tema 3 3

Prévia do material em texto

04/01/2024, 11:47 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 1/9
Exercício por
Temas
 avalie sua aprendizagem
As integrais duplas também são usadas para calcular o centro de massa de objetos sólidos com formas complicadas.
O centro de massa é um ponto que representa o equilíbrio de um objeto em relação a um sistema de coordenadas.
Calcule as coordenadas x  e y  do centro de massa de um conjunto B, sendo um quadrado delimitado por 0 ≤ x ≤ 1  e
0 ≤ y ≤ 1 , se a densidade da região é dada por δ(x, y) = y.
CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS
Lupa  
 
DGT0234_202312036621_TEMAS
Aluno: JHONNY PACINI Matr.: 202312036621
Disc.: CÁLCULO DE MÚLTIPL  2023.4 FLEX (G) / EX
Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu EXERCÍCIO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O
mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se
familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
INTEGRAIS DUPLAS
 
1.
 
1
3 ,
2
3 .
 
3
2 ,
2
3 .
 
2
3 ,
1
2 .
 
1
2 ,
1
3 .
 
1
2 ,
2
3 .
Data Resp.: 04/01/2024 11:41:33
Explicação:
Para calcular o centro de massa da região, é necessário encontrar as coordenadas x e y do ponto  xC, yC  que
representam o equilíbrio do objeto em relação ao sistema de coordenadas. As coordenadas são dadas por:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
javascript:voltar();
javascript:voltar();
javascript:voltar();
javascript:voltar();
javascript:diminui();
javascript:diminui();
javascript:aumenta();
javascript:aumenta();
04/01/2024, 11:47 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 2/9
A integração dupla é usada em problemas de otimização, como o cálculo de áreas e volumes mínimos e máximos.
Seja a > 0 determine o volume do sólido S limitado pelo plano z = 0 e pelo paraboloide  z = a − x2 − y2.
xC =
∬Bxdm
∬Bdm
yC =
∬Bydm
∬Bdm
Onde o elemento de massa é dado por:
dm = δ(x, y)dxdy
No nosso caso,  é dado no enunciado como um quadrado, tal que: 0 ≤ x ≤ 1$e$0 ≤ y ≤ 1
Calculando a coordenada  x:
∬Bxdm = ∫
1
0 ∫
1
0xydx dy = ∫
1
0y
x2
2
1
0
dy = ∫10
y
2dy =
y2
4
1
0
=
1
4
e
∬Bdm = ∫
1
0 ∫
1
0ydx dy = ∫
1
0y[x]
1
0
dy = ∫10ydy =
y2
2
1
0
=
1
2
xC =
∬Bxdm
∬Bdm
=
1/4
1/2
=
1
2
Calculando a coordenada  y:
∬Bydm = ∫
1
0 ∫
1
0y
2dx dy = ∫10y
2[x]
1
0
dy = ∫10y
2dy =
y3
3
1
0
=
1
3
E
∬Bdm = ∫
1
0 ∫
1
0ydx dy = ∫
1
0y[x]
1
0
dy = ∫10ydy =
y2
2
1
0
=
1
2
yC =
∬Bydm
∬Bdm
=
1/3
1/2
=
2
3
Logo, 
1
2 ,
2
3 .
 
2.
 
πa
2 .
 
3πa2
2 .
 
πa2
3 .
 
a2
2 .
 
πa2
2 .
Data Resp.: 04/01/2024 11:41:50
Explicação:
O volume o que �ca embaixo dessa função até o plano xy vai ser:
[ ] [ ] | [ ] |
[ ] | [ ]|
[ ] | [ ] |
[ ] | [ ]|
( )
04/01/2024, 11:47 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 3/9
Determine o volume do sólido que �ca abaixo da paraboloide  z = 9 − x2 − y2  e acima do disco 
x2 + y2 = 4.
Determine o valor de 
1
∫
0
2
∫
0
(2yx + 3yx2) dxdy
V = ∬Dzdxdy = ∬D a − x
2 − y2 dxdy =
Onde D é aquela região da função onde  z = 0:
z = a − x2 − y2
0 = a − x2 − y2
x2 + y2 = a
Isso é uma circunferência, de centro na origem e raio  √a.
Como temos uma circunferência, vamos mudar para coordenadas polares.
x = rcosθ
y = rsenθ
J = r
O intervalo de integração, para um círculo de raio √a  será:
D = {(r, θ) ∣ 0 ≤ r ≤ √a; 0 ≤ θ ≤ 2π}
Integrando:
 
