Primeira Avaliacao (CA-T05) - Soluções - 2021-1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Disciplina: Cálculo A Turma: T05
Prof.: Adriano Veiga de Oliveira Data: 18/10/2021
Nome do Aluno:
- Escreva todos os cálculos necessários na solução de cada problema.
- Respostas sem justificativas não serão aceitas.
- O prazo final para o envio das soluções é até as 11 : 30h da manhã de hoje. Boa Prova.
Primeira Avaliação
1. (7, 5 pts) Calcule os seguintes limites.
(a) lim
x→3
x2 − 2x− 3
x3 − 3x2 − 2x + 6
Solução Observe inicialmente que se tentarmos substituir diretamente x por 3, che-
gamos a uma indeterminação do tipo
0
0
. No entanto, se x 6= 3, temos
lim
x→3
x2 − 2x− 3
x3 − 3x2 − 2x + 6
= lim
x→3
(x− 3)(x + 1)
(x− 3)(x2 − 2)
= lim
x→3
x + 1
x2 − 2
=
4
7
.
(b) lim
x→1
√
x + 8− 3
x− 1
Solução Observe inicialmente que se tentarmos substituir diretamente x por 1, che-
gamos a uma indeterminação do tipo
0
0
. No entanto, se x 6= 1, temos
lim
x→1
√
x + 8− 3
x− 1
= lim
x→1
(
√
x + 8− 3)(
√
x + 8 + 3)
(x− 1)(
√
x + 8 + 3)
= lim
x→1
(
√
x + 8)2 − 32
(x− 1)(
√
x + 8 + 3)
=
= lim
x→1
x + 8− 9
(x− 1)(
√
x + 8 + 3)
= lim
x→1
x− 1
(x− 1)(
√
x + 8 + 3)
=
= lim
x→1
1√
x + 8 + 3
=
1√
9 + 3
=
1
6
.
(c) lim
x→−2−
x− 9
2x2 + 3x− 2
Solução Observe que lim
x→−2−
(x− 9) = −11 < 0 e lim
x→−2−
(2x2 + 3x− 2) = 0. Assim, já
podemos afirmar que esse limite será ±∞. Além disso, quando x se aproxima de
−2 pela esquerda, o denominador aproxima-se de zero através de valores positivos.
Portanto,
lim
x→−2−
x− 9
2x2 + 3x− 2
= −∞.
(d) lim
x→0
(x + 1)2 − 1
x2 + x
Solução Observe inicialmente que se tentarmos substituir diretamente x por 0, che-
gamos a uma indeterminação do tipo
0
0
. No entanto, se x 6= 0, temos
lim
x→0
(x + 1)2 − 1
x2 + x
= lim
x→0
x2 + 2x + 1− 1
x2 + x
= lim
x→0
x2 + 2x
x2 + x
= lim
x→0
x(x + 2)
x(x + 1)
= lim
x→0
x + 2
x + 1
= 2.
(e) lim
x→−∞
2x− 1√
x2 − 5x + 1
Solução Tanto o numerador como o denominador tendem a ∞, logo temos uma inde-
terminação do tipo
∞
∞
. Assim, faremos a seguinte manipulação algébrica para obter o
limite:
lim
x→−∞
2x− 1√
x2 − 5x + 1
= lim
x→−∞
x
(
2− 1
x
)
√
x2
(
1− 5
x
+ 1
x2
) = limx→−∞ x
(
2− 1
x
)
−x
√
1− 5
x
+ 1
x2
=
= lim
x→−∞
2− 1
x
−
√
1− 5
x
+ 1
x2
=
2− 0
−
√
1− 0 + 0
= −2.
2. (1, 5 pts) Encontre os valores de A e B que tornam a função
f(x) =

x2 + Ax + 2
x− 2
, se x < 2
A + 2Bx, se x ≥ 2
cont́ınua em toda parte.
Solução: A função f será cont́ınua em x = 2 se
lim
x→2−
x2 + Ax + 2
x− 2
= lim
x→2+
(A + 2Bx)
Como lim
x→2−
(x− 2) = 0, para que o limite à esquerda exista, precisamos que
lim
x→2−
(x2 + Ax + 2) = 0,
ou seja, 4 + 2A + 2 = 0 =⇒ 2A + 6 = 0 =⇒ A = −3. Desta forma,
lim
x→2−
x2 + Ax + 2
x− 2
= lim
x→2+
(A + 2Bx)
lim
x→2−
x2 − 3x + 2
x− 2
= lim
x→2+
(−3 + 2Bx)
lim
x→2−
(x− 2)(x− 1)
x− 2
= −3 + 4B
lim
x→2−
(x− 1) = −3 + 4B
1 = −3 + 4B
4B = 4
B = 1.
3. (1 pt) Encontre as asśıntotas horizontais e verticais da função f(x) =
x− 9
x2 − 6x + 9
.
Solução: Para encontrar as asśıntotas horizontais devemos calcular os limites no infi-
nito da função f(x) =
x− 9
x2 − 6x + 9
.
Assim, calculamos
lim
x→±∞
x− 9
x2 − 6x + 9
= lim
x→±∞
x
(
1− 9
x
)
x2
(
1− 6
x
+ 9
x2
) = lim
x→±∞
1− 9
x
x
(
1− 6
x
+ 9
x2
) =
= lim
x→±∞
1
x
·
1− 9
x
1− 6
x
+ 9
x2
= 0 · 1− 0√
1− 0 + 0
= 0.
Logo, a reta y = 0 é uma asśıntota horizontal do gráfico da função.
Agora, para encontrar as asśıntotas verticais, devemos encontrar o limite da função
f(x) quando x se aproxima dos valores que são ráızes do denominador da função
racional. Assim, como x2 − 6x + 9 = 0 =⇒ x = 3, calculamos
lim
x→3
x− 9
x2 − 6x + 9
= lim
x→3
x− 9
(x− 3)2
= −∞.
Logo, a reta x = 3 é uma asśıntota vertical do gráfico da função.