FENTRAN_Aula-6_2020 1_R0

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Universidade Federal Fluminense
Disciplina:
Aula 6 – Análise dimensional e semelhança
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Prof.: Gabriel Nascimento (Depto. de Eng. Agrícola e Meio Ambiente)
Elson Nascimento (Depto. de Eng. Civil)
Escola de Engenharia
 Aula 6 – Análise Dimensional e Semelhança
▪ as equações diferenciais adimensionais;
▪ os principais grupos adimensionais da Mecânica dos Fluidos;
▪ a análise dimensional;
▪ o princípio da semelhança;
Métodos para solução de problemas com fluidos:
 Métodos Analíticos (eq. integrais e diferenciais)
 Métodos Numéricos (modelos computacionais)
 Métodos Experimentais (análise dimensional e 
semelhança)
As equações diferenciais 
adimensionais
Escoamento 
permanente, 2D, 
incompressível e 
fluido newtoniano.
Eixo z vertical e 
para cima.
Equações diferenciais 
básicas (Continuidade e 
Navier-Stokes)
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ 𝛻 ∙ 𝜌𝑉 = 0
𝜌 Ԧ𝑔 − 𝛻𝑝 + 𝜇𝛻2𝑉 = 𝜌
𝑑𝑉
𝑑𝑡
−
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
= 𝜌 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
−𝜌𝑔 −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+ 𝜇
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑣
𝜕𝑦2
= 𝜌 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= 0
Parâmetros adimensionais:
𝑥∗ =
𝑥
𝐿
𝑦∗ =
𝑦
𝐿
𝑢∗ =
𝑢
𝑉∞
𝑣∗ =
𝑣
𝑉∞
𝑝∗ =
𝑝
𝜌𝑉∞
2
• 𝑳 : largura (ou comprimento) de 
referência (ex.: diâmetro do tubo);
• 𝑽∞ : velocidade de referência (ex.: 
velocidade da corrente livre).
→ 𝑥 = 𝑥∗𝐿
→ 𝑦 = 𝑦∗𝐿
→ 𝑢 = 𝑢∗𝑉∞
→ 𝑣 = 𝑣∗𝑉∞
→ 𝑝 = 𝑝∗𝜌𝑉∞
2
−
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
= 𝜌 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
−𝜌𝑔 −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+ 𝜇
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑣
𝜕𝑦2
= 𝜌 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= 0
Parâmetros adimensionais:
𝑥∗ =
𝑥
𝐿
𝑦∗ =
𝑦
𝐿
𝑢∗ =
𝑢
𝑉∞
𝑣∗ =
𝑣
𝑉∞
𝑝∗ =
𝑝
𝜌𝑉∞
2
→ 𝑥 = 𝑥∗𝐿
→ 𝑦 = 𝑦∗𝐿
→ 𝑢 = 𝑢∗𝑉∞
→ 𝑣 = 𝑣∗𝑉∞
→ 𝑝 = 𝑝∗𝜌𝑉∞
2
→
𝜕𝑢∗
𝜕𝑥∗
+
𝜕𝑣∗
𝜕𝑦∗
= 0
