Medição de Velocidade em Fluídos

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Universidade Estadual Paulista
Engenharia Civil
Laboratório de Mecânica dos Fluídos
Relatório 4 - Medida de Velocidade
Profº Dr. Marco Antônio dos Reis Pereira
Stefan Muller Ferreira Gonçalves 191011096
Taís Mendes Capato 181012553
Bauru, 24 de julho de 2020
Laboratório de Mecânica dos Fluídos
Relatório 4 - Medida de velocidade
1 Objetivo
Estudar a determinação de velocidade, perfil de velocidade e da vazão de fluídos que atravessam
determinada seção transversal de um duto.
2 Introdução
2.1 Vazão
A vazão volumétrica (Q) de um fluído é definida como o volume que atravessa a seção transversal
do escoamento em uma unidade de tempo, ou seja
Q =
V
t
(m3 s−1 no SI) (1)
A figura 1 representa um escoamento unidimensional ao longo do eixo x
(
~v · d ~A = vx · dA
)
.
x
r
L
d
d/
2P1 P2
dA
dL r
vx(r)
x
r
d/
2
Figura 1: Escoamento com perfil de velocidade
Nota-se que em situações reais a velocidade do fluído ao longo da seção transversal da tubulação
não é constante, ou seja, há um perfil de velocidade.
Esse comportamento é intuitivo e esperado, uma vez que, devido à viscosidade e o atrito, na in-
terface da tubulação a velocidade do fluído tende a ser menor que no centro. No entanto, para fluídos
invíscidos (baixa viscosidade), a região transitória entre a interface até a velocidade de fluxo totalmente
desenvolvido é muito pequena, admitindo-se portanto que a velocidade ao longo da seção é constante.
De modo geral, admite-se:
• fluído invíscido vx(r) = vx
• escoamento laminar vx(r) = ar2 + br + c (parábola)
Voltando à figura 1, seja vx a velocidade do fluído que passa pelo elemento dA, temos que dL = vxdt,
ou seja
dQ =
dV
dt
= dA
dL
dt
= vxdA ⇒ dQ = vxdA ⇒ Q =
∫
A
vxdA (2)
para velocidades constante ao longo da seção transversal de área A, a equação é reduzida para
Q =
∫
A
vxdA = vx
∫
A
dA = vxA (3)
Como vx(r) é contínua na seção e sabendo que o valor médio de uma função contínua num intervalo
de área A é vm =
1
A
∫
A vxdA, podemos escrever
vm =
1
A
∫
A
vxdA ⇒ Q = vmA (4)
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2.2 Número de Reynolds
O número de Reynolds (Re) é uma quantidade adimensional, positiva, usada para ajudar classificar
o escoamento como laminar ou turbulento. É definido como
Re =
ρvD
µ
(5)
onde
• ρ é a densidade do fluido (kgm−3)
• v é a velocidade do fluido (ms−1)
• D é o diâmetro do escoamento (m)
• µ é a viscosidade do fluido (kgm−1 s−1)
Nota-se que para um escoamento de um fluído com densidade ρ em um duto de diâmetro D,
quando Re � 1 a velocidade v é o termo dominante, ou seja, o escoamento é rápido. Analogamente,
para Re � 1 o termo dominante é a viscosidade µ e o escoamento é lento. Essa alternância na
dominância dos termos dinâmicos e da viscosidade também pode ser confirmada na análise das formas
adimensionalizadas das equações de Navier-Stokes, que governam o escoamento de qualquer fluído.
As equações (6) e (7) abaixo, são a forma simplificada (sem o termo forçante) dessas equações, já
adimensionalizadas.
Re
Du
Dt
= −∇p+∇2u Re� 1 (6)
Du
Dt
= −∇p+ 1
Re
∇2u Re� 1 (7)
• pela equação (6), nota-se que escoamentos com Re � 1 são governados pelo termo dinâmico e
não linear
(
Du
∂t
)
, ou seja, o escoamento é rápido e turbulento.
