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Transformada Z Luı´s Caldas de Oliveira Resumo 1. Definic¸a˜o 2. Regia˜o de Convergeˆncia 3. Transformada Inversa 4. Propriedades da Transformada Z Introduc¸a˜o � A transformada de Fourier na˜o converge para todas as sequeˆncias. � A transformada Z abrange uma maior classe de sinais. � A transformada Z desempenha o mesmo papel para os sinais discretos o mesmo papel que a transformada de Laplace para os contı´nuos. Lu ı´s Caldas de Oliveira 1 Transformada Z Bilateral � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � Lu ı´s Caldas de Oliveira 2 Transformada de Fourier e Transformada Z � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � �� � �� � � � � � � �� �ff fi fl � � � � � � � � � �� � � � � � � ff � fi fl � A transformada de Fourier e´ a transformada Z calculada sobre o cı´rculo unita´rio ( ffi � ffi � � � � ): � � ff fi fl � � � � � � � � �� � � ff � fi fl � ω z=e ωj 1 Im Re Plano z Lu ı´s Caldas de Oliveira 3 Convergeˆncia da Transformada Z Aplicando a condic¸a˜o da sequeˆncia ser absolutamente soma´vel, usada para a transformada de Fourier: � � � � � ffi � �� � � ffi ffi � ffi � � � � A convergeˆncia da transformada de- pende apenas de ffi � ffi e por isso a regia˜o de convergeˆncia tera´ a forma de um anel. Em certos casos o limite interno do anel podera´ ser a origem e o limite externo podera´ ser infinito. Im Re Plano z Lu ı´s Caldas de Oliveira 4 Quando a Transformada Z e´ uma Func¸a˜o Racional Uma importante classe de transformadas sa˜o aquelas em que a transfor- mada Z e´ uma func¸a˜o racional no interior da regia˜o de convergeˆncia: � �� � � � � �� � � � �� � � Em que � �� � � e � �� � � sa˜o polino´mios em � . zeros de � �� � � : nome dado a`s raı´zes do numerador ( � ��� � ). po´los de � �� � � : nome dado a`s raı´zes do denominador ( � ��� � ). Lu ı´s Caldas de Oliveira 5 Sequeˆncias Laterais Exemplo de sequeˆncia lateral direita: � �� � � � � � � � � � 1 Im Rea Plano z 1 Im Re Plano z a Exemplo de sequeˆncia lateral esquerda: � �� � � � � � � � � � � � � � Lu ı´s Caldas de Oliveira 6 Transformadas Z Comuns � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ffi � ffi � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ffi � ffi � � � �� � � � � � � � � � � � excepto � ( � � �) ou � ( � � �) � � � � � � � � � � � � �� � � � ffi � ffi � ffi � ffi � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � ffi � ffi � ffi � ffi Lu ı´s Caldas de Oliveira 7 Transformadas Z Comuns Lu ı´s Caldas de Oliveira 8 � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � ffi � ffi � ffi � ffi � � � � � � � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � ffi � ffi � ffi � ffi �� � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � ffi � ffi � ffi � ffi � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � ffi � ffi � ffi � ffi � � �� � �� � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � ffi � ffi � � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � ffi � ffi � � � � � � � � � � � � � � caso contra´rio � � � � � � � � � � � � �� � � � ffi � ffi � � Lu ı´s Caldas de Oliveira 9 Propriedades da Regia˜o de Convergeˆncia Se a transformada Z for uma func¸a˜o racional e � � � � tiver amplitude finita excepto possivelmente em � � � � ou � � ��: Propriedade 1: A regia˜o de convergeˆncia e´ um anel centrado na origem. Propriedade 2: A transformada de Fourier de � ��� � converge absolutamente sse a regia˜o de convergeˆncia da