Estruturas Hiperestáticas 2

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ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS 
Universidade Federal do Espírito Santo 
Prof. Pedro Sá 
Método dos Esforços 
Deslocamentos em Estruturas 
Energia Potencial de Deformação: 
Nas seções transversais das barras de uma estrutura reticulada atuam os 
esforços N, Vx, Vy, T, Mx e My,. 
Desprezando as deformações devidas aos esforços cortantes, a energia 
potencial de deformação acumulada num elemento infinitesimal da 
barra de área A e comprimento dz (variação da energia) é: 
 yyxx dMdMTdNdwdU  
2
1
E

U
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Deslocamentos em Estruturas 
Energia Potencial de Deformação: 
 yyxx dMdMTdNdwdU  
2
1
,
EA
Ndz
dw  ,
x
x
x
EI
dzM
d 
y
y
y
EI
dzM
d ,
GJ
Tdz
d 
Logo, 









y
y
x
x
EI
M
EI
M
GJ
T
EA
N
dz
dU
2222
2
1
E

U
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Método dos Esforços 
Deslocamentos em Estruturas 
Teorema de Castigliano: 
"A derivada parcial da energia potencial de deformação em relação a 
um esforço qualquer é igual ao deslocamento do ponto de aplicação do 
esforço na sua direção." 
1
1
P
U



1
1
M
U



P1 P2 
M1 
1 1 
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Deslocamentos em Estruturas 
Teorema de Castigliano: 
 iiPU 
2
1
P1 P2 
1 2 
1
12
1
dP
P
U
PdUU ii


  
11
2
1
ddPdU 
P1 P2 
1 2 
dP1 
d1 
P1 
P2 
1 
2 
dP1 
d1 
1111
2
1
2
1  dPPddPUdU ii  
dP1 
d1 
Introduzindo um incremento dP1: 
Acrescentando o sistema original: 
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Deslocamentos em Estruturas 
Teorema de Castigliano: 
1
12
1
dP
P
U
PdUU ii


  
1111
2
1
2
1  dPPddPUdU ii  
Igualando as duas expressões 
11111
1 2
1
2
1
2
1  dPPddPdP
P
U
P iiii 


 
desprezível 
1
1
P
U




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Deslocamentos em Estruturas 
Integrais de Mohr: 
O teorema de Castigliano somente permite determinar o deslocamento 
do ponto de aplicação de um esforço na sua direção. Para se determinar 
os deslocamentos de qualquer ponto em qualquer direção pode-se 
utilizar o seguinte recurso: 
Integrais de Mohr: 
- aplica-se um esforço virtual no ponto desejado, na direção desejada; 
- determina-se a energia de deformação do sistema em função deste esforço; 
- aplica-se o teorema de Castigliano; 
- e anula-se o esforço virtual. 
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Deslocamentos em Estruturas 
Integrais de Mohr: 
Seja N, T, Mx e My os esforços internos numa seção, decorrentes de um 
sistema de esforços externos aplicados em uma estrutura e 
 
N, T ,Mx, My os esforços internos decorrentes de um esforço virtual 
unitário aplicado na direção onde se deseja avaliar o deslocamento. 
       








 






 dz
EI
EMM
EI
EMM
GJ
ETT
EA
ENN
U
y
vyy
x
vxxvv
2222
2
1
onde Ev é o esforço virtual. 
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Deslocamentos em Estruturas 
Integrais de Mohr: 
       








 






 dz
EI
EMM
EI
EMM
GJ
ETT
EA
ENN
U
y
vyy
x
vxxvv
2222
2
1
       








 






