aula03_p3_algbool

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BC-0504: Natureza da Informação
 
6: Introdução a Álgebra Booleana
Slides baseados no material de:
Profa. Debora Medeiros e Profa. Mirtha Lina
Manipulação da informação binária
 A codificação binária permite realizar operações 
lógicas e aritméticas facilmente e implementá-las 
usando circuitos lógicos.
 George Boole criou a álgebra booleana em 1847
 Claude Shannon foi o primeiro a aplicar esta álgebra no 
desenho de circuitos em 1938
Álgebra Booleana e Portas Lógicas
 Variáveis podem tomar dois valores:
 Verdadeiro: 1, true, T
 Falso: 0, false, F
 Principais operações ou funções:
 Conjunção: AND, ·, ∧
 Disjunção: OR, +, ∨
 Negação: NOT, ¬, x
PORTAS LÓGICAS
 NOT
 Inversão, complemento, negação
Entrada
 0
Saída
 1
PORTAS LÓGICAS
 NOT
 Inversão, complemento, negação
Entrada
 0
 1
Saída
 1
 0
 NOT
 Inversão, complemento, negação
 Tabela verdade
PORTAS LÓGICAS
Entrada
 0
 1
Saída
 1
 0
Entrada Saída
0 1
1 0
 NOT
 Inversão, complemento, negação
 
PORTAS LÓGICAS
Entrada
 A
 
Saída
 X
 
A X
0 1
1 0
X= Ā
 NOT
 Ex. complemento de 1
PORTAS LÓGICAS
PORTAS LÓGICAS
 AND
 Multiplicação lógica
 Não confundir com multiplicação binária
 Duas ou mais entradas
 
Entradas
 
 
Saída
 
 
X=A⋅B
PORTAS LÓGICAS
 AND
 Multiplicação lógica
Entradas
 
 
Saída
 
 
PORTAS LÓGICAS
 AND
 Multiplicação lógica
Entradas
 
 
Saída
 
 
PORTAS LÓGICAS
 AND
 Multiplicação lógica
Entradas
 
 
Saída
 
 
PORTAS LÓGICAS
 AND
 Multiplicação lógica
Entradas
 
 
Saída
 
 
PORTAS LÓGICAS
 AND
 Multiplicação lógica
Entradas
 
 
Saída
 
 
A B X
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
X=A⋅B
PORTAS LÓGICAS
 AND
 Multiplicação lógica
 Qual é a tabela verdade para a seguinte expressão 
booleana?
 
A B C X
0 0 0 ?
0 0 1 ?
0 1 0 ?
0 1 1 ?
1 0 0 ?
1 0 1 ?
1 1 0 ?
1 1 1 ?
X=A⋅B⋅C
PORTAS LÓGICAS
 AND
 Multiplicação lógica
 Qual é a tabela verdade para a seguinte expressão 
booleana?
 A B C X
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
X=A⋅B⋅C
PORTAS LÓGICAS
 AND
 Ex. Alarme
PORTAS LÓGICAS
 AND
 Ex. Alarme
High
PORTAS LÓGICAS
 AND
 Ex. Alarme
High
High
High
PORTAS LÓGICAS
 AND
 Ex. Alarme
Low
High
Low
PORTAS LÓGICAS
 AND
 Ex. Alarme
High
High
High
PORTAS LÓGICAS
 AND
 Ex. Alarme
High
High
Low
Low
PORTAS LÓGICAS
 OR
 Soma lógica (não confundir com soma binária)
 Duas ou mais entradas
 
Entradas
 
 
Saída
 
 
X=A+B
PORTAS LÓGICAS
 OR
 AND
PORTAS LÓGICAS
 OR
 Soma lógica
Entradas
 
 
Saída
 
 
PORTAS LÓGICAS
 OR
 Soma lógica
Entradas
 
 
Saída
 
 
PORTAS LÓGICAS
 OR
 Soma lógica
Entradas
 
 
Saída
 
 
PORTAS LÓGICAS
 OR
 Soma lógica
Entradas
 
 
Saída
 
 
PORTAS LÓGICAS
 OR
 Soma lógica
Entradas
 
 
Saída
 
 
X=A+B
A B X
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
PORTAS LÓGICAS
 OR
 Soma lógica
 Qual é a tabela verdade para a seguinte expressão 
booleana?
 A B C X
0 0 0 ?
0 0 1 ?
0 1 0 ?
0 1 1 ?
1 0 0 ?
1 0 1 ?
1 1 0 ?
1 1 1 ?
X=A+B+C
PORTAS LÓGICAS
 OR
 Soma lógica
 Qual é a tabela verdade para a seguinte expressão 
booleana?
 A B C X
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
X=A+B+C
PORTAS LÓGICAS
 OR
 Ex. Alarme
PORTAS LÓGICAS
 OR
 Ex. Alarme
Low
Low
Low
Low
PORTAS LÓGICAS
 OR
 Ex. Alarme
Low
Low
High
High
PORTAS LÓGICAS
 XOR
 Exclusive-OR
 