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕 𝑢∗𝑉∞
𝜕 𝑥∗𝐿
=
𝑉∞
𝐿
𝜕𝑢∗
𝜕𝑥∗
𝜕𝑣
𝜕𝑦
=
𝑉∞
𝐿
𝜕𝑣∗
𝜕𝑦∗
𝜕𝑢
𝜕𝑦
=
𝑉∞
𝐿
𝜕𝑢∗
𝜕𝑦∗
𝜕𝑣
𝜕𝑥
=
𝑉∞
𝐿
𝜕𝑣∗
𝜕𝑥∗
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
=
𝜕2 𝑢∗𝑉∞
𝜕 𝑥∗𝐿 2
=
𝑉∞
𝐿2
𝜕𝑢∗
𝜕𝑥∗2
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
=
𝑉∞
𝐿2
𝜕𝑢∗
𝜕𝑦∗2
𝜕𝑝
𝜕𝑥
=
𝜕 𝑝∗𝜌𝑉∞
2
𝜕 𝑥∗𝐿
=
𝜌𝑉∞
2
𝐿
𝜕𝑝∗
𝜕𝑥∗
𝜕𝑝
𝜕𝑦
=
𝜌𝑉∞
2
𝐿
𝜕𝑝∗
𝜕𝑦∗
→
𝑉∞
𝐿
𝜕𝑢∗
𝜕𝑥∗
+
𝑉∞
𝐿
𝜕𝑣∗
𝜕𝑦∗
= 0
→ −
𝜌𝑉∞
2
𝐿
𝜕𝑝∗
𝜕𝑥∗
+ 𝜇
𝑉∞
𝐿2
𝜕2𝑢∗
𝜕𝑥∗2
+
𝜕2𝑢∗
𝜕𝑦∗2
= 𝜌
𝑉∞
2
𝐿
𝑢∗
𝜕𝑢∗
𝜕𝑥∗
+ 𝑣∗
𝜕𝑢∗
𝜕𝑦∗
÷𝜌
𝑉∞
2
𝐿
−−
𝜕𝑝∗
𝜕𝑥∗
+
1
ൗ𝜌𝑉∞𝐿 𝜇
𝜕2𝑢∗
𝜕𝑥∗2
+
𝜕2𝑢∗
𝜕𝑦∗2
= 𝑢∗
𝜕𝑢∗
𝜕𝑥∗
+ 𝑣∗
𝜕𝑢∗
𝜕𝑦∗
−
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
= 𝜌 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
−𝜌𝑔 −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+ 𝜇
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑣
𝜕𝑦2
= 𝜌 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= 0
Parâmetros adimensionais:
𝑥∗ =
𝑥
𝐿
𝑦∗ =
𝑦
𝐿
𝑢∗ =
𝑢
𝑉∞
𝑣∗ =
𝑣
𝑉∞
𝑝∗ =
𝑝
𝜌𝑉∞
2
→ 𝑥 = 𝑥∗𝐿
→ 𝑦 = 𝑦∗𝐿
→ 𝑢 = 𝑢∗𝑉∞
→ 𝑣 = 𝑣∗𝑉∞
→ 𝑝 = 𝑝∗𝜌𝑉∞
2
→
𝜕𝑢∗
𝜕𝑥∗
+
𝜕𝑣∗
𝜕𝑦∗
= 0
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕 𝑢∗𝑉∞
𝜕 𝑥∗𝐿
=
𝑉∞
𝐿
𝜕𝑢∗
𝜕𝑥∗
𝜕𝑣
𝜕𝑦
=
𝑉∞
𝐿
𝜕𝑣∗
𝜕𝑦∗
𝜕𝑢
𝜕𝑦
=
𝑉∞
𝐿
𝜕𝑢∗
𝜕𝑦∗
𝜕𝑣
𝜕𝑥
=
𝑉∞
𝐿
𝜕𝑣∗
𝜕𝑥∗
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
=
𝜕2 𝑢∗𝑉∞
𝜕 𝑥∗𝐿 2
=
𝑉∞
𝐿2
𝜕𝑢∗
𝜕𝑥∗2
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
=
𝑉∞
𝐿2
𝜕𝑢∗
𝜕𝑦∗2
𝜕𝑝
𝜕𝑥
=
𝜕 𝑝∗𝜌𝑉∞
2
𝜕 𝑥∗𝐿
=
𝜌𝑉∞
2
𝐿
𝜕𝑝∗
𝜕𝑥∗
𝜕𝑝
𝜕𝑦
=
𝜌𝑉∞
2
𝐿
𝜕𝑝∗
𝜕𝑦∗
−
𝜕𝑝∗
𝜕𝑥∗
+
1
ൗ𝜌𝑉∞𝐿 𝜇
𝜕2𝑢∗
𝜕𝑥∗2
+
𝜕2𝑢∗
𝜕𝑦∗2
= 𝑢∗
𝜕𝑢∗
𝜕𝑥∗
+ 𝑣∗
𝜕𝑢∗
𝜕𝑦∗
−
1
൘𝑉∞
2
𝑔𝐿
−
𝜕𝑝∗
𝜕𝑥∗
+
1
ൗ𝜌𝑉∞𝐿 𝜇
𝜕2𝑢∗
𝜕𝑥∗2
+
𝜕2𝑢∗
𝜕𝑦∗2
= 𝑢∗
𝜕𝑢∗
𝜕𝑥∗
+ 𝑣∗
𝜕𝑢∗
𝜕𝑦∗
𝑅𝑒𝐹𝑟2
Grupos Adimensionais 
na Mecânica dos Fluidos
Número de Reynolds: razão 
entre forças de inércia e 
forças viscosas
𝑅𝑒 =
𝜌𝑉𝐿
𝜇
Escoamento em tubos:
• Re < 2300 → Laminar
• 2300 < Re < 4000 → Transição
• Re > 4000 → Turbulento
Escoamento ao redor de cilindros:
• Re < 40 → Esteira laminar e permanente
• 40 < Re < 150 → Esteira laminar e periódica
• 150 < Re < 300 → Transição
• Re > 300 → Esteira turbulenta
• 𝜌 : massa específica
• 𝑉 : velocidade do escoamento
• 𝐿 : largura (ou comprimento) de 
referência
• 𝜇 : viscosidade dinâmica
