Cauculo Vetorial Aol3 2021 2 B

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Conteúdo do exercício
Avaliação On-Line 3 (AOL 3) - Questionário
Paulo Renato Castro da Gama
Pergunta 1 -- /1
Uma das formas de interpretarmos o operador nabla é escrevendo-o como um vetor, sendo 
nabla space equals space fraction numerator partial differential over denominator partial differential x end 
fraction plus space fraction numerator partial differential over denominator partial differential y end fraction 
plus fraction numerator partial differential over denominator partial differential z end fraction k
 . Isso é útil, pois naturalmente surgem as definições de gradiente, como o produto do nabla, por uma 
função nabla f de divergente, como um produto escalar entre vetores nabla times F e, por fim, 
rotacional, como o produto vetorial 
nabla cross times F space equals space open vertical bar table row i j k row cell fraction numerator partial 
differential over denominator partial differential x end fraction end cell cell fraction numerator partial 
differential over denominator partial differential y end fraction end cell cell fraction numerator partial 
differential over denominator partial differential z end fraction end cell row P Q R end table close vertical bar 
 , em que 
F open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space P open parentheses x 
comma y comma z close parentheses i plus Q open parentheses x comma y comma z close parentheses j 
plus R open parentheses x comma y comma z close parentheses k
.
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre campos vetoriais, ordene as etapas a 
seguir de acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os passos para a utilização do operador 
rotacional:
5/10
Nota final
Enviado: 25/11/21 00:35 (BRT)
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( ) Somar os termos associados a sua respectiva direção i, j ou k.
( ) Montar a matriz do rotacional.
( ) Aplicar as derivadas parciais.
( ) Calcular o determinante.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
3, 4, 1, 2.
2, 1, 3, 4.
1, 2, 3, 4.
4, 3, 2, 1.
Resposta correta4, 1, 3, 2.
Pergunta 2 -- /1
O estudo dos campos gradientes, divergentes e rotacionais é importante, também, para a definição de 
algumas possíveis operações a serem realizadas entre eles. O Laplaciano, por exemplo, é definido pelo 
cálculo do divergente de um gradiente de uma função escalar f. Tome como exemplo uma função 
f open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space x y z.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca dos campos divergentes, gradientes e 
rotacionais, e acerca do Laplaciano, afirma-se que o Laplaciano escalar dessa função é 0 porque:
Resposta correta
as derivadas parciais de 
nabla with rightwards arrow on top open parentheses nabla with rightwards 
arrow on top f close parentheses
 são 0.
o operador diferencial nabla é escrito na forma 
open parentheses fraction numerator partial differential squared over denominator partial 
differential x end fraction plus fraction numerator partial differential squared over denominator 
partial differential y end fraction plus fraction numerator partial differential squared over 
denominator partial differential z end fraction close parentheses
.
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o contradomínio dessa função faz parte dos reais R².
os eixos x, y e z são ortogonais entre si.
as derivadas parciais de nabla with rightwards arrow on top F with rightwards arrow on top
 são 1.
Pergunta 3 -- /1
O Laplaciano é definido como a aplicação seguida do gradiente e do divergente em uma determinada 
função escalar. Matematicamente, nabla times nabla f open parentheses x comma y close parentheses
. É importante lembrar que o gradiente só atua em campos escalares e o divergente em campos vetoriais. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado, pode-se dizer que o operador Laplaciono resulta 
em um campo escalar porque:
a função f open parentheses x comma y close parentheses é escalar, caso contrário, seria 
vetor.
operações múltiplas do gradiente resultam em um escalar.
o gradiente recebe um escalar.
se aplicou o rotacional ao gradiente.
Resposta corretao divergente recebe um campo vetorial e retorna um escalar.
