Transformada Z - Unicamp

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EA616 − Prof. Von Zuben 
DCA/FEEC/Unicamp 
Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 1 
Transformada e Anti-Transformada Z 
1 Definição de Transformada Z 
• dada uma função de variável independente discreta 
,...2,1,0),( =kkf 
então a Transformada Z de f(k) assume a forma: 
[ ] ( ) ∑∑ ∞+
=
−
∞+
=
−
∆
===
00
1 )()()()(
k
k
k
k
zkfzkfzFkfZ 
onde z é uma variável complexa e se considera que a série de potências de 1−z é 
convergente. 
• repare que a transformada Z converte uma seqüência de números no domínio real 
em uma expressão algébrica no domínio complexo. 
 
 
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Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 2 
Exemplo 1 
• 
kbkf =)( , com b constante e positivo 
• [ ] ∑∑ ∞+
=
∞+
=
−
∆ 


===
00
)()(
k
k
k
kk
z
b
zbzFkfZ 
• para que a série seja convergente, deve-se ter bz
z
b
>⇒<1 
• neste caso, tem-se uma progressão geométrica de razão 
z
b
r = e 10 =a 
• é sabido que a soma dos k primeiros termos produz: 
r
r
as
k
k
−
−
=
1
1
0 
• como tem-se que 1<r , então para +∞→k resulta: 
r
a
skk
−
=
+∞→ 1
lim 0 
• com isso, a Transformada Z assume a forma: 
[ ] [ ]
bz
z
z
bzFbZkfZ
k
−
=
−
===
1
1)()( 
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Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 3 
Exemplo 2 
• amostragem com período T de atetf =)( , com a constante 
• considerando kTtk = , com T constante e k=0,1,2,... 
• ( ) kkaTakTk beetfkf ==== )()( , com aTeb = 
• com isso, resulta: [ ] [ ]
aT
akT
ez
z
zFeZkfZ
−
=== )()( 
 
Exemplo 3 
• amostragem com período T de )()( tutf = , ou seja, o degrau unitário 
• considerando kTtk = , com T constante e k=0,1,2,... 
• 1)()( == ktfkf 
• com isso, resulta: [ ] [ ] [ ]
1
)(11)(
−
====
z
z
zFZZkfZ k 
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Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 4 
Exemplo 4 
• função delta de Kronecker: 

=
=
=δ
,...2,1 se 0
0 se 1)(
k
k
k 
• [ ] 1)()()(
0
=δ==δ ∑∞+
=
−
k
kzkzFkZ 
2 Relação entre a Transformada Z e a Transformada de 
Laplace 
• considere o seguinte amostrador ideal de sinais: 
Tf(t) f*(t)
 
• f(t): função de variável contínua t ∈ ℜ, com f(t) = 0 para t < 0 
• f*(t): função amostrada pulsada 
• T: período de amostragem (constante) 
• matematicamente, definindo o trem de pulsos ∑∞+
=
−δ=
0
)()(
k
ktttm , com kTtk = : 
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Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 5 
m(t)
t0 T 2T 3T 4T
 
a função amostrada pulsada f*(t) pode ser expressa na forma: 
∑∑ ∞+
=
∞+
=
−δ=−δ=
00
)()()()()(*
kk
kTtkTfkTttftf 
• com isso, dada a função de variável independente discreta f(k) tal que 
)()( ktfkf = , com kTtk = , k=0,1,2,... 
então resulta: 
[ ] ∑∫ ∞+
=
−
∞+
∞−
−
==
0
)()(*)(*
k
kTsst
ekTfdtetftfL 
[ ] [ ] )()()()()(*
00
zFkfZzkfekTftfL
k
k
zek
kTs
ze
Ts
Ts ==== ∑∑ ∞+
=
−
=
∞+
=
−
=
 
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Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 6 
3 Propriedades da Transformada Z 
3.1 Linearidade da transformação funcional 
• se [ ] )()( 11 zFkfZ = e [ ] )()( 22 zFkfZ = então valem as seguintes igualdades: 
‰ [ ] [ ] [ ] )()()()()()( 212121 zFzFkfZkfZkfkfZ +=+=+ 
‰ [ ] [ ] )()()( 111 zcFkfcZkcfZ == , onde c ∈ C é uma constante 
‰ ou de forma mais geral, com c1, c2 ∈ C sendo constantes: 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] )()()()()()()()( 2211221122112211 zFczFckfZckfZckfcZkfcZkfckfcZ +=+=+=+ 
3.2 Operador deslocamento (E) 
• se [ ] )()( zFkfZ = então [ ] [ ] 