• 𝜈 : viscosidade cinemática
=
𝑉𝐿
𝜈
Características do escoamento laminar:
• Predominância dos esforços viscosos
• As partículas movem-se ao longo de 
trajetórias bem definidas, em lâminas
Características do escoamento turbulento:
• Irregularidade
• Difusividade
• Reynolds elevado
• Flutuação tridimensional de vorticidade
• Dissipação de energia
• Continuidade
 Escoamento interno (tubulação)
Disponível em: https://www.youtube.com/user/MrDosSantos. Acesso em: 12/04/2015.https://youtu.be/XOLl2KeDiOg
https://youtu.be/XOLl2KeDiOg
 Escoamento interno (ex.: tubulação)
4000
2000
Re
TURBULENTO
TRANSITÓRIO
LAMINAR
 Escoamento externo (ex.: cilindro)
Representação gráfica
Valor de Re
DescriçãoMín. Máx.
1 - 5 Sem descolamento das linhas de corrente
2 5-15 40 Par permanente de recirculações
3 40 150 Esteira laminar e periódica
4
150 300 Transição para turbulência na esteira
300 3.105 Esteira totalmente turbulenta
5 3.105 3,5.106
Camada limite turbulenta com esteira estreita e sem 
vórtices aparentes
6 3,5.106 -
Resurgimento da esteira turbulenta com vórtices 
observada do regime 4, porém com camada limite 
turbulenta e esteira mais estreita
(Lienhard, 1966)
Número de Euler: razão entre forças de 
pressão e forças de inércia (pressão 
dinâmica). Também chamdo de 
coeficiente de pressão Cp.
𝐸𝑢 =
Δ𝑝
1
2
𝜌𝑉2
• Δ𝑝 = 𝑝 − 𝑝0 : diferença entre a pressão local 
e a pressão na corrente livre
• 𝜌 : massa específica
• 𝑉 : velocidade do escoamento
Número de cavitação: razão entre forças 
de pressão (em relação à pressão de 
vapor 𝑝𝑣) e forças de inércia (pressão 
dinâmica). 
𝐶𝑎 =
𝑝 − 𝑝𝑣
1
2
𝜌𝑉2
Número de Froud: razão entre forças de 
inércia e gravitacionais.
𝐹𝑟 =
𝑉
𝑔𝐿
• 𝑉 : velocidade do escoamento
• 𝐿 : comprimento característico. (ex.: 
profundidade de canais e comprimento de 
navios)• Classificação de regime de 
escoamento em canais
• Ressalto hidráulico: 
transição de 𝐹𝑟 > 1 para 
𝐹𝑟 < 1
https://ecourses.ou.edu/cgi-
bin/ebook.cgi?doc=&topic=fl&chap_sec=10.3&page=theory. Acesso em 
27/05/2015. http://www.lmnoeng.com/Channels/HydraulicJump.php. Acesso em 27/05/2015.
