APOSTILA MATEMÁTICA 5 BIM - 2 ANO OK(3)

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Matemática 
Código das 
Habilidades 
Objetos de Conhecimento 
 
EM13MAT310 
 
 
 
 
Resolver e elaboras problemas de contagem envolvendo 
agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos 
princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias 
diversas, como o diagrama de árvore. 
 
 
Atividade referente ao 5º bimestre 
Atenção!!!! 
Está apostila está dividida em duas partes, conteúdo e 
atividades! 
O que deve ser entregue na escola são as atividades, vocês devem 
ficar com a parte do conteúdo! 
A data limite para entrega das atividades na escola é 
12/05/2021!!!! 
Não serão aceitas atividades em branco! 
 
Está apostila conta como nota e frequência 
 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 
O princípio fundamental da contagem é a multiplicação das opções 
dadas para determinar o total de possibilidades. 
 
Esse conceito é importante para a análise combinatória, área da 
Matemática que reúne os métodos para resolução de problemas que 
envolvem a contagem e, por isso, é muito útil na investigação de 
possibilidades para determinar a probabilidade de fenômenos. 
Exemplo: João está em um hotel e pretende ir visitar o centro 
histórico da cidade. Partindo do hotel existem 3 linhas de metrô que 
levam ao shopping e 4 ônibus que se deslocam do shopping para o 
centro histórico. 
 
 
De quantas maneiras João pode sair do hotel e chegar até o centro 
histórico passando pelo shopping? 
 
Escola Estadual 13 de Maio 
 
ATIVIDADE REFERENTE AO MÊS 5⁰ BIMESTRE – 2021 (FREQUÊNCIA E AVALIAÇÃO) 
 
 2ª Ano 
 Turma___ 
 
 Disciplina: Matemática 
Professores: Ângela, Carla, Sinei, 
 
Aluno (a): 
Solução: O diagrama de árvore ou árvore de possibilidades é útil 
para analisar a estrutura de um problema e visualizar o número de 
combinações. 
 
Observe como a constatação das combinações foi feita utilizando 
o diagrama de árvore. 
 
 
Se existem 3 possibilidades de sair do hotel e chegar até o shopping, 
e do shopping para o centro histórico temos 4 possibilidades, então o 
total de possibilidades é 12. 
Outra maneira de resolver o exemplo seria pelo princípio 
fundamental da contagem, efetuando a multiplicação das 
possibilidades, ou seja, 3 x 4 = 12. 
 
 
 
 
 
Permutações simples e fatorial de um número. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Quantos números de 3 algarismos (sem repeti-los em um mesmo 
número) podemos formar com os algarismos 1, 2 e 3? 
 
Resolução: 
 
Podemos resolver por tentativa. 
Assim, temos: 123, 132, 213, 231, 312 e 321. 
Concluímos então que são 6 os números procurados. Podemos 
também fazer uma árvore de possibilidades: 
 
 
Pelo princípio fundamental da contagem, temos 6 possibilidades 
(3 x 2 x 1 = 6). 
 
Observe que a ordem dos algarismos é muito importante. 
Todos os números diferem entre si pela ordem de seus 
algarismos. 
Se um evento é composto de duas etapas sucessivas e 
independentes de tal maneira que o número de possibilidades na 
1a etapa é m e para cada possibilidade da 1a etapa o número de 
possibilidades na 2a etapa é n, então o número total de 
possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m . n. 
Permutar é sinônimo de trocar. Intuitivamente, nos problemas 
de contagem, devemos associar a permutação à noção de 
embaralhar, isto é, trocar objetos de posição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
a) P5 =5 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 
 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 
 
b) P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 
 
Exemplos: 
Calcule quantos são os anagramas: 
a) da palavra PERDÃO; 
b) da palavra PERDÃO que iniciam com P e terminam em O; 
c) da palavra PERDÃO em que as letras A e O aparecem juntas e 
nessa ordem (ÃO); 
d) da palavra PERDÃO em que P e O aparecem nos extremos; 
e) da palavra PERDÃO em que as letras PER aparecem juntas, em 
qualquer ordem. 
 
