. FC1 FC2 FC3 FC4
R$ 50.000,00 R$ 15.000,00 R$ 20.000,00 R$ 25.000,00 R$ 20.000,00
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Calculando inicialmente os fluxos de caixa descontados (FDC) temos que:
C FC
i t1
1
1
=
+( )
FD
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SUMÁRIO
,
. ,
,
.
C
FDC
1
2 2
15000
1 0 125
13 333 33
20000
1 0 125
15 80
=
+( )
=
=
+( )
= 22 47
25000
1 0 125
17 558 30
20000
1 0 125
3 3
4 4
,
,
. ,
,
FDC
FDC
=
+( )
=
=
+( )
=112 485 90. ,
FD
Portanto,
VPL=(13.333,33+15.802,47+17.558,30+12.485,90)-50.000,00=9.180,00
Para resolver este exemplo na HP-12C, basta entrar com:
50000 (CHS)(g)(CF0)
15000 (g)(CFj)
20000 (g)(CFj)
25000 (g)(CFj)
20000 (g)(CFj)
12,5 (i)
(f)(NVP)
3.2.4 TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR)
A rentabilidade que um projeto apresenta para o capital nele investido é denomi-
nada Taxa Interna de Retorno (TIR). Assim, é possível afirmar que essa taxa depende 
exclusivamente dos investimentos iniciais e dos retornos alcançados.
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Dal Zot (2015) apresenta que “assim como juros são a renda de uma aplicação finan-
ceira e a taxa de juros é a medida relativa de sua grandeza, o lucro ou retorno é a ren-
da de um investimento, e a taxa interna de retorno é a medida relativa da grandeza 
do retorno”. Portanto, a TIR é a taxa que gera um valor presente líquido nulo quando 
aplicada a um determinado fluxo de caixa, ou seja, VPL igual a zero. Matematicamen-
te expressa por:
TIR I I FC
i
t
t. .0 1
+
+( )∑
=−
sendo:
. .⇒I I Investimento realizado no momento zero.
FCt ⇒ Entrada em cada período t.
i ⇒ Taxa utilizada para descontar os fluxos de caixa.
É importante ressaltar que a aceitação ou não de um projeto por meio da TIR é de-
finida pela sua comparação com a taxa utilizada para descontar os fluxos de caixa.
Determine a TIR para um investimento de R$ 500,00 com retorno após um ano no 
valor de R$ 530,00:
530
1
500 01+( )
− =
TIR
R = −530
500
1TI
Portanto, a taxa interna de retorno é 6%.
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SUMÁRIO
Determine a TIR para um investimento que possua o fluxo de caixa anual de acordo 
com a tabela a seguir.
QUADRO 2 - INVESTIMENTO
I.I. FC1 FC2 FC3
R$ 1.000,00 R$ 240,00 R$ 432,00 R$ 864,00
Para calcular a TIR é preciso realizar o cálculo:
240
1
432
1
864
1
1000 02 3+( )
+
+( )
+
+( )
− =
TIR TIR TIR
Todavia, teríamos que resolver uma equação do terceiro grau (nesse caso). Imagine 
em situações que geram um polinômio de quinto ou sexto grau. Portanto, para resol-
ver esta situação utilizando os recursos da HP 12C.
1000 (CHS)(g)(CF0)
240 (g)(CFj)
432 (g)(CFj)
864 (g)(CFj)
(f)(IRR)
Assim, TIR = 20%
42
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É importante salientar que em nem todos os casos é possível estimar a TIR 
diretamente a partir da HP 12C, devido à possibilidade de existir mais de uma 
resposta. Nesses casos, é necessário fornecer uma estimativa da taxa próxima 
ao valor procurado e utilizar as funções (RCL)(g)(R/S).
Sob a ótica da taxa interna de retorno, um determinado empreendimento é 
considerado viável quando a TIR for maior do que TMA.
3.2.5 VALOR PRESENTE LÍQUIDO ANUALIZADO (VPLA)
O Valor Presente Líquido Anualizado (VPLA), assim como a VPL, representa a expec-
tativa de lucro do projeto, porém em relação aos valores anuais. É utilizado em situa-
ções cujo projeto é taxado a longo prazo, portanto o uso da VPL não seria a estimativa 
de cálculo mais indicado.
Puccini (2017) afirma que um investimento só é aceito se a sua TIR for superior ao 
VPLA. Assim, para validar um projeto, é imprescindível calcular o VPLA, ou seja, fazer 
a razão entre as taxas:
.VPLA
i i
i
t
t=
+( )
+( ) −
1
1 1
VPL
O VPLA permite avaliar dois ou mais projetos e inferir qual é o que apresenta maior 
estimativa de ganho em longo prazo.
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SUMÁRIO
Considerando os projetos A e B, cujos fluxos anuais estão apresentados na tabela a 
seguir, determine qual é mais viável financeiramente a partir do cálculo do VPLA, 
considerando TMA igual a 8% ao ano.