Fr < 1 : Escoamento fluvial
Fr = 1 : Escoamento crítico
Fr > 1 : Escoamento torrencial
https://ecourses.ou.edu/cgi-bin/ebook.cgi?doc=&topic=fl&chap_sec=10.3&page=theory
http://www.lmnoeng.com/Channels/HydraulicJump.php
Número de Weber: razão entre forças de 
inércia e de tensão superficial.
𝑊𝑒 =
𝜌𝑉2𝐿
𝜎
• 𝜌 : massa específica
• 𝑉 : velocidade do escoamento
• 𝐿 : comprimento característico
• 𝜎 : tensão superficial
Número de Mach: razão entre forças de 
inércia e de compressibilidade. Equivalente 
a razão entre velocidade do escoamento 𝑉
e do som 𝑐.
𝑀𝑎 =
𝑉
𝑐
• 𝑀𝑎 ≪ 1 → Escoamento incompressível
Coeficiente de arrasto/sustentação: razão entre 
forças de arrasto/sustentação e forças inerciais
𝐶𝐷 =
𝐹𝐷
1
2
𝜌𝑉2𝐴
• 𝐴 : área de referência
V Ԧ𝐹𝐷
Ԧ𝐹𝐿
 Número de Mach: 
▪ 𝑎: velocidade do som no ar
▪ V: velocidade do escoamento
▪ < 1 : Escoamento subsônico
▪ = 1 : Barreira do som
▪ > 1 : Escoamento supersônico
𝑀𝑎 =
𝑉
𝑎
http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=mach&source=images&cd=&cad=rja&docid=TJ2hPHqEK_y92M&tbnid=WFkAfHcG-CHWAM:&ved=0CAUQjRw&url=http://forums.bharat-rakshak.com/viewtopic.php?f=3&t=5098&start=1000&ei=Q-CBUYaMDO_94APwuID4CQ&bvm=bv.45921128,d.dmg&psig=AFQjCNG6bLLkv-NbGSVgeZDoADeENZR9hQ&ust=1367552418707725
http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=sound+barrier&source=images&cd=&cad=rja&docid=nR4uQBOmgggj8M&tbnid=7izWsYZbiPs3PM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.hzahed.com/blog/post/2012/06/24/Breaking-the-Sound-Barrier%E2%80%8E.aspx&ei=ueGBUd2DHZHC4AOV1oHwDg&bvm=bv.45921128,d.dmg&psig=AFQjCNHC0Ol2uadUs1LACaS1fWaOkAcIiw&ust=1367552670650820
Análise dimensional
V Ԧ𝐹𝐷
Ԧ𝐹𝐿 Teste com
• 10 diâmetros
• 10 velocidades• 10 fluidos (𝜌 e 𝜇)
➔ Total de 1000 testes !!!
𝐹 = 𝐹 𝐷, 𝑉, 𝜌, 𝜇
V Ԧ𝐹𝐷
Ԧ𝐹𝐿
𝐹 = 𝐹 𝐷, 𝑉, 𝜌, 𝜇
O Teorema Pi de Buckingham
𝐺 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 = 0
→ 𝐺 𝐹,𝐷, 𝑉, 𝜌, 𝜇 = 0
Seja um fenômeno que envolve 𝒏 variáveis 
dimensionais 𝒖𝒊 onde:
Redução de um número de variáveis 
dimensionais (𝒏) a um número menor (𝒌) de 
variáveis (grupos) adimensionais i:
𝑔 Π1, Π2, … , Π𝑘 = 0
𝑘 = 𝑛 − 𝑟
onde 𝒓 é o número mínimo de dimensões
de referência necessário para descrever as
grandezas de todas as variáveis 𝒖𝒊.
