Cálculo Vetorial AOL 3

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Pergunta 1 -- /1
O campo divergente em R³ é definido na forma 
nabla times X with rightwards arrow on top space equals space fraction numerator partial differential A over 
denominator partial differential x end fraction plus fraction numerator partial differential B over denominator partial 
differential y end fraction plus fraction numerator partial differential C over denominator partial differential z end 
fraction
 , ou seja, é calculado a partir de um campo vetorial X with rightwards arrow on top . Desse modo, é 
necessário apenas conhecer os parâmetros desse campo vetorial X with rightwards arrow on top para que se 
efetue o cálculo do campo divergente nabla times X with rightwards arrow on top . Considere, portanto, o 
campo Vetorial 
X with rightwards arrow on top space equals space stack x i with rightwards arrow on top space plus space 
stack y j with rightwards arrow on top space plus space stack z k with rightwards arrow on top
.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre campo divergente no R³, afirma-se que o campo 
divergente do vetor em questão é 3, porque:
o campo vetorial é ortonormal.
cada uma de suas derivadas parciais vale 2.
Resposta corretacada uma de suas derivadas parciais vale 1.
o campo é definido em R³.
o campo vetorial tem seu contradomínio em R³.
Pergunta 2 -- /1
Para se calcular o laplaciano em uma função escalar de duas variáveis, basta fazer 
nabla times nabla f open parentheses x comma y close parentheses space equals space fraction numerator 
partial differential squared f open parentheses x comma y close parentheses over denominator partial differential 
x squared end fraction plus fraction numerator partial differential squared f open parentheses x comma y close 
parentheses over denominator partial differential y squared end fraction
 . Isto é, derive a função em x e y uma vez. Em seguida, derive-a em x e y novamente. Depois, basta somar o 
resultado obtido.
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Considerando essas informações e os estudos sobre Laplaciono, analise as afirmativas a seguir e assinale V 
para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) Dado f open parentheses x comma y close parentheses space equals space x cubed plus y cubed , o 
laplaciano é igual a 
nabla times nabla f open parentheses x comma y close parentheses space equals space 6 x plus 6 y
II. ( ) Dado f open parentheses x comma y close parentheses space equals space sin x plus cos y , o 
laplaciano é igual a 
nabla times nabla f open parentheses x comma y close parentheses space equals space f open parentheses x 
comma y close parentheses
III. ( ) Dado 
f open parentheses x comma y close parentheses space equals space e to the power of x y end exponent , o 
laplaciano é igual a 
nabla times nabla f open parentheses x comma y close parentheses space equals space open parentheses x 
squared plus y squared close parentheses e to the power of x y end exponent
IV. ( ) Dado 
f open parentheses x comma y close parentheses space equals space e to the power of x y end exponent plus 
e to the power of negative x y end exponent
 , o laplaciano é igual a 
nabla times nabla f open parentheses x comma y close parentheses space equals space 0
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
Resposta corretaV, F, V, F.
F, F, V, V.
V, F, F, V.
V, V, F, F.
F, F, V, F.
Pergunta 3 -- /1
Um campo divergente de uma função vetorial é definido em termos das derivadas parciais dessa função, 
respeitando suas componentes x, y e z. Existe uma maneira algébrica de efetuar o cálculo desse divergente, 
porém, é possível compreender os resultados algébricos por meio de representações imagéticas, tal como a 
figura a seguir: 
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Figura – Representação de um campo divergente
Considerando essas informações e a forma imagética de se compreender um divergente, afirma-se que a figura 
apresentada tem um campo divergente positivo porque:
Cálculo Vetorial_BQ03- Questão03_v1(1).png
a quantidade de flechas que entram e saem do elemento de volume são iguais.
há uma distância visível entre algumas flechas que estão dentro do elemento de volume representado 
pela caixa.
existem mais flechas entrando do que entrando no elemento de volume representado pela caixa.
Resposta correta
existem mais flechas saindo do que entrando no elemento de volume representado 
pela caixa.
a quantidade de flechas que entram e saem do elemento de volume é irrelevante.
