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Universidade Federal Fluminense
Disciplina:
Resumo da Aula 4 – Equações Diferenciais
FENÔMENOS DE
TRANSPORTE
Prof.: Gabriel Nascimento (Depto. de Eng. Agrícola e Meio Ambiente)
Elson Nascimento (Depto. de Eng. Civil)
Escola de Engenharia
 Aula 4 – Equações Diferenciais
▪ Equação da continuidade
▪ Cinemática
▪ Equação da quantidade de movimento linear
▪ Equação de Euler
▪ Equação de Navier-Stokes
 Métodos de solução de problemas com fluidos:
F
u(r)
Solução analítica ou 
numérica 
(CFD – Computational
Fluid Dynamics)
VC
Grandezas integrais (volume de 
controle – VC):
• Vazão
• Força 
• Energia
EQUAÇÕES INTEGRAIS
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
MÉTODOS EXPERIMENTAIS
Grandezas infinitesimais (pontual):
• Velocidade: 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
• Tensão: 𝜎 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 , 𝜏 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
• Modelos reduzidos em laboratório, 
protótipos ou medições em campo
• Análise dimensional
Disponível em <http://www.canadianautoreview.ca/news/gm-
reduced-scale-wind-tunnel.html>. Acesso em 27 mar. 2018.
Eq. da Continuidade 
 Conservação da massa:
▪ Fluido compressível:
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ 𝛻 ∙ 𝜌𝑉 = 0
▪ Fluido incompressível:
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ 𝛻 ∙ 𝜌𝑉 = 0
0
→ 𝜌𝛻 ∙ 𝑉 = 0
→ 𝛻 ∙ 𝑉 = 0
divergente nulo
(campo solenoidal)
 Conservação da massa: 
Exemplo: Considerando um escoamento incompressível, qual dos campos 
de velocidade representados abaixo não atende ao princípio da 
continuidade?
(A) 𝑉 = 2𝑥 Ƹ𝑖 + 3𝑦 Ƹ𝑗 − 5𝑧 ෠𝑘
(B) 𝑉 = 𝑥 + 𝑦 Ƹ𝑖 − 𝑦 Ƹ𝑗
(C) 𝑉 = 𝑒𝑥 Ƹ𝑖 − 𝑒𝑥𝑦 Ƹ𝑗
(D) 𝑉 = 𝑥2 Ƹ𝑖 − 2𝑥𝑦 Ƹ𝑗
(E) 𝑉 = 𝑥 Ƹ𝑖 − 𝑥 Ƹ𝑗
Escoamento incompressível: 𝛻 ∙ 𝑉 = 0
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 0
ቐ
𝑢 = 𝑥
𝑣 = −𝑥
𝑤 = 0
𝜕𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕(−𝑥)
𝜕𝑦
+ 0 = 1 + 0 + 0 = 1 ≠ 0
NÃO ATENDE !
Cinemática
x
y x
y translação
x
y rotação
x
y
deformação 
angular (distorção)
x
y deformação 
linear
 Resumo
▪ Translação:
▪ Rotação:
▪ Deformação angular (distorção):
▪ Deformação linear:
▪ Taxa de dilatação volumétrica:
Ԧ𝑎 =
𝐷𝑉
𝐷𝑡
= 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑉
𝜕𝑧
+
𝜕𝑉
𝜕𝑡
𝜔 =
1
2
𝛻 × 𝑉
𝑑𝜃𝑖𝑗
𝑑𝑡
=
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖
+
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
ሶ𝜀𝑖 =
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑖
1
𝛿𝑉
𝑑 𝛿𝑉
𝑑𝑡
= 𝛻 ∙ 𝑉
Eq. do Momentum
Quantidade de movimento linear (momentum):
−
𝜕𝑝
𝜕𝑥
−
𝜕𝑝
𝜕𝑦
−
𝜕𝑝
𝜕𝑧
𝜌𝑔𝑥
𝜌𝑔𝑦
𝜌𝑔𝑧
+
𝜕𝜏𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧
+
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑦
𝜕𝑧
+
𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑧
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑧
𝜕𝑧
= 𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
= 𝜌
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
= 𝜌
𝜕𝑤
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
3 equações
10 incógnitas
Equação de Euler
 Equação de Euler:
▪ Escoamento invíscido (sem “atrito”) 
𝜌𝑔𝑥 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧
= 𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜌𝑔𝑦 −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑦
𝜕𝑧
= 𝜌
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜌𝑔𝑧 −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+
𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑧
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑧
𝜕𝑧
= 𝜌
𝜕𝑤
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
→ 𝜏𝑖𝑗 = 0
 Equação de Euler:
▪ Escoamento invíscido (sem “atrito”) 
𝜌𝑔𝑥 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
= 𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜌𝑔𝑦 −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
= 𝜌
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜌𝑔𝑧 −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
= 𝜌
𝜕𝑤
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝜌 Ԧ𝑔 − 𝛻𝑝 = 𝜌
𝑑𝑉
𝑑𝑡
→ 𝜏𝑖𝑗 = 0
 Equação de Euler:
Exemplo: Em um duto horizontal de ar condicionado
(massa específica 𝜌), há uma redução de altura da seção
ao longo do comprimento 𝐿, conforme ilustrado na figura
ao lado. A variação da seção foi projeta de tal maneira que
a velocidade nesse trecho pode ser simplificada por
𝑢 𝑥 = 𝑢0 + 𝐾𝑥 . Considerando escoamento invíscido e
permanente, qual expressão representa o gradiente da
pressão na direção 𝑥 ( Τ𝜕𝑝 𝜕𝑥), no trecho da redução?
