Fenomenos de transporte aula2

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FENÔMENOS DE TRANSPORTE 
 
GLEYZER MARTINS 1
EQUAÇÃO DA TAXA DE CONDUÇÃO DE CALOR 
A lei de Fourier é fenomenológica, ou seja, foi desenvolvida a partir da observação dos fenômenos 
da natureza em experimentos. Imaginemos um experimento onde o fluxo de calor resultante é 
medido após a variação das condições experimentais. Consideremos, por exemplo, a transferência 
de calor através de uma barra de ferro com uma das extremidades aquecidas e com a área lateral 
isolada termicamente: 
 
 
Com base em experiências, variando a área da seção da barra, a diferença de temperatura e a 
distância entre as extremidades, chega-se a seguinte relação de proporcionalidade: 
 
x
TAq ∆
∆.α&
 ( eq. 3.1 ) 
 
A proporcionalidade pode se convertida para igualdade através de um coeficiente de 
proporcionalidade e a Lei de Fourier pode ser enunciada assim: 
 
"A quantidade de calor transferida por condução, na unidade de tempo, em um material, é igual ao 
produto das seguintes quantidades: 
 
& . .q k A dT
dx
= −
 
onde, 
 &q , fluxo de calor por condução ( Kcal/h no sistema métrico); 
 k, condutividade térmica do material; 
 A, área da seção através da qual o calor flui por condução, medida perpendicularmente à direção 
do fluxo ( m2); 
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 dT dx , gradiente de temperatura na seção, isto é, a razão de variação da temperatura T com a 
distância, na direção x do fluxo de calor ( ºC/h ) ." 
 
A razão do sinal menos na equação de Fourier é que a direção do aumento da distância x deve ser 
a direção do fluxo de calor positivo . Como o calor flui do ponto de temperatura mais alta para o de 
temperatura mais baixa (gradiente negativo), o fluxo só será positivo quando o gradiente for 
positivo (multiplicado por -1). 
 
 
O fator de proporcionalidade k ( condutividade térmica ) que surge da equação de Fourier é uma 
propriedade de cada material e vem exprimir a maior ou menor facilidade que um material 
apresenta à condução de calor. Sua unidade é facilmente obtida da própria equação de Fourier ( 
equação 3.2 ), por exemplo no sistema prático métrico temos : 
 
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
=−=⇒−=
Cmh
Kcal
m
Cm
hKcal
dx
dTA
qk
dx
dTAkq oo ...
..
2
&&
 
 
No sistema inglês fica assim : 
No sistema internacional (SI), fica assim : W
m.K
Btu
h ft Fo. .
 
 
Os valores numéricos de k variam em extensa faixa dependendo da constituição química, estado 
físico e temperatura dos materiais. Quando o valor de k é elevado o material é considerado condutor 
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térmico e, caso contrário, isolante térmico. Com relação à temperatura, em alguns materiais como o 
alumínio e o cobre, o k varia muito pouco com a temperatura, porém em outros, como alguns aços, 
o k varia significativamente com a temperatura. Nestes casos, adota-se como solução de engenharia 
um valor médio de k em um intervalo de temperatura. A variação da condutividade térmica ( no S.I. 
) com a temperatura é mostrada na figura 3.4 para algumas substâncias. 
 
Sabendo que o fluxo de calor é uma grandeza vetorial pode-se escrever uma forma mais geral da 
equação da taxa de condução: 
" ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − ∇ = − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
T T Tq k T k i j k
x y z
 
Em que ∇ é o operador diferencial tridimensional e ( ), ,T x y z é o campo de temperatura escalar 
Cada um dos termos da expressão do fluxo de calor representa a transferência de calor em uma dada 
direção do plano cartesiano, ou seja: 
" ∂= − ∂x
Tq k
x
 " ∂= − ∂y
Tq k
y
" ∂= − ∂z
Tq k
z
 
 
EXIGÊNCIA DA CONSERVAÇÃO DE ENERGIA 
 
A termodinâmica fornece o subsídio da primeira lei para conservação da energia a ser aplicada 
em qualquer sistema. 
 