Entradas
 
 
Saída
 
 
X=A⊕B
PORTAS LÓGICAS
 XOR
 Exclusive-OR
 Saída 1 para o caso de apenas uma única entrada 1.
PORTAS LÓGICAS
 XOR
 Exclusive-OR
 
Entradas
 
 
Saída
 
 
X=A⊕B
A B X
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
PORTAS LÓGICAS
 XOR
 Ex. adição binária (sem o “vai um”)
PORTAS LÓGICAS
 NOT
 AND
 OR
 XOR
X=A⊕B
X=A+B
X=A⋅B
X= Ā
Entrada
 A
Saída
 X
PORTAS LÓGICAS
 NAND
 NOT-AND
PORTAS LÓGICAS
 NAND
 NOT-AND
PORTAS LÓGICAS
 NAND
 NOT-AND
 
A B X
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
X=A⋅B
PORTAS LÓGICAS
 NAND
 Ex. Luz verde: dois tanques acima de 1/4
PORTAS LÓGICAS
 NAND
 Ex. Luz verde: dois tanques acima de 1/4
A B X
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
X=A⋅B
A
B
PORTAS LÓGICAS
 NAND
 Ex. Luz verde: dois tanques acima de 1/4
A B X
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
X=A⋅B
A
B
Low
High
Luz 
apagada
PORTAS LÓGICAS
 NOR
 NOT-OR
PORTAS LÓGICAS
 NOR
 NOT-OR
PORTAS LÓGICAS
 NOR
 NOT-OR
 