Resolução: 
Cada anagrama corresponde a uma ordem de colocação dessas 6 
letras. 
a) Basta calcular P6 = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720. 
 
b) P — — — — O 
Devemos permutar as 4 letras não fixas, ou seja, calcular P4: 
P4 = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 
Portanto, há 24 anagramas da palavra PERDÃO iniciados com P e 
terminados em O. 
 
c) É como se a expressão ÃO fosse uma só letra: 
PERD ÃO ; assim, temos que calcular P5: 
P5 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 
 
d) P — — — — O 
O — — — — P 
Temos então 2 x P4 = 2 x 4! = 48; 48 anagramas. 
 
e) Considerando PER como uma só letra, PER DÃO, temos que 
calcular P4: P4 = 4! = 24 
Como as 3 letras de PER podem aparecer em qualquer ordem, temos 
P3 = 3! = 6 possibilidades de escrevê-las juntas. 
Assim, o número total de anagramas pedido é: 
P4 x P3 = 24 x 6 = 144; 144 anagramas. 
De modo geral, a pergunta é: de quantas maneiras podemos 
ordenar em fila n objetos distintos? 
Podemos escolher o primeiro elemento da fila de n maneiras. 
Agora, de quantas maneiras podemos escolher o segundo 
elemento da fila? De n – 1 maneiras. Prosseguindo dessa forma 
e usando o princípio multiplicativo, fica claro que o número de 
agrupamentos ordenados que podemos obter com todos esses n 
elementos é dado por: 
n x (n - 1) x (n - 2) x ... x 3 x 2 x 1 
Esses agrupamentos ordenados (diferem pela ordem) recebem o 
nome de permutações simples. 
Indicamos por Pn o número de permutações simples de n 
elementos e escrevemos: 
Pn = n x (n - 1) x (n - 2) x ... x 3 x 2 x 1. 
Fatorial 
O valor obtido com Pn é também chamado fatorial do número 
natural n e indicado por n! (lê-se “fatorial de n” ou “n fatorial”). 
Assim, temos n! = n x (n - 1) x (n - 2) x ... x 3 x 2 x 1, para n ˃ 1. 
Considera-se 0! = 1.. 
 
Permutações com repetição. 
Considere o exemplo: 
Quantos são os anagramas da palavra BATATA? 
Se os As fossem diferentes e os Ts também, teríamos as letras B, A1, A2, 
A3, T1, T2, e o total de anagramas seria P6 = 6!. 
Mas as permutações entre os 3 As não produzirão novo anagrama. Então 
precisamos dividir P6 por P3. 
O mesmo ocorre com os dois Ts: precisamos dividir também P6 por P2. 
Portanto, o número de anagramas da palavra BATATA é: 
 
 
 
Arranjo Simples. 
 
 
 
 
 
Exemplo 02 
 
 
Combinação Simples. 
 
 
 
 
Exemplo 01 
A fim de exemplificar, podemos pensar na escolha de 3 membros 
para formar uma comissão organizadora de um evento, dentre as 10 
pessoas que se candidataram. 
 
De quantas maneiras distintas essa comissão poderá ser formada? 
Note que, ao contrário dos arranjos, nas combinações a ordem dos 
elementos não é relevante. Isso quer dizer que escolher Maria, João e 
José é equivalente à escolher João, José e Maria. 
 
Observe que para simplificar os cálculos, transformamos o fatorial 
de 10 em produto, mas conservamos o fatorial de 7, pois, desta 
forma, foi possível simplificar com o fatorial de 7 do denominador. 
Assim, existem 120 maneiras distintas formar a comissão. 
Exemplo 01 
Com 6 mulheres e 5 homens, quantas comissões de 6 pessoas, com 
exatamente 4 mulheres, podem ser formadas? 
Resolução: 
Para formar a comissão devemos escolher 4 das mulheres e 2 dos 
homens. Pelo princípio fundamental da contagem, multiplicamos 
esses números: 
Escolha das mulheres: C6, 4 
Escolha dos homens: C5, 2 
Logo: 
 
