tema 3 2

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04/01/2024, 11:39 Estácio: Alunos
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Exercício por
Temas
 avalie sua aprendizagem
A integração dupla é usada em problemas de otimização, como o cálculo de áreas e volumes mínimos e máximos.
Seja   determine o volume do sólido   limitado pelo plano   e pelo paraboloide  .
CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS
Lupa  
 
DGT0234_202312036621_TEMAS
Aluno: JHONNY PACINI Matr.: 202312036621
Disc.: CÁLCULO DE MÚLTIPL  2023.4 FLEX (G) / EX
Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu EXERCÍCIO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O
mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se
familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
INTEGRAIS DUPLAS
 
1.
  .
  .
  .
  .
  .
Data Resp.: 04/01/2024 11:36:38
Explicação:
O volume o que �ca embaixo dessa função até o plano   vai ser:
Onde  é aquela região da função onde  :
Isso é uma circunferência, de centro na origem e raio   .
Como temos uma circunferência, vamos mudar para coordenadas polares.
a > 0 S z = 0 z = a − x2 − y2
πa
2
3πa2
2
πa2
2
πa2
3
a2
2
xy
V = ∬
D
zdxdy = ∬
D
(a − x2 − y2) dxdy =
D z = 0
z = a − x2 − y2
0 = a − x2 − y2
x2 + y2 = a
√a
javascript:voltar();
javascript:voltar();
javascript:voltar();
javascript:voltar();
javascript:diminui();
javascript:diminui();
javascript:aumenta();
javascript:aumenta();
04/01/2024, 11:39 Estácio: Alunos
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Determine o volume do sólido que �ca abaixo da paraboloide     e acima do disco 
.
As integrais duplas também são usadas para calcular o centro de massa de objetos sólidos com formas complicadas.
O centro de massa é um ponto que representa o equilíbrio de um objeto em relação a um sistema de coordenadas.
Calcule as coordenadas  e  do centro de massa de um conjunto B, sendo um quadrado delimitado por
  e , se a densidade da região é dada por .
O intervalo de integração, para um círculo de raio   será:
Integrando:
 
 
 
2.
Data Resp.: 04/01/2024 11:36:56
Explicação:
A resposta correta é: 
 
3.
  .
  .
  .
  .
  .
Data Resp.: 04/01/2024 11:37:02
Explicação:
Para calcular o centro de massa da região, é necessário encontrar as coordenadas  e  do ponto   que
representam o equilíbrio do objeto em relação ao sistema de coordenadas. As coordenadas são dadas por:
x = r cos θ
y = r sen θ
J = r
√a
D = {(r, θ) ∣ 0 ≤ r ≤ √a; 0 ≤ θ ≤ 2π}
V = ∫ 2π0 ∫
√a
0 [a − (r cos θ)
2 − (r sen θ)2] rdrdθ = ∫ 2π0 ∫
√a
0 [ar − r
3] drdθ
V = ∫
2π
0
−
∣
∣
∣
r=√a
r=0
dθ = ∫
2π
0
[( − )] dθ = ∫
2π
0
( − ) dθ
V = ∫
2π
0
dθ =
∣
∣
∣
2π
0
= (2π − 0) =
ar2
2
r4
4
a√a
2
2
√a
4
4
a2
2
a2
4
a2
4
a2θ
4
a2
4
a2π
2
z  = 9 − x2 − y2
x2 + y2 =  4
38π
28π
14π
18π
54π
28π
x y
0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1 δ(x, y) = y
( , )1
2
1
3
( , )3
2
2
3
( , )2
3
1
2
( , )1
3
2
3
( , )1
2
2
3
x y (xC, yC)
04/01/2024, 11:39 Estácio: Alunos
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Determine o valor de 
Onde o elemento de massa é dado por:
No nosso caso,  é dado no enunciado como um quadrado, tal que: 
Calculando a coordenada  :
e
Calculando a coordenada   :
E
Logo, .
 
