Limites laterais

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LIMITES LATERAIS 
 
a) Limite Lateral à direita: 
Definição: Seja 𝑓 uma função definida em um intervalo aberto (𝑎, 𝑐). Dizemos que um 
número 𝐿 é o limite à direita da função 𝑓 quando 𝑥 tende para 𝑎 e escrevemos: 
lim
𝑥 → 𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 
Se para todo 𝜀 > 0 (é𝑝𝑠𝑖𝑙𝑜𝑛 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑧𝑒𝑟𝑜), existe um 𝛿 > 0 
(𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑧𝑒𝑟𝑜), tal que: |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 sempre que 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝛿. 
 
 
b) Limite Lateral à esquerda: 
Definição: Seja 𝑓 uma função definida em um intervalo aberto (𝑑, 𝑎). Dizemos que um 
número 𝐿 é o limite à esquerda da função 𝑓 quando 𝑥 tende para 𝑎 e escrevemos: 
lim
𝑥 → 𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 
Se para todo 𝜀 > 0 (é𝑝𝑠𝑖𝑙𝑜𝑛 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑧𝑒𝑟𝑜), existe um 𝛿 > 0 
(𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑧𝑒𝑟𝑜), tal que: |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 sempre que 𝑎 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑎. 
lim
𝑥 → 3+
𝑓(𝑥) 𝑒 lim
𝑥 → 3−
𝑓(𝑥) 
 
 
Ex.1: Dada a função 𝑓(𝑥) = (1 + √𝑥 − 3), determinar, se possível: 
lim
𝑥 → 3+
𝑓(𝑥) 𝑒 lim
𝑥 → 3−
𝑓(𝑥) 
Resolução: 
1º) Vamos calcular o limite à direita (onde 𝑥 se aproxima de 3 por valores maiores 
que 3): 
⇒ lim
𝑥 → 3+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥 → 3+
(1 + √𝑥 − 3) = ( lim
𝑥 → 3+
 1 + √ lim
𝑥 → 3+
𝑥 − 3) 
 = 1 + √0 = 1 + 0 = 𝟏 
 
2º) Vamos calcular o limite à esquerda (onde 𝑥 se aproxima de 3 por valores 
menores que 3): 
Obs.: 𝑓(𝑥) só é definida se 𝑥 − 3 ≥ 0 ou seja 𝑥 ≥ 3, logo não existe lim
𝑥 → 3−
𝑓(𝑥). 
 
Ex.2: Seja 𝑓(𝑥) = {{
− |𝑥|
𝑥
 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0
1 𝑠𝑒 𝑥 = 0
 . 
Determinar lim
𝑥 → 0+
𝑓(𝑥) 𝑒 lim
𝑥 → 0−
𝑓(𝑥) . Esboçar o gráfico. 
 
Resolução: 
1º) Vamos calcular o limite à direita (onde 𝑥 se aproxima de 0 por valores maiores 
que 0): 
Se 𝑥 > 0 então |𝑥| = 𝑥 e 𝑓(𝑥) = 
− 𝑥
𝑥
 = - 1. 
Logo, lim
𝑥 → 0+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥 → 0+
− 1 = −𝟏. 
 
2º) Vamos calcular o limite à esquerda (onde 𝑥 se aproxima de 0 por valores 
menores que 0): 
Se 𝑥 < 0 então |𝑥| = − 𝑥 e 𝑓(𝑥) = 
− (− 𝑥) 
𝑥
 = 1. 
Portanto, lim
𝑥 → 0−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥 → 0−
1 = 𝟏. 
 
3º) Limites laterais são iguais? 
 lim
𝑥 → 0+
𝑓(𝑥) ≠ lim
𝑥 → 0−
𝑓(𝑥) , 𝑝𝑜𝑖𝑠 − 1 ≠ 1, . 
 
