Curvas-Conicas

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Curvas Cônicas 
Em geometria, cônicas são curvas geradas pela intersecção de um plano com um 
cone. Existem três curvas que podem ser obtidas por esse processo: a elipse, a parábola 
e a hipérbole. Agora vamos ver esses processos para acharem essas três curvas. 
1- Se truncarmos uma esfera, a superfície truncada terá sempre como contorno uma 
circunferência, seja qual for à posição do plano secante em relação à esfera. 
O mesmo não sucederá, no entanto se truncarmos simultaneamente dois cones de bases 
circulares opostos pelo vértice, ou mais simplesmente um cone de duas folhas como se 
chama a tal conjunto. 
 
Fig. 1 
2- Se realizarmos nele uma seção paralela à sua base, ou seja, perpendicular ao eixo, 
não passando pelo vértice, a superfície originária desta seção será um círculo e terá 
como contorno uma circunferência. (Fig. 1) 
 
3- Se a seção não for paralela a sua base, a nenhuma das geratrizes e nem ao eixo, o 
plano secante cortará todas as geratrizes de um dos cones e dará a uma superfície 
limitada por uma curva denominada elipse. (Fig. 2). 
 
4- Realizemos agora uma seção de maneira que ela seja paralela a uma das geratrizes 
AB como na figura 3. Nesta hipótese a seção resultante possui o seu contorno definido 
por uma linha mista. O trecho curvo deste contorno se chama parábola. 
 
 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 
5- Veremos agora o cone inferior, de maneira que o plano secante seja paralelo ao eixo 
gerador do sólido. Neste caso, os trechos de perímetros curvos, hachuriados na figura 4, 
definem o conjunto denominado hipérbole. 
 
Elipse 
 
 As cônicas se caracterizam por propriedades que as diferenciam totalmente uma 
das outras. 
 
Conceito: A elipse é uma curva plana fechada e simétrica, na qual é constante a soma 
das distâncias de cada um de seus pontos a dois pontos situados no interior do plano por 
ela limitado. (Fig. 5). 
 
 Fig. 5 Fig. 6 
Focos são por definição os dois pontos fixos acima referidos, e estão assinalados 
pela letras F e F` da figura 5. 
Eixo de uma curva é toda a linha em relação a qual os vários pontos da curva são 
simétrico dois a dois. 
A elipse apresenta dois eixos ortogonais, um que passa pelos focos chamado 
eixo maior e outro que passa perpendicular pelo centro daquele e que se denomina eixo 
menor. São respectivamente os segmentos CD e AB da figura 6. 
Semi-eixo é a metade de um dos eixos. Existem, pois dois semi-eixos: o semi-
eixo maior e o semi-eixo menor, ou sejam, respectivamente, os segmentos OC e AO 
também da figura 6; ou OD e OB desta mesma figura. 
Centro da elipse é o ponto O de cruzamento destes dois eixos. 
Chamam-se vértices da elipse aos pontos extremos dos seus dois eixos 
ortogonais, ou sejam os pontos A, B, C e D da figura 6. Daí conclui-se que toda elipse 
possui apenas quatro vértices. 
Distância focal é a distância entre focos, ou seja, o segmento F F` da figura, 6. 
Raios vetores são os segmentos retilíneos compreendidos entre um ponto 
qualquer da curva e os seus dois focos ou sejam FC-CF`, FB-BF` e FA-AF` da figura 5 
e FZ-ZF` da figura 6. A soma de dois raios vetores, é pela própria definição de elipse, 
constante, e sempre igual ao eixo maior da elipse que é representado convencionalmente 
por “2a”. Podemos então dizer de acordo com a figura 6 que CD=2a. 
Secante a uma elipse é uma reta que a corta em dois pontos, 2-3 da figura 6 e 
corda é o trecho da secante que se encontra no interior da curva como o segmento GH 
da mesma figura. 
Tangente é a reta que toca a curva em somente um de seus pontos, como o 
segmento JK d figura 6. Normal é a perpendicular à tangente no seu ponto de contato 
como NI ainda nesta figura. 
 