Pergunta 4 -- /1
O operador divergente é definido como 
nabla times F space equals space P subscript x open parentheses x comma y comma z close parentheses 
space plus space Q subscript y open parentheses x comma y comma z close parentheses plus R subscript z 
open parentheses x comma y comma z close parentheses
 onde F open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space P i plus Q j plus R k
. Essa definição é feita com base no operador diferencial nabla, que leva em conta as derivadas parciais de uma 
determinada função.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado, pode-se dizer que o gradiente e o divergente são 
operadores diferentes porque:
as derivadas são feitas em sistemas de coordenadas diferentes.
as derivadas parciais não estão definidas para vetores.
as derivadas são em primeira ordem no gradiente, enquanto no divergente são em segunda.
os módulos dos campos vetoriais do gradiente e do divergente são diferentes.
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os módulos dos campos vetoriais do gradiente e do divergente são diferentes.
Resposta correta
o gradiente atua em um campo escalar, resultando em um campo vetorial, enquanto 
o divergente faz o contrário.
Pergunta 5 -- /1
Os campos divergente, gradiente e rotacional são calculados dados certos tipos de campos: escalares ou 
vetoriais. Saber identificar os tipos de campo, portanto, é primordial para a manipulação algébrica dos 
divergentes, gradientes e rotacionais.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre campos vetoriais escalares, analise as 
afirmativas a seguir.
I. 
F with rightwards arrow on top space equals space stack x i with rightwards arrow on top space plus stack y j 
with rightwards arrow on top plus space stack z k with rightwards arrow on top
.
II. Error converting from MathML to accessible text. é um campo vetorial.
III. f open parentheses x comma y close parentheses space equals space x y é uma função na qual se pode 
calcular o campo divergente.
IV. 
A open parentheses x comma y close parentheses space equals space open parentheses 2 x comma space 2 
x y close parentheses
 é um campo escalar. 
Está correto apenas o que se afirma em:
II e IV.
I e II.
Resposta corretaI, II e III.
I, II e IV.
I e IV.
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Pergunta 6 -- /1
Identificar a natureza dos campos gradientes, divergentes e rotacionais é fundamental para que se estabeleçam 
relações entre eles. As naturezas desses campos podem ser escalares ou vetoriais, ou seja, depender de um 
valor numérico ou de um vetor para cada ponto de seu domínio.
Considerando essas informações e o conteúdoestudado acerca de campos gradientes, divergentes e 
rotacionais, analise as afirmativas a seguir.
I. É possível o cálculo de um divergente de um campo rotacional.
II. É possível o cálculo de um rotacional de um campo divergente.
III. É possível calcular um divergente de um campo gradiente.
IV. É possível calcular um gradiente de um campo rotacional.
Está correto apenas o que se afirma em:
I, III e IV.
Resposta corretaI e III.
I e II.
II, III e IV.
II e IV.
Pergunta 7 -- /1
Os campos divergentes, gradientes e rotacionais são definidos com base nos campos escalares e vetoriais em 
que são calculados. Além disso, a forma algébrica de cada campo é diferente, mas sempre levando em conta o 
operador diferencial nabla ( nabla . Somado a isso, os campos supracitados têm sentidos físico e geométrico, 
que não são evidentes apenas quando se observa algebricamente essas estruturas matemáticas.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de campos gradientes, divergentes e 
rotacionais, analise as afirmativas a seguir.
I. O sentido geométrico de um gradiente está relacionado à direção e sentido de maior variação da função.
II. O sentido físico de um divergente está relacionado à ‘entrada’ e ‘saída’ de flechas em um determinado volume 
infinitesimal.
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III. O sentido físico de um rotacional está na possibilidade de rotação de um objeto infinitesimal acerca de si 
mesmo.
IV. O operador diferencial nabla tem um sentido físico de translação.
Está correto apenas o que se afirma em:
I, III e IV.
Resposta corretaI, II e III.
II e IV.
I e II.
II, III e IV.