4.
4
3
1
6
8
Data Resp.: 04/01/2024 11:37:24
Explicação:
A resposta correta é: 6
 
5.
xC =
yC =
∬
B
xdm
∬
B
dm
∬
B
ydm
∬
B
dm
dm = δ(x, y)dxdy
0 ≤ x ≤ 1$e$0 ≤ y ≤ 1
x
∬
B
xdm = ∫ 10 [∫
1
0 xydx] dy = ∫
1
0 y [ ]
∣
∣
1
0
dy = ∫ 10 dy = [ ]
∣
∣
∣
1
0
=
x2
2
y
2
y2
4
1
4
∬
B
dm = ∫
1
0
[∫
1
0
ydx] dy = ∫
1
0
y[x]
∣
∣
∣
1
0
dy = ∫
1
0
ydy = [ ]
∣
∣
∣
∣
1
0
=
xC = = =
y2
2
1
2
∬
B
xdm
∬
B
dm
1/4
1/2
1
2
y
∬
B
ydm = ∫ 10 [∫
1
0 y
2dx] dy = ∫ 10 y
2[x]∣∣
1
0
dy = ∫ 10 y
2dy = [ ]∣∣
∣
1
0
=
y3
3
1
3
∬
B
dm = ∫
1
0
[∫
1
0
ydx] dy = ∫
1
0
y[x]
∣
∣
∣
1
0
dy = ∫
1
0
ydy = [ ]
∣
∣∣
∣
1
0
=
yC = = =
y2
2
1
2
∬
B
ydm
∬
B
dm
1/3
1/2
2
3
( , )1
2
2
3
1
∫
0
2
∫
0
(2yx + 3yx2) dxdy
04/01/2024, 11:39 Estácio: Alunos
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Determine o valor da integral  , sendo S a área de�nida pelas retas x +y - 4 = 0,
x = y e 0 ≤ x≤ 3. 
A integração dupla não iterada é usada quando a função integranda é expressa em coordenadas polares ou outras
coordenadas curvilíneas. Utilizando coordenadas polares o valor da área dada pela integral dupla 
 é:
Data Resp.: 04/01/2024 11:37:32
Explicação:
A resposta correta é: 
 
6.
  .
  .
  .
  .
  .
Data Resp.: 04/01/2024 11:37:40
Explicação:
Substituindo por coordenadas polares: 
E
Resolvendo por integral:
∬
S
 (x + 2y)dx dy
76
3
56
3
96
3
46
3
86
3
76
3
∫ a−a ∫
√a2−x2
0 (x
2 + y2)3/2dydx
a5π
5
a3π
5
a4π
5
a2π
5
a6π
5
∫
a
−a
∫
√a2−x2
0
(x2 + y2) dydx
−a ≤ x ≤ ae0 ≤ y ≤ √a2 − x2
3
2
r, θ
0 ≤ θ ≤ πe0 ≤ r ≤ a
y = √a2 − x2
y2 + x2 = a2
04/01/2024, 11:39 Estácio: Alunos
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A integração dupla é usada em problemas de otimização, como o cálculo de áreas e volumes mínimos e máximos.
Calcule as coordenadas  e   do centro de massa de um conjunto , sendo B o conjunto de todos  tais que 
 e a densidade é constante e igual a .
 
7.
  .
  .
  .
  .
  .
Data Resp.: 04/01/2024 11:38:01
Explicação:
Para calcular o centro de massa da região, é necessário encontrar as coordenadas  e  do ponto   que
representam o equilíbrio do objeto em relação ao sistema de coordenadas. As coordenadas são dadas por:
Onde o elemento de massa é dado por:
Nesse caso, a área corresponde a:
No nosso caso, vamos pegar apena a região com  , pois é a única que atende a restrição  e 
.
A massa de   é dada por:
Calculando a coordenada :
∫
a
−a
∫
√a2−x2
0
(x2 + y2) dydx = ∫
π
0
∫
a
0
(a2) rdrdθ = ∫
π
0
∫
a
0
r4drdθ = ∫
π
0
[ ]
∣
∣
∣
a
0
dθ
∫
a
−a
∫
√a2−x2
0
(x2 + y2) dydx = ∫
π
0
dθ =
∣
∣
∣
π
0
=
3
2
3
2
r5
5
3
2
a5
5
a5θ
5
a5π
5
x y B (x, y)
x3 ≤ y ≤ x 1
( , )8
15
8
15
( , )8
15
8
21
( , )8
21
8
15
( , )8
21
8
21
( , )7
15
8
21
x y (xC, yC)
xC =
∬B xdm
∬B dm
dm = δ(x, y)dxdy
0 ≤ x ≤ 1 x3 ≤ y ≤ x
δ(x, y) = 1
B
∬
B
dm = ∫ 10 [∫
x
x3
(1)dy] dx = ∫ 10 [y]∣∣
x
x3
dx = ∫ 10 [x − x
3] dx = [ − ]∣∣
1
0
= [ − ] =x
2
2
x4
4
1
2
1
4
1
4
x
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Determine a massa de uma lâmina que ocupa a região de�nida por S e tem uma densidade de
massa super�cial . Sabe-se que 
Determine , usando a integral dupla na forma polar, onde S é a região
de�nida por  . 
e
Calculando a coordenada :
e
Logo, 
 
