Cálculo Vetorial AOL 4Comentários

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Pergunta 1 -- /1
Ao aplicar o teorema da divergência, é necessário resolver uma integral tripla. Para resolver uma integral tripla, 
trata-se de fazer três integrais por vez, cujas variáveis são dependentes uma das outras. Para tal, é necessário 
entender bem a região de integração para escrever os limites de integração. Fora isso, as variáveis que não 
estão sendo integradas são consideradas constantes.
Considerando essas informações e os estudos sobre divergente, analise as afirmativas a seguir e assinale V 
para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) Dado o campo vetorial 
F open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space x i plus y j plus z k , a 
integral double integral subscript s space F times d S space equals space 3 straight pi onde S é definido pela 
superfície do cilindro x squared plus y squared less or equal than 1 e 
0 less or equal than z less or equal than 1. 
II. ( ) Dado o campo vetorial 
F open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space x i plus y j plus z k , a 
integral double integral subscript S space F times d S space equals space 4 over 3 straight pi onde S é a 
esfera unitária x squared plus y squared plus z squared less or equal than 1.
III. ( ) Dado o campo vetorial 
F open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space 3 x i plus x y j plus 2 x z k , a 
integral double integral subscript S space F times d S space equals space 9 over 4 onde S é o cubo definido 
pelos planos x space equals space 0 , x space equals space 1, y space equals space 0,
y space equals space 1, z space equals space 0, z space equals space 1. 
IV. ( ) Dado o campo vetorial 
F open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space x y squared i plus y z 
squared j plus x squared z k
 , a integral double integral subscript S space F times d S space equals space 128 over 5 straight pi onde S é 
x squared plus y squared plus z squared less or equal than 4.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
V, V, F, F.
Resposta corretaV, F, V, V.
F, F, V, F.
V, F, F, V.
F, F, V, V.
Pergunta 2 -- /1
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g
Os Teoremas de Green, Gauss e Stokes são teoremas que facilitam o trabalho algébrico com as integrais de 
linha e superfície. Eles definem equivalências com outras integrais, de modo que não se calcule as integrais de 
linha e superfície por definição.É interessante, também, lançar um outro olhar sobre esses teoremas. Observar 
as diferenças e similaridades acerca de seus aspectos vetoriais também é fundamental. 
Considerando essas informações e os estudos sobre os teoremas de Green, Gauss e Stokes, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) O Teorema de Green é pautado em regiões simplesmente conexas.
II. ( ) Uma região R, que é delimitada por uma curva C que corta a si mesma, pode ser utilizada pelo Teorema de 
Green.
III. ( ) O Teorema de Gauss é pautado em um sólido delimitado por superfícies.
IV. ( ) O Teorema de Stokes é pautado em uma superfície orientada.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Resposta corretaV, F, V, V.
V, F, F, V.
F, F, V, V.
V, V, F, F.
F, F, V, F.
Pergunta 3 -- /1
O Teorema de Green relaciona uma integral de linha com uma integral dupla sobre uma região R. Para que seja 
válido o teorema, a curva C deve ser simples, ou seja 
r open parentheses c close parentheses space not equal to r open parentheses d close parentheses para 
todos os valores contidos no intervalo aberto da variação do parâmetro t. Somado a isso, a região R deve ser 
simplesmente conexa, ou seja, a curva C que delimita a região deve ser simples, e delimitar apenas pontos que 
pertencem a R.
Figura 6 – Regiões R2 e R3
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Fonte: (LARSON; EDWARDS, 2009)
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre Cálculo Vetorial, afirma-se que as regiões R2 
e R3 são regiões não contempladas pelo teorema porque:
Cálculo Vetorial_BQ04- Questão20_v1(1).png
Incorreta:
são regiões que se adéquam à definição de simplesmente conexas: R2 por conter furos e R3 por sua 
fronteira cruzar ela mesma.
são regiões que não se adéquam à definição de simplesmente conexas: R3 por conter furos e R2 por 
sua fronteira cruzar ela mesma.
são regiões delimitadas por uma curva C no sentido horário e anti-horário.