V = ∫2π0 ∫
√a
0
a − (rcosθ)2 − (rsenθ)2 rdrdθ = ∫2π0 ∫
√a
0
ar − r3 drdθ
V = ∫
2π
0
ar2
2
−
r4
4
r= √a
r= 0
dθ = ∫
2π
0
a√a2
2
−
√a4
4
dθ = ∫
2π
0
a2
2
−
a2
4
dθ
V = ∫
2π
0
a2
4
dθ =
a2θ
4
2π
0
=
a2
4
(2π − 0) =
a2π
2
 
 
3.
54π
18π
14π
28π
38π
Data Resp.: 04/01/2024 11:42:26
Explicação:
A resposta correta é: 28π
 
4.
8
( )
[ ] [ ]
| [( )] ( )
|
04/01/2024, 11:47 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 4/9
As integrais duplas são uma das ferramentas mais poderosas da matemática, e são usadas em uma variedade de
campos, desde a física e a engenharia até a economia e a biologia. Uma lâmina ocupa a região triangular no plano
delimitada pelas retas y = 1, x = 3 e  y = x + 1 com densidade  ρ(x, y) = x. Os valores da massa e o centro de massa,
são respectivamente:
1
4
3
6
Data Resp.: 04/01/2024 11:42:33
Explicação:
A resposta correta é: 6
 
5.
m = 6 u. m. , xC =
9
2   e  yC =
17
2 .
m = 8 u. m. , xC =
9
8   e  yC =
17
3 .
m = 7 u. m. , xC =
9
5   e  yC =
17
9 .
m = 9 u. m. , xC =
9
4   e  yC =
17
8 .
m = 5 u.  m . , xC =
9
7   e  yC =
17
9 .
Data Resp.: 04/01/2024 11:42:47
Explicação:
Lembrando que:
m = ∬Dρ(x, y)dA
xC =
1
m
∬Dxρ(x, y)dA
yC =
1
m
∬Dyρ(x, y)dA
Desenhando os limites de integração:
Onde
0 ≤ x ≤ 3; 1 ≤ y ≤ x + 1
Cálculo da massa:
04/01/2024, 11:47 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 5/9
A integração dupla é usada em problemas de otimização, como o cálculo de áreas e volumes mínimos e máximos.
Calcule as coordenadas x e y do centro de massa de um conjunto B , sendo B o conjunto de todos (x, y) tais que 
x3 ≤ y ≤ x e a densidade é constante e igual a 1 .
m = ∬Dρ(x, y)dA = ∫
3
0∫
x+ 1
0 xdydx = ∫
3
0xy
x+ 1
0
dx = ∫30x(x + 1 − 1)dx
m = ∬Dρ(x, y)dA = ∫
3
0x
2dx =
x3
3
3
0
=
27
3
= 9
 
Cálculo coordenada xC:
 
xC =
1
m
∬Dxρ(x, y)dA =
1
9 ∫
3
0∫
x+ 1
1 x
2dydx =
1
9 ∫
3
0x
2y
x+ 1
1
dx =
1
9 ∫
3
0x
3dx
xC =
1
m
∬Dxρ(x, y)dA =
1
9
⋅
x4
3
3
0
=
1
9
⋅
81
4
=
9
4
Cálculo coordenada yC:
 
yC =
1
m
∬Dyρ(x, y)dA =
1
9 ∫
3
0∫
x+ 1
1 yxdydx =
1
9 ∫
3
0x
y2
2
x+ 1
1
dx
yC =
1
18 ∫
3
0x x
2 + 2x + 1 − 1 dx =
1
18 ∫
3
0x
3 + 2x2dx =
1
18
x4
3
3
0
+
2x3
3
3
0
yC =
1
18
81
4
+ 2 ⋅
27
3
=
17
8
Logo, m = 9 u.  m. , xC =
9
4 e   yC =
17
8 .
 
 
 
 
 
6.
 
8
21 ,
8
21 .
 
7
15 ,
8
21 .
 
8
15 ,
8
21 .
 
8
15 ,
8
15 .
 