𝐿
𝑥
𝑦
𝑅𝑒 =
𝜌𝑉𝐿
𝜇
=
1,2 ⋅ 10 ⋅ 0,5
1,8 ⋅ 10−5
= 3,3 ⋅ 105
 Equação de Euler:
Exemplo: Em um duto horizontal de ar condicionado
(massa específica 𝜌), há uma redução de altura da seção
ao longo do comprimento 𝐿, conforme ilustrado na figura
ao lado. A variação da seção foi projeta de tal maneira que
a velocidade nesse trecho pode ser simplificada por
𝑢 𝑥 = 𝑢0 + 𝐾𝑥 . Considerando escoamento invíscido e
permanente, qual expressão representa o gradiente da
pressão na direção 𝑥 ( Τ𝜕𝑝 𝜕𝑥), no trecho da redução?
𝐿
𝑥
𝑦
𝑢 𝑥 = 𝑢0 + 𝐾𝑥
Τ𝜕𝑝 𝜕𝑥 =?
 Equação de Euler:
Exemplo:
𝐿
𝑥
𝑦
𝑢 𝑥 = 𝑢0 + 𝐾𝑥
Τ𝜕𝑝 𝜕𝑥 =?
𝜌 Ԧ𝑔 − 𝛻𝑝 = 𝜌
𝑑𝑉
𝑑𝑡
𝜌𝑔𝑥 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
= 𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑝
𝜕𝑥
= −𝜌 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑝
𝜕𝑥
= −𝜌 𝑢0 + 𝐾𝑥 𝐾
→
𝜕𝑝
𝜕𝑥
= −𝜌𝐾 𝑢0 + 𝐾𝑥
Eq. de Navier-Stokes
 Equação de Navier-Stokes
𝜌𝑔𝑥 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2
= 𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜌𝑔𝑦 −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+ 𝜇
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑣
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑣
𝜕𝑧2
= 𝜌
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜌𝑔𝑧 −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ 𝜇
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑤
𝜕𝑧2
= 𝜌
𝜕𝑤
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
• e incompressível:  constante
• para fluido newtoniano:  constante
𝜌 Ԧ𝑔 − 𝛻𝑝 + 𝜇𝛻2𝑉 = 𝜌
𝑑𝑉
𝑑𝑡
Incógnitas:
𝑝, 𝑢, 𝑣 𝑒 𝑤
𝛻2 =
𝜕2
𝜕𝑥2
+
𝜕2
𝜕𝑦2
+
𝜕2
𝜕𝑧2
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
+
1
𝑟2
𝜕2
𝜕𝜃2
+
𝜕2
𝜕𝑥2
→ com a eq. da continuidade: 
sistema de 4 incógnitas e 4 
equações
 Equação de Navier-Stokes
▪ Exemplo 2: Para um escoamento laminar e permanente de um fluido incompressível e newtoniano de 
massa específica  e viscosidade , no interior de uma tubulação horizontal de seção circular, com 
diâmetro D e comprimento L:
a) considerando um gradiente de pressão constante e 
𝜕𝑝
𝜕𝑥
=
∆𝑝
𝐿
= 𝛾
ℎ𝑝
𝐿
, calcule o perfil de distribuição de velocidades;
b) calcule a vazão volumétrica;
c) calcule a velocidade média; e
d) expresse a perda de carga unitária ( Τℎ𝑝 𝐿) em função dos demais parâmetros
x
r
u(r)
 Equação de Navier-Stokes
▪ Exemplo 2: 
a) considerando um gradiente de pressão constante e 
𝜕𝑝
𝜕𝑥
=
∆𝑝
𝐿
= 𝛾
ℎ𝑝
𝐿
, calcule o perfil de distribuição de velocidades;