QUADRO 3 - PROJETO DE INVESTIMENTO
Projeto I.I. FC1 FC2 FC3
A R$ 12.000,00 R$ 4.000,00 R$ 6.000,00 R$ 7.000,00
B R$ 5.000,00 R$ 2.000,00 R$ 2.000,00 R$ 5.000,00
Calculando inicialmente os fluxos de caixa descontados (FDC) do projeto A:
FDC FC
i t1
1
1
=
+( )
,
. ,
,
. ,
FDC
FDC
FD
1
2 2
4000
1 0 08
3 703 71
6000
1 0 08
5 144 03
=
+( )
=
=
+( )
=
CC3 3
7000
1 0 08
5 556 82=
+( )
=
,
. ,
Portanto,
, . , . , . , . ,= + +( ) − =3 703 71 5 144 03 5 556 82 12 000 00 2 404 56VPL
Calculando o VPLA para os projetos A e B, temos:
VPLA VPL
i i
i
t
t=
+( )
+( ) −1 1
1
Projeto A:
VPLA =
+( )
+( ) −
=, .
,
,
,2 404 56
0 0 0 08
1 0 08 1
933 05
3
3
8 1
Projeto B:
VPLA =
+( )
+( ) −
=, .
,
,
,2 535 69
0 0 0 08
1 0 08 1
983 93
3
3
8 1
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Portanto o projeto B é mais viável que o projeto A pois apresenta maior VPLA.
Para resolver este exemplo na HP-12C, basta entrar com:
Projeto A:
12000 (CHS)(g)(CF0)
4000 (g)(CFj)
6000 (g)(CFj)
7000 (g)(CFj)
8 (i)
(f)(NVP)
(f)(FIN)(CHS)(PV)
8 (i)
3 (n)
 (PMT)
VPLA= 933,05
Projeto B:
5000 (CHS)(g)(CF0)
2000 (g)(CFj)
2000 (g)(CFj)
5000 (g)(CFj)
8 (i)
(f)(NVP)
(f)(FIN)(CHS)(PV)
8 (i)
3 (n)
 (PMT)
VPLA=983,93
Portanto, o projeto B é mais viável que o projeto A, pois apresenta maior VPLA.
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SUMÁRIO
CONCLUSÃOA análise financeira e seus métodos são extremamente relevantes no que tange uma 
boa gestão. Os métodos mais comuns e eficientes para a realização de uma análise 
de investimentos são o payback, o VPL e a TIR. Sendo que a consideração do valor do 
dinheiro no tempo depende diretamente do método escolhido. Também é possível 
concluir que o VPL é um critério superior ao TIR, por mensurar a riqueza do projeto 
em valores brutos (e não em percentuais) e por poder ser aplicado em qualquer tipo 
de fluxo de caixa. 
Assim, podemos concluir que a TIR é sempre expressa em termos relativos (%), o que 
pode vir a dificultar o seu o entendimento, além de apresentar cálculos relativamen-
te complexos manualmente. Um outro ponto relevante em relação à TIR, é que não 
deve ser abordada em estudos com fluxo de caixa não convencionais, ou seja, fluxos 
que alternam entradas e saídas.
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OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos 
que possa:
UNIDADE 4
> Definir o que é 
equivalência de 
capitais;
> Conceituar planos 
de pagamentos 
equivalentes;
> Aplicar corretamente 
as funções 
matemáticas que 
possibilitam obter a 
equivalência entre os 
capitais.
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SUMÁRIO
4 EQUIVALÊNCIA DE 
CAPITAIS
Olá, você sabia que para comparar dois ou mais planos de pagamentos é necessário 
que os capitais sejam equivalentes? Nesta unidade iremos conceituar o que são capi-
tais equivalentes e apresentar as funções matemáticas que nos possibilitam obter a 
equivalência entre os capitais.
4.1 FLUXO DE CAIXA
Em todas as operações abordadas nesta unidade, é importante ter ciência de que 
toda e qualquer operação realizada no dia a dia de uma empresa, ou mesmo de uma 
simples organização financeira, é necessário contar com um instrumento básico de 
planejamento e controle financeiro, como o fluxo de caixa. Com o uso do fluxo de cai-
xa é possível avaliar e projetar o saldo disponível, podendo assim, predizer eventuais 
gastou ou possíveis aplicações.
Hoji (2014) apresenta em sua literatura que o “regime de caixa é um sistema de regis-
tro contábil no qual são registrados os pagamentos e recebimentos no momento em 
que ocorrem”. Assim, o simples ato de registrar todos os recebimentos e pagamento 
é entendido como realização de um fluxo de caixa, pois a partir de tais informações é 
possível definir qual a análise financeira que melhor se adequa a realidade dos dados, 
maximizando as chances de sucesso de qualquer projeto. Não existe uma cartilha 
ideal de como proceder diante de um fluxo de caixa, pois a sua estrutura está direta-
mente relacionada a realidade e necessidade do investidor. Todavia o primeiro passo 
é sempre lançar as “contas a pagar” e as “contas a receber” para se ter noção da real 
situação.
