Lista 3 - Planos tangentes, máximos e mínimos, Lagrange

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Cálculo e Geometria Anaĺıtica II
Lista 3 - Planos tangentes, pontos cŕıticos,
multiplicadores de Lagrange
Planos tangentes
1. Encontre a equação do plano tangente à superf́ıcie z2 = 3x2 + y3 no ponto P = (1, 1, 2).
2. Considere a superf́ıcie 2x2 + y2 + z2 = 9. Encontre uma equação do plano tangente à superf́ıcie
no ponto P = (2,−1, 0).
Máximos e mı́nimos de funções de várias variáveis
3. Encontre e classifique todos os pontos cŕıticos da função f(x, y) = xy − 13x
3 − 12y
2 + 3.
4. Encontre e classifique o(s) ponto(s) cŕıtico(s) da função f(x, y) = x2 + xy − 2x− 2y + 1.
5. Se uma função cont́ınua de uma variável tem exatamente um extremo relativo em um intervalo,
então esse extremo relativo é um extremo absoluto no intervalo. Este exerćıcio mostra que esse
resultado não se estende a funções de duas variáveis.
(a) Mostre que f(x, y) = 3xey − x3 − e3y tem apenas um único ponto cŕıtico e que nele ocorre
um máximo relativo.
(b) Mostre que f não tem máximo absoluto.
(c) Use um recurso computacional para esboçar o gráfico z = f(x, y).
6. Considere a função f(x, y) = 4x2 − 3y2 + 2xy no quadrado unitário 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.
(a) Encontre os valores máximo e mı́nimo de f em cada aresta do quadrado
(b) Encontre os valores máximo e mı́nimo de f no quadrado inteiro
Multiplicadores de Lagrange
7. Entre o ponto do plano x+ 2y + z = 1 que está mais próximo da origem.
8. Qual é o maior valor posśıvel para a soma das coordenadas de um ponto pertencente ao elipsoide
de equação (x− 2)2 + 2(y − 1)2 + (z − 2)2 = 40.
9. Encontre as dimensões do retângulo de área máxima que pode se inscrito na elipse x
2
a2 +
y2
b2 = 1.
10. Encontre o ponto da esfera (x−2)2 +(y−2)2 +(z−2)2 = 27 que está mais afastado da origem
(0, 0, 0).
11. Encontre o maio valor posśıvel para a função f(x, y) = 4x3 + y2, quando restrita aos pontos
(x, y) que satisfazem 2x2 + y2 = 1.
1
Figura 1: Essa figura é relativa ao Exerćıcio 9. Retângulo inscrito em elipse. Clique aqui para ver
uma figura dinâmica.
Soluções
1. Seja f(x, y, z) = 3x2 + y3 − z2. Então ∇f(x, y, z) = 〈6x, 3y2,−2z〉. O vetor ∇f(1, 1, 2) =
〈6, 3,−4〉 é ortogonal à superf́ıcie de ńıvel de f que passa pelo ponto (1, 1, 2). Portanto, uma
equação para o plano tangente é
6(x− 1) + 3(y − 1)− 4(z − 2) = 0.
2. 8(x− 2)− 2(y + 1) = 0
3. Localização dos pontos cŕıticos: Temos que fx(x, y) = y− x2 e fy(x, y) = x− y. Portanto,
os pontos cŕıticos (x, y) são as soluções do sistema{
y − x2 = 0
x− y = 0
.
As soluções desse sistema são os pares (0, 0) e (1, 1).
Classificação dos pontos cŕıticos: Para classificar esses pontos cŕıticos usaremos o teste da 2a
derivada, que leva em conta a função
D(x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y)− f2xy(x, y).
Note que fxx(x, y) = −2x, fxy(x, y) = 1 e fyy(x, y) = −1. Portanto D(x, y) = 2x− 1.
O teste da 2a derivada justifica as seguintes conclusões:
D(0, 0) = −1 < 0, portanto (0, 0) é um ponto de sela.