• pela equação (7), nota-se que escoamentos com Re� 1 a viscosidade (∇2u) é o termo dominante,
ou seja, o termo dinâmico e não linear pode ser desconsiderado e temos escoamentos mais lentos
e laminares.
admite-se
• Re ≤ 2000 - regime laminar
• 2000 < Re < 4000 - regime transição
• Re ≥ 4000 - regime turbulento
2.3 Determinação da velocidade
Para medição da velocidade de escoamento utiliza-se o tubo de Pilot ou o Tubo de Prandtl : sonda
(tubo) com tomada estática integrada (Prandtl) ou sem tomada estática integrada (Pilot) colocada
internamente na tubulação para medir a velocidade em diversos pontos da seção transversal. Com a
amostragem é possível construir o diagrama de velocidade e consequentemente determinar a velocidade
média e a vazão do escoamento.
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Relatório 4 - Medida de velocidade
A Bh
2
1 2
1
TOMADA ESTÁTICA
PILOT
Figura 2: Tubo de Pilot com tomada estática
Na configuração acima, medindo-se h para diversas posições verticais dentro do tubo, é possível
obter o perfil de velocidade do escoamento. Aplicando Bernoulli nos pontos 1 e 2, e a equação do
manômetro em A e B temos
P1
γ1
+ h1 +
v21
2g
=
P2
γ2
+ h2 +
v22
2g
⇒ P1
γ1
+
v21
2g
=
P2
γ2
(Bernoulli) (8)
PA = PB ⇒ P1 + hγ2 = P2 + hγ1 ⇒ P2 = P1 + h(γ2− γ1) (eq. manômetro) (9)
substituindo (9) em (8) temos
v1 =
√
2gh(γ2 − γ1)
γ1
(10)
2.4 Determinação da vazão
Para vazão utiliza-se medição direta: medidor deprimogênitos, ou seja, que geram pressão dife-
rencial. Na figura (3) abaixo tem-se um tubo de Venturi cujo equacionamento é simples e pode ser
derivado da equação de Bernoulli combinada com as equações do manômetro e de continuidade:
A Bh
2
1 2
1
Figura 3: Medidor de Venturi
P1
γ1
+ h1 +
v21
2g
=
P2
γ2
+ h2 +
v22
2g
⇒ P1
γ1
+
v21
2g
=
P2
γ2
+
V 22
2g
(Bernoulli) (11)
PA = PB ⇒ P1 + hγ2 = P2 + hγ1 ⇒ P2 = P1 + h(γ2− γ1) (eq. manômetro) (12)
Q1 = Q2 ⇒ v1 = v2
A2
A1
⇒ v1 = C0v2 (eq. continuidade) (13)
substituindo (13) e (12) em (11) temos
v1 = C0
√
2gPd
γ1
⇒ Q1 = C0A1
√
2gPd
γ1
(14)
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3 Conclusão
Na elaboração deste relatório foi possível desenvolver a equação de vazão em sua forma geral e
notar que, no caso de escoamentos laminares, o perfil de velocidade obtido seria parabólico.
Também foi possível estudar e deduzir o papel do número de Reynolds e porque escoamentos
turbulentos têm Re � 1 e escoamentos laminares Re � 1, estabelecendo sua relação com os termos
dinâmico e relativo à viscosidade das equações que descrevem o escoamento de fluídos.
Finalmente foi possível deduzir as equações dos dispositivos usados para medição de velocidade e
vazão de fluídos, usando as equações de Bernoulli, manômetro e de continuidade.
4 Referencias
• Khan Academy. Volume flow rate and equation of continuity | Fluids | Physics |
Khan Academy. Youtube, 20 abr. 2008. Disponível em https://www.youtube.com/watch?v=
G4CgOF4ccXk. Acesso em: 23 jul. 20.
• Numberphile. Reynolds Number - Numberphile. Youtube, 4 set. 2019. Disponível em
https://www.youtube.com/watch?v=wtIhVwPruwY. Acesso em: 23 jul. 20.
• Notas e material disponibilizado para aula.
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https://www.youtube.com/watch?v=G4CgOF4ccXk
https://www.youtube.com/watch?v=G4CgOF4ccXk
https://www.youtube.com/watch?v=wtIhVwPruwY
	Objetivo
	Introdução
	Vazão
	Número de Reynolds
	Determinação da velocidade
	Determinação da vazão
	Conclusão
	Referencias