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CONSERVAÇÃO DA ENERGIA PARA UM VOLUME DE CONTROLE 
 
O Volume de controle é um espaço delimitado por uma superfície de controle através do qual a 
material e energia podem passar. 
A primeira lei da termodinâmica pode ser dada em função de um determinado instante tempo (t) 
ou ao longo de um intervalo de tempo (∆t) 
 
Instante de Tempo (t): A taxa na qual as energias térmica e mecânica entram em um volume de 
controle, mais a taxa na qual a energia térmica é gerada no interior do volume de controle, menos a 
taxa na qual as energias térmica e mecânica deixam o volume de controle deve ser igual à taxa do 
aumento da energia armazenado no interior do volume de controle. 
+ − = ≡& & & &are g s ardEE E E Edt 
Intervalo de Tempo (∆t): A quantidade de energia térmica e mecânica que entra em um volume de 
controle, mais a quantidade de energia térmica gerada no interior do volume de controle, menos a 
quantidade de energia térmica e mecânica que deixa o volume de controle deve ser igual ao 
aumento da quantidade de energia armazenada no interior do volume de controle. 
+ − ≡ ∆e g s arE E E E 
• Os termos relativos a entrada e saída de energia são fenômenos de superfície 
• O termo da geração de energia é associado a conversão de uma outra forma de energia em 
energia térmica, sendo um fenômeno volumétrico 
• O termo de armazenamento de energia é um fenômeno volumétrico, e variação dentro do 
volume de controle podem ser devidas a variação de energia interna. 
EQUAÇÃO DA DIFUSÃO DO CALOR 
 
O principal objetivo na analise da condução de calor é determinar o campo de temperatura em um 
meio resultante das condições impostas em suas fronteiras. 
O fluxo de calor pode ser determinado conhecido o campo de temperatura pela lei de Fourier 
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Pela análise da conservação da energia pode-se avaliar um volume de controle diferencial, no qual 
identifica os processos relevantes de transferência de energia e introduz as equações das taxas de 
transferência de calor apropriadas. 
 
A taxa de transferência de calor por condução nas superfícies opostas pode ser expressa como uma 
expansão da série de Taylor, da qual se despreza os termos de ordem superior, tem-se assim: 
• Para direção x: + ∂= + ∂
x
x dx x
qq q dx
x
 
• Para direção y: +
∂= + ∂
y
y dy y
q
q q dy
y
 
• Para direção z: + ∂= + ∂
z
z dz z
qq q dz
z
 
O termo de geração de energia pode ser representado por uma fonte de energia,dado na forma: 
= ⋅& &gE q dxdydz 
Onde &q é a taxa na qual a energia é gerada por unidade de volume (W/m3) 
Além disso, ocorre variações na quantidade de energia térmica interna armazenada pelo material no 
volume de controle. Se o material não sofre mudança de fase, a energia armazenada pode ser dado 
por: 
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∂= ⋅ ⋅ ∂
&
ar
TE Cp dxdydz
t
ρ 
Substituído na lei de conservação de energia, tem-se: 
+ + +
∂+ + + ⋅ − − − = ⋅ ⋅ ∂&x y z x dx y dy z dz
Tq q q q dxdydz q q q Cp dxdydz
t
ρ 
Desta forma tem-se a seguinte expressão: 
∂∂ ∂ ∂+ + + ⋅ − − − − − − = ⋅ ⋅∂ ∂ ∂ ∂&
yx z
x y z x y z
qq q Tq q q q dxdydz q dx q dy q dz Cp dxdydz
x y z t
ρ 
Simplificando, tem-se: 
∂∂ ∂ ∂⋅ − − − = ⋅ ⋅∂ ∂ ∂ ∂&
yx zqq q Tq dxdydz dx dy dz Cp dxdydz
x y z t
ρ 
As taxas de calor por condução podem ser avaliadas a partir da lei de Fourier 
• Para direção x: ∂= − ⋅ ⋅ ∂x
Tq k dydz
x
 