D(1, 1) = 1 > 0 e fxx(1, 1) = −2 < 0, portanto (1, 1) é um ponto de máximo local.
4. O único ponto cŕıtico é o ponto (2,−2) que é sela.
5. (a) f(x, y) = 3xey − x3 − e3y. Então fx = 3ey − 3x2 e fy = 3xey − 3e3y. Os pontos cŕıticos são
soluções do sistema {
3ey − 3x2 = 0
3xey − 3e3y = 0
⇐⇒
{
ey − x2 = 0
x− e2y = 0
A última equação diz que x = e2y. Substituindo x por e2y na equação ey − x2 = 0 obtemos
ey − e4y = 0⇒ ey = e4y. Como a função exponencial é injetiva, obtemos y = 4y, donde segue que
y = 0, e consequentemente x = 1. Portanto, o único ponto cŕıtico é o ponto (1, 0). Para classificar
esse ponto podemos usar o teste da segunda derivada, que leva em conta a função
D(x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y)− f2xy(x, y).
2
https://www.geogebra.org/m/qarshsdv
Figura 2: Gráfico da função f(x, y) = xy − 13x
3 − 12y
2 + 3, produzido no GeoGebra 3D
Note que fxx = −6x, fyy = 3xey − 9e3y e fxy = 3ey. Portanto, D(1, 0) = 27 > 0. Como
fxx(1, 0) = −6 < 0, o teste da segunda derivada conclui que (1, 0) é um ponto de máximo local.
(b) Para ver que f não tem máximo absoluto observe, por exemplo, que limx→−∞ f(x, 0) =
limx→−∞(3x − x3 − 1) = +∞. Isso significa que f(x, y) toma valores arbitrariamente grandes e,
portanto, a função não possui um máximo absoluto.
(c)
Figura 3: Gráfico da função f(x, y) = 3xey − x3 − e3y, produzido no GeoGebra 3D. Clique aqui
para visualizar o gráfico no seu navegador.
6. .
3
https://www.geogebra.org/3d/cnbpxqnp
https://www.geogebra.org/m/mfnrwtnc
(a) f(x, y) = 4x2 − 3y2 + 2xy
• No lado `1: 0 ≤ x ≤ 1, y = 0.
f(x, 0) = 4x2 tem valor máximo quando x = 1 e valor mı́nimo
quando x = 0. Temos que f(1, 0) = 4 e f(0, 0) = 0.
• No lado `2: x = 1, 0 ≤ y ≤ 1.
f(1, y) = 4−3y2+2y tem valor máximo quando y = 13 e valor
mı́nimo quando y = 1. Temos que f(1, 13 ) =
13
3 e f(1, 1) = 3.
• No lado `3: 0 ≤ x ≤ 1, y = 1.
f(x, 1) = 4x2−3+2x tem valor máximo quando x = 1 e valor
mı́nimo quando x = 0. Temos que f(1, 1) = 3 e f(0, 1) = −3.
• No lado `4: x = 0, 0 ≤ y ≤ 1.
f(0, y) = −3y2 tem valor máximo quando y = 0 e valor
mı́nimo quando y = 1.
(b) f não possui pontos cŕıticos no interior do quadrado. O único ponto cŕıtico de f é o ponto
(0, 0), que é um ponto de sela que está no bordo do quadrado. Portanto, no quadrado inteiro o
valor máximo é f(1, 13 ) =
13
3 ≈ 4, 333 e o valor mı́nimo é f(0, 1) = −3.
7. Vamos minimizar a função f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 com a restrição de que g(x, y, z) = x+ 2y+
z = 1. O método dos multiplicadores da Lagrange diz que os extremos ocorrem em pontos que
satisfazem ∇f(x, y, z) = λ∇g(x, y, z) para algum λ. Obtemos assim, o sistema
2x = λ
2y = 2λ
2z = λ
x+ 2y + z = 1
Das três primeiras equações conclúımos que y = 2x e z = x. Substituindo isso na última equação
obtemos x = 16 . Assim, o ponto procurado é o ponto (
1
6 ,
2
6 ,
1
6 ).