Assim, podem ser formadas 150 comissões com 6 pessoas e com, 
exatamente, 4 mulheres e 2 homens 
 
 
 
 
Atividades de Matemática 2º ano 
Aluno_______________________________________ 
Turma__________ 
Professor:________________________________ 
DATA DE DEVOLUÇÃO 12/05/2021 
 
AGORA É COM VOCÊS – RESOLVA OS EXERCÍCIOS 
PROPOSTOS: 
 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 
1. Ana estava se organizando para viajar e colocou na mala 3 calças, 
4 blusas e 2 sapatos. Quantas combinações Ana pode formar com 
uma calça, uma blusa e um sapato? 
a)12 combinações; 
b) 32 combinações; 
c)24 combinações; 
d) 16 combinações 
2. .De quantas maneiras um número com 3 algarismos distintos pode 
ser formado utilizando 0, 1, 2, 3, 4 e 5? 
a) 200 
b) 150 
c) 250 
d) 100 
Resolução: 
 
3.De quantas maneiras um número com 4 algarismos distintos pode 
ser formado utilizando 0, 1, 2, 3, 4 e 5? 
4. De quantas maneiras um número com 3 algarismos distintos pode 
ser formado utilizando 1, 2, 3, 4 e 5? 
 
5. De quantas maneiras um número par com 3 algarismos distintos 
pode ser formado utilizando 1, 2, 3, 4 e 5? 
 
6. Um professor elaborou uma prova com 5 questões e os alunos 
deveriam respondê-la assinalando verdadeiro (V) ou falso (F) para 
cada uma das questões. De quantas maneiras distintas o teste poderia 
ser respondido? 
a) 25 
b) 40 
c) 24 
d) 32 
 
7. Dois casais estão sentados em um banco de um parque, posando 
para uma fotografia. De quantas maneiras diferentes essas quatro 
pessoas podem se sentar de modo que cada marido apareça ao lado 
de sua esposa na fotografia? 
 
8.Para disciplinar o trânsito em Pedalândia, o prefeito resolveu 
emplacar as bicicletas da cidade. As placas são formadas por 2 
vogais e 3 algarismos. O primeiro a emplacar sua bicicleta recebeu a 
placa mostrada na figura abaixo. 
 
Nessas condições, qual é o número máximo de bicicletas que podem 
ser emplacadas em 
A) 2 500 
B) 4 000 
C) 6 000 
D) 25 000 
E) 30 000 
9.Um restaurante prepara 4 tipos de pratos quentes (frango, peixe, 
carne assada, salsichão), 2 saladas (verde e russa) e 3 sobremesas 
(sorvete, romeu e julieta, frutas). De quantas maneiras diferentes um 
freguês pode se servir consumindo um prato quente uma salada e 
uma sobremesa? 
 
10.De quantas maneiras podemos escolher um gerente, um tesoureiro 
e um secretário para uma empresa, sendo que há 10 candidatos a 
gerente, 20 candidatos a tesoureiro e 30 candidatos a secretário? 
 
11.O quadrangular final de um torneiro mundial de basquete é 
disputado por quatro seleções: Brasil, Cuba, Rússia e EUA. O 
número de maneiras distintas que podemos ter os três primeiros 
lugares é: 
 
Permutações simples e fatorial de um número. 
1. Quantos são os anagramas (diferentes disposições das letras de 
uma palavra) da palavra A N E L ? 
 
2. Considere todos os anagramas da palavra TEORIA. 
a) Quantos são? 
b) Quantos começam por TEO? 
c) Quantos têm as letras TEO juntas nessa ordem? 
d). Quantos têm as letras TEO juntas em qualquer ordem? 
e). Quantos têm as vogais juntas, em ordem alfabética, e as 
consoantes juntas, em qualquer ordem? 
 