Resposta correta
são regiões que não se adéquam à definição de simplesmente conexas: R2 por 
conter furos e R3 por sua fronteira cruzar ela mesma.
são regiões delimitadas por uma curva C no sentido horário.
Pergunta 4 -- /1
O teorema de Stokes pode ser dito que é uma versão de uma dimensão maior que o de Green. Lembrando que 
ambos relacionam uma integral de caminho com uma integral sobre uma superfície. Porém, eles não o fazem da 
mesma maneira.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Stokes, pode-se dizer que o teorema 
de Green e de Stokes são diferentes porque:
o teorema de Green usa o operador rotacional e de Stokes o operador divergente.
as superfícies de integração possuem orientações diferentes.
o integrando da integral sobre a mesma superfície é diferente em cada um dos teoremas.
o teorema de Stokes é usado para campos escalares e o de Green campos vetoriais.
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Resposta corretaa superfície do teorema de Stokes é uma superfície cuja projeção no plano do 
caminho é a superfície do teorema de Green.
Pergunta 5 -- /1
O teorema de Green também é utilizado para simplificar a resolução de algumas integrais de caminho. Para 
tanto, é necessário verificar se a integral e a região satisfazem os requisitos do teorema. Fora isso, basta fazer 
as derivadas parciais e integrar sobre a região.
Considerando essas informações e os estudos sobre teorema de Green, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) Dado o campo vetorial 
F open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space open parentheses y minus e 
to the power of x close parentheses i plus open parentheses 2 x minus e to the power of y close parentheses j
, a integral na circunferência unitária x squared plus y squared equals 1 é 
ϕ subscript c space F times d r equals straight pi.
II. ( ) Dado o campo vetorial 
F open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space y squared i plus x squared j
 a integral na circunferência unitária x squared plus y squared equals space 1 space é 
ϕ subscript c space F times d r equals space 1.
III. ( ) Dado o campo vetorial 
F open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space y i plus x j, a integral na 
circunferência unitária x squared plus y squared space equals space 1 é 
ϕ subscript c space F times d r space equals space 2 straight pi.
IV. ( ) Dado campo vetorial 
F open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space x i space plus space y j, a 
integral no quadrado definido por negative 1 less or equal than x less or equal than 1 e 
negative 1 less or equal than y less or equal than 1 é ϕ subscript c space F times d r space equals space 0. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:V, V, F, F.
Resposta corretaV, F, V, V.
F, F, V, V.
V, F, F, V.
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F, F, V, F.
Pergunta 6 -- /1
O campo conservativo é extremamente relevante para a integral de linha do trabalho (W). Caso o campo seja 
conservativo, qualquer curva que une dois pontos pré-fixados no campo vetorial tem o mesmo valor numérico do 
trabalho. Esse campo é definido em termos de um gradiente de uma função escalar:
F open parentheses x comma y close parentheses space equals nabla f open parentheses x comma y close 
parentheses space equals space open parentheses A comma B comma C close parentheses
.
Em algumas situações não se sabe sobre a função f, mas, mesmo assim, é possível descobrir se um campo é 
ou não conservativo caso ele respeite as igualdades a seguir:
fraction numerator partial differential A over denominator partial differential y end fraction equals fraction 
numerator partial differential B partial differential A over denominator partial differential x partial differential z end 
fraction equals fraction numerator partial differential C partial differential B over denominator partial differential x 
partial differential z end fraction equals fraction numerator partial differential C over denominator partial 
differential Y end fraction
.
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre Cálculo Vetorial, pode-se dizer que 
F open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space x i plus y j plus z k é um 
campo conservativo porque:
o gradiente dessa função é nulo.
Resposta corretase verificou todas as igualdades supracitadas e todas verdadeiras.
o divergente dessa função é nulo.
as igualdades supracitadas possuem diferenças entre seus termos.
as igualdades serem válidas é uma condição necessária, mas não suficiente.
