Resumo | Análise combinatória

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ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
 
Princípio fundamental da contagem 
Se existem 𝑥 possibilidades para a ocorrência de 
um evento 𝐴 e 𝑦 possibilidades para a ocorrência 
de um evento 𝐵, então: 
 O número de possibilidades para a 
ocorrência de 𝐴 e 𝐵 é igual a 𝑥𝑦; 
 O número de possibilidades para a 
ocorrência de 𝐴 ou 𝐵 é igual a 𝑥 + 𝑦. 
A ideia fundamental é somar quando for “ou” e 
multiplicar quando for “e”. 
 
Permutação simples 
O problema das permutações consiste em 
determinar de quantas maneiras podemos 
ordenar 𝑛 objetos. Ou seja, de quantas maneiras 
é possível colocar 𝑛 objetos em 𝑛 lugares? Se os 
objetos são todos distintos, a resposta para o 
problema é dada por 
𝑃𝑛 = 𝑛! 
 
Permutação com repetição 
Quando os objetos não são todos distintos, 
devemos dividir o número total de permutações 
pelo fatorial do número de vezes que cada objeto 
repetido aparece. Considerando 𝑛 objetos dos 
quais um deles aparece 𝑘 vezes, o número de 
permutações é dado por 
𝑃𝑛
𝑘 =
𝑛!
𝑘!
 
 
Arranjos 
O problema dos arranjos consiste em determinar 
de quantas maneiras podemos ordenar 𝑝 objetos 
entre 𝑛 objetos distintos dados. 
𝐴𝑛,𝑝 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑝)!
 
 
Combinações 
O problema das combinações consiste em 
determinar de quantas maneiras podemos 
escolher 𝑝 objetos entre 𝑛 objetos distintos 
dados, onde a ordem da escolha não importa. 
𝐶𝑛,𝑝 =
𝑛!
𝑝! (𝑛 − 𝑝)!
 
Arranjos e combinações resolvem problemas 
semelhantes, então é importante compreender a 
diferença. Usamos arranjos quando a ordem de 
escolha dos objetos importa, e combinação 
quando essa ordem não importa. 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) (UNICAMP) Cinco pessoas devem ficar em 
pé, uma ao lado da outra, para tirar uma 
fotografia, sendo que duas delas se recusam a 
ficar lado a lado. O número de posições distintas 
para as cinco pessoas serem fotografadas juntas 
é igual a 
 
a) 48 b) 72 c) 96 d) 120 
 
O número total de possibilidades para organizar 
as pessoas sem nenhuma restrição é 
𝑃5 = 5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120. 
Para que duas pessoas fiquem sempre juntas, 
contabilizamos a dupla como um único elemento 
que vai permutar com os demais. Logo, são 
𝑃4 = 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 permutações. 
Porém, em cada permutação, a dupla pode 
trocar de lugar entre si, dobrando as 
possibilidades. Portanto, existem 48 maneiras de 
organizar as pessoas deixando duas delas 
sempre juntas. Basta subtrair esse número do 
total de possibilidades, pois retirando do total o 
que não pode acontecer, resta tudo aquilo que 
pode. Então, a resposta para o problema é dada 
por 120 – 48 = 72. 
 
Alternativa correta: B. 
 
 
2) Determine quantos trios é possível formar em 
um grupo de 8 pessoas. 
 
Trata-se de um problema de combinação, pois a 
ordem na escolha não altera o trio escolhido. 
Como serão escolhidas 3 pessoas entre 8, o total 
de escolhas possíveis é 
𝐶8,3 =
8!
3! (8 − 3)!
=
8 ∙ 7 ∙ 6
3 ∙ 2
= 56. 
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