 dz
EI
MEMM
EI
MEMM
GJ
TETT
EA
NENN
dE
dU
y
yvyy
x
xvxxvv
v











dz
EI
MM
EI
MM
GJ
TT
EA
NN
dE
dU
y
yy
x
xx
Ev v 0

Exercícios 
As integrais de Mohr constituem o chamado Método da Carga Unitária. 
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Deslocamentos em Estruturas 
Teorema da Reciprocidade (Betti-Maxwell): 
"O trabalho realizado por um esforço, durante o deslocamento do seu 
ponto de aplicação, devido à ação de outro esforço qualquer é igual ao 
trabalho realizado pelo segundo esforço, durante o deslocamento do seu 
ponto de aplicação, devido à ação do primeiro esforço." 
P1 
11 21 
22 12 
P2 
12111  
22212  
deslocamento do ponto 1 
deslocamento do ponto 2 
ij: deslocamento do ponto i provocado pela ação de Pj 
212121  PP 
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Deslocamentos em Estruturas 
Teorema da Reciprocidade (Betti-Maxwell): 
Pelo Princípio da Superposição dos Efeitos, 
P1 
11 
21 
aplicando-se inicialmente P1 
e posteriormente P2 
P1 
11 21 
22 12 
P2 
111
2
1
PU 
  121222111
2
1  PPPU 
P2 
12 22 
P2 
12 22 
P1 
11 21 
222
2
1
PU 
  212222111
2
1  PPPU 
aplicando-se inicialmente P2 
e posteriormente P1 
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Deslocamentos em Estruturas 
Teorema da Reciprocidade (Betti-Maxwell): 
Igualando os trabalhos realizados nas duas situações de carregamento, 
P1 
11 21 
22 12 
P2 
  121222111
2
1  PPPU 
P2 
12 22 
P1 
11 21 
  212222111
2
1  PPPU 
    212222111121222111
2
1
2
1  PPPPPP  212121  PP 
(reciprocidade dos trabalhos) 
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Deslocamentos em Estruturas 
Teorema da Reciprocidade (Betti-Maxwell): 
Se P1 = P2, 
2112  
(reciprocidade dos deslocamentos) 
"O deslocamento do ponto 1 devido à ação de um esforço aplicado no 
ponto 2 é igual ao deslocamento do ponto 2 devido à ação de igual 
esforço aplicado no ponto 1." 
P 
 
1 
2 P 
 
1 
2 
M 
 
1 2 
M 
 
1 2 
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Método dos Esforços 
Formulação do Método 
Seja a viga abaixo representada. 
O seu grau de hiperestaticidade é: 
enimrg 
,3r ,2i ,3m ,2e ,4n
42323 g
1g
SP 
X1 é o hiperestático, isto é, o 
esforço incógnito abundante. 
X1 
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Formulação do Método 
A Equação de Compatibilidade dos Deslocamentos é: 
,01 
onde 1 é o deslocamento, na direção de X1, da seção onde foi retirado o apoio. 
Usando o PSE, 
X1 
X1 
= + 
carregamento 
real 
hiperestático 
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Formulação do Método 
Para cada um destes carregamentos, a seção 
onde foi retirado o apoio se deslocará. 
carregamento 
real 
hiperestático 
10 
11X1 
10 é o deslocamento, na direção de X1, devido ao carregamento real na viga e 
11 é o deslocamento, na direção de X1, devido ao hiperestático X1 = 1. 
01 
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Formulação do Método 
Assim, 
0111101  X
11
10
1 

X

Os demais esforços incógnitos (reações de apoio e esforços internos) são, então, 
calculados pela Equações de Equilíbrio da Estática aplicáveis. 
Os deslocamentos 10 e 11 são determinados pelo Método da Carga Unitária. 
01 
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Método dos Esforços 
Formulação do Método 
Usando o SP abaixo, a equação de compatibilidade dos deslocamentos 
será: 
X1 
de
11  
ou 
011 
de 
SP 
onde 
1
e é o deslocamento angular, na direção de X1, da seção onde foi introduzida a rótula, 
na parte esquerda e 
1
d é o deslocamento angular, na direção de X1, da seção onde foi introduzida a rótula,na parte direita. 
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Formulação do Método 
= + 
carregamento 
real 
hiperestático 
X1 
X1 
10
e 10
d 
carregamento 
real 
hiperestático 
11
eX1 11
dX1 
Usando o PSE, 
Deslocamentos no SP: 
10
e – 10
d
 é o deslocamento, na direção 
de X1, devido ao carregamento real e 
11
e – 11
d é o deslocamento, na direção 
de X1, devido ao hiperestático X1 = 1. 
011 
de 
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Formulação do Método 
Logo, 
    011111101011  Xdedede 
11
10
1 