Pergunta 7 -- /1
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O teorema da divergência 
double integral subscript s space F times d S space equals space integral integral integral subscript v nabla 
times F d V
 substitui a avaliação da integral de uma superfície com a integral sobre o volume englobado pela superfície 
fechada. É necessário fazer a operação com cautela para não ter um resultado que não represente a soma 
desejada.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema da divergência, ordene as etapas a 
seguir de acordo com a sequência em que devem ser efetuados os passos para a utilização do teorema:
( ) Aplicar o operador divergente ao campo vetorial F.
( ) Definir o elemento de volume no sistema de coordenadas apropriados.
( ) Integrar sobre o volume V.
( ) Avaliar se a superfície S e o campo vetorial F satisfazem os requisitos do teorema.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
4, 3, 1, 2.
2, 1, 3, 4.
3, 4, 1, 2.
4, 1, 3, 2.
Resposta correta2, 3, 4, 1.
Pergunta 8 -- /1
As integrais de linha retomam conceitos do Teorema Fundamental do Cálculo, possibilitando o cálculo de 
integrais em um contexto vetorial. Para isso, porém, deve-se encontrar maneiras algébricas para se trabalhar 
com os objetos matemáticos, de modo a tornar viável o cálculo de integrais e derivadas.
Uma das maneiras algébricas de se trabalhar com alguns objetos é efetuando a parametrização. Considerando 
essas informações e os conteúdos estudados, pode-se dizer que a parametrização é de extrema importância 
para o Cálculo Vetorial porque:
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a parametrização é uma maneira de se definir limites integrativos.
a parametrização torna dispensável o trabalho com vetores.
Resposta correta
a parametrização é uma representação de uma função, ou seja, torna o objeto 
matemático integrável.
a parametrização é uma estrutura algébrica nula.
a parametrização faz com que a integral de linha independa de limites integrativos.
Pergunta 9 -- /1
Considere o exemplo a seguir da aplicação do teorema da divergência. Dado 
F open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space z i plus y j plus x k , integre 
sobre a esfera unitária x squared plus y squared plus z squared space equals space 1 . O divergente de F é 
nabla times F equals fraction numerator partial differential open parentheses z close parentheses over 
denominator partial differential x end fraction plus fraction numerator partial differential open parentheses y close 
parentheses over denominator partial differential y end fraction plus fraction numerator partial differential open 
parentheses z close parentheses over denominator partial differential z end fraction equals 1
 , integrando sobre 
integral integral integral subscript x squared plus y squared plus z squared less or equal than 1 end subscript d 
V
 que é o próprio volume da esfera, resultando em 
double integral subscript s space F times d S equals fraction numerator 4 straight pi over denominator 3 end 
fraction
.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema da divergência, pode-se dizer que o 
cálculo da integral foi facilitado porque:
Resposta corretao integrando nabla times F é mais simples de integrar. 
a superfície S é orientada para fora.
o lado direito é uma integral tripla de um campo vetorial.
só é possível resolver o lado direito do teorema da divergência.
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a superfície S é fechada.
Pergunta 10 -- /1
Uma das integrais de linhas mais importantes no Cálculo Vetorial é a integral de linha do trabalho (W) de uma 
partícula que se desloca ao longo de um campo vetorial (F). Essa integral é definida da seguinte forma:
W space equals space integral subscript c F times d r equals integral subscript a superscript b F open 
parentheses x open parentheses t close parentheses comma y open parentheses t close parentheses space left 
enclose space right enclose space end enclose comma space z open parentheses t close parentheses close 
parentheses times r to the power of l open parentheses t close parentheses d t
.
Existem, porém, inúmeras outras formas de se escrever essa integral, que podem variar conforma o contexto 
algébrico em que forem calculadas as integrais. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre a integral de linha do trabalho, analise as 
afirmativas a seguir.
I. W space equals integral subscript c M d x plus N d y é uma possível forma de se escrever essa igualdade.
II. W space equals space integral subscript c F times d t é uma possível forma de se escrever essa igualdade.
III. W space equals space integral subscript c F times d A é uma possível forma de se escrever essa 
igualdade.
IV. W space equals space integral subscript c M d x plus N d y plus P d z é uma possível forma de se escrever 
essa igualdade.
Está correto apenas o que se afirma em:
Resposta corretaI e IV.
I, II e IV.
I e III.
II e IV.
I e II