A B X
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
X=A+B
PORTAS LÓGICAS
NOR
Ex. Luz vermelha: falha de algum trem de pouso
PORTAS LÓGICAS
 NOR
 Ex. Luz vermelha: falha de algum trem de pouso
High
A B C X
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
... ...
X=A+B+C
A
C
B
Luz 
apagadaLow
Low
Low
PORTAS LÓGICAS
 NOR
 Ex. Luz vermelha: falha de algum trem de pouso
Low
A B C X
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
... ...
X=A+B+C
A
C
B
Low
Low
High
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
INTRODUÇÃO
 Soma booleana: OR
 Multiplicação booleana: AND
INTRODUÇÃO
 Soma booleana:
 Ex.
 Multiplicação booleana:
 Ex.
A+B+C+D+E
A⋅B⋅C⋅D
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Leis
 Comutativa
 Associativa
 Distributiva
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Comutativa
A+B=B+A
A⋅B=B⋅A
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Associativa
A+(B+C )=( A+B )+C
A⋅(B⋅C )=(A⋅B )⋅C
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Distributiva
A⋅(B+C )=A⋅B+A⋅C
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Regras
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Regra 1
 “Máximo”
A+0=A
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Regra 2
 “Máximo”
A+1=1
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Regra 3
 “Mínimo”
A⋅0=0
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Regra 4
 “Mínimo”
A⋅1=A
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Regra 5
 Idempotência
A+A=A
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Regra 6
 Complemento
A+A=1
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Regra 7
 Idempotência
A⋅A=A
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Regra 8
 Complemento
A⋅A=0
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Regra 9
 Dupla inversão
A=A
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Regra 10
 Absorção
A+A⋅B=A
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Regra 10
 Absorção
 Demonstração:
A+A⋅B=A
(Máximo)
(Mínimo)
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Regra 10
 Absorção
 Demonstração:
A+A⋅B=A
(Máximo)
(Mínimo)
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Regra 10
 Absorção
 Demonstração:
A+A⋅B=A
(Máximo)
(Mínimo)
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Regra 11
A+A⋅B=A+B
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Regra 11
 Demonstração:
A+A⋅B=A+B
A+A⋅B=A+AB+A⋅B
=A+( A+A )⋅B
=A+1⋅B
=A+B
Regra 10: A = A + AB
Distributiva: “fatoração”
Regra 6: complementaridade
Regra 4: mínimo
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Regra 11
 Demonstração:
A+A⋅B=A+B
A+A⋅B=A+AB+A⋅B
=A+( A+A )⋅B
=A+1⋅B
=A+B
Regra 10: A = A + AB
Distributiva: “fatoração”
Regra 6: complementaridade
Regra 4: mínimo
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Regra 11
 Demonstração:
A+A⋅B=A+B
A+A⋅B=A+AB+A⋅B
=A+( A+A )⋅B
=A+1⋅B
=A+B
Regra 10: A = A + AB
Distributiva: “fatoração”
Regra 6: complemento
Regra 4: mínimo
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Regra 11
 Demonstração:
A+A⋅B=A+B
A+A⋅B=A+AB+A⋅B
=A+( A+A )⋅B
=A+1⋅B
=A+B
Regra 10: A = A + AB
Distributiva: “fatoração”
Regra 6: complemento
Regra 4: mínimo
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Regra 12
(A+B )⋅(A+C )=A+B⋅C
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Regra 12
 Demonstração:CBACABA  )()(
