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Parte 2 – Avaliação 1 
Aluna: Francisca Brunna Pereira Braz Matrícula: 20212014020039 
 
1. Use integrais duplas para calcular a área da região limitada por 𝑦 = √𝑥 e 𝑦 = 𝑥. 
 
 
Substituindo os limites encontrados através do gráfico na integral, temos: 
𝐴 = ∬ 𝑑𝐴
 
𝑅
= ∫ ∫ 𝑑𝑦𝑑𝑥
√𝑥
𝑥
1
0
 
Resolvendo primeiramente a parte em vermelho: 
∫ 𝑑𝑦
√𝑥
𝑥
= [𝑦]𝑥
√𝑥 = √𝑥 − 𝑥 
Substituindo o resultado na expressão original: 
𝐴 = ∫(√𝑥 − 𝑥)
1
0
𝑑𝑥 = (
2𝑥
3
2
3
− 
𝑥2
2
)
0
1
= 
2
3
− 
1
2
= 
1
6
 𝑢. 𝑎 
 
 
2. Ache o centro de massa de lâmina na forma de uma região retangular limitada 
pelas retas 𝑥 = 3 , 𝑦 = 2 e pelos eixos coordenados. A densidade em qualquer 
ponto é dada por (𝑥2 + 𝑦2)kg-m2. 
 
 
Substituindo os limites na integral da massa: 
𝑀 = ∬ 𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
 
𝑅
= ∫ ∫(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑦𝑑𝑥
2
0
3
0
 
Resolvendo a parte em vermelho, temos: 
∫(𝑥2 + 𝑦2)
2
0
𝑑𝑦 = (𝑦𝑥2 + 
𝑦3
3
)
0
2
= 2𝑥2 +
8
3
 
Substituindo na equação original: 
𝑀 = ∫ (2𝑥2 +
8
3
) 𝑑𝑥
3
0
= (
2𝑥3
3
+ 
8𝑥
3
)
0
3
= 18 + 8 = 26𝑘𝑔 
 
✓ Para encontrar o centro de massa, teremos: 
𝑀𝑦 = ∫ ∫ 𝑦(𝑥
2 + 𝑦2)𝑑𝑦𝑑𝑥
2
0
3
0
 
Resolvendo a parte em azul: 
∫ 𝑦(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑦
2
0
= ∫(𝑦𝑥2 + 𝑦3)𝑑𝑦
2
0
= (
𝑦2𝑥2
2
+
𝑦4
4
)
0
2
= 2𝑥2 + 4 
Substituindo em My: 
𝑀𝑦 = ∫(2𝑥
2 + 4)𝑑𝑥
3
0
= (
2𝑥3
3
+ 4𝑥)
0
3
= 18 + 12 = 30𝑘𝑔 
 
✓ Para a segunda parte: 
𝑀𝑥 = ∫ ∫ 𝑥(𝑥
2 + 𝑦2)𝑑𝑦𝑑𝑥
2
0
3
0
 
Resolvendo a parte em verde: 
∫ 𝑥(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑦
2
0
= ∫(𝑥3 + 𝑥𝑦2)𝑑𝑦
2
0
= (𝑦𝑥3 +
𝑥𝑦3
3
)
0
2
= 2𝑥3 +
8𝑥
3
 
Substituindo em Mx: 
𝑀𝑥 = ∫ (2𝑥
3 +
8𝑥
3
) 𝑑𝑥
3
0
= (
2𝑥4
4
+
8𝑥2
6
)
0
3
=
162
4
+
72
6
= 
486 + 144 
12
=
630
12
= 
105
2
𝑘𝑔 
 
 
�̅� = 
𝑀𝑦
𝑀
=
30
26
=
15
13
 
�̅� = 
𝑀𝑥
𝑀
= 
105
2
26
= 
105
2
∗
1
26
= 
105
52
 
 
Logo o centro de massa está em (
15
13
,
105
52
).