Mariano (2015) apresenta em sua literatura que “no 
fluxo de caixa podemos nos deslocar e analisar o capital 
em uma data focal específica e podemos comparar o 
dinheiro no tempo”.
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Assaf (2016) define fluxo de caixa como “um 
instrumento que possibilita o planejamento e o 
controle dos recursos financeiros de uma empresa.”
4.2 INVESTIMENTO INICIAL
O capital aplicado visando obter rendimentos é classificado como investimento. Por-
tanto, o investimento inicial é o capital sobre o qual vão incidir os encargos e juros do 
projeto, ou seja, denominado nesta disciplina como Valor Presente (PV).
Hoji (2014) salienta que “o conceito de valor presente é importante na mensuração 
de valores, pois ajuda a compreender ou visualizar a grandeza do valor”. Assim é pre-
ciso ter em mente que o valor inicial é apenas a primeira necessidade de recurso, 
sendo sempre viável se ter bem definido um plano de ação para captar mais recursos.
Este investimento, no caso de uma empresa, expressa o montante de capital neces-
sário para a criação e inicio de operação da mesma. Ou seja, o investimento inicial é 
utilizado para providenciar as instalações física, os equipamentos e iniciar e manter 
as atividades nos primeiros meses de existência da empresa.
Hoji (2014) salienta que o investimento inicial para a abertura de uma empresa pode 
ser de natureza física, ou seja, da própria pessoa que irá abrir a empresa, ou mesmo 
de terceiros, neste caso chamados de financiadores.
De modo geral é possível classificar um investimento 
como “um capital que se aplica no intuito de obter 
rendimentos a prazo”, conforme apresenta Mariano 
(2015) em sua literatura.
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SUMÁRIO
Imagine que você tenha 80 mil reais e queira muito comprar um 
carro. Todavia, você escolhe em investir o seu capital em ações de uma 
empresa visando vende-las daqui a cinco anos por um preço mais 
elevado. É possível que neste período a empresa obtenha sucesso e 
você consiga resgatar no tempo estimado a quantia de 160 mil reais. 
Assim você com um investimento inicial, conseguiu dobrar o seu 
capital no período de cinco anos, mas teve que abdicar da satisfação 
imediata de adquirir o veículo.
4.3 CAPITAL DE GIRO
O capital de giro pode ser entendido como o investimento necessário para um deter-
minado empreendimento continuar operando normalmente, ou seja, um montante 
que supra as despesas operacionais.
É comum as empresas tratarem o capital de giro como capital de trabalho, uma vez 
que ele possibilita trabalhar com vantagens para o consumidor, como compras a pra-
zo, mantendo o operacional da empresa em dia, ou seja, as despesas operacionais.
É possível estimar o capital de giro através da diferença entre o montante de recur-
sos aplicados e o quanto a empresa consegue para financiar o seu capital de giro. 
Assim Tosi (2015) afirma que o capital de giro é “o tradicional empréstimo em conta 
corrente vinculado a um contrato específico que estabelece o prazo, a taxa de juros, 
o valor e as garantias necessárias e que visa atender as necessidades de recursos das 
empresas.” 
50
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Neste tipo de empréstimo as empresas não necessitam 
comprovar a destinação do recurso. 
Um conceito importante no que tange capitais de 
giro é a concepção do que é vem a ser receita e 
despesas. Nesta disciplina são tratadas como receita 
todo capital gerado e como despesa todo capital 
utilizado que dispenda de recursos.
4.4 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
Dois capitais são considerados equivalentes de possuírem a mesma taxa consideran-
do o mesmo período de tempo, ou seja, se quando transportados para um mesmo 
período de tempo os dois capitais resultarem em montantes equivalentes.
Se a taxa de juros equivale a 10% ao mês, é possível afirmar que 
uma pessoa que tenha R$ 100,00 em mãos hoje terá R$ 110,00 reais 
daqui a um mês. Assim, se compararmos os montantes 100 e 110 
erroneamente acreditaríamos que 110 é maior do que 100. Todavia, 
transportando os dois montantes para o mesmo período de tempo, 
temos que 110 daqui a um mês equivale a mesma quantia de 100 
hoje. Portanto, os capitais R$ 100,00 hoje e R$ 110,00 daqui a um mês 
são equivalentes.
Para compararmos montantes ao longo do tempo é necessário que 
eles sejam sempre transportados para o mesmo período, não nos 
permitindo fazer falsas inferências sobre qual montante representa 
maior valor agregado.