8
21 ,
8
15 .
|
|
|
|
|
( ) [ | | ]
( )
( )
( )
( )
( )
( )
04/01/2024, 11:47 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 6/9
Data Resp.: 04/01/2024 11:43:11
Explicação:
Para calcular o centro de massa da região, é necessário encontrar as coordenadas x e y do ponto  xC, yC  que
representam o equilíbrio do objeto em relação ao sistema de coordenadas. As coordenadas são dadas por:
xC =
∬Bxdm
∬Bdm
Onde o elemento de massa é dado por:
dm = δ(x, y)dxdy
Nesse caso, a área corresponde a:
No nosso caso, vamos pegar apena a região com 0 ≤ x ≤ 1, pois é a única que atende a restrição x3 ≤ y ≤ x e 
δ(x, y) = 1.
A massa de B é dada por:
∬Bdm = ∫
1
0 ∫
x
x3(1)dy dx = ∫
1
0[y]
x
x3
dx = ∫10 x − x
3 dx =
x2
2 −
x4
4
1
0
=
1
2 −
1
4 =
1
4
Calculando a coordenada x:
∬Bxdm = ∫
1
0 ∫
x
x3(x)dy dx = ∫
1
0x[y]
x
x3
dx = ∫
1
0x x − x
3 dx = ∫
1
0 x
2 − x4 dx
∬Bxdm =
x3
3
−
x5
5
1
0
=
1
3
−
1
5
=
2
15
e
xC =
∬Bxdm
∬Bdm
=
2 / 15
1 / 4 =
8
15
Calculando a coordenada y:
∬Bydm = ∫
1
0 ∫
x
x3(y)dy dx = ∫
1
0
y2
2
x
x3
dy =
1
2 ∫
1
0 x
2 − x6 dx =
1
2
x3
3
−
x7
7
1
0
=
1
2
1
3
−
1
7
=
2
21
∬Bydm =
1
2
1
3
−
1
7
=
2
21
e
( )
[ ] | [ ] [ ] | [ ]
[ ] | [ ] [ ]
[ ]| [ ]
[ ] [ ] | [ ] [ ] |
[ ]
[ ]
04/01/2024, 11:47 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 7/9
Determine o valor da integral ∬S (x + 2y)dx dy , sendo S a área de�nida pelas retas x +y - 4 = 0, x = y
e 0 ≤ x≤ 3. 
A integração dupla não iterada é usada quando a função integranda é expressa em coordenadas polares ou outras
coordenadas curvilíneas. Utilizando coordenadas polares o valor da área dada pela integral dupla 
∫a− a∫
√a2 − x2
0
x2 + y2
3 / 2
dydx é:
yC =
∬Bydm
∬Bdm
=
2 / 21
1 / 4 =
8
21
Logo, 
8
15 ,
8
21
 
7.
86
3
46
3
56
3
76
3
96
3
Data Resp.: 04/01/2024 11:43:38
Explicação:
A resposta correta é: 
76
3
 
8.
 
a4π
5 .
 
a2π
5 .
 
a5π
5 .
 
a3π
5 .
 
a6π
5 .
Data Resp.: 04/01/2024 11:43:52
Explicação:
∫
a
− a∫√
a2 − x2
0
x2 + y2
3
2dydx
−a ≤ x ≤ ae0 ≤ y ≤ √a2 − x2
( )
( )
( )
04/01/2024, 11:47 Estácio:Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 8/9
Determine ∬Ssen (x
2 + y2)dx dx, usando a integral dupla na forma polar, onde S é a região de�nida
por x2 + y2 ≤ π e x ≥ 0. 
Determine a massa de uma lâmina que ocupa a região de�nida por S e tem uma densidade de
massa super�cial δ(x, y) = 2x + 4y. Sabe-se que S = {(x, y) / 0 ≤ y ≤ 4 e 0 ≤ x ≤ 2y}
Substituindo por coordenadas polares: r, θ
0 ≤ θ ≤ πe0 ≤ r ≤ a
E
y = √a2 − x2
y2 + x2 = a2
Resolvendo por integral:
∫
a
− a∫√
a2 − x2
0
x2 + y2
3
2dydx = ∫
π
0∫
a
0 a
2
3
2rdrdθ = ∫
π
0∫
a
0r
4drdθ = ∫
π
0
r5
5
a
0
dθ
∫
a
− a∫√
a2 − x2
0
x2 + y2
3
2dydx = ∫
π
0
a5
5
dθ =
a5θ
5
π
0
=
a5π
5
 
9.
4π
π
3π
5π
2π
Data Resp.: 04/01/2024 11:46:53
Explicação:
A resposta correta é: 2π
 
10.
128
256
2049
512
1024
Data Resp.: 04/01/2024 11:47:02
( ) ( ) [ ] |
( ) |
04/01/2024, 11:47 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 9/9
Explicação:
A resposta correta é: 256
    Não Respondida      Não Gravada     Gravada
Exercício por Temas inciado em 04/01/2024 11:41:20.