Ex.:
𝑛 = 5
F D V  
ML/T² L L/T M/L³ M/L.T
𝑟 = 3 (M, L e T)
→ 𝑘 = 𝑛 − 𝑟 = 5 − 3 = 2
Π1 =
𝐹
𝜌𝑉2𝐷2
Π2 =
𝜌𝑉𝐷
𝜇
⇒ 𝑔 Π1, Π2 = 0 → Π1 = 𝑓 Π2
- MLT (𝑟 = 4)
- MLT (𝑟 = 3)
- FL (𝑟 = 2)
→
𝐹
𝜌𝑉2𝐷2
= 𝑓
𝜌𝑉𝐷
𝜇
10 testes (ao invés de 10³)
Procedimentos:
• Listar as variáveis dimensionais envolvidas
• Expressar cada uma delas em função das dimensões básicas
• Determinar o número necessário de termos Π𝑠
• Escolher as variáveis independentes para formar os Π𝑠
• Obter os termos Π𝑠 adimensionais
• Escolher o termo Π1 como o que tem a variável dependente (de 
interesse) e expressar o resultado como uma função dos demais 
termos Π𝑠: Π1 = 𝑓 Π2, … , Π𝑘
Características:
• Auxilia na obtenção de uma expressão que correlacione as variáveis 
envolvidas num determinado fenômeno
• Reduz a quantidade de repetições necessárias para o experimento
• Baseia-se na consideração das dimensões (L,M,T,...) das variáveis 
envolvidas no fenômeno, formando-se grupos admensionais
• Depende de dados experimentais
 Exemplo 1: Uma partícula esférica cai lentamente (regime laminar) num fluido 
viscoso. Admita que o arrasto, FD, é função do diâmetro e da velocidade da 
partícula (d e V) e da viscosidade, . Determine, através da análise dimensional, 
qual é a relação entre o arrasto e a velocidade da partícula.
Variáveis dimensionais:
Fd
d
V
μ
→n = 4 → k = n−r
4−3 = 1
→Π1 =
Fd
μVd
f Fd,d,V,μ = 0 → ϕ Π1 =0
→ Π1=K → Fd=K μ V d
 Exemplo 2: Considere o escoamento em regime permanente, incompressível de um fluido 
newtoniano num tubo longo, horizontal e que apresenta parede lisa. Utilize os dados experimentais 
abaixo para obter uma relação entre a queda de pressão por unidade de comprimento (Δ𝑝𝑙) e as 
demais variáveis. 
Dados: O diâmetro interno e comprimento são iguais a 12,6 mm e 1,5 m, respectivamente. O fluido 
utilizado foi água a 16°C ( = 999 kg/m³ e µ = 1,12x10-3 Pa.s).
Dica: Utilize escalas logarítmicas para correlacionar os adimensionais.
V (m/s) 0,36 0,59 0,89 1,78 3,39 5,16 7,11 8,76
p (Pa) 300 747 1.480 5.075 15.753 32.600 57.450 82.830
 Exemplo 2: ... obter uma relação entre a queda de pressão 
por unidade de comprimento (Δ𝑝𝑙) e as demais variáveis. 
Dados: D = 12,6 mm; L = 1,5 m;  = 999 kg/m³ e µ = 1,12x10-3 Pa.s).
V (m/s) 0,36 0,59 0,89 1,78 3,39 5,16 7,11 8,76
p (Pa) 300 747 1.480 5.075 15.753 32.600 57.450 82.830
Variáveis dimensionais: ∆pl , D , V ,
ρ , μ → n = 5
→ k = n−r → 5−3 = 2
f ∆pl , D, V, ρ , μ = 0 → ϕ Π1,Π2 = 0 → Π1 = φ Π2
Π1 =
D ∆pl
ρ V2
Π2 = Re =
ρ V D
μ
2 4046 6631 10002 20005 38099 57992 79908 98451
1 0,01946 0,01804 0,015710 0,013468 0,011525 0,010295 0,0095557 0,0090759
 Exemplo 2: ... obter uma relação entre a queda de pressão 
por unidade de comprimento (Δ𝑝𝑙) e as demais variáveis. 
Dados: D = 12,6 mm; L = 1,5 m;  = 999 kg/m³ e µ = 1,12x10-3 Pa.s).