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Regra 12
 Demonstração:
CBACABA  )()(
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Regra 12
 Demonstração:
CBACABA  )()(
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Regra 12
 Demonstração:
CBACABA  )()(
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Regra 12
 Demonstração:
CBACABA  )()(
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Regra 12
 Demonstração:
CBACABA  )()(
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Regra 12
 Demonstração:
CBACABA  )()(
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Teoremas de De Morgan
A⋅B=A+B
A+B=A⋅B
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 De Morgan
A⋅B=A+B
A
B
A
B
AB A B
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 De Morgan
A⋅B=A+B
A
B
A
B
AB A B
A
B
A
B
AB A B
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 De Morgan
A⋅B=A+B
A B X
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A
B
A
B
AB A B
A
B
A
B
AB A B
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 De Morgan
A+B=A⋅B
A
B
A
B
A B A B
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 De Morgan
A+B=A⋅B
A
B
A
B
A B A B
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 De Morgan
A+B=A⋅B
A B X
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
A
B
A
B
A B A B
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 De Morgan
 Ex.
 Aplicar para
 (a)
 (b)
A⋅B=A+B A+B=A⋅B
XYZ=
X+Y +Z=
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 De Morgan
 Ex.
 Aplicar para
 (a)
 (b)
A⋅B=A+B A+B=A⋅B
XYZ=X+Y +Z
X+Y +Z=
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 De Morgan
 Ex.
 Aplicar para
 (a)
 (b)
A⋅B=A+B A+B=A⋅B
XYZ=X+Y +Z
X+Y +Z=X⋅Y⋅Z
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 De Morgan
 Ex.
 Aplicar para
 (c)
 (d)
A⋅B=A+B A+B=A⋅B
W⋅X⋅Y⋅Z
X+Y +Z
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 De Morgan
 Ex.
 Aplicar para
 (c)
 (d)
A⋅B=A+B A+B=A⋅B
W⋅X⋅Y⋅Z
X+Y +Z =X⋅Y⋅Z
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 De Morgan
 Ex.
 Aplicar para
 (c)
 (d)
A⋅B=A+B A+B=A⋅B
W⋅X⋅Y⋅Z
X+Y +Z =X⋅Y⋅Z =X⋅Y⋅Z
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 De Morgan
 Ex.
 Aplicar para
 (c)
 (d)
A⋅B=A+B A+B=A⋅B
W⋅X⋅Y⋅Z
X+Y +Z =X⋅Y⋅Z =X⋅Y⋅Z
=W +X+Y +Z
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 De Morgan
 Ex.
 Aplicar para
 (c)
 (d)
A⋅B=A+B A+B=A⋅B
W⋅X⋅Y⋅Z
X+Y +Z =X⋅Y⋅Z =X⋅Y⋅Z
=W +X+Y +Z
=W +X+Y +Z
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 De Morgan
 Ex. Aplicar
A⋅B=A+B A+B=A⋅B
A+BC+D⋅(E+F )
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 De Morgan
 Ex. Aplicar
A⋅B=A+B A+B=A⋅B
A+BC+D⋅(E+F ) =( A+BC )⋅(D⋅(E+F ))
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 De Morgan
 Ex. Aplicar
A⋅B=A+B A+B=A⋅B
A+BC+D⋅(E+F ) =( A+BC )⋅(D⋅(E+F ))
=( A+BC )⋅(D⋅(E+F ))
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 De Morgan
 Ex. Aplicar
A⋅B=A+B A+B=A⋅B
A+BC+D⋅(E+F ) =( A+BC )⋅(D⋅(E+F ))
=( A+BC )⋅(D⋅(E+F ))
=( A+BC )⋅(D+(E+F ))
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 De Morgan
 Ex. Aplicar
A⋅B=A+B A+B=A⋅B
A+BC+D⋅(E+F ) =( A+BC )⋅(D⋅(E+F ))
=( A+BC )⋅(D⋅(E+F ))
=( A+BC )⋅(D+(E+F ))
=( A+BC )⋅(D+E+F )
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 De Morgan
 Exercícios
 Aplicar para
 (a)
 (b)
 (c)
 (d)
A⋅B=A+B A+B=A⋅B
A⋅B⋅C+D⋅E⋅F
(A+B+C )⋅D
A⋅B+C⋅D+E⋅F
A⋅B⋅C+D+E
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 De Morgan
 Exercícios