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Suponha que para você o dinheiro vale 15% ao mês e que você 
precisa comprar um produto que custa R$ 100,00. Para determinar 
qual dentre as três opções a seguir apresentadas é melhor do ponto 
de vista financeiro para você, basta transportar todas as opções para o 
mesmo período de tempo, ou seja, para o tempo 0.
Opção 1: 10% de desconto para o pagamento a vista;
Opção 2: Duas parcelas iguais, sendo uma no ato da compra e outra 
após 30 dias;
Opção 3: Duas parcelas iguais, sendo quitadas 30 e 60 dias após a 
compra.
Assim podemos representar as três opções por:
Opção 1 ⇒ 
Opção 2 ⇒ 
Opção 3 ⇒ 
Transportando as três opções para o tempo 0 para que possamos 
comparar o montante que cada uma representa no mesmo período 
de tempo, temos que:
Opção 1: R$ 90,00
Opção 2: R$ 50,00 + = 50 + 43,48 = R$ 93,48
Opção 3: = = R$ 81,29 
Portanto, a opção 3 é a mais vantajosa do ponto de vista financeiro 
pois você terá que dispor de menor capital no ato da compra.
 
0 1 2 
90 
 
0 1 2 
50 50 
 0 1 2 
50 50 
50
1 15,
50
1 15
50
1 152, ,
+
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Não necessariamente você precisa transportar para o tempo 0. 
Garantindo que os valores sejam comparados no mesmo período 
de tempo, você pode realocar os valores no tempo que achar mais 
conveniente.
Mariano (2015) apresenta como propriedades da equivalência de 
capitais que “no caso do pagamento de uma dívida, esta pode ser 
paga em qualquer data, bata fazermos um passeio no fluxo de caixa.” 
Assim matematicamente é possível representar a equivalência entre as 
taxas a partir da equação:
sendo:
 ⇒ a taxa
 ⇒ a taxa equivalente
ieq i
prazo em dias da taxa desejada QUERO
prazo em= +( )
( )
1 ddias da taxa fornecida TENHO x( ) −



1 100
i �
ieq �
Para determinar a taxa anual equivalente a uma taxa de 5% ao mês 
basta aplicar a equação de taxa equivalente, sendo i=0,05, e o prazo 
em dias das taxas desejadas e fornecida equivalentes a 360 e 30, 
respectivamente.
ieq = 79,58% ao ano.
ieq x= +( ) −



1 0 05 1 100
360
30
ieq x= ( ) − 1 05 1 100
12
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SUMÁRIO
Para resolver este exemplo com o auxilio da 
calculadora HP 12C basta inserir:
1 (enter) 0,05 ( + )
360 (enter) 30 ( ÷ ) (YX)
1 ( - ) 100 ( x )
Dalzot (2015) defini que “fluxos equivalentes a uma 
determinada taxa de juros necessariamente deixam 
de ser equivalentes em outras taxas.”
CONCLUSÃO 
Portanto é de suma importância equiparar as taxas e valores de projetos caso almeja-
mos compara-los. Pois projetos em períodos de tempos distintos podem apresentar 
montantes diferentes que no mesmo período de tempo seriam equivalentes. Em 
relação ao fluxo de caixa é notória a sua importância para a sobrevivência e saúde de 
qualquer empresa de qualquer setor. Assim, é possível inferir que com o auxilio do 
fluxo de caixa e tendo noção de como comparar corretamente montantes e/ou taxas 
é possível manter uma empresa em pleno funcionamento.
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OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos 
que possa:
UNIDADE 5
> Identificar o que são 
rendas tributáveis;
> Analisar os efeitos da 
depreciação sobre 
essas rendas.
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SUMÁRIO
5 EFEITOS DA DEPRECIAÇÃO 
SOBRE RENDAS TRIBUTÁVEIS
Olá! Nesta unidade iremos trabalhar com o que são rendas tributáveis e quais os efei-
tos da depreciação delas no nosso cotidiano. O quanto elas interferem na receita no 
âmbito familiar e empresarial, além de discutir o que vem a ser estes tributos e quais 
os órgãos que os regulamentam.
5.1 RENDAS TRIBUTÁVEIS
Antes de conversarmos sobre os tipos de rendas tributáveis é preciso entender o que 
são elas e como funcionam. Assim, existem rendimentos tributáveis de pessoa física 
ou para pessoa jurídica, de acordo com o rendimento médio. Hoji (2014) salienta que 
“o Imposto de Renda e Contribuição Social indica os tributos a pagar, calculados so-
bre o lucro tributável.” Portanto, é possível inferir que os rendimentos tributáveis de 
pessoas físicas ou jurídicas são taxas referentes ao montante movimentado.