transformada Z incluir o cı´rculo unita´rio. Propriedade 3: A regia˜o de convergeˆncia na˜o pode incluir nenhum po´lo. Propriedade 4: Se � ��� � for um sequeˆncia de durac¸a˜o finita enta˜o a regia˜o de convergeˆncia e´ todo o plano z excepto possivelmente � � � ou � � �. Lu ı´s Caldas de Oliveira 10 Propriedades da Regia˜o de Convergeˆncia (cont.) Propriedade 5: Se � � � � for um sequeˆncia lateral direita a regia˜o de con- vergeˆncia estende-se para fora do po´lo mais afastado da origem (incluindo possivelmente � � �). Propriedade 6: Se � � � � for um sequeˆncia lateral esquerda a regia˜o de con- vergeˆncia estende-se para o interior do po´lo mais pro´ximo da origem (in- cluindo possivelmente � � �). Propriedade 7: Se � ��� � for um sequeˆncia bilateral a regia˜o de convergeˆncia sera´ um anel no plano Z, limitado no interior e exterior por um po´lo e na˜o contendo po´los no seu interior. Propriedade 8: A regia˜o de convergeˆncia tem de ser uma regia˜o ligada. Lu ı´s Caldas de Oliveira 11 Transformada Z Inversa – Me´todo de Inspecc¸a˜o Reconhecer por inspecc¸a˜o certos pares de transformadas. Exemplo: � �� � � � � � � � � � � � � ffi � ffi � � � Usa-se o par de transformadas: � � � �� � � � � � � � � �� � � � ffi � ffi � ffi � ffi Lu ı´s Caldas de Oliveira 12 Transformada Z Inversa – Expansa˜o em Fracc¸o˜es Simples � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Se � � e se os po´los forem todos de primeira ordem: � �� � � � � � � � � � � � � � � em que: � � � � � � � � � � � � �� � � ffi � � � Lu ı´s Caldas de Oliveira 13 Transformada Z Inversa – Expansa˜o em Fracc¸o˜es Simples No caso � e existir um po´lo de ordem � em � � ��� : � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � em que � � pode ser obtido por divisa˜o longa do numerador pelo denominador terminando-o quando o grau do resto for menor que o do denominador, � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �fi ff Lu ı´s Caldas de Oliveira 14 Transformada Z Inversa – Expansa˜o em Se´rie de Poteˆncias � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � fl fl fl � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � fl fl fl Os valores da sequeˆncia sa˜o os coeficientes das poteˆncias de � � � . Lu ı´s Caldas de Oliveira 15 Linearidade � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � �� � � Com a regia˜o de convergeˆncia: �� � � � �� � � Lu ı´s Caldas de Oliveira 16 Deslocamento Temporal � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � Com a regia˜o de convergeˆncia: �� � excepto a possı´vel adic¸a˜o ou remoc¸a˜o de � � � ou � � � Lu ı´s Caldas de Oliveira 17 Multiplicac¸a˜o por uma Sequeˆncia Exponencial � � � � �� � � � � � � �� � �� � � � Com a regia˜o de convergeˆncia: ffi � � ffi �� � Lu ı´s Caldas de Oliveira 18 Diferenciac¸a˜o � � �� � � � � � � � � � �� � � � � Com a regia˜o de convergeˆncia: �� � Lu ı´s Caldas de Oliveira 19 Conjugado de uma Sequeˆncia Complexa � � �� � � � � � � � �� � � � Com a regia˜o de convergeˆncia: �� � Lu ı´s Caldas de Oliveira 20 Inversa˜o Temporal � � � � � � � � � � � �� � � Com a regia˜o de convergeˆncia: � �� � Lu ı´s Caldas de Oliveira 21 Convoluc¸a˜o de Sequeˆncias � � �� � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � Com a regia˜o de convergeˆncia: �� � � � �� � � Lu ı´s Caldas de Oliveira 22 Teorema do Valor Inicial Se � ��� � for uma sequeˆncia causal: � � � � � � � � � � � � �� � � Lu ı´s Caldas de Oliveira 23
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