−=+= ∑−
=
−
1
0
)()()()(
n
k
knn zkfzFznkfZkfEZ 
• Demonstração: 
[ ] 


−=+=+=+ ∑∑∑∑ −
=
−
∞+
=
−
∞+
=
+−
∞+
=
−
1
000
)(
0
)()()()()(
n
k
k
k
kn
k
nkn
k
k zkfzkfzznkfzznkfnkfZ 
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Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 7 
Logo, [ ] [ ] 


−=+= ∑−
=
−
1
0
)()()()(
n
k
knn zkfzFznkfZkfEZ . 
Exemplo 1: [ ] [ ] [ ]( ))0()1()( fzFzkfZkEfZ −=+= 
Exemplo 2: 
[ ] [ ] [ ]( ) [ ]( ) )1()0()1()0()2()( 2122 zffzFzzffzFzkfZkfEZ −−=−−=+= − 
3.3 Atraso de transporte 
• se [ ] )()( zFkfZ = então [ ] [ ] [ ]zFznkfZnkunkfZ n−=−=−− )()()( 
• Demonstração: 
[ ] ∑∑ ∞+
=
−−−
∞+
=
−
−−=−−=−−
0
)(
0
)()()()()()(
k
nkn
k
k znkunkfzznkunkfnkunkfZ 
Fazendo nkj −= , resulta: 
[ ] [ ]zFzzjujfzzjujfznkunkfZ n
j
jn
nj
jn −∞+
=
−−
∞+
−=
−−
===−− ∑∑
0
)()()()()()( 
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Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 8 
3.4 Translação complexa 
• se [ ] )()( zFkfZ = então [ ] [ ]aTaTk zeFkfeZ =− )( 
• Demonstração: 
[ ] ( ) [ ]aT
k
kaT
k
kaTkaTk zeFzekfzekfkfeZ === ∑∑ ∞+
=
−
∞+
=
−−−
00
)()()( 
3.5 Valor final 
• se [ ] )()( zFkfZ = então )(1lim)()1(lim)(lim
1
1
1
zF
z
z
zFzkf
zzk
−
=−=
→
−
→∞→
 
• Demonstração: 
[ ] [ ] ( )∑∞+
=
−−
−−=−−=−
0
1 )1()()1()()1(
k
kzkfkfkfkfZzFz 
[ ] ( ) ( )
( ) ( ) )()1()2()0()1()0(
)1()()1()(lim)1(lim
001
1
1
+∞=+−+−+=
=−−=−−=− ∑∑ ∞+
=
∞+
=
−
→
−
→
ffffff
kfkfzkfkfzFz
kk
k
zz
L
 
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Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 9 
3.6 Valor inicial 
• se [ ] )()( zFkfZ = e existe )(lim zF
z ∞→
 então )(lim)(lim)0(
0
zFkff
zk ∞→→
== 
• Demonstração: 
[ ] L+++== −−∞+
=
−∑ 21
0
)2()1()0()( zfzffzkfZF
k
k
 
[ ] ( ) )0()2()1(lim)0()(limlim 21
0
fzfzffzkfZF
zk
k
zz
=+++== −−
∞→
∞+
=
−
∞→∞→
∑ L 
3.7 Diferenciação complexa 
• se [ ] )()( zFkfZ = então [ ] [ ]zF
dz
dTzkkTfZ −=)( 
• Demonstração: Seja )()(1 kkTfkf = , então tem-se que 
[ ] [ ]zF
dz
dTzzkf
dz
dTzz
dz
d
zkfTzkkTfzF
k
k
k
k
k
k
−=−=−== ∑∑∑ ∞+
=
−
∞+
=
−
∞+
=
−
000
1 )()()( 
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Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 10 
3.8 Convolução real 
• se [ ] )()( zFkfZ = e [ ] )()( zGkgZ = então [ ] )()()(*)( zGzFkgkfZ = 
• Demonstração: 
∑
=
−==
k
m
mgmkfkgkfkc
0
)()()(*)()( 
[ ] ∑∑∞+
= =
−
−=
0 0
)()()(
k
k
m
kzmgmkfkcZ 
Como ∑∑ ∞+
=
−
=
−
−−=−
00
)()()()()(
m
k
k
m
k zmgmkumkfzmgmkf , então resulta: 
[ ] ∑ ∑∑ ∑ ∞+
=
∞+
=
−−−
∞+
=
∞+
=
−
−−=−−=
0 0
)(
0 0
)()()()()()()(
m k
mkm
m k
k zmkumkfzmgzmkumkfmgkcZ 
[ ] )()()()()()()(
00
zGzFzmgzFzFzmgkcZ
m
m
m
m
=== ∑∑ ∞+
=
−
∞+
=
−
 