Tosi (2015) apresenta em sua literatura que os tributos podem ser cobrados pelos 
bancos nas mais diversas operações bancárias realizadas. Assim, os bancos utilizam 
os recursos em trânsito de seu caixa como fonte de operação tributária. Todavia, essa 
tributação pode ser encontrada nas mais diversas operações.
Como os tributos estão presentes em todas as operações, é pos-
sível inferir que “do ponto de vista de um projeto de investimen-
tos, o que importa realmente é o que se ganha após os impos-
tos”, conforme salienta Hoji (2014) em seus estudos.
As rendas tributáveis, tanto para pessoa física quanto para pessoa jurídica, são comu-
mente observadas a partir do Imposto de Renda pago pela maioria dos brasileiros. 
Esse imposto é obrigatório e equivalente a um percentual sobre os lucros obtidos e 
demonstrados no decorrer de um ano.
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FIGURA 2 - TRIBUTAÇÃO
Fonte: SHUTTERSTOCK, 2018.
5.1.1 RENDA TRIBUTÁVEIS PESSOA FÍSICA
No que tange a contribuição para fins de imposto de renda de pessoas físicas, são 
considerados rendimentos tributáveis os rendimentos provenientes do trabalho as-
salariado, além de quaisquer rendimentos obtidos através da execução de uma ativi-
dade formal ou informal que gere recursos, como bolsas de estudos.
Alguns exemplos de rendimentos tributáveis, mesmo como 
pessoa física, são aluguéis, resgates de previdência privada, 
aposentadorias, salários, prestação de serviços, ações judiciais, 
pensões etc.
Assim, é de suma importância que todo cidadão declare seus rendimentos, mesmo 
que estes não tenham sido tributáveis, ou seja, mesmo que não tenha ocorrido reten-
ção de imposto, visando manter-se em dia com suas obrigações tributárias.
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SUMÁRIO
FIGURA 3 - IMPOSTO DE RENDA
Fonte: SHUTTERSTOCK, 2018.
Um fator importante em relação a esta tributação é que ela gera vantagens ao cida-
dão que está em dia com suas obrigações. Assim, ao declarar corretamente os seus 
rendimentos o cidadão tem direito à:
• Férias;
• Gratificações, prêmios e cotas;
• Comissões e corretagens;
• Prêmio de seguro individual de vida;
• Despesas pagas para aquisição de alimentos;
Além de várias outras vantagens listadas no site oficial da Receita Federal, que é o 
órgão responsável pelo recolhimento, vistoria e controle deste tipo de tributação.
Um outro ponto de grande importância em relação à tributação sobre Renda para pes-
soas físicas é que é possível incluir um dependente. Assim, é possível deduzir sobre o mon-
tante tributado os custos com educação e saúde da pessoa física e de seus dependentes.
58
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5.1.2 RENDA TRIBUTÁVEIS PESSOA JURÍDICA
No que tange a tributação para as pessoas Jurídicas, Hoji (2014) respalda que o Im-
posto de Renda é a diferença entre a Receita anual e a Despesa anual. Sendo que 
quanto maior a despesa, menor será o lucro, o que implica em menor tarifação do 
Imposto de Renda. Assim, uma “empresa precisa ser lucrativa para poder destinar 
partedo lucro para função social, como pagamento de tributos”. Pois, as doações 
para instituições de caridade abatem no valor devido ao Imposto de Renda.
Para recolhimento desta tributação é aplicada uma alíquota sobre o lucro, que pode 
ser real, presumido ou arbitrado, de acordo com o porte da empresa e do tipo de 
atividade que esta desenvolve. Portanto, toda empresa esta sujeita ao pagamento do 
Imposto de Renda.
FIGURA 4 - TRIBUTAÇÃO PESSOA FÍSICA
Fonte: SHUTTERSTOCK, 2018.
Como o imposto tributado é mensurado pela diferença entre a receita das vendas, ou 
serviços prestados por uma empresa e o seu custo de produção ou serviços vendidos, 
é preciso entender quais são os custos reconhecidos pelo imposto de renda como 
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SUMÁRIO
custos de produção. Portanto, a matéria prima utilizada na produção, as quebras e 
perdas, a depreciação do produto, o pessoal da produção e os reparos dos bens utili-
zados são considerados como custo da produção e portando dedutíveis no imposto 
de renda.
5.1.3 DEPRECIAÇÃO
Puccini (2017) apresenta em sua literatura que “na análise de viabilidade econômica 
de um investimento, devemos inicialmente assumir que sua realização será́ alcan-
çada exclusivamente com recursos próprios do investidor.” Além de apresentar a de-
preciação “como uma despesa dedutível para efeito de Imposto de Renda, apesar de 
não representar uma saída efetiva de caixa”.
Portanto, a depreciação pode ser entendida como a despesa equivalente à diminui-
ção do valor de um bem resultante do desgaste pelo uso, ação da natureza ou obso-
lescência do item.