4º) Esboço do gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑦 
𝑥 
1 
- 1 
Aberto em – 1 
( − 1 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0) 
fechado em 1 
( 1 𝑠𝑒 𝑥 = 0) 
Salto entre os 
limites 
Teorema: 
Se 𝑓 é definida em um intervalo aberto contendo 𝑎, exceto possivelmente no ponto 𝑎, 
então lim
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 se e somente se: 
lim
𝑥 → 𝑎+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥 → 𝑎−
𝑓(𝑥) 
 
 
 
Ex.3: Seja 𝑓(𝑥) = {
𝑥2 + 1 𝑠𝑒 𝑥 < 2
 2 𝑠𝑒 𝑥 = 2
9 − 𝑥 2 𝑠𝑒 𝑥 > 2
 . 
Determinar, se existirem, lim
𝑥 → 2+
𝑓(𝑥) , lim
𝑥 →2−
𝑓(𝑥) 𝑒 lim
𝑥 →2
𝑓(𝑥) . Esboçar o gráfico da 
função. 
 
Resolução: 
1º) Vamos calcular o limite à direita (onde 𝑥 se aproxima de 2 por valores maiores 
que 2): 
Se 𝑥 > 2 então 𝑓(𝑥) = 9 − 𝑥 2 
Logo, lim
𝑥 → 2+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥 → 2+
9 − 𝑥 2 = 9 − 22 = 𝟓. 
 
 
2º) Vamos calcular o limite à esquerda (onde 𝑥 se aproxima de 2 por valores 
menores que 2): 
Se 𝑥 < 2 então 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 
Portanto, lim
𝑥 → 2−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥 →2−
 𝑥2 + 1 = 22 + 1 = 𝟓. 
 
 
3º) Existe o limite no ponto 𝑥 = 2? 
Pelo teorema: 𝑠𝑒 lim
𝑥 → 2+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥 → 2−
𝑓(𝑥) 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 lim
𝑥 → 2
𝑓(𝑥) 
Assim, como lim
𝑥 → 2+
𝑓(𝑥) = 5 𝑒 lim
𝑥 → 2−
𝑓(𝑥) = 5 , portanto existe lim
𝑥 → 2
𝑓(𝑥) e lim
𝑥 → 2
𝑓(𝑥) = 5. 
 
 
 
 
4º) Esboço do gráfico: 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1. Seja ℎ(𝑥) = {𝑥
2 − 2 𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 3
7 𝑠𝑒 𝑥 = 3
 . 
Calcule lim
𝑥 →3
ℎ(𝑥). Esboce o gráfico de ℎ(𝑥). R: 4 
 
 
 
2. Seja 𝑓(𝑥) = 2 + |5 𝑥 − 1| . 
Calcule se existir: 
a) lim
𝑥 →
1
5
+
𝑓(𝑥) R: 2 b) lim
𝑥 →
1
5
− 𝑓(𝑥) R: 2 c) lim
𝑥 →
1
5
𝑓(𝑥) R: 2 
Esboce o gráfico de 𝑓(𝑥). 
 
 
3. Seja 𝑓(𝑥) = 
{
 
 
 
 
1
𝑥
 𝑠𝑒 𝑥 < 0
𝑥2 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 < 1
2 𝑠𝑒 𝑥 = 1
2 − 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 > 1
 . 
 
Esboce o gráfico de 𝑓(𝑥) e calcule os limites indicados se existirem. 
 
a) lim
𝑥 → − 1
𝑓(𝑥) R: - 1 b) lim
𝑥 →1
𝑓(𝑥) R: 1 c) lim
𝑥 →0+
𝑓(𝑥) R: 0 
 
d) lim
𝑥 → 0−
𝑓(𝑥) R: - ∞ e) lim
𝑥 →0
𝑓(𝑥) R: ∄ f) lim
𝑥 →2+
𝑓(𝑥) R: 0 
 
g) lim
𝑥 → 2−
𝑓(𝑥) R: 0 h) lim
𝑥 →2
𝑓(𝑥) R: 0