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Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 11 
4 Anti-Transformada Z 
• de forma equivalente à Transformada de Laplace, é possível expandir F(z) em 
frações parciais e então aplicar a Tabela de Transformada Z para obtenção da 
Anti-Transformada correspondente. 
Exemplo: ( )( )21)( −−= zz
z
zF 
• ( )( ) 2121
1)( 21
−
+
−
=
−−
=
z
c
z
c
zzz
zF
 
• 1
2
1
1
1 −=
−
=
=zz
c 
• 1
1
1
2
2 =
−
=
=zz
c 
• 
21
)(
2
1
1
1)(
−
+
−
−=⇒
−
+
−
−
==
z
z
z
z
zF
zzz
zF
 
• [ ] kkfzFZ 21)()(1 +−==− , k=0,1,2,... 
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Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 12 
5 Preparando as equações a diferenças para solução via 
Anti-Transformada Z 
• considere a equação a diferenças de 2a. ordem: 
)()()1()2( 001 kubkxakxakx =++++ , com 0)0( xx = e 1)1( xx = 
• utilizando o operador deslocamento (E), resulta: 
( ) )()( 0012 kubkxaEaE =++ 
• aplicando a Transformada Z a ambos os lados da equação, obtém-se: 
[ ] [ ] [ ] [ ])()()()( 0012 kuZbkxZakExZakxEZ =++ 
• como: [ ] )()( zUkuZ = 
 [ ] )()( zXkxZ = 
 [ ] ( ))0()()( xzXzkExZ −= 
 [ ] ( ) )1()0()()( 22 zxxzXzkxEZ −−= 
a substituição na equação acima produz: 
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Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 13 
)()()0()()1()0()( 001122 zUbzXazxazzXazxxzzXz =+−+−− 
[ ] ( ) 10120012 )()( zxxzazzUbzXazaz +−+=++ 
[ ] ( )[ ]101
2
0
01
2
)(1)( zxxzazzUb
azaz
zX +−+
++
= 
[ ])()( 1 zXZkx −= 
• comentários: 
9 a Transformada Z produz uma equação algébrica a partir de uma equação a 
diferenças; 
9 a resposta x(k) é obtidada composição das contribuições de u(k), x(0) e x(1), 
que podem ser calculadas individualmente; 
9 tomando )()( kku δ= e 0)1()0( == xx , então 
01
2
0)(
azaz
b
zX
++
= , que 
literalmente representa a Transformada Z da resposta ao impulso sob 
condições iniciais nulas, ou seja, é a função de transferência do sistema. 
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Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 14 
9 em outras palavras, a função de transferência do sistema é a razão entre as 
Transformadas Z da saída e da entrada, sob condições iniciais nulas. 
9 com isso, para um sistema com função de transferência 
01
2
0)()(
)(
azaz
b
zG
zU
zX
++
== a resposta ao impulso )()( kku δ= é dada por: 
[ ] [ ])()()()( 11 zGZzUzGZkx −− == 
9 a solução geral da equação a diferenças para uma entrada u(k) qualquer e 
condições iniciais x(0) e x(1) quaisquer é dada por: 
∑
=
−+=
k
m
kumkhkxkx
0
1 )()()()( 
 onde 
( ) 0)(1012 =++ kxaEaE , com )0()0(1 xx = e )1()1(1 xx = 
( ) )()(012 kkhaEaE δ=++ , com 0)0( =h e 0)1( =h 
 
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Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 15 
• a função de transferência facilita a representação do sistema em diagrama de 
blocos: 
)()()( zUzGzX = 
G(z)U(z) X(z)
 