FIGURA 5 - DEPRECIAÇÃO
Fonte: SHUTTERSTOCK, 2018.
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A vida útil de um equipamento é de 5 anos, sendo o seu valor 
de compra à vista equivalente a $ 15.000,00, com valor resi-
dual de $ 3.000,00. Uma determinada empresa almeja adqui-
rir este equipamento visando ter um ganho líquido anual 
equivalente a $ 5.000,00 nos próximos cincos anos. Ciente de que o equi-
pamento será depreciado linearmente no prazo de cinco anos e que a 
alíquota do Imposto de Renda dessa empresa é equivalente a 35% sobre 
a renda tributável. Para determinar as taxas internas de retorno desse in-
vestimento, temos que, a priori é preciso construir o fluxo de caixa como 
na tabela a seguir:
QUADRO 4 - FLUXO DE CAIXA
ANO
FLUXO 
DE CAIXA 
ANTES DO 
IMPOSTO 
DE RENDA
DEPRE-
CIAÇÃO 
LINEAR
RENDA TRI-
BUTÁVEL
FLUXO DE 
CAIXA DO 
IMPOSTO 
DE RENDA
FLUXO 
DE CAIXA 
APÓS O IM-
POSTO DE 
RENDA
0 - 15.000,00 - 15.000,00
1 5.000,00 -2.400,00 2.600,00 - 910,00 4.090,00
2 5.000,00 -2.400,00 2.600,00 - 910,00 4.090,00
3 5.000,00 -2.400,00 2.600,00 - 910,00 4.090,00
4 5.000,00 -2.400,00 2.600,00 - 910,00 4.090,00
5 5.000,00 -2.400,00 2.600,00 - 910,00 4.090,00
Valor resi-
dual 3.000,00 3.000,00
Soma 13.000,00 - 12.000,00 13.000,00 -4.500,00 8.450,00
tir 23,25% 15,52%
Fonte: Puccini (2017).
É importante frisar que Puccini (2017) salienta em seu estudo que a “obtenção do 
fluxo de caixa é consequência da renda tributável do investimento”, sendo esta de-
pendente das regras aprovadas pelo governo vigente. Portanto, a depreciação apre-
sentada foi obtida a partir do cálculo:
2
Depreciaçãoanual valor inicial valor residual
prazo ema
=
nnos
Depreciaçãoanual
Depreciaçãoanual
)
-
.
=
=
15000 3000
5
4000 00,
61
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Assim, mesmo a depreciação não indicando uma saída efetiva do fluxo de caixa, ela 
apresenta uma influencia direta no fluxo de caixa do Imposto de Renda, uma vez que 
reduz a renda tributável anual através da relação:
Rendatributável anual Depreciaçãoanual
Rendatributá
= −5000
vvel anual
Rendatributável anual . ,
= −
=
5000 2400
2 600 00
Portanto, é possível inferir que o Imposto de Renda reduziu a taxa interna do inves-
timento de 23,25% ao ano, para 15,52% ao ano e que o investimento foi totalmente 
realizado com capital próprio.
Hoji (2014) salienta ainda que a depreciação pode ser classificada como real ou teóri-
ca. Sendo a real aquela mensurada a partir da diferença entre o preço de um produto 
novo e o seu valor de revenda e a depreciação teórica aquela mensurada a partir do 
tempo de uso e os critérios de desvalorização. Lembrando que em ambas o tempo é 
um fator de suma importância para essa mensuração.
É possível então inferir que a depreciação nada mais é do que uma redução no valor 
financeiro de um bem ou serviço no decorrer do tempo. Assim, é possível entender 
que o papel da matemática financeira, no que tange a depreciação de um bem ou 
serviço, é zelar para que o registro seja realizado adequadamente, visando analisar a 
viabilidade da empresa, ou mesmo da pessoa física, reduzir o lucro tributável, alme-
jando assim maximizar o lucro líquido.
Tosi (2015) salienta ainda que para estimar a depreciação de um produto é preciso 
avaliar o tempo de utilização deste previsto por lei, sendo possível acelerar a sua de-
preciação ao se provar sua utilização superior a este período. Lembrando ainda que a 
“depreciação é uma despesa não desembolsável, uma vez que ela é apurada a partir 
da entrada de um ativo permanente”. Assim, é de suma importância que o adminis-
trador acompanhe periodicamente as entradas e saídas de uma empresa para poder 
utilizar corretamente a aceleração da depreciação.
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FIGURA 6 - CONTROLE FINANCEIRO
Fonte: SHUTTERSTOCK, 2018.
Puccini (2017) ressalta ainda que existem bens que não podem 
ser depreciados, assim como terrenos e os bens que aumentam 
de valor com o passar do tempo ou mesmo que não estejam 
ligados à produção ou comercialização de bens e serviços.