V (m/s) 0,36 0,59 0,89 1,78 3,39 5,16 7,11 8,76
p (Pa) 300 747 1.480 5.075 15.753 32.600 57.450 82.830
Π1 = φ Π2 Π1 =
D ∆pl
ρ V2
Π2 = Re =
ρ V D
μ
2 4046 6631 10002 20005 38099 57992 79908 98451
1 0,01946 0,01804 0,015710 0,013468 0,011525 0,010295 0,0095557 0,0090759
y = 0,150 x-0,244
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
1000 10000 100000 1000000

1
2
→
D ∆pl
ρ V2
= 0,150
ρ V D
μ
−0,244
→ Π1 = 0,150 Π2
−0,244
Semelhança
Modelo: É a reprodução de um sistema físico em condições controladas com o 
objetivo de se prever o comportamento de uma determinada variável ou 
característica.
http://www.portal-energia.com/funcionamento-da-energia-hidrica-barragens-
hidroelectricas/ Acesso em 27/05/2015.
https://www.ambienteenergia.com.br/index.php/2010/09/belo-monte-modelo-
reduzido-em-dezembro/5970. Acesso em 27/05/2015
SISTEMA REAL MODELO REDUZIDO
http://www.portal-energia.com/funcionamento-da-energia-hidrica-barragens-hidroelectricas/
https://www.ambienteenergia.com.br/index.php/2010/09/belo-monte-modelo-reduzido-em-dezembro/5970
O emprego da semelhança torna os resultados experimentais amplamente 
aplicáveis.
Modelo
Experimental
Fenômeno real
(ou protótipo)
SEMELHANÇA
• Seja Π𝑖 o grupo adimensional correspondente ao protótipo e Π𝑖𝑚
ao modelo; e
• Π1 denominado como o grupo adimensional que possui a variável a 
ser medida (dependente).
Π2𝑚 = Π2
Π3𝑚 = Π3
⋮
Π𝑘𝑚 = Π𝑘
Π1 = Π1𝑚
Semelhança geométrica: o modelo e o protótipo devem manter as mesmas 
proporções geométricas.
Protótipo Modelo
Semelhança cinética: o modelo e o protótipo possuem velocidades com mesma 
direção, sentido e proporção em pontos correspondentes. Requer que sejam 
geometricamente semelhantes. 
Semelhança dinâmica: a mesma condição para a velocidade na semelhança 
cinética é necessária para as forças na semelhança dinâmica. Requer que sejam 
geometricamente semelhantes e cinética. 
Protótipo Modelo
Exemplo 3: Um modelo reduzido em escala 1:10 será utilizado para avaliar a perda 
de pressão em um válvula cujo protótipo terá diâmetro de 500 mm. A velocidade de 
projeto é 0,40 m/s e o fluido utilizado tanto no modelo como no protótipo é água, 
na mesma temperatura. Calcule: a) a velocidade a ser aplicada no modelo para que 
haja semelhança completa; b) a perda de pressão que ocorrerá no protótipo se o 
valor medido no modelo for 500 kPa.
a) Variáveis dimensionais inerentes ao fenômeno estudado:
• Δ𝑝 : perda de pressão
• 𝑉: velocidade de escoamento
• 𝐷 : diâmetro da tubulação
• 𝜌 : massa específica
• 𝜇 : viscosidade
𝑛 = 5
→ 𝑘 = 𝑛 − 𝑟
= 5 − 3 = 2
Π1 =
Δ𝑝
𝜌𝑉2
Π2 =
𝜌𝑉𝐷
𝜇
Semelhança :
Π2𝑚 = Π2
𝜌𝑚𝑉𝑚𝐷𝑚
𝜇𝑚
=
𝜌𝑉𝐷
𝜇
→ 𝑉𝑚 = 𝑉
𝐷
𝐷𝑚
ൗ10 1
0,4
= 4 m/s
b) 
Pelo princípio da semelhança
Π2𝑚 = Π2 → Π1 = Π1𝑚→
Δ𝑝
𝜌𝑉2
=
Δ𝑝𝑚
𝜌𝑚𝑉𝑚
2 → Δ𝑝 = Δ𝑝𝑚
𝑉
𝑉𝑚
2
= 500 ∙ 103
0,4
4
2
= 5 kPa
 Exemplo 4: Um modelo em escala 1:10 de um avião deve ser ensaiado num túnel de 
vento pressurizado para determinar o arrasto no protótipo que deve voar a 107 m/s na 
atmosfera padrão. Para minimizar os efeitos de compressibilidade, a velocidade do ar na 
seção de teste do túnel de vento é igual a 107 m/s. 
