Análise no Domínio de Frequência Introdução

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Introdução à análise no Domínio da Frequência e Diagrama de Bode 
Professor: Luiz Miranda Cavalcante Neto 
 
O Domínio da Frequência 
 
Desde que começamos a estudar sistemas de controle, usamos funções variantes 
no tempo. A função degrau, a função impulso, a função rampa, a função senoidal, 
todas elas tem uma característica em comum, que é ter o tempo como principal 
variante, ou seja ter o tempo entre parênteses (t). 
 
As funções que iremos tratar de agora em diante irão funcionar da mesma maneira, 
porém, ao invés de termos o tempo como principal variante, teremos a frequência 
angular. 
 
Como assim? Pra que faremos isso? 
 
Vamos dar uma relembrada no básico: 
 
Considere que um certo sistema de controle possui uma entrada e uma saída (t)x 
. Quando relacionarmos a saída com a entrada teremos a sua resposta ao(t)y 
impulso , essa operação é feita através da convolução:(t)g 
(t) (t) (t)y = x * g 
Sendo convolução definida pela integral: 
 (t) (u).g(t )duy = ∫
∞
−∞
x − u 
Quando levamos esses sinais para o domínio de Laplace, temos que : 
- é a transformada de Laplace de ;(s)X (t)x 
- é a transformada de Laplace de ;(s)Y (t)y 
- é a transformada de Laplace da resposta ao impulso ;(s)G (t)g 
A relação entre os sinais de entrada e saída se modifica da seguinte forma: 
(s) X(s). G(s)Y = 
(s)G = X(s)
Y (s) 
Sendo a função de transferência do sistema.(s)G 
 
Considere agora que os sinais e sejam senoidais. Como sabemos, sinais (t) x (t)y 
senoidais possuem uma característica específica que é a sua frequência, sendo 
assim temos se o sistema é estável teremos uma saída em estado (t) sen(ωt)x = A 
estacionário com a mesma frequência e com uma provável variação de fase, ou (t)y 
seja, . Ao variar a frequência do sinal de entrada, teremos um (t) sen(ωt )y = B + θ 
sinal de saída, novamente com a mesma frequência, porém com a amplitude e fase 
diferentes. Ao fazermos uma análise com todas as possíveis frequências do sinal de 
entrada teremos uma análise sobre o domínio de frequência. 
Vamos dar uma olhada em agora. Vale lembrar que em que, para a (s)G ωs = σ + j 
saída temos que: influencia o valor transitório e influencia no valor de regime s ωj 
permanente. Como não estamos interessados no transitório do sistema, podemos 
usar apenas o valor . Assim, analisemos a função de transferência:(jω)G 
 
Módulo de (jω)G 
 
Como sabemos: 
(s) X(s).G(s)Y = 
reescrevendo para :ωj 
(jω) X(jω).G(jω)Y = 
Podemos encontrar a relação entre a amplitude do sinal de entrada e o sinal de 
saída encontrando o módulo de , ou seja:(jω)G 
G(jω)|| = A
B = |X(jω)|
|Y (jω)| 
A partir desta análise, podemos encontrar a variação da amplitude de de acordo (t)y 
com a frequência de .(t)x 
 
Fase de (jω)G 
 
antes de mais nada, é um número complexo, e como já sabemos, todo(jω)G 
número complexo possui uma fase. Para encontrar essa fase dividimos a sua parte 
imaginária pela parte real e tiramos o arcotangente, ou seja: 
(jω) tan ( )< G = −1 Re(G(jω))
Im(G(jω)) 
Da mesma forma que no módulo de podemos encontrar a fase da função de (jω)G 
transferência dividindo as fases dos sinais de entrada e saída, ou seja: 
(jω)< G = <X(jω)
<Y (jω) 
Com esse valor podemos fazer uma análise de como a fase da saída irá variar em 
função da frequência do sinal de entrada. 
 
Esses dois valores também podem ser encontrados usando as conversões de 
coordenadas polar para retangular e vice versa. 
 
Vamos fazer um exemplo para ver como isso funciona. 
Ex1: Considere um sinal de entrada de um sistema que tem (t) 0 sen(2πt)x = 1 
função de transferência dada por . Calcule a amplitude e a fase do (jω) G = 12−jω 
sinal de saída. 
Ex2: Considere um sinal de entrada de um sistema com (t) 25 sen(2π 100t)x = 
função de transferência dada por . Calcule a amplitude e a fase (jω) G = 3−jω4−j2ω 
do sinal de saída. 
Ex3: Considere um sinal de entrada de um sistema com (t) 5 sen(2π 1000t)x = 
função de transferência dada por . Calcule a amplitude e a fase (jω) G = 1−jω4−j2ω 
do sinal de saída. 
 
Agora que já temos alguma idéia de como calcular as amplitudes fases da saída a 
partir de uma entrada e a função de transferência, podemos juntar várias 
frequências de entrada e ver como o sistema se comporta em relação a elas. 
Quando juntamos as amplitudes e fases da saída em dois gráficos, temos um 
Diagrama de Bode. Vamos ver um exemplo de como fazer isso. 
 
Considere a função de transferência . Vamos achar o valor de (jω) G = 12−jω 
amplitude e fase de para = 1; 10; 100; 1000;10000 e 100000.(jω)G ω