8.
256
128
1024
512
2049
Data Resp.: 04/01/2024 11:38:25
Explicação:
A resposta correta é: 256
 
9.
Data Resp.: 04/01/2024 11:38:45
Explicação:
A resposta correta é: 
∬
B
xdm = ∫
1
0
[∫
x
x3
(x)dy] dx = ∫
1
0
x[y]
∣
∣
∣
x
x3
dx = ∫
1
0
x [x − x3] dx = ∫
1
0
[x2 − x4] dx
∬
B
xdm = [ − ]
∣
∣
∣
1
0
= [ − ] =
x3
3
x5
5
1
3
1
5
2
15
xC = = =
∬
B
xdm
∬
B
dm
2/15
1/4
8
15
y
∬
B
ydm = ∫
1
0
[∫
x
x3
(y)dy] dx = ∫
1
0
[ ]
∣
∣
∣
∣
x
x3
dy = ∫
1
0
[x2 − x6] dx = [ − ]
∣
∣
∣
1
0
= [ − ] =
∬
B
ydm = [ − ] =
y2
2
1
2
1
2
x3
3
x7
7
1
2
1
3
1
7
2
21
1
2
1
3
1
7
2
21
yC = = =
∬
B
ydm
∬
B
dm
2/21
1/4
8
21
( , )8
15
8
21
δ(x, y)  = 2x + 4y S  = {(x, y)/ 0 ≤ y ≤ 4 e 0 ≤ x ≤ 2y}
∬
S
sen (x2 + y2)dx dx
x2 + y2 ≤ π e x ≥ 0
5π
4π
2π
π
3π
2π
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As integrais duplas são uma das ferramentas mais poderosas da matemática, e são usadas em uma variedade de
campos, desde a física e a engenharia até a economia e a biologia. Uma lâmina ocupa a região triangular no plano
delimitada pelas retas  e   com densidade   . Os valores da massa e o centro de
massa, são respectivamente:
 
10.
    e  .
    e  .
    e  .
      e  .e  .
Data Resp.: 04/01/2024 11:39:08
Explicação:
Lembrando que:
Desenhando os limites de integração:
Onde
Cálculo da massa:
 
Cálculo coordenada :
 
y = 1,x = 3 y = x + 1 ρ(x, y) = x
m = 6u.m. ,xC =
9
2 yC =
17
2
m = 7u.m. ,xC =
9
5
yC =
17
9
m = 8u.m. ,xC =
9
8
yC =
17
3
m = 5u.m.,xC =
9
7
yC =
17
9
m = 9u.m. ,xC =
9
4
yC =
17
8
m = ∬
D
ρ(x, y)dA
xC = ∬
D
xρ(x, y)dA
yC = ∬
D
yρ(x, y)dA
1
m
1
m
0 ≤ x ≤ 3; 1 ≤ y ≤ x + 1
m = ∬
D
ρ(x, y)dA = ∫
3
0
∫
x+1
0
xdydx = ∫
3
0
xy
∣
∣
∣
x+1
0
dx = ∫
3
0
x(x + 1 − 1)dx
m = ∬
D
ρ(x, y)dA = ∫
3
0
x2dx =
∣
∣
∣
3
0
= = 9
x3
3
27
3
xC
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Cálculo coordenada :
 
Logo,    e    .
 
 
 
 
    Não Respondida      Não Gravada     Gravada
Exercício por Temas inciado em 04/01/2024 11:36:22.
xC = ∬
D
xρ(x, y)dA = ∫
3
0
∫
x+1
1
x2dydx = ∫
3
0
x2y
∣
∣
∣
x+1
1
dx = ∫
3
0
x3dx
xC = ∬
D
xρ(x, y)dA = ⋅
∣
∣
∣
3
0
= ⋅ =
1
m
1
9
1
9
1
9
1
m
1
9
x4
3
1
9
81
4
9
4
yC
yC = ∬
D
yρ(x, y)dA = ∫
3
0
∫
x+1
1
yxdydx = ∫
3
0
x
∣
∣
∣
x+1
1
dx
yC = ∫
3
0
x (x2 + 2x + 1 − 1) dx = ∫
3
0
x3 + 2x2dx = [
∣
∣
∣
3
0
+
∣
∣
∣
3
0
]
yC = ( + 2 ⋅ ) =
1
m
1
9
1
9
y2
2
1
18
1
18
1
18
x4
3
2x3
3
1
18
81
4
27
3
17
8
m = 9u.m. ,xC =
9
4
yC =
17
8