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01/11/2021 00:12 Comentários
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Conteúdo do exercício
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Pergunta 1 -- /1
As integrais variam sua utilidade conforme os objetos matemáticos que elas integram. Integrais de uma 
variável costumam mensurar áreas sob curvas, integrais duplas com funções de duas variáveis podem 
calcular volumes e integrais triplas também podem mensurar volumes.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integrais para funções de várias 
variáveis e integrais múltiplas, analise as afirmativas a seguir:
I. V subscript G space equals space integral integral integral subscript G d x d y d z é uma integral que 
mensura volume.
II. 
V space equals space integral integral subscript R script capital f open parentheses x comma y close 
parentheses d x d y
 , sendo uma integral em uma região retangular, tem a função de mensurar volume.
III. Um volume infinitesimal em três dimensões pode ser escrito da seguinte forma: 
d V equals space d x cross times space d y cross times d z.
IV. As coordenadas cartesianas são melhores para a resolução de integrais do que outras coordenadas.
Está correto apenas o que se afirma em:
I e II.
II e IV.
9/10
Nota final
Enviado: 01/11/21 00:02 (BRT)
01/11/2021 00:12 Comentários
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I, III e IV.
I, II e IV.
Resposta corretaI, II e III.
Pergunta 2 -- /1
Vetor e campo vetorial são conceitos importantes para o estudo de Cálculo Vetorial. Ambos auxiliam, por 
exemplo, no entendimento do objeto matemático chamado integral de linha
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de campos vetoriais, vetores e integral de 
linha, analise as afirmativas a seguir:
I. A função 
F with rightwards arrow on top open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals 
space script capital f open parentheses x comma y comma z close parentheses I with hat on top plus g 
open parentheses x comma y comma z close parentheses j with hat on top plus h open parentheses x 
comma y comma z close parentheses k with hat on top
 descreve um campo vetorial.
II. A integral de linha mensura o efeito geral de um campo ao longo de uma curva específica.
III. integral subscript c script capital f d s é uma representação de uma integral de linha.
IV. Um vetor possuí dois parâmetros básicos: sentido e módulo.
Está correto apenas o que se afirma em:
II e IV.
I, III e IV.
I e II.
II, III e IV.
Resposta corretaI, II e III.
Pergunta 3 -- /1
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Ao descrever uma função em um dado sistema de coordenadas e fazer a mudança de um sistema de 
coordenadas para outro, é necessário ter cautela para escrever corretamente os elementos de área ou 
volume, caso contrário, o resultado da integração pode ficar comprometido.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de sistemas de coordenadas, analise as 
afirmativas a seguir:
I. O elemento de área em coordenadas polares é d A space equals space r d r d theta.
II. O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é d V space equals space r d r d theta d z.
III. O elemento de volume em coordenadas esféricas é d V space equals space r sin phi d r d phi d theta.
IV. Dada uma função script capital f open parentheses x comma y comma z close parentheses em 
coordenadas cartesianas. Em coordenadas esféricas, ela é escrita como f.
Está correto apenas o que se afirma em:
I e II.
Resposta corretaI, II e IV.
II e III.
I, III e IV.
II e IV.
Pergunta 4 -- /1
A soma de Riemann em uma variável consiste de dividir uma curva em n retângulos de largura delta 
increment x , sendo a área da curva aproximadamente a soma da área dos retângulos. Em duas 
variáveis, a soma de Riemann é: 
begin inline style sum from i equals 1 to n of end style begin inline style sum from j space equals space 1 
to m of end style script capital f open parentheses x i comma y i close parentheses increment x increment y
 , onde x e y são pontos amostrais.
Tendo em vista a definição apresentada, analise os procedimentos e ordene as etapas a seguir, de acordo 
com a sequência na qual devem ser efetuados os passos para a utilização da soma de Riemann:
I. ( ) Definir o número de retângulos n e m e suas respectivas larguras increment x e increment y.
II. ( ) Fazer o produto dos termos do somatório.
III. ( ) Avaliar a função usando os pontos amostrais escolhido pela regra do ponto médio por exemplo.
IV. ( ) Fazer a soma de todos os termos do somatório.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
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4, 3, 2, 1.