3. De quantas maneiras diferentes podemos arrumar 5 livros em uma 
estante, de maneira que 2 permaneçam sempre juntos? 
Resolução: 
Consideremos A e B os dois 
livros que deverão permanecer 
juntos. Nesse caso, vamos 
considerar que A e B constituem 
uma única posição. Permutando 
essas quatro posições, 
encontramos todas as sequências 
possíveis. Como A e B podem 
ser ordenados de P2 modos 
diferentes, a resposta será: 
 P2 . P2 = 2 . 4! = 2 . 24 = 48 
4. Numa van viajam 9 pessoas, das quais 4 podem dirigir. De 
quantas maneiras diferentes é possível acomodá-las na van (3 bancos 
na frente, 3 no banco do meio e 3 no banco traseiro) de forma que 
uma das 4 que dirigem ocupe o lugar da direção? 
 
5. Quantos anagramas podemos formar com a palavra GATO? 
 
6. De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Ana, 
Carla, Maria, Paula e Silvia para a produção de um álbum de 
fotografias promocionais. 
 
7. De quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana 
seis homens e seis mulheres: 
a) em qualquer ordem 
b) iniciando com homem e terminando com mulher 
 
Permutações com repetição. 
 
1. Quantos são os anagramas da palavra ARARA? 
Resolução: 
Nesse caso, há 3 três letras A, 2 letras R e um total de 5 letras. 
Portanto, α = 3 e β = 2. Logo: 
 
Logo, são 10 os anagramas da palavra ARARA. 
2. Determine quantos são os anagramas das palavras: 
a) MISSISSIPPI; 
b) ARARAQUARA; 
c) ABÓBORA; 
d) BISCOITO 
 
Arranjo Simples. 
 
1. Responda às seguintes questões: 
a) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra 
CONTAGEM? 
b) Quantas palavras de 4 letras distintas podemos formar com as 
letras da palavra CONTAGEM? 
2. Consideremos as letras a, b, c e d. Quais e quantos agrupamentos 
ordenados diferentes de 2 letras distintas é possível formar com elas? 
 
Combinação Simples. 
 
1. De quantas maneiras diferentes um técnico pode escalar seu time 
de basquete tendo à sua disposição 12 atletas que jogam em qualquer 
posição? 
 
 
 
 
ATIVIDADES COMPLEMENTARES: 
1. Porcentagem 
A expressão por cento faz parte de nosso dia a dia. Podemos 
encontrá-la facilmente em notícias ao ler jornais, revistas ou assistir 
à televisão. Nas compras em lojas e 
supermercados, nas aplicações e nos 
empréstimos em bancos, enfim, em tudo que 
se relaciona à economia e às finanças 
encontramos a expressão por cento. 
Também usamos comumente essa expressão para fazer comparações, 
como você pôde observar em muitos gráficos. A expressão por 
cento vem do latim per centum e quer dizer “por um cento”. Pode 
ser representada pelo símbolo %. 
Assim, quando você lê ou escuta uma afirmação como “A 
região Norte ocupa uma superfície que corresponde a 45% da 
superfície do Brasil”, isso signifíca que a região Norte ocupa uma 
área de 45 km2 para cada 100 km2 da área ocupada pelo Brasil. 
Então, podemos estabelecer a seguinte relação: 
 
 
 
Quando dizemos que “Quase 85% da população brasileira veve em 
áreas urbanas”, isso significa que cerca de 85 em cada grupo de 100 
brasileiros vivem em áreas urbanas. 
 
 
 
Veja como podemos calcular a taxa ou índice percentual nas 
situações a seguir: 
1. Como escrever na forma de taxa percentual? 
Devemos escrever uma razão equivalente à razão dada e que tenha 
denominador 100. 
 
 
 
 
2. Como escrever a razão na forma de taxa percentual? 
Observando que 8 não é divisor de 100, vamos escrever a forma 
decimal de (dividindo 3 por 8): 
 = 0,375 = = = 37,5% → = 37,5% 
 
3. Um desconto de 7 mil reais sobre 25 mil reais representa quantos 
por cento de 
desconto? 
 
 
 
AGORA É COM VOCÊS – RESOLVA OS EXERCÍCIOS 
PROPOSTOS: 
1. Na venda de um tênis de 150 reais, um vendedor obteve uma 
comissão de 12 reais. Essa comissão representa quantos por cento do 
preço do produto? 
 