• Para direção y: ∂= − ⋅ ⋅ ∂y
Tq k dxdz
y
 
• Para direção z: ∂= − ⋅ ⋅ ∂z
Tq k dxdy
z
 
Substituindo, tem-se 
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
& T T T Tq dxdydz k dxdydz k dxdydz k dxdydz Cp dxdydz
x x y y z z t
ρ 
Simplificado: 
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
& T T T Tq k k k Cp
x x y y z z t
ρ 
Esta equação é conhecida como equação da difusão do calor em coordenadas cartesianas, estabelece 
que me qualquer ponto do meio, a taxa de energia líquida transferida por condução para o interior 
de um volume unitário somado à taxa volumétrica de geração de energia térmica deve ser igual à 
taxa de variação da energia térmica armazenada no interior desse volume 
Quando a condutividade térmica é constante,a equação do calor é dada na forma: 
2 2 2
2 2 2
∂ ∂ ∂ ⋅ ∂+ + + = ⋅∂ ∂ ∂ ∂
&q T T T Cp T
k x y z k t
ρ 
O termo ⋅Cp
k
ρ é o inverso da difusividade térmica do meio, ou seja = ⋅
k
Cp
α ρ , desta forma tem-
se: 
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2 2 2
2 2 2
1∂ ∂ ∂ ∂+ + + = ⋅∂ ∂ ∂ ∂
&q T T T T
k x y z tα 
Desta forma, pode-se dividir a condução de calor de acordo com as simplificações e soluções da 
equação da difusividade de calor ou seja: 
• Unidimensional permanente (sem geração): 
2
2 0
∂ =∂
T
x
 
• Bidimensional permanente (sem geração): 
2 2
2 2 0
∂ ∂+ =∂ ∂
T T
x y
 
• Tridimensional permanente (sem geração): 
2 2 2
2 2 2 0
∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂
T T T
x y z
 
• Tridimensional transiente (sem geração): 
2 2 2
2 2 2
1∂ ∂ ∂ ∂+ + = ⋅∂ ∂ ∂ ∂
T T T T
x y z tα 
 
Para realizar a solução das equações diferenciais de difusividade de calor é necessário estabelecer as 
condições de contorno e iniciais. 
A condição inicial representa a temperatura no instante inicial do corpo 
As condições de contorno se dividem em três: 
1. Temperatura da superfície constante ( )0, = sT t T 
2. Fluxo de calor constante na superfície 
a. Fluxo de calor finito: "
0=
∂− =∂ sx
Tk q
x
 
b. Superfície adiabática ou isolada: 
0
0
=
∂− =∂ x
Tk
x
 
3. Condição de Convecção na superfície: ( )
0
0,∞
=
∂− = −⎡ ⎤⎣ ⎦∂ x
Tk h T T T
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 1 - A distribuição de temperatura através de uma parede de 1m de espessura num dado 
instante de tempo é dado por: 
( ) 2900 300 50T x x x= − − 
Em que T está em graus Celsius e x em metros. A parede gera um calor uniforme igual 
31000 /q W m=& , e sua área é de 210m com as seguintes propriedades: 31600 /kg mρ = , 
40 /k W m K= ⋅ e 4 /pc kJ kg K= ⋅ 
• Determine a taxa de transferência de calor que entra na parede (x=0) e a que sai (x=1m) 
• Determine a taxa de variação da energia armazenada na parede 
• Determine a taxa de variação de temperatura em relação ao tempo em x=0, 0,25 0,5 
 
Exemplo 2 - Condução de calor unidimensional, em regime estacionário ocorre em uma barra 
com condutividade térmica constante k e cuja área da seção reta varia conforme a relação 
0
a x
xA A e
⋅= ⋅ em que 0A e a são constante. A superfície lateral da barra isolada 
 
Escreva uma expressão para a taxa de condução de calor ( )xq x . Use a expressão para 
determinar a distribuição de temperatura ( )T x