Outra maneira de resolver o problema é considerar a reta ` que passa pela origem e é ortogonal
ao plano. Como n = 〈1, 2, 1〉 é vetor ortogonal ao plano, temos que a reta ` pode ser expressa
parametricamente por
` :

x = t
y = 2t
z = t
; t ∈ R.
A interseção dessa reta com o plano ocorre no ponto correspondente ao valor de t para o qual
t + 2(2t) + t = 1, donde obtemos t = 16 . Assim, de uma maneira alternativa, obtemos novamente
o ponto ( 16 ,
2
6 ,
1
6 ).
8. A maior soma posśıvel é 15, a qual ocorre no ponto (6, 3, 6).
9. É posśıvel mostrar que os posśıveis retângulos inscritos na elipse devem ter os lados paralelos
aos eixos. Vamos assumir isso sem demonstrar rigorosamente. Vamos expressar a área do retângulo
em termos das coordenadas do vértice (x, y) que está no primeiro quadrante. Nesse caso os com-
primentos dos lados são 2x e 2y e portanto a área é A(x, y) = 4xy. Queremos maximizar a função
A(x, y) = 4xy sob a restrição g(x, y) = x
2
a2 +
y2
b2 = 1. O método dos multiplicadores de Lagrange diz
que os extremos ocorrem em pontos que satisfazem ∇A(x, y) = λ∇g(x, y) para algum λ. Obtemos
assim, o sistema 
4y = 2xa2 λ
4x = 2yb2 λ
x2
a2 +
y2
b2 = 1
Isolando λ nas duas primeiras equações obtemos 4a
2y
2x =
4b2x
2y ⇔ a
2y2 = b2x2. Disso segue que
x2 = a
2
b2 y
2. Substituindo isso na equação da elipse obtemos y
2
b2 +
y2
b2 = 1. Donde segue que
4
y2 = b2/2, e então x2 = a2/2. Portanto, o vértice no primeiro quadrante que gera o retângulo de
maior área é o ponto
(
a√
2
, b√
2
)
. Logo as dimensões do retângulo de maior área são a
√
2 e b
√
2 e
a área máxima é 2ab.
10. Vamos maximizar a função f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 com a restrição de que
g(x, y, z) = (x− 2)2 + (y − 2)2 + (z − 2)2 = 27.
O método dos multiplicadores de Lagrange diz que os extremos ocorrem em pontos que satisfazem
∇f(x, y, z) = λ∇g(x, y, z) para algum λ. Obtemos assim, o sistema
2x = λ2(x− 2)
2y = λ2(y − 2)
2z = λ2(z − 2)
(x− 2)2 + (y − 2)2 + (z − 2)2 = 27
Note que x 6= 2, pois x = 2 iria contradizer a primeira equação. Analogamente, y 6= 2 e z 6=
2.
Portanto, isolando λ nas três primeiras equações obtemos
λ =
x
x− 2
=
y
y − 2
=
z
z − 2
Dessas igualdades segue que x = y = z. Da última equação segue então que 3(x− 2)2 = 27. Logo
(x − 2) = ±3 e portanto x = 5 ou x = −1. Obtemos assim os pontos (−1,−1,−1) e (5, 5, 5). O
ponto (−1,−1,−1) é o ponto da esfera que está mais próximo da origem. O ponto (5, 5, 5) é o
ponto da esfera que está mais distante da origem.
Outra maneira de resolver o problema, sem usar cálculo, seria observar que os pontos mais
próximos e mais distantes da origem se encontram na interseção entre a esfera e a reta que liga a
origem ao centro da esfera.
Figura 4: Visualização da esfera de equação (x − 2)2 + (y − 2)2 + (z − 2)2 = 27 sendo perfurada
pela reta que passa pela origem e pelo centro da esfera
11. O valor máximo é
√
2, e esse valor ocorre no ponto (1/
√
2, 0).
5