 Aplicar para
 (a)
A⋅B=A+B A+B=A⋅B
(A+B+C )⋅D =( A+B+C )+D
=A⋅B⋅C+D
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 De Morgan
 Exercícios
 Aplicar para
 (b)
A⋅B=A+B A+B=A⋅B
A⋅B⋅C+D⋅E⋅F
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 De Morgan
 Exercícios
 Aplicar para
 (b)
A⋅B=A+B A+B=A⋅B
A⋅B⋅C+D⋅E⋅F =( A⋅B⋅C )⋅(D⋅E⋅F )
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 De Morgan
 Exercícios
 Aplicar para
 (b)
A⋅B=A+B A+B=A⋅B
A⋅B⋅C+D⋅E⋅F =( A⋅B⋅C )⋅(D⋅E⋅F )
=( A+B+C )⋅(D+E+F )
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 De Morgan
 Exercícios
 Aplicar para
 (c)
A⋅B=A+B A+B=A⋅B
A⋅B+C⋅D+E⋅F
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 De Morgan
 Exercícios
 Aplicar para
 (c)
A⋅B=A+B A+B=A⋅B
A⋅B+C⋅D+E⋅F =( A⋅B )⋅(C⋅D )⋅(E⋅F )
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 De Morgan
 Exercícios
 Aplicar para
 (c)
A⋅B=A+B A+B=A⋅B
A⋅B+C⋅D+E⋅F =( A⋅B )⋅(C⋅D )⋅(E⋅F )
=( A+B )⋅(C+D)⋅(E+F )
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 De Morgan
 Exercícios
 Aplicar para
 (c)
A⋅B=A+B A+B=A⋅B
A⋅B+C⋅D+E⋅F =( A⋅B )⋅(C⋅D )⋅(E⋅F )
=( A+B )⋅(C+D)⋅(E+F )
=( A+B )⋅(C+D)⋅(E+F )
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 De Morgan
 Exercícios
 Aplicar para
 (d)
A⋅B=A+B A+B=A⋅B
A⋅B⋅C+D+E
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 De Morgan
 Exercícios
 Aplicar para
 (d)
A⋅B=A+B A+B=A⋅B
A⋅B⋅C+D+E =( A⋅B⋅C )⋅D⋅E
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 De Morgan
 Exercícios
 Aplicar para
 (d)
A⋅B=A+B A+B=A⋅B
A⋅B⋅C+D+E =( A⋅B⋅C )⋅D⋅E
=A⋅B⋅C⋅D⋅E
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA BOOLEANA
 Resumo
aComutativa
Associativa
Distributiva 
Máximo
Mínimo
Idempotência
Complemento
Absorção
De Morgan
A⋅B=B⋅A
A+B=B+A
A⊕B=B⊕ A
A⋅B=B⋅A
A+B=B+A
A⋅(B⋅C )=(A⋅B )⋅C
A+(B+C )=( A+B )+C A⊕(B⊕C )=( A⊕ B)⊕C
A⋅(B+C )=( A⋅B )+( A⋅C ) A+(B⋅C )=( A+B)⋅( A+C )
A+0=A A+1=1
A⋅0=0 A⋅1=A
A+A=A A⋅A=A
A+A=1 A⋅A=0A⊕ A=1 (A⊕ A=0)
A⋅( A+B )=AA+( A⋅B )=A
A⋅B=A+B A+B=A⋅B
Conversão entre funções booleanas 
circuitos
 Qual a função booleana correspondente ao circuito ?
Conversão entre funções booleanas 
circuitos
 Qual a função booleana correspondente ao circuito ?
Conversão entre funções booleanas 
circuitos
 Qual a função booleana correspondente ao circuito ?
Conversão entre funções booleanas 
circuitos
 Qual a função booleana correspondente ao circuito ?
Conversão entre funções booleanas 
circuitos
 Qual a função booleana correspondente ao circuito ?
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
 Simplificar:
 1)
 2)
 3)
 4)
A⋅B+A⋅(B+C )+B⋅(B+C )
A⋅B+A⋅(B+C )+B⋅(B+C )
[ A⋅B⋅(C+B⋅D )+A⋅B ]⋅C
[ A⋅B⋅(C+B⋅D )+A⋅B ]⋅C⋅D
EXERCÍCIOS
 1) Simplificar
A⋅B+A⋅(B+C )+B⋅(B+C )
SOLUÇÃO
 1) Simplificar
A⋅B+A⋅(B+C )+B⋅(B+C )
=AB+AB+AC+BB+BC
=AB+AC+B+BC
(distributiva)
(idempotência na soma e na mult)
=AB+AC+B (1+C )=AB+AC+B (absorção)
=AC+B ( A+1 )=AC+B (absorção)
SOLUÇÃO
 1) Simplificar
A⋅B+A⋅(B+C )+B⋅(B+C )
=AB+AB+AC+BB+BC
=AB+AC+B+BC
(distributiva)
(idempotência na soma e na mult)
=AB+AC+B (1+C )=AB+AC+B (absorção)
=AC+B ( A+1 )=AC+B (absorção)
SOLUÇÃO
 1) Simplificar
A⋅B+A⋅(B+C )+B⋅(B+C )
=AB+AB+AC+BB+BC
=AB+AC+B+BC
(distributiva)
(idempotência na soma e na mult)
=AB+AC+B (1+C )=AB+AC+B (absorção: fatoração e máximo)
=AC+B ( A+1 )=AC+B (absorção)
SOLUÇÃO
 1) Simplificar
A⋅B+A⋅(B+C )+B⋅(B+C )
=AB+AB+AC+BB+BC
=AB+AC+B+BC
(distributiva)
(idempotência na soma e na mult)
