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Transformada Z-resumo

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Transformada Z
Luı´s Caldas de Oliveira
Resumo
1. Definic¸a˜o
2. Regia˜o de Convergeˆncia
3. Transformada Inversa
4. Propriedades da Transformada Z
Introduc¸a˜o
� A transformada de Fourier na˜o converge para todas as sequeˆncias.
� A transformada Z abrange uma maior classe de sinais.
� A transformada Z desempenha o mesmo papel para os sinais discretos o
mesmo papel que a transformada de Laplace para os contı´nuos.
Lu ı´s Caldas de Oliveira 1
Transformada Z Bilateral
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Lu ı´s Caldas de Oliveira 2
Transformada de Fourier e Transformada Z
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ff
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fi
fl �
A transformada de Fourier e´ a transformada Z calculada sobre o cı´rculo
unita´rio ( ffi � ffi � � � � ):
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ff
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z=e
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1
Im
Re
Plano z
Lu ı´s Caldas de Oliveira 3
Convergeˆncia da Transformada Z
Aplicando a condic¸a˜o da sequeˆncia ser absolutamente soma´vel, usada para
a transformada de Fourier:
�
�
	
�
�
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ffi
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� ffi ffi
�
ffi
�
�
�
�
A convergeˆncia da transformada de-
pende apenas de
ffi
�
ffi
e por isso a regia˜o
de convergeˆncia tera´ a forma de um
anel.
Em certos casos o limite interno do anel
podera´ ser a origem e o limite externo
podera´ ser infinito.
Im
Re
Plano z
Lu ı´s Caldas de Oliveira 4
Quando a Transformada Z e´ uma Func¸a˜o Racional
Uma importante classe de transformadas sa˜o aquelas em que a transfor-
mada Z e´ uma func¸a˜o racional no interior da regia˜o de convergeˆncia:
�
��
�
�
�
�
��
�
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��
�
�
Em que �
��
�
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e
�
��
�
�
sa˜o polino´mios em � .
zeros de �
��
�
�
: nome dado a`s raı´zes do numerador ( � ��� � ).
po´los de �
��
�
�
: nome dado a`s raı´zes do denominador ( � ��� � ).
Lu ı´s Caldas de Oliveira 5
Sequeˆncias Laterais
Exemplo de sequeˆncia lateral
direita:
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
Im
Rea
Plano z
1
Im
Re
Plano z
a
Exemplo de sequeˆncia lateral
esquerda:
�
��
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�
Lu ı´s Caldas de Oliveira 6
Transformadas Z Comuns
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ffi
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� excepto � ( � � �) ou � ( � � �)
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Lu ı´s Caldas de Oliveira 7
Transformadas Z Comuns
Lu ı´s Caldas de Oliveira 8
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� caso contra´rio
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ffi
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ffi
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Lu ı´s Caldas de Oliveira 9
Propriedades da Regia˜o de Convergeˆncia
Se a transformada Z for uma func¸a˜o racional e � � � � tiver amplitude finita
excepto possivelmente em � � � � ou � � ��:
Propriedade 1: A regia˜o de convergeˆncia e´ um anel centrado na origem.
Propriedade 2: A transformada de Fourier de � ��� � converge absolutamente
sse a regia˜o de convergeˆncia da transformada Z incluir o cı´rculo unita´rio.
Propriedade 3: A regia˜o de convergeˆncia na˜o pode incluir nenhum po´lo.
Propriedade 4: Se � ��� � for um sequeˆncia de durac¸a˜o finita enta˜o a regia˜o
de convergeˆncia e´ todo o plano z excepto possivelmente � � � ou � � �.
Lu ı´s Caldas de Oliveira 10
Propriedades da Regia˜o de Convergeˆncia (cont.)
Propriedade 5: Se � � � � for um sequeˆncia lateral direita a regia˜o de con-
vergeˆncia estende-se para fora do po´lo mais afastado da origem (incluindo
possivelmente � � �).
Propriedade 6: Se � � � � for um sequeˆncia lateral esquerda a regia˜o de con-
vergeˆncia estende-se para o interior do po´lo mais pro´ximo da origem (in-
cluindo possivelmente � � �).
Propriedade 7: Se � ��� � for um sequeˆncia bilateral a regia˜o de convergeˆncia
sera´ um anel no plano Z, limitado no interior e exterior por um po´lo e na˜o
contendo po´los no seu interior.
Propriedade 8: A regia˜o de convergeˆncia tem de ser uma regia˜o ligada.
Lu ı´s Caldas de Oliveira 11
Transformada Z Inversa – Me´todo de Inspecc¸a˜o
Reconhecer por inspecc¸a˜o certos pares de transformadas.
Exemplo:
�
��
�
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ffi
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ffi
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Usa-se o par de transformadas:
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ffi
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ffi
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ffi
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ffi
Lu ı´s Caldas de Oliveira 12
Transformada Z Inversa – Expansa˜o em Fracc¸o˜es Simples
�
��
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Se 	 � � e se os po´los forem todos de primeira ordem:
�
��
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em que:
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��
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� ffi
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�
Lu ı´s Caldas de Oliveira 13
Transformada Z Inversa – Expansa˜o em Fracc¸o˜es Simples
No caso 	
 � e existir um po´lo de ordem � em � � ��� :
�
��
�
�
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�
em que � � pode ser obtido por divisa˜o longa do numerador pelo denominador
terminando-o quando o grau do resto for menor que o do denominador,
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ff
Lu ı´s Caldas de Oliveira 14
Transformada Z Inversa – Expansa˜o em Se´rie de Poteˆncias
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fl fl fl
Os valores da sequeˆncia sa˜o os coeficientes das poteˆncias de � �
�
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Lu ı´s Caldas de Oliveira 15
Linearidade
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��
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Com a regia˜o de convergeˆncia:
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��
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Lu ı´s Caldas de Oliveira 16
Deslocamento Temporal
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� �
��
�
�
Com a regia˜o de convergeˆncia:
��
� excepto a possı´vel adic¸a˜o ou remoc¸a˜o de � � � ou � � �
Lu ı´s Caldas de Oliveira 17
Multiplicac¸a˜o por uma Sequeˆncia Exponencial
�
�
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��
�
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��
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��
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Com a regia˜o de convergeˆncia:
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ffi
��
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Lu ı´s Caldas de Oliveira 18
Diferenciac¸a˜o
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��
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�
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��
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�
�
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Com a regia˜o de convergeˆncia:
��
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Lu ı´s Caldas de Oliveira 19
Conjugado de uma Sequeˆncia Complexa
�
� ��
�
�
�
�
�
�
� ��
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� �
Com a regia˜o de convergeˆncia:
��
�
Lu ı´s Caldas de Oliveira 20
Inversa˜o Temporal
�
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�
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�
�
�
�
�
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��
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�
Com a regia˜o de convergeˆncia:
�
��
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Lu ı´s Caldas de Oliveira 21
Convoluc¸a˜o de Sequeˆncias
�
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��
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�
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��
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��
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Com a regia˜o de convergeˆncia:
��
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��
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�
Lu ı´s Caldas de Oliveira 22
Teorema do Valor Inicial
Se � ��� � for uma sequeˆncia causal:
�
�
�
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�
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�
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Lu ı´s Caldas de Oliveira 23

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