Pergunta 8 -- /1
Um campo gradiente de uma função escalar é definido em termos das derivadas parciais dela. Portanto, para 
uma função f open parentheses x comma y close parentheses , o campo gradiente é definido da seguinte 
forma: 
nabla with rightwards arrow on top f open parentheses x comma y close parentheses space equals space 
open parentheses fraction numerator partial differential f over denominator partial differential x end fraction 
comma fraction numerator partial differential f over denominator partial differential y end fraction close 
parentheses
.
Considerando essa definição e o conteúdo estudado sobre campos vetoriais, afirma-se que o campo 
A open parentheses x comma y close parentheses space equals space open parentheses 2 x comma 2 x y 
close parentheses
 não é um campo gradiente porque: 
o domínio da função faz parte do conjunto numérico dos reais.
o campo em questão é um campo escalar.
o campo em questão tem inúmeras derivadas.
o gradiente é definido em termos de mais derivadas.
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Resposta correta
há uma impossibilidade de determinação da função 
f open parentheses x comma y close parentheses .
Pergunta 9 -- /1
Para calcular o gradiente de uma função escalar, basta fazer as derivadas parciais da mesma. Esse campo 
escalar é definido a partir de um operador diferencial conhecido como operador nabla, que é escrito da seguinte 
forma:
nabla with rightwards arrow on top space equals open parentheses fraction numerator partial differential over 
denominator partial differential x end fraction comma fraction numerator partial differential over denominator 
partial differential y end fraction comma fraction numerator partial differential over denominator partial differential 
z end fraction close parentheses
 .
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre gradiente, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) O gradiente de 
f open parentheses x comma y close parentheses space equals space x squared y minus y cubed é 
nabla with rightwards arrow on top f open parentheses x comma y close parentheses space equals space 2 x 
y i plus open parentheses x squared space minus space 3 y squared close parentheses j
.
II. ( ) O gradiente de 
f open parentheses x comma y close parentheses space equals space ln open parentheses x space plus 
space 2 y close parentheses
 é 
nabla with rightwards arrow on top f open parentheses x comma y close parentheses space equals space 
fraction numerator 1 over denominator x plus 2 y end fraction i plus fraction numerator 2 over denominator x plus 
2 y end fraction
.
III. ( ) O gradiente de 
f open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space x cos y over z é 
nabla with rightwards arrow on top f open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals 
space cos y over z i minus x over z sin y over z j minus x over z squared sin y over z k
.
IV. ( ) O gradiente de 
f open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space square root of x squared plus 
y squared plus z squared end root
 é 
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nabla with rightwards arrow on top f open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals 
space fraction numerator 1 over denominator cube root of open parentheses x squared plus y squared plus z 
squared close parentheses squared end root end fraction open parentheses x i space plus space y j plus z k 
close parentheses
.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
V, V, F, F.
Resposta corretaV, V, F, V.
F, F, V, F.
F, F, V, V.
V, F, F, V.
Pergunta 10 -- /1
O campo gradiente de uma função dá a noção de como essa, como um todo, varia. Por isso, é importante saber 
associar a função com seu respectivo gradiente. Essa visão geral de como a função varia é pautada em uma 
associação de cada ponto do domínio com um vetor.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de gradiente e da representação gráfica de 
campos vetoriais, associe os gradientes a seguir com os seus campos escalares:
1) 
2)
3)
Cálculo Vetorial_BQ03- Questão15_1_v1(1).png
Cálculo Vetorial_BQ03- Questão15_2_v1(1).png
Cálculo Vetorial_BQ03- Questão15_3_v1(1).png
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4)
( ) f open parentheses x comma y close parentheses space equals space x y
( ) f open parentheses x comma y close parentheses space equals space x squared minus y squared
( ) f open parentheses x comma y close parentheses space equals space x plus y
( ) f open parentheses x comma y close parentheses space equals space x squared plus y squared
Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Cálculo Vetorial_BQ03- Questão15_4_v1(1).png
2, 1, 3, 4.
3, 4, 1, 2.
Resposta correta1, 3, 4, 2.
1, 4, 3, 2.
2, 3, 1, 4