=AB+AC+B (1+C )=AB+AC+B
=AC+B ( A+1 )=AC+B
(absorção: fatoração e máximo)
(absorção)
EXERCÍCIOS
 2) Simplificar
A⋅B+A⋅(B+C )+B⋅(B+C )
SOLUÇÃO
 2) Simplificar
A⋅B+A⋅(B+C )+B⋅(B+C )
=A B+A (B⋅C )+B(B⋅C ) (De Morgan)
(complemento)=A B+A B⋅C
(absorção)=A B (1+C )=A B
SOLUÇÃO
 2) Simplificar
A⋅B+A⋅(B+C )+B⋅(B+C )
=A B+A (B⋅C )+B(B⋅C ) (De Morgan)
(complemento)=A B+A B⋅C
(absorção)=A B (1+C )=A B
SOLUÇÃO
 2) Simplificar
A⋅B+A⋅(B+C )+B⋅(B+C )
=A B+A (B⋅C )+B(B⋅C ) (De Morgan)
(complemento)=A B+A B⋅C
(absorção)=A B (1+C )=A B
EXERCÍCIOS
 3) Simplificar
[ A⋅B⋅(C+B⋅D )+A⋅B ]⋅C
SOLUÇÃO
 3) Simplificar
[ A⋅B⋅(C+B⋅D )+A⋅B ]⋅C
=[ A⋅B⋅C+A⋅B⋅B⋅D+A⋅B ]⋅C (distributiva)
=A⋅B⋅C⋅C+A⋅B⋅C (complemento e distrib)
=A⋅B⋅C+A⋅B⋅C (idempotência)
=( A+A )⋅B⋅C=B⋅C (complemento)
SOLUÇÃO
 3) Simplificar
[ A⋅B⋅(C+B⋅D )+A⋅B ]⋅C
=[ A⋅B⋅C+A⋅B⋅B⋅D+A⋅B ]⋅C (distributiva)
=A⋅B⋅C⋅C+A⋅B⋅C (complemento e distrib)
=A⋅B⋅C+A⋅B⋅C (idempotência)
=( A+A )⋅B⋅C=B⋅C (complemento)
SOLUÇÃO
 3) Simplificar
[ A⋅B⋅(C+B⋅D )+A⋅B ]⋅C
=[ A⋅B⋅C+A⋅B⋅B⋅D+A⋅B ]⋅C (distributiva)
=A⋅B⋅C⋅C+A⋅B⋅C (complemento e distrib)
=A⋅B⋅C+A⋅B⋅C (idempotência)
=( A+A )⋅B⋅C=B⋅C (complemento)
SOLUÇÃO
 3) Simplificar
[ A⋅B⋅(C+B⋅D )+A⋅B ]⋅C
=[ A⋅B⋅C+A⋅B⋅B⋅D+A⋅B ]⋅C (distributiva)
=A⋅B⋅C⋅C+A⋅B⋅C (complemento e distrib)
=A⋅B⋅C+A⋅B⋅C (idempotência)
=( A+A )⋅B⋅C=B⋅C (complemento)
EXERCÍCIOS
 4) Simplificar
[ A⋅B⋅(C+B⋅D )+A⋅B ]⋅C⋅D
SOLUÇÃO
 4) Simplificar
[ A⋅B⋅(C+B⋅D )+A⋅B ]⋅C⋅D
=[ AB(C+B+D )+A+B ]CD (De Morgan)
=[ ABC+AB B+AB D+A+B ]CD (distributiva)
=ABCCD+AB DCD+A CD+BCD (complemento e distrib)
=ABCD+ACD+BCD (idempotência e compl)
=( AB+A+B )CD=( AB+A+A B+B )CD (absorção)
=(B( A+A )+A+B )CD=(B+A+B)CD=CD (complemento)
SOLUÇÃO
 4) Simplificar
[ A⋅B⋅(C+B⋅D )+A⋅B ]⋅C⋅D
=[ AB(C+B+D )+A+B ]CD (De Morgan)
=[ ABC+AB B+AB D+A+B ]CD (distributiva)
=ABCCD+AB DCD+A CD+BCD (complemento e distrib)
=ABCD+A CD+BCD (idempotência e compl)
=( AB+A+B )CD=( AB+A+A B+B )CD (absorção)
=(B( A+A )+A+B )CD=(B+A+B)CD=CD (complemento)
SOLUÇÃO
 4) Simplificar
[ A⋅B⋅(C+B⋅D )+A⋅B ]⋅C⋅D
=[ AB(C+B+D )+A+B ]CD (De Morgan)
=[ ABC+AB B+AB D+A+B ]CD (distributiva)
=ABCCD+AB DCD+A CD+BCD (complemento e distrib)
=ABCD+A CD+BCD (idempotência e compl)
=( AB+A+B )CD=( AB+A+A B+B )CD (absorção)
=(B( A+A )+A+B )CD=(B+A+B)CD=CD (complemento)
SOLUÇÃO
 4) Simplificar
[ A⋅B⋅(C+B⋅D )+A⋅B ]⋅C⋅D
=[ AB(C+B+D )+A+B ]CD (De Morgan)
=[ ABC+AB B+AB D+A+B ]CD (distributiva)
=ABCCD+AB DCD+A CD+BCD (complemento e distrib)
=ABCD+A CD+BCD (idempotência e compl)
=( AB+A+B )CD=( AB+A+A B+B )CD (absorção)
=(B( A+A )+A+B )CD=(B+A+B)CD=CD (complemento)
SOLUÇÃO
 4) Simplificar
[ A⋅B⋅(C+B⋅D )+A⋅B ]⋅C⋅D
=[ AB(C+B+D )+A+B ]CD (De Morgan)
=[ ABC+AB B+AB D+A+B ]CD (distributiva)
=ABCCD+AB DCD+A CD+BCD (complemento e distrib)
=ABCD+A CD+BCD (idempotência e compl)
=( AB+A+B )CD=( AB+A+A B+B )CD (absorção)
=(B( A+A )+A+B )CD=(B+A+B)CD=CD (complemento)
SOLUÇÃO
 4) Simplificar
[ A⋅B⋅(C+B⋅D )+A⋅B ]⋅C⋅D
=[ AB(C+B+D )+A+B ]CD (De Morgan)
=[ ABC+AB B+AB D+A+B ]CD (distributiva)
=ABCCD+AB DCD+A CD+BCD (complemento e distrib)
=ABCD+A CD+BCD (idempotência e compl)
=( AB+A+B )CD=( AB+A+A B+B )CD (absorção)
=(B( A+A )+A+B )CD=(B+A+B)CD=CD (complemento)
BIBLIOGRAFIA
 T. L. Floyd. Digital Fundamentals. 9 Ed. Pearson Prentice Hall. 
2006. Capítulos 3 e 4.
 Material das professoras Debora Medeiros e Mirtha Lina.
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