3, 4, 1, 2.
Resposta correta1, 3, 2, 4.
1, 2, 4, 3.
2, 1, 3, 4.
Pergunta 5 -- /1
Quando se faz a integral em uma função de uma variável, é suficiente dois pontos para definir uma região 
de integração. Ao ir para duas variáveis por exemplo, para definir as regiões no plano xy utiliza-se curvas. 
Porém, há uma possibilidade que não existe no caso de uma variável, que é a integração de 
f open parentheses x comma y close parentheses ao longo de uma curva no plano xy. Isso se chama 
integral de linha.
 Acerca dos seus conhecimentos de integral de caminho, é correto afirmar que a parametrização é 
necessária porque:
não é possível derivar a função sem parametrizar.
sem parametrizar a curva o resultado da integral seria diferente.
a parametrização representa a variável dependente 
f open parentheses x comma y close parentheses ao longo da linha.
Resposta correta
uma curva, mesmo que no plano xy, possui apenas um parâmetro livre e para se 
integrar é necessário escrever x e y em função desse parâmetro integrável.
representa o elemento de comprimento é d s space equals space d x space plus space d y .
Pergunta 6
--
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Pergunta 6
Integrais em uma ou mais variáveis são essencialmente somas que se faz em uma função de interesse. A 
soma possui certas propriedades, como, por exemplo, 
open parentheses a plus b close parentheses asterisk times c equals a asterisk times c plus b asterisk 
times c
.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca das propriedades das integrais de várias 
variáveis, analise as afirmativas a seguir:
I. Dada as funções script capital f open parentheses x comma y close parentheses e 
g open parentheses x comma y close parentheses , temos que
integral integral open square brackets script capital f open parentheses x comma y close parentheses 
plus g open parentheses x comma y close parentheses close square brackets d x d y space equals space 
integral integral script capital f open parentheses x comma y close parentheses d x d y plus integral integral 
g open parentheses x comma y close parentheses d x d y
.
II. Sendo c uma constante, 
integral integral c f open parentheses x comma y close parentheses d x d y space equals space c space 
integral integral space script capital f open parentheses x comma y close parentheses d x d y
.
III. Se 
script capital f open parentheses x comma y close parentheses greater or equal than g open parentheses 
x comma y close parentheses
 , então 
double integral g open parentheses x comma y close parentheses d x d y greater or equal than double 
integral script capital f open parentheses x comma y closeparentheses d x d y
.
IV. Dada as funções script capital f open parentheses x comma y close parentheses e 
g open parentheses x comma y close parentheses , temos que 
double integral script capital f open parentheses x comma y close parentheses g open parentheses x 
comma y close parentheses d x d y space equals space double integral script capital f open parentheses x 
comma y close parentheses d x d y double integral g open parentheses x comma y close parentheses d x d 
y
.
Está correto apenas o que se afirma em:
Resposta corretaI e II.
I, III e IV.
II e IV.
Incorreta: I, II e IV.
II e III.
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Pergunta 7 -- /1
Uma função de duas variáveis associa um ponto (x, y) a um valor numérico, também chamado de escalar, 
z. Em um campo vetorial de duas variáveis, no entanto, cada ponto do espaço tem um outro conjunto de 
pontos associado, que é o que chamamos de vetor.
Com base nos seus conhecimentos acerca da representação gráfica de campos vetoriais, associe os itens 
a seguir com os seus campos vetoriais:
1) 
2)
3)
4)
( ) f open parentheses x comma y close parentheses space equals space x i plus y j.
( ) f open parentheses x comma y close parentheses space equals space 1 i plus 1 j.
( ) f open parentheses x comma y close parentheses space equals space sin x i plus sin y j.