CONCLUSÃO
Portanto, é possível compreender que, tanto pessoal física quanto pessoa jurídica 
está propensa a ser tarifada sobre rendas tributáveis. Todavia, nem toda renda é pas-
sível de tributação, sendo necessário seguir as regras e normas ditadas pela Receita 
Federal. No que tange a questão da depreciação de um bem ou produto, é possível 
inferir que está mensuração está diretamente relacionada ao tempo de usabilidade 
do produto e do seu tempo estimado de vida útil. Sendo que a depreciação de um 
produto pode influenciar a sua tributação.
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SUMÁRIO
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos 
que possa:
> Reconhecer o que 
é um sistema de 
amortização;
> Identificar 
corretamente os 
tipos de sistema de 
amortização mais 
utilizados;
> Construir tabelas de 
demonstrativo de 
amortização.
UNIDADE 6
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6 SISTEMAS DE 
AMORTIZAÇÃO
Olá! Vamos juntos aprender um pouco mais sobre os principais sistemas de amorti-
zação utilizados no mercado brasileiro e como eles afetam as nossas vidas. Você já 
parou para pensar como existem diferentes formas de se quitar um empréstimos 
adquirido? Essas diferentes formas é o que chamamos de sistema de amortização, 
sendo todas elas diretamente relacionadas ao saldo devedor e sobre os juros incidi-
dos sobre o montante. Vamos então mergulhar juntos na magia dos números e na 
sua relação com o nosso cotidiano.
6.1 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO 
A amortização pode ser entendida como o ato de quitar totalmente uma dívida con-
traída, efetuando o pagamento total incluindo a devoluçãodo valor contratado além 
dos juros embutidos no prazo estipulado. Gustavo (2001) saliente que a amortização 
é “a efetiva redução do principal, ou seja, a diminuição real da dívida contraída”. Sen-
do entendido como principal o montante resultante do capital adquirido acrescido 
dos juros embutido na transação. Dal Zot (2015) esclarece em sua literatura que 
“sistemas de amortização são diferentes formas de se pagar um empréstimo”. Assim, 
podemos entender que o ato de amortizar nada mais é do que o ato de efetuar o 
pagamento de uma dívida.
Já Puccini (2017) relaciona o sistema de amortização ao fluxo de caixa, apresentando 
em sua literatura que “o fluxo de caixa das amortizações é a forma como o principal é 
devolvido ao financiador ao longo do tempo”. Assim, existem diferentes tipos de siste-
ma de amortização, todos eles relacionados a forma de quitação e ao tempo de amor-
tização do principal. Portanto, em um sistema de amortização de financiamento é es-
sencial a definição da forma como a qual o principal do financiamento será quitado.
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SUMÁRIO
FIGURA 7 - AMORTIZAÇÃO
Fonte: SHUTTERSTOCK, 2018.
De acordo com Gustavo (2001) em relação ao sistema de amortização “a regra uni-
versal adotada pela Matemática Financeira e utilizada nas planilhas eletrônicas e cal-
culadoras financeiras é que os pagamentos periódicos devem, em primeiro lugar, ser 
usados na liquidação dos juros do período correspondente, e os saldos, se houver, 
devem ser aplicados na amortização do principal do financiamento”. Sendo, os prin-
cipais sistemas de amortização utilizados hoje em território Nacional o (1) sistema 
de amortização bullet ou do montante; (2) sistema Price ou Francês; (3) sistema de 
amortização constante (SAC) e (4) sistema de amortização misto (SAM). Todavia, in-
dependentemente do tipo de sistema de amortização adotado é senso comum que 
o valor da prestação equivale a amortização acrescida dos juros, ou seja:
Prestação = Amortização + Juros
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6.1.1 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO BULLET OU DO 
MONTANTE
O sistema de amortização bullet ou do montante ocorre quando o principal é liqui-
dado ao final do contrato por meio de um único pagamento. Esse pagamento único 
corresponde ao montante resultante do valor da amortização do principal acrescido 
dos juros decorrente da operação, não existindo, portanto, nenhum outro pagamen-
to intermediário. Dal Zot (2015) nomeia este tipo de amortização, em sua literatura, 
como sistema de amortização americano. Neste tipo de amortização o saldo devedor 
(amortização acrescida dos juros) pode ser estimado em qualquer período de tempo 
(n), através da mesma fórmula utilizada para estimar o valor futuro (FV), ou seja:
FV=PV.(1 +i)t
sendo,
PV � o capital, ou seja, o valor sobre o qual os juros irão incidir. Valor Presente – em 
inglês Present Value;
i � a taxa de juros aplicada;
t � o tempo de amortização, ou seja, está sempre fazendo referência a uma unidade 
temporal, como dia, mês, ano, etc;
FV � o montante final, ou seja, a adição entre o capital aplicado e o juros incidido 
sobre o mesmo.