2. Rafael prepara um copo de suco misturando 120 mililitros de água 
e 80 mililitros de suco de fruta concentrado. Qual é a taxa percentual 
de água nessa mistura? 
 
3. Vilma acertou 38 das 50 questões da prova de Matemática de um 
vestibular. Quantos por cento dessa prova ela acertou? 
 
4. Quinta-feira passada, 5 dos 40 alunos de uma classe faltaram na 
aula de Educação Física. Nesse dia, o professor registrou quantos por 
cento de faltas? 
 
5. Após uma apresentação de música, 250 espectadores foram 
entrevistados e opinaram sobre o show. Veja o resultado dessa 
pesquisa: 
Observando a tabela e considerando o 
total de entrevistados, escreva a taxa 
percentual correspondente a cada 
opinião. 
a) Ótimo 
b) Bom 
c) Regular 
d) Ruim 
6. No verão de 2018, foi realizada uma análise do lixo deixado em 
uma praia do litoral brasileiro. O lixo foi separado e classificado, e 
os resultados foram: 
Com base nessa tabela responda: 
a) Quantos quilogramas de lixo foram 
recolhidos nessa praia? 
 
 
b) Os materiais plásticos recolhidos representam quantos por cento 
desse total 
 
7. No colégio do meu bairro estudam 1600 alunos, dos quais 720 são 
meninos. O número de meninas representa quantos por cento do total 
de alunos que estudam nesse colégio? 
 
Educação Financeira para crianças influência famílias e 
professores 
Cerca de um milhão de estudantes no Brasil já tem contato 
com o tema, segundo associação; para especialistas, poupar promove 
atitude sustentável. 
A escolafaz parte de um universo que cresceu nos últimos 
anos. Cerca de um milhão de alunos no País já tem aulas de 
educação financeira na escola básica atualmente, segundo estimativa 
da Associação Brasileira de Educadores Financeiros (Abefin). 
De acordo com uma pesquisa da Abefin, feita em parceria com 
o Instituto Axxus e o Núcleo de Economia Industrial e da Tecnologia 
(NEIT) do Instituto da Unicamp, 71% dos alunos que tem aulas 
sobre educação financeira ajudam os pais a fazerem compras 
conscientes. Já nas famílias que não tem filhos educados para o 
tema, a cooperação na hora da compra não existe. 
Para estudo foram entrevistados 752 pais e mães, com filhos 
entre quatro e 12 anos, em cinco capitais: São Paulo, Rio de Janeiro, 
Recife, Goiânia e Vitória. Cerca de metade dos entrevistados tinha 
filhos em escolas que oferecem educação financeira. Os 
entrevistados cujos filhos recebem educação financeira também 
responderam que conseguiriam manter seu padrão de vida por mais 
tempo caso ficassem sem salário. Nesse caso, 73% respondem que 
poderiam manter o padrão por até seis meses. Entre famílias que não 
tem filhos estudando o assunto, só 53% têm uma avaliação tão 
otimista. Outros 44% das famílias sem educação financeira dizem 
que o padrão de vida duraria um mês em caso de desemprego – 
enquanto só 2% do outro grupo tem avaliação tão pessimista. 
 
 
De acordo com os trechos da notícia, e com base nos seus 
conhecimentos sobre porcentagem, responda às questões no caderno. 
8. De acordo com a pesquisa, de que forma os alunos que têm aulas 
sobre educação financeira ajudam os pais? 
9. Dos 752 pais e mães entrevistados, cerca de quantos conseguiriam 
manter seu padrão de vida por mais tempo caso ficassem sem 
salário? 
10. Por volta de quantos pais em mães disseram que o padrão de vida 
duraria um mês em caso de desemprego? 
11. Comparando os pais e as mães entrevistados que tem filhos que 
não recebem educação financeira e os que têm filhos que recebem 
educação financeira, o que você pode concluir?