a) Determine a pressão do ar na seção de teste do túnel. 
b) Qual é o arrasto no protótipo que corresponde a uma força de 4,45 N medida no modelo? 
Admita que a temperatura do ar na seção de teste é a padrão.
Variáveis dimensionais: FD , L , V , ρ , μ → n = 5
→ k = n−r → 5−3 = 2
Π1 =
FD
ൗ1 2ρ V
2L2
Π2 = Re =
ρ V L
μ
Para 
atendar às 
condições de 
semelhança:
→ Π2m= Π2 →
ρmVm Lm
μm
=
ρ V L
μ
→
ρm
ρ
=
L
Lm
=10
→ρm = 10ρ →pm = 10p = 10∙101,3 kPa = 1013 kPa
 Exemplo 4: Um modelo em escala 1:10 de um avião deve ser ensaiado num túnel de 
vento pressurizado para determinar o arrasto no protótipo que deve voar a 107 m/s na 
atmosfera padrão. Para minimizar os efeitos de compressibilidade, a velocidade do ar na 
seção de teste do túnel de vento é igual a 107 m/s. 
a) Determine a pressão do ar na seção de teste do túnel. 
b) Qual é o arrasto no protótipo que corresponde a uma força de 4,45 N medida no modelo? 
Admita que a temperatura do ar na seção de teste é a padrão.
Variáveis dimensionais: FD , L , V , ρ , μ → n = 5
→ k = n−r → 5−3 = 2
→ Π2m= Π2
pm = 1013 kPa
Então:
→Π1 = Π1m →
FD
ൗ1 2 ρ V
2L2
=
FDm
ൗ1 2ρmVm
2 Lm
2
Para 
atendar às 
condições de 
semelhança:
Π1 =
FD
ൗ1 2ρ V
2L2
Π2 = Re =
ρ V L
μ
→ FD = FDm
ρ
ρm
L
Lm
2
= 4,45∙
1
10
∙ 10 2 = 44,5 N
 Exemplo 5: Um modelo é utilizado para estudar o escoamento de águanuma válvula que 
apresenta seção de alimentação com diâmetro igual a 610 mm. A vazão na válvula é 0,85 m³/s e o 
fluido utilizado no modelo também é água na mesma temperatura daquela que escoa no protótipo. 
O diâmetro da seção de alimentação do modelo é igual a 76,2 mm. Determine a vazão da água no 
modelo para que haja semelhança.
Re𝑚= Re →
ρmVm Dm
μm
=
ρ V D
μ →
Vm
V
=
D
Dm
= 13,2
→
Qm
Q
=
Vm Am
V A
=
Vm
V
Dm
D
2
=
D
Dm
Dm
D
2
=
Dm
D
→ Qm = Q
Dm
D
= 0,85
76,2
610
= 0,106 m³/s
 Aula 6 – Análise Dimensional e Semelhança
▪ as equações diferenciais adimensionais;
▪ os principais grupos adimensionais da Mecânica dos Fluidos;
▪ a análise dimensional;
▪ o princípio da semelhança;
 Bibliografia:
▪ MUNSON, Bruce R. Fundamentos da mecânica dos 
fluidos. 4. ed. São Paulo: Blucher, 2004.
▪ WHITE, F.M. Mecânica dos Fluidos, McGraw-Hill, Brasil, 
7a Edição, 2011.
▪ Fox R.W. & Mc Donald A.T. Introdução à Mecânica dos 
Fluídos. John Wiley and Sons, N.Y., Tradução: LTC–
Livros Técnicos e Científicos, RJ.