X

Esta formulação é a base do processo denominado Equação dos Três Momentos, 
aplicável a vigas contínuas. 
Os deslocamentos 10, e 11 são determinados pelo Método da Carga Unitária. 
Os demais esforços incógnitos (reações de apoio e esforços internos) são ,então, 
calculados pela Equações de Equilíbrio da Estática aplicáveis. 
de
101010  
de
111111  
onde 
011 
de 
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Formulação do Método 
Seja o pórtico abaixo representado. 
O seu grau de hiperestaticidade é: 
enimrg 
3r
3i
6m
3e
6n
63633 g
3g
Vy Mx 
N N Vy 
Mx 
SP 
X2 X3 
X1 X1 X2 
X3 
X1 = N, X2 = Vy, X3 = Mx 
são os hiperestáticos. 
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Formulação do Método 
As Equações de Compatibilidade dos Deslocamentos são: 
SP 
X2 X3 
X1 X1 X2 
X3 
de
11  
de
22  
de
33  
ou 
ou 
ou 
011 
de 
022  de 
033  de 
onde 
i
e é o deslocamento, na direção de Xi, 
da seção cortada, na parte esquerda e 
i
d é o deslocamento, na direção de Xi, 
da seção cortada, na parte direita. 
1
e, 1
d
, 2
e e 2
d são deslocamentos lineares 
enquanto 3
e e 3
d são deslocamentos angulares 
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Formulação do Método 
Usando o PSE, 
X2 X3 
X1 X1 X2 
X3 
= X1 X1 
X2 
X2 
X3 X3 
+ + + 
(a) (b) (c) (d) 
(a): SP submetido ao carregamento real da estrutura hiperestática; 
(b): SP submetido ao hiperestático X1; 
(c): SP submetido ao hiperestático X2; 
(d): SP submetido ao hiperestático X3. 
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Formulação do Método 
Para cada um destes carregamentos a seção cortada se deslocará, à 
esquerda e à direita. 
10
e 
X 
Y 
Z 
SG 
10
d 20
d 
30
e 
20
e 
30
e 
i0
e
 – i0
d é 
deslocamento da 
seção cortada, na 
direção de Xi, 
devido ao 
carregamento real; 
1j
eXj 
X 
Y 
Z 
SG 
1j
dXj 
2j
dXj 
3j
eXj 
2j
eXj 3j
eXj 
ij
e
 – ij
d é 
deslocamento da 
seção cortada, na 
direção de Xi, 
devido ao 
hiperestático Xj = 1. 
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Formulação do Método 
A equação geral de compatibilidade de deslocamentos é ou 
0 di
e
i 
    ,0
,1
00 


gj
j
d
ij
e
ij
d
i
e
i
d
i
e
i X
onde g é o grau de hiperestaticidade da estrutura. 
Assim, para o pórtico plano do exemplo, tem-se o seguinte sistema de 
equações lineares: 
031321211110  XXX 
032322212120  XXX 
033323213130  XXX 
d
i
e
ii 000  
d
ij
e
ijij  
onde 
Os deslocamentos i0, e ij 
são determinados pelo 
Método da Carga Unitária. 
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Formulação do Método 
Determinação de Deslocamentos: 
Como o SP equivale à estrutura hiperestática, estática e geometricamente, os 
deslocamentos dos pontos das seções desta estrutura são exatamente os 
mesmos verificados no SP. 
Logo, após conhecidos os hiperestáticos, pelo Método dos Esforços, pode-se 
determinar qualquer deslocamento em qualquer seção da estrutura 
hiperestática, pelo Método da Carga Unitária, na seção equivalente no SP. 
 = ? X1 
 
Exercícios 
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Formulação do Método 
Equação dos Três Momentos: 
O processo denominado Equação dos Três Momentos é aplicável a vigas 
contínuas. Advém do Método dos Esforços, tomando-se, como SP, a viga 
isostática derivada da viga contínua dada por introdução de rótulas sobre os 
apoios intermediários. 
viga contínua 
SP 
R1 R2 R3 R4 R5 
L1 L2 L3 L4 
M5 M1 
X3=M4 X2=M3 X1=M2 
R1 R2 R3 R4 R5 
L1 L2 L3 L4 
M5 M1 g = n-2, onde n é 
o número de 
apoios da viga. 
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Formulação do Método 
Equação dos Três Momentos: 
O SP é um conjunto de vigas biapoiadas submetidas ao carregamento real e 
aos hiperestáticos Xi=Mi+1. 
As equações de compatibilidade dos deslocamentos serão 
ou onde i = 1, n-2. 
0 di
e
i 
    ,0
,1
00 


gj
j
d
ij
e
ij
d
i
e
i X
Como todos os hiperestáticos são momentos fletores, os deslocamentos são 
rotações. 
Assim, ou 
011  
d
i
e
i
d
i
e
i 
   