6 Solução via Anti-Transformada Z: Caso 1 
• usando Anti-Transformada Z, obtenha a solução da seguinte equação a diferenças: 
)()(*2.0)1(*5.0)2( kukykyky =++++ , com y(0)=0 e y(1)=0. 
Considere 1)( =ku para k=0, 1, 2, ... 
Solução: 
‰ tome a Transformada Z de ambos os lados da equação a diferenças: 
[ ] [ ] )()(*2.0)0()(*5.0)1()0()( 22 zUzYzyzzYzyyzzYz =+−+−− 
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Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 16 
‰ substituindo as condições iniciais e também empregando a Transformada Z de 
u(k), que é dada por 
1
)(
−
=
z
z
zU , obtém-se: 
)2.0*5.0)(1()( 2 ++−= zzz
z
zY 
‰ a expansão em frações parciais de 
z
zY )(
 produz (expoentes estão em radianos): 
37.025.0
036.1
37.025.0
036.1
1
588.0)( 283.1283.1
jz
e
jz
e
zz
zY jj
−+
−
++
−
−
=
−
 
‰ tomando a Anti-Transformada Z, obtém-se: 
( ) ( ))283.1165.2()283.1165.2(447.0*036.1588.0)( −−− +−= kjkjk eeky 
( ) ( )283.1165.2cos447.0*072.2588.0)( −−= kky k 
7 Solução via Anti-Transformada Z: Caso 2 
• usando Anti-Transformada Z, obtenha a solução da seguinte equação a diferenças: 
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Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 17 
kkxkxkx 2.0)(*06.0)1(*1.0)2( =−+++ , com 5)0( =x e 2)1( =x . 
 
• ( )( ) kkxEE )2.0()(2.03.0 =−+ , 5)0( =x e 2)1( =x 
• 
kkxkxkx )2.0()(06.0)1(1.0)2( =−+++ 
• [ ] [ ]
2.0
)(06.0)0()(1.0)1()0()( 22
−
=−−+−−
z
z
zXzxzzXzxxzzXz 
• [ ] [ ]5.05.15
2.0
5.25
2.0
)(06.01.0 222 ++
−
=++
−
=−+ zz
z
z
zz
z
z
zXzz 
• [ ] [ ]5.05.15
2.0
)()2.0)(3.0( 2 ++
−
=−+ zz
z
z
zXzz 
• [ ] [ ]5.05.15
2.0
)()2.0)(3.0( 2 ++
−
=−+ zz
z
z
zXzz 
• ( ) )3.0(2.0
5.05.15)(
2
2
+−
++
=
zz
zz
z
zX
 
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Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 18 
• ( ) ( ) ( ) ( )3.02.02.0)3.0(2.0
5.05.15 32
2
1
2
2
+
+
−
+
−
=
+−
++
z
c
z
c
z
c
zz
zz
 
• pelo método dos coeficientes a determinar, resulta: 
• 2)3.0(
5.05.15
2.0
2
1 =+
++
=
=z
z
zz
c 
• ( ) 33.0
05.035
)3.0(
5.05.15
2.0
2
2
2.0
2
2 =



+
−+
=






+
++
=
== zz
z
zz
z
zz
dz
d
c 
• 2)2.0(
5.05.15
3.0
2
2
3 =
−
++
=
−=z
z
zz
c 
• ( ) ( ) ( )3.0
2
2.0
3
2.0
2)(
2 +
+
−
+
−
=
zzzz
zX
 
• ( ) ( ) ( )3.022.032.02)( 2 ++−+−= z
z
z
z
z
z
zX 
• Da Tabela de Anti-Transformada Z: 
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Tópico 13 – Transformada e Anti-Transformada Z 19 
9 ( )
k
z
zZ )2.0(
2.0
1
=


−
−
 
9 ( ) ( )
k
z
zZ
z
zZ )3.0()3.0(3.0
11
−=


−−
=


+
−−
 
9 ( ) ( )
1
2
1
2
1 )2.0(
2.0
)2.0(
2.0
2.0
−−−
=


−
⇒=


−
kk k
z
zZk
z
zZ 
Solução: 
kkkkkx )3.0(2)2.0(3)2.0(2)( 1 −++= −