Pergunta 4 -- /1
Existem inúmeras maneiras de se representar algebricamente objetos matemáticos, o que vale também 
para os campos gradientes, divergentes e rotacionais, nem sempre escritos com o operador diferencial 
nabla . Portanto, é fundamental conhecer as mais diversas formas de representação de modo a se 
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reconhecer tais objetos.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre campos gradientes, divergentes e 
rotacionais, pode-se afirmar que a expressão 
open parentheses fraction numerator partial differential over denominator partial differential x end fraction 
comma fraction numerator partial differential over denominator partial differential y end fraction comma 
fraction numerator partial differential over denominator partial differential z end fraction close parentheses 
times open parentheses A comma B comma C close parentheses
 refere-se ao cálculo de um divergente porque:
é outra forma de se representar nabla open parentheses f close parentheses .
é outra forma de se representar open parentheses f close parentheses .
Resposta correta
é outra forma de se representar 
nabla space times space X with rightwards arrow on top .
é outra forma de se representar nabla squared f .
é outra forma de se representar nabla squared times X with rightwards arrow on top .
Pergunta 5 -- /1
Um campo divergente de uma função vetorial é definido em termos das derivadas parciais dessa função, 
respeitando suas componentes x, y e z. Existe uma maneira algébrica de efetuar o cálculo desse 
divergente, porém, é possível compreender os resultados algébricos por meio de representações 
imagéticas, tal como a figura a seguir: 
Figura – Representação de um campo divergente
Considerando essas informações e a forma imagética de se compreender um divergente, afirma-se que a 
figura apresentada tem um campo divergente positivo porque:
Cálculo Vetorial_BQ03- Questão03_v1(1).png
a quantidade de flechas que entram e saem do elemento de volume são iguais.
existem mais flechas entrando do que entrando no elemento de volume representado pela caixa.
Resposta correta
existem mais flechas saindo do que entrando no elemento de volume 
representado pela caixa.
há uma distância visível entre algumas flechas que estão dentro do elemento de volume 
representado pela caixa.
a quantidade de flechas que entram e saem do elemento de volume é irrelevante.
Pergunta 6 -- /1
Para se calcular o laplaciano em uma função escalar de duas variáveis, basta fazer 
nabla times nabla f open parentheses x comma y close parentheses space equals space fraction 
numerator partial differential squared f open parentheses x comma y close parentheses over denominator 
partial differential x squared end fraction plus fraction numerator partial differential squared f open 
parentheses x comma y close parentheses over denominator partial differential y squared end fraction
 . Isto é, derive a função em x e y uma vez. Em seguida, derive-a em x e y novamente. Depois, basta 
somar o resultado obtido.
Considerando essas informações e os estudos sobre Laplaciono, analise as afirmativas a seguir e assinale 
V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) Dado f open parentheses x comma y close parentheses space equals space x cubed plus y cubed , 
o laplaciano é igual a 
nabla times nabla f open parentheses x comma y close parentheses space equals space 6 x plus 6 y
II. ( ) Dado f open parentheses x comma y close parentheses space equals space sin x plus cos y , o 
laplaciano é igual a 
nabla times nabla f open parentheses x comma y close parentheses space equals space f open 
parentheses x comma y close parentheses
III. ( ) Dado 
f open parentheses x comma y close parenthesesspace equals space e to the power of x y end 
exponent
 , o laplaciano é igual a 
nabla times nabla f open parentheses x comma y close parentheses space equals space open 
parentheses x squared plus y squared close parentheses e to the power of x y end exponent
IV. ( ) Dado 
f open parentheses x comma y close parentheses space equals space e to the power of x y end 
exponent plus e to the power of negative x y end exponent
 , o laplaciano é igual a 
nabla times nabla f open parentheses x comma y close parentheses space equals space 0
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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V, V, F, F.
Resposta corretaV, F, V, F.
V, F, F, V.
F, F, V, F.
F, F, V, V.
Pergunta 7 -- /1
Campos vetoriais podem ser entendidos como funções, com regras específicas, que associam dois 
conjuntos numéricos. Um campo vetorial em R squared associa um par ordenado a outro, já um campo 
vetorial em R cubed associa um terno ordenado a outro. Porém, as representações dos elementos do 
domínio e contradomínio não são as mesmas.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre campos vetoriais, pode-se afirmar que o 
domínio, seja ele par ou terno ordenado, é representado como um ponto, e a imagem como um vetor, 
porque:
Resposta correta
é inconcebível a representação do gráfico das funções em R squared e 
R cubed .
os campos vetoriais são objetos matemáticos.
a associação dos elementos do domínio é unívoca.
o domínio e o contradomínio são subconjuntos do mesmo espaço.
os campos vetoriais são objetos físicos.