Puccini (2017) esclarece em sua literatura que esse sistema é 
amplamente utilizado em empréstimos de bancos no mercado 
brasileiro.
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SUMÁRIO
FIGURA 8 - AMORTIZAÇÃO NO BANCO
Fonte: SHUTTERSTOCK, 2018.
Portanto, o demonstrativo da evolução de uma dívida, contraída no sistema de amor-
tização bullet, explicitando o juros, o valor da amortização e do saldo devedor em 
qualquer momento pode ser descrito pela tabela a seguir, sendo SDi o saldo devedor 
no i-ésimo tempo.
QUADRO 5 - DEMONSTRATIVO DO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO BULLET
Nº PAGAMENTO JUROS AMORTIZA-ÇÃO
SALDO 
DEVEDOR
0 - - - SD0 = PV
1 - - - SD1 = PV(1+i)
1
2 - - - SD2 = PV(1+i)
2
... ... ... ... ...
n Pn = PJ + J Jn = PV[(1 + i)
n - 1] An = PV SDn = SDn-1-An
Fonte: A autora
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Ao se contrair um empréstimo de $10.000 contratado a juros 
de 12,5% ao ano, em uma instituição financeira para ser quita-
do em uma parcela única ao final de cinco anos, o montante 
a ser liquidado será equivalente a:
Portanto, temos que:
PV = 10.000,00
t = 5 anos
i = 0,125 (ao ano)
FV = ?
Assim, utilizando a equação:
FV = PV.(1 +i)t
Temos que:
FV = 10000.(1 + 0,125)5
FV = 18.020,32
Portanto, o montante a ser liquidado após 5 anos ao se contrair um em-
préstimo de $10.000 contratado a juros de 12,5% ao ano, em uma institui-
ção financeira para ser quitado em uma parcela única será equivalente a 
$18.020,32.
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SUMÁRIO
Para determinar o montante na calculadora HP-12C basta:
entrar com PV (CHS)(PV)
i (i)
t (n)
(g) (END)
e clicar em (FV)
ou seja, no exemplo anterior:
10000 (CHS)(PV)
12,5 (i)
5 (n)
g) (END)
e clicar em (FV)
Assim, FV = 18020,32.
Caso você ache viável é possível construir um demonstrativo de 
financiamento, conforme descrito na tabela 1, apresentando o 
saldo devedor ao final de cada período. Assim,
QUADRO 6 - DEMONSTRATIVO DO FINANCIAMENTO
Nº PAGAMEN-TO JUROS
AMORTIZA-
ÇÃO
SALDO DE-
VEDOR
0 - - - 10.000,00 
1 0,00 0,00 0,00 11.250,00 
2 0,00 0,00 0,00 12.656,25 
3 0,00 0,00 0,00 14.238,28 
4 0,00 0,00 0,00 16.018,07 
5 18.020,32 8.020,32 10.000,00 -
total 18.020,32 8.020,32 10.000,00 
Fonte: A autora
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6.1.2 SISTEMA PRICE OU FRANCÊS
O sistema Price ou Francês, recebe este nome “em homenagem ao pensador e mate-
mático inglês Richard Price”, conforme relata Gustavo (2001) em sua literatura. Neste 
sistema, o empréstimo é amortizado em prestações iguais e imediatas, cada uma 
das quais contém uma parte destinada à amortização do saldo devedor e outra para 
pagamento dos juros. Por esse sistema, os juros decrescem exponencialmente ao 
longo do tempo, à mesma taxa da dívida, uma vez que são calculados sobre o saldo 
devedor, que é cada vez menor. Com isso, as amortizações são cada vez maiores para 
que, somadas aos juros, totalizem prestações iguais. Dal Zot (2015) salienta em sua 
literatura que “no sistema Price, os pagamentos são iguais; o valor de cada pagamen-
to é obtido pelo cálculo de uma anuidade antecipada; logo, ao montar-se o plano 
financeiro, a coluna dos pagamentos deve ser a primeira a ser preenchida.”
A quantidade de prestações neste tipo de amortização pode variar em função do con-
trato e são estimadas pelo quociente entre o valor presente o montante das taxas, assim:
PMT PV
i
i i
t
t
=
+( ) −
+( )







.
1 1
1
sendo,
PMT � o valor correspondente a parcela no t-ésimo período de tempo;
Puccini (2017) esclarece em sua literatura que esse sistema é 
amplamente utilizado em financiamentos de bens de con-
sumo do mercado brasileiro como automóveis, eletrodomés-
ticos, podendo ser também utilizado no pagamento de fi-
nanciamento imobiliário.
Portanto, o demonstrativo da evolução de uma dívida, contraída no sistema de amor-
tização Price, explicitando o juros, o valor da amortização e do saldo devedor em 
qualquer momento pode ser descrito pela tabela a seguir, sendo SDi o saldo devedor 
no i-ésimo tempo.
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