Avaliação 2 - Geometria Analítica e Álgebra Vetorial

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GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:686843)
Peso da Avaliação
1,50
Prova
39737542
Qtd. de Questões
10
Acertos/Erros
10/0
Nota
10,00
Questão 1
Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. Seu resultado difere do produto escalar por
ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu principal uso baseia-se no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre
perpendicular a ambos os vetores originais. Quanto ao resultado do produto escalar entre u = (1,0,4) e v = (1,-1,0), classifique V para as
opções verdadeiras e F para as falsas: 
 
(    ) u x v = 1. 
(    ) u x v = -1. 
(    ) u x v = 4. 
(    ) u x v = -4. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - F - F - F.
B F - V - F - F.
C F - F - V - F.
D F - F - F - V.
 
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Questão 2
Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de núcleo, imagem, juntamente a suas respectivas
dimensões para um entendimento teórico do problema encontrado. Baseado nisto, considere T, um operador linear de R³ em R³: 
 
T(x,y,z) = (z, x - y, -z) 
 
Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta uma base para a imagem deste operador:
A [(0,1,0); (0,-1,0);(1,0,-1)].
B [(0,-1,0);(1,0,-1)].
C [(1,0,0); (1,-1,0);(1,0,-1)].
D [(0,1,0);(1,0,-1)].
 
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Questão 3
A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, com as operações de adição e multiplicação por números reais
forma a ideia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto,
uma operação de adição de elementos deste conjunto, e uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, números reais) por
elementos deste conjunto. A respeito das propriedades dos espaços vetoriais, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
(    ) Os espaços vetoriais preservam as operações de soma e multiplicação por escalar. 
(    ) Os espaços vetoriais de podem ser imaginados como domínio de contradomínio de operações lineares. 
(    ) A base de um espaço é um conjunto LI que gera todos os elementos de um espaço. 
(    ) A base de um espaço é um conjunto LD que gera todos os elementos de um espaço. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - F - V - F.
B V - V - F - F.
C F - V - V - F.
D V - V - V - F.
 
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Questão 4
Quando trabalha-se com vetores do espaço vetorial R³, pode-se combinar o produto escalar com o produto vetorial para definir uma nova
operação entre três vetores. A esta operação damos o nome de produto misto, porque o resultado é uma quantidade escalar. Em particular, o
módulo deste resultado nos calcula o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. Sobre o exposto, classifique V para as sentenças
verdadeiras e F para as falsas: 
 
(    ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 19. 
(    ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 38. 
(    ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 15. 
(    ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 12. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - F - V - F.
B F - V - F - F.
C V - F - F - F.
D F - F - F - V.
 
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Questão 5
A norma ou módulo de um vetor trata da verificação de qual é o comprimento do vetor analisado. Fisicamente, o módulo do vetor informa
qual a intensidade da grandeza física envolvida em um dado problema. Sendo assim, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a norma
(ou módulo) do vetor z = (-2,4):
A Raiz de 10.
B 4.
C Raiz de 20.
D 2.
 
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Questão 6
O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento no eletromagnetismo, mecânica de corpos rígidos e dos
fluidos. Na matemática, o produto vetorial aplica-se a vetores em R³ resolvendo problemas na geometria, no qual o produto entre dois vetores
tem como solução um novo vetor, simultaneamente ortogonal aos outros dois. Baseado nisto, quanto ao produto vetorial (u x v) entre os
vetores u = (0,2,2) e v = (3,0,2), analise as opções a seguir: 
 
I- u x v = (4,6,-6). 
II- u x v = (0,6,4). 
III- u x v = (0,-6,6). 
IV- u x v = (-4,6,-6). 
 
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção II está correta.
B Somente a opção III está correta.
C Somente a opção I está correta.
D Somente a opção IV está correta.
 
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Questão 7
Uma das aplicações mais práticas do conceito de produto vetorial é o cálculo de área. Por exemplo, temos a área do paralelogramo formada
pela unificação de dois vetores, que é o módulo (ou norma) do produto vetorial entre os dois. Já para o caso da área do triângulo, bastaria
dividir este resultado por dois, pois a área do triângulo é a metade da área do paralelogramo. Determine a área do triângulo formado pelos
vetores u = (1,2,0) e v = (0,1,2):
A Somente a opção I está correta.
B Somente a opção III está correta.
C Somente a opção IV está correta.
D Somente a opção II está correta.
 
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Questão 8
As operações vetoriais existentes são a soma e a multiplicação por um escalar. Combinando estas operações, podemos realizar uma série de
outros vetores que podem ser aplicados em diversas áreas. Sendo assim, dados os vetores u = (1, -2) e v = (3,-3), quanto à opção que
apresenta o vetor resultante da operação w = u - 2v, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas: 
 
(    ) w = (4,5). 
(    ) w = (-1,-1). 
(    ) w = (-5,4). 
(    ) w = (2,-1). 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - F - F - F.
B V - V - F - V.
C F - V - F - F.
D F - F - V - F.
 
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Questão 9
Uma transformação linear é um tipo de função que opera vetores de diferentes espaços vetoriais. Em especial, para poder afirmar que uma
transformação é linear, temos que verificar se ela preserva as operações de soma, e multiplicação por um escalar. Considerando a imagem do
vetor (1, -2, 4) quando aplicado na transformação a seguir, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
A F - F - V - F.
B F - V - F - F.
C V - F - F - F.
D F - F - F - V.
 
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Questão 10
Os problemas ligados ao conceito de autovalores, vistos em Álgebra Linear, permeiam muito mais do que estamos acostumados a verificar.
Não são apenas as raízes do polinômio característico de uma transformação linear, mas sim o problema clássico de autovalores, que é
absolutamente essencial para a compreensão e a análise de estruturas simples, tais como treliças, vigas, pórticos, placas etc., como também
de sistemas estruturais mais complexos, dentre os quais podem ser citados os seguintes: pontes rodoviárias e ferroviárias, torres de aço de
telecomunicações e de transmissão de energia, estádios de futebol, passarelas de pedestres, edificações residenciais, edifícios altos,
plataformas off-shore etc. Sobre a soma dos autovalores da transformação apresentada a seguir, classifique V para as opções verdadeiras e F
para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - F - F.
B V - F - F - F.
C V - V - F - V.
D F - F - V - F.
 
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