Pergunta 8 -- /1
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O operador divergente é definido como 
nabla times F space equals space P subscript x open parentheses x comma y comma z close 
parentheses space plus space Q subscript y open parentheses x comma y comma z close parentheses 
plus R subscript z open parentheses x comma y comma z close parentheses
 onde 
F open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space P i plus Q j plus R k
. Essa definição é feita com base no operador diferencial nabla, que leva em conta as derivadas parciais de 
uma determinada função.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado, pode-se dizer que o gradiente e o divergente são 
operadores diferentes porque:
as derivadas são feitas em sistemas de coordenadas diferentes.
as derivadas são em primeira ordem no gradiente, enquanto no divergente são em segunda.
os módulos dos campos vetoriais do gradiente e do divergente são diferentes.
as derivadas parciais não estão definidas para vetores.
Resposta correta
o gradiente atua em um campo escalar, resultando em um campo vetorial, 
enquanto o divergente faz o contrário.
Pergunta 9 -- /1
Para calcular o gradiente de uma função escalar, basta fazer as derivadas parciais da mesma. Esse campo 
escalar é definido a partir de um operador diferencial conhecido como operador nabla, que é escrito da 
seguinte forma:
nabla with rightwards arrow on top space equals open parentheses fraction numerator partial differential 
over denominator partial differential x end fraction comma fraction numerator partial differential over 
denominator partial differential y end fraction comma fraction numerator partial differential over denominator 
partial differential z end fraction close parentheses
 .
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre gradiente, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
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I. ( ) O gradiente de 
f open parentheses x comma y close parentheses space equals space x squared y minus y cubed é 
nabla with rightwards arrow on top f open parentheses x comma y close parentheses space equals 
space 2 x y i plus open parentheses x squared space minus space 3 y squared close parentheses j
.
II. ( ) O gradiente de 
f open parentheses x comma y close parentheses space equals space ln open parentheses x space plus 
space 2 y close parentheses
 é 
nabla with rightwards arrow on top f open parentheses x comma y close parentheses space equals 
space fraction numerator 1 over denominator x plus 2 y end fraction i plus fraction numerator 2 over 
denominator x plus 2 y end fraction
.
III. ( ) O gradiente de 
f open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space x cos y over z é 
nabla with rightwards arrow on top f open parentheses x comma y comma z close parentheses space 
equals space cos y over z i minus x over z sin y over z j minus x over z squared sin y over z k
.
IV. ( ) O gradiente de 
f open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space square root of x squared 
plus y squared plus z squared end root
 é 
nabla with rightwards arrow on top f open parentheses x comma y comma z close parentheses space 
equals space fraction numerator 1 over denominator cube root of open parentheses x squared plus y 
squared plus z squared close parentheses squared end root end fraction open parentheses x i space plus 
space y j plus z k close parentheses
.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
V, V, F, V.
V, F, F, V.
Resposta corretaV, V, F, F.
F, F, V, V.
F, F, V, F.
Pergunta 10 -- /1
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As operações com o operador nabla são todas análogas às operações feitas em vetores. Isto é, os 
produtos escalar e vetorial (entre vetores) e o produto entre um escalar e um vetor. O nabla é definido 
como 
nabla space equals space fraction numerator partial differential over denominator partial differential x end 
fraction i plus fraction numerator partial differential over denominator partial differential y end fraction j plus 
fraction numerator partial differential over denominator partial differential z end fraction k
 , ou seja, como as derivadas parciais de uma dada função.
Considerando essas informações e os estudos sobre campos vetoriais, é correto afirmar que o operador 
nabla sozinho não tem significado porque:
o número de componentes é diferente das funções em que opera.
Resposta corretaele é apenas um operador, assim, só tem significado atuando em algum campo.
a derivada de vetor tem significado diferente do de uma função.
ele é um vetor.
é possível somar as derivadas parciais.