Passemos agora à figura 7. 
 
Fig. 7 
Círculos principais são aqueles traçados como raio igual aos semi-eixos maior e 
menor da elipse e centro no centro da curva, ou seja, com raio igual a OA e OB da 
figura 7. 
Assim temos o circulo principal maior e menor segundo o raio seja o semi-eixo 
maior ou menor. 
Círculos diretores são aqueles traçados tendo como centro um dos focos da 
elipse e com raio igual ao seu eixo maior, e podem ser vistos na figura com raios FH e 
F`J. 
F`J=CD=FH 
Diâmetro de uma curva plana é o lugar geométrico dos meios de todas as cordas 
paralelas a uma mesma direção. 
Deste modo toda corda que passar pelo centro da elipse é um de seus diâmetros, 
como os segmentos retilíneos AB, CD, EF e GH da figura 8. 
Dois diâmetros são dito conjugados quando um deles divide ao meio as cordas 
paralelas ao outro; por exemplo; 
 
 
 Fig. 8 Fig. 9 
Seja o diâmetro AB da figura 9. Tracemos duas cordas 1-2 e 3-4 paralelas a ele. 
Dividindo estas duas cordas ao meio, obteremos os pontos 5 e 6 que unidos 
determinarão o diâmetro conjugado XY do diâmetro AB desta mesma figura. 
É claro que cada elipse tem tantos diâmetros conjugados quantos seus diâmetros 
comuns. 
Denomina-se excentridade de uma elipse, a razão existente entre a semi-
distância focal e o semi-eixo maior da curva. 
 
 
Parábola 
 
Conceito: A parábola é uma curva plana aberta infinita e de um só ramo, da qual cada 
um de seus pontos eqüidista de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa 
denominada diretriz, situados em seu plano. (Fig. 10). 
 
Fig. 10 
 
 
Diretriz é a reta Dd, à qual é perpendicular o eixo XY, que contém o vértice V e 
o foco F. 
Qualquer segmento de reta como FR e FR` cujos extremos se encontram no foco 
e na curva, se chama raio vetor. Qualquer segmento retilíneo como GH cujos extremos 
se acham em dois pontos da curva, se chama corda. 
Qualquer semi-reta paralela ao eixo da curva, como por exemplo, S, é um 
diâmetro parabólico, ou um diâmetro de parábola. 
Um segmento retilíneo que toca a parábola em um só de seus pontos como TT` 
se chama tangente. Uma perpendicular à tangente no ponto de contato, se denomina 
normal, NI, 
A distância AF é o parâmetro e vai da diretriz ao foco. 
 
Hipérbole 
 
Conceito: Hipérbole é uma curva plana aberta de ramos infinitos, na qual é constante a 
diferença das distâncias de cada um de seus pontos a dois pontos fixos situados em seu 
plano. 
 
De acordo com a figura 11 e por definição. 
FP – PF`= Aa 
Mas como no caso da elipse, Aa aqui é representado por 2a. 
 
 
Fig. 11 
Assim os pontos F e F` da figura são os focos da hipérbole e a distância FF` 
entre eles é a distância focal. 
Os segmentos FP e PF` são os raios vetores do ponto P da curva. 
A hipérbole tem dois eixos. Um transverso ou real que é o segmento Aa da linha 
XX e outro não transverso ou imaginário e que é o trecho CD do segmento YY`. Estes 
dois eixos se cortam no centro O da curva. 
 
Fig. 12 
Uma hipérbole é eqüilátera, quando os seus dois eixos (o imaginário e o real) são 
iguais. Neste caso ela se origina do corte paralelo ao eixo de rotação de dois cones cujos 
diâmetros de base são iguais ao comprimento de suas duas alturas, conjunto que pode 
ser inscrito em um quadrado (eqüilátero), pois A=2B como na figura 12. Neste caso as 
suas assíntotas se cruzam ortogonalmente. 
 
Hipérboles Conjugadas 
 
São aquelas que tem iguais e mesmos eixos, centros e assíntotas.