𝜌 Ԧ𝑔 − 𝛻𝑝 + 𝜇𝛻2𝑉 = 𝜌
𝐷𝑉
𝐷𝑡
→ 𝜌𝑔𝑥 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝜇
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝑟
+
1
𝑟2
𝜕2𝑢
𝜕𝜃2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
= 𝜌 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑟
+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝜃
+
𝜕𝑢
𝜕𝑡
→
𝜇
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝑟
=
𝜕𝑝
𝜕𝑥
=
∆𝑝
𝐿
= 𝛾
ℎ𝑝
𝐿
→ 𝑢 𝑟 =
ℎ𝑝ρ𝑔
4𝐿𝜇
𝑅2 − 𝑟2
→
𝜕
𝜕𝑟
𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝑟
= 𝑟
𝛾ℎ𝑝
𝜇𝐿
→ න
0
𝑟 𝜕
𝜕𝑟
𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝑟
𝑑𝑟 = න
0
𝑟
𝑟
𝛾ℎ𝑝
𝜇𝐿
𝑑𝑟
→ 𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝑟
=
𝑟2
2
𝛾ℎ𝑝
𝜇𝐿
→ න
𝑟
𝑅 𝜕𝑢
𝜕𝑟
𝑑𝑟 = න
𝑟
𝑅 𝑟
2
𝛾ℎ𝑝
𝜇𝐿
𝑑𝑟
x
r
u(r)
 Equação de Navier-Stokes
▪ Exemplo 2: 
a) considerando um gradiente de pressão constante e 
𝜕𝑝
𝜕𝑥
=
∆𝑝
𝐿
= 𝛾
ℎ𝑝
𝐿
, calcule o perfil de distribuição de velocidades;
b) calcule a vazão volumétrica; 
c) calcule a velocidade média; e
𝑢 𝑟 =
ℎ𝑝ρ𝑔
4𝐿𝜇
𝑅2 − 𝑟2
𝑄 = න
𝐴
𝑉𝑛𝑟 𝑑𝐴 = න
𝐴
𝑢 𝑑𝐴 = න
0
𝑅 ℎ𝑝ρ𝑔
4𝐿𝜇
𝑅2 − 𝑟2 2𝜋𝑟𝑑 𝑟 =
𝜋ℎ𝑝ρ𝑔
2𝐿𝜇
න
0
𝑅
𝑅2 − 𝑟2 𝑟 𝑑𝑟
=
𝜋ℎ𝑝ρ𝑔
2𝐿𝜇
อ𝑅2
𝑟2
2
−
𝑟4
4
0
𝑅
=
𝜋ℎ𝑝ρ𝑔
2𝐿𝜇
𝑅2
𝑅2
2
−
𝑅4
4
=
𝜋ℎ𝑝ρ𝑔
2𝐿𝜇
𝑅4
4
→ 𝑄 =
𝜋ℎ𝑝ρ𝑔𝐷
4
128 𝐿𝜇
𝑄 = 𝑉𝑚 𝐴 → 𝑉𝑚 =
𝑄
𝐴
=
4𝑄
ൗ𝜋𝐷
2
4
=
𝜋ℎ𝑝𝜌𝑔𝐷
4
128 𝐿𝜇
ൗ𝜋𝐷
2
4
→ 𝑉𝑚 =
ℎ𝑝ρ𝑔𝐷
2
32 𝐿𝜇
x
r
u(r)
 Equação de Navier-Stokes
▪ Exemplo 2:
a) considerando um gradiente de pressão constante e 
𝜕𝑝
𝜕𝑥
=
∆𝑝
𝐿
= 𝛾
ℎ𝑝
𝐿
, calcule o perfil de distribuição de velocidades;
b) calcule a vazão volumétrica; 
c) calcule a velocidade média; e
d) expresse a perda de carga unitária ( Τℎ𝑝 𝐿) em função dos demaisparâmetros
𝑢 𝑟 =
ℎ𝑝ρ𝑔
4𝐿𝜇
𝑅2 − 𝑟2
𝑄 =
𝜋ℎ𝑝ρ𝑔𝐷
4
128 𝐿𝜇
𝑉𝑚 =
ℎ𝑝ρ𝑔𝐷
2
32 𝐿𝜇
→
ℎ𝑝
𝐿
=
32 𝐿𝜇𝑉𝑚
ρ𝑔𝐷2
x
r
u(r)
 Equação da continuidade:
 Equação de Euler: 
(escoamento invíscido)
 Equação de Navier-Stokes: 
(fluido newtoniano e 
incompressível)
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ 𝛻 ∙ 𝜌𝑉 = 0
𝜌 Ԧ𝑔 − 𝛻𝑝 = 𝜌
𝑑𝑉
𝑑𝑡
𝜌 Ԧ𝑔 − 𝛻𝑝 + 𝜇𝛻2𝑉 = 𝜌
𝑑𝑉
𝑑𝑡
 Aula 4 – Equações Diferenciais
▪ Equação da continuidade
▪ Cinemática
▪ Equação da quantidade de movimento linear
▪ Equação de Euler
▪ Equação de Navier-Stokes
 BIBLIOGRAFIA:
▪ WHITE, Frank. M. Mecânica dos Fluidos. 6ª ed. 
McGraw-Hill, 2010.
▪ WHITE, Frank. M. Viscous Fluid Flow. 3ª ed. 
MacGraw-Hill, 2006.
▪ FOX Robert W.; MCDONALD Alan T. Introdução à 
Mecânica dos Fluídos. 8ª ed. John Wiley and Sons, 
N.Y., Tradução: LTC, 2014.
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