( ) f open parentheses x comma y close parentheses space equals space minus y i plus x j.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Cálculo Vetorial_BQ02 - Questão18_01_v1(1).png
Cálculo Vetorial_BQ02 - Questão18_02_v1(1).png
Cálculo Vetorial_BQ02 - Questão18_03_v1(1).png
Cálculo Vetorial_BQ02 - Questão18_04_v1(1).png
Resposta correta2, 4, 3, 1.
4, 2, 3, 1.
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2, 3, 1, 4.
1, 4, 3, 2.
3, 4, 1, 2.
Pergunta 8 -- /1
Quando for conveniente mudar de coordenadas, além de saber reescrever a função e o elemento de área 
ou volume, também é necessário reescrever a região onde ocorre a integração.
De acordo com essas informações e seus conhecimentos de integração, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A integração double integral f open parentheses x comma y close parentheses d x d y em 
R space equals space open curly brackets open parentheses x comma y close parentheses V space x 
squared plus y squared less or equal than 4 e x greater or equal than 0 close curly brackets
 equivale a double integral f open parentheses r comma theta close parentheses r squared d r d theta
 em 
D space equals space open curly brackets open parentheses r comma theta close parentheses V space 
0 less or equal than r less or equal than 4 e fraction numerator negative straight pi over denominator 2 end 
fraction less or equal than 0 less or equal than straight pi over 2 close curly brackets
.
II. ( ) A integração 
double integral f open parentheses r comma theta close parentheses r squared d r d theta em 
R space equals space open curly brackets open parentheses r comma theta close parentheses left 
enclose r less or equal than 5 end enclose close curly brackets
 representa uma integração apenas nos quadrantes do plano cartesiano onde x é positivo.
III. ( ) A integração em double integral f open parentheses x comma y close parentheses d x d y em 
R space equals space open curly brackets open parentheses x comma y close parentheses V space x 
comma space y element of R close curly brackets
 equivale a 
2 straight pi integral subscript 0 superscript infinity straight f left parenthesis straight r right parenthesis 
straight r squared dr
 , se a função f open parentheses x comma y close parentheses tiver simetria radial. 
IV. ( ) A região de integração pode ser diferente a depender do sistema de coordenadas.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
V, V, F, F.
V, F, F, V.
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F, F, V, V.
V, V, V, F.
Resposta corretaV, F, V, F.
Pergunta 9 -- /1
O resultado de uma derivada ou integral deve independer da escolha de coordenadas para representar o 
espaço. Isso faz sentido pois, dado um problema, resolvê-lo por um método ou outro não o altera.
Acerca dos seus conhecimentos de coordenadas espaciais, pode-se afirmar que é conveniente utilizar 
coordenadas cilíndricas ou esféricas em alguns problemas porque:
reduz o número de coordenadas e integrais.
só é possível resolver algumas integrais em uma coordenada específica.
permite integrar em qualquer ordem as coordenadas.
Resposta correta
a simetria do problema, sendo cilíndrica ou esférica, torna a resolução da 
integral mais simples nessas coordenadas.
reduz uma integral tripla em um produto de três integrais.
Pergunta 10 -- /1
As integrais triplas são utilizadas para efetuar cálculos de volumes de sólidos. Porém, existem inúmeros 
jeitos de se mensurar numericamente esses volumes. Um exemplo disso é a mudança de coordenadas, 
podendo ser cilíndrica, esférica ou cartesiana. Tenha como base a seguinte integral tripla:
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V space equals space integral subscript 0 superscript 2 n end superscript integral subscript 0 superscript 
3 integral subscript r squared end subscript superscript 9 space r d z d r d 0
.
Tendo em vista seus conhecimentos acerca de integrais triplas em diversas coordenadas, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) r d z d r d 0 refere-se ao diferencial de volume dV.
II. ( ) A integral será efetuada primeiro com relação a z, depois com relação a r e por último com relação a 
0.
III. ( ) A integral está escrita em coordenadas esféricas.
IV. ( ) Essa integral mensura a área de uma região no plano xy.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
V, F, V, F.
V, F, F, V.
Resposta corretaV, V, F, F.
F, V, F, V.
F, V, V, F.