 
2,1
11,11,10,10,1 0
nj
j
d
ji
e
ji
d
i
e
i M
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Formulação do Método 
Equação dos Três Momentos: 
i = 1, n-2. 
    ,0
2,1
11,11,10,10,111 

 
nj
j
d
ji
e
ji
d
i
e
i
d
i
e
i M
      011,21,222222202022   ndne ndedede MM  
      011,11,122,12,10,10,111   nd nne nndnendnendnen MM  
      011,1,22200   ndnienidieidieidiei MM  
........................................................................... 
Desenvolvendo as equações acima: 
........................................................................... 
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Formulação do Método 
Equação dos Três Momentos: 
As rotações à esquerda e à direita do nó j são determinadas como indicado abaixo. 
      011,1,22200   ndnienidieidieidiei MM  
Li-1 
Mi Mi-1 
Li 
Mi+1 Mi 
d
i 1
e
i
Mi Mi-1 
d
i
e
i 1
Mi+1 Mi 
Assim, a equação acima se resume a 
    011,11,00   idiiidiieiiieiidiei MMM  (Equação dos Três Momentos) 
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Formulação do Método 
Equação dos Três Momentos: 
    011,11,00   idiiidiieiiieiidiei MMM 
:00
d
i
e
i  e 
rotações, no SP, à esquerda e à 
direita do nó i, respectivamente, 
devidas ao carregamento real. 
:1,
e
ii 
rotação, no SP, à esquerda do 
nó i, devida a Mi-1=1. 
:1,
d
ii 
rotação, no SP, à direita do nó i, 
devida a Mi+1=1. 
:dii
e
ii  e 
rotações, no SP, à esquerda e à 
direita do nó i, respectivamente, 
devidas a Mi=1. 
e
ioLi-1 
Mi-1=1 
e
ii 1, Li-1 
Mi=1 
e
ii
Li-1 
d
io Li 
Mi=1 
d
ii Li Mi+1=1 
d
ii 1,  Li 
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Método dos Esforços 
Formulação do Método 
Equação dos Três Momentos: 
    011,11,00   idiiidiieiiieiidiei MMM 
Resolvendo pelo Método da Carga Unitária ou por qualquer outro método (integração 
da linha elástica ou Analogia de Mohr): 
 
1
1
1,
6





ix
ie
ii
EI
L

 
ix
id
ii
EI
L
6
1,  
1
1
3


ix
ie
ii
EI
L

 
ix
id
ii
EI
L
3

Assim, a equação fica: 
        
0
6336
1
1
1
1
1
1
00 





 





i
ix
i
i
ix
i
ix
i
i
ix
id
i
e
i M
EI
L
M
EI
L
EI
L
M
EI
L
0
0
Convenção de Sinais: 
ou 
       
 dieii
ix
i
i
ix
i
ix
i
i
ix
i M
EI
L
M
EI
L
EI
L
M
EI
L
001
1
1
1
1
1 62  





 





A cada apoio interno 
corresponde uma equação. 
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Método dos Esforços 
Formulação do Método 
Equação dos Três Momentos: 
Observações: 
a) Utilizando os valores absolutos das rotações devidas ao carregamento real, 
a equação fica: 
       
 dieii
ix
i
i
ix
i
ix
i
i
ix
i M
EI
L
M
EI
L
EI
L
M
EI
L
001
1
1
1
1
1 62  





 





b) Caso as rotações sejam calculadas pela Analogia de Mohr, 
corresponderão às reações nos apoios da viga conjugada. A equação, então, fica:. 
d
i
e
i 00  e 
       
 dieii
ix
i
i
ix
i
ix
i
i
ix
i RRM
EI
L
M
EI
L
EI
L
M
EI
L






 




 62 1
1
1
1
1
1
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Método dos Esforços 
Formulação do Método 
Equação dos Três Momentos: 
Observações: 
R1 R2 R3 
L1 L2 L3 
M1 M3 
R1 R2 R3 
L1 L2 
M1 
V3
d 
d) Caso haja um balanço, pode-se reduzir as cargas no balanço ao apoio 
correspondente. 
c) Se a rigidez EIx for constante, a equação se simplifica: 
   dieixiiiiiii EIMLMLLML 001111 62   
   dieixiiiiiii RREIMLMLLML   62 1111
ou 
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Formulação do Método 
Equação dos Três Momentos: 
Observações: 
  dx
L
EI
MM 10
1
1
21
6
2 
e) Caso haja um engaste em alguma extremidade, haverá mais uma incógnita 
(o momento fletor no engaste) e a equação de compatibilidade de 
deslocamentos correspondente será 
 01
 0n
para engaste no primeiro apoio ou 
para engaste no último apoio. 
  e
n
n
nx
nn
L
EI
MM 0
1
1
1
6
2 





Estas expressões podem ser obtidas da equação geral, considerando 
no primeiro caso, e no segundo. 
,001 
e
iiL 
,00 
d
iiL